最不枯燥的排列组合学习!(信息学奥赛基础)

组合数学

>最不枯燥的排列组合学习！

尽管我在认真，刷题速度和学习进度还是要被大佬们甩好几条街……

忙着刷题后期肯定没办法写总结，

就只好一边学习一边填坑啦啦啦。

^上面的都是废话^

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一、什么是组合数学（完全没用，建议跳）

对于很多计数类问题，

由于方案数过于巨大，

我们无法用搜索的方式来解决问题

因此我们需要对计数类问题进行一些优化

这些优化就是组合数学研究的内容

：（没错就是研究计数类问题）

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二、基本原理

加法原理：如果完成一件事有两类方法，第一类方法有m1种方案，第二类方法有m2种方案，那么完成这件事有m1+m2种方案将方案分类，类类相加，并且要不重不漏

乘法原理：如果完成一件事有两步，第一步有m1种方案，第二步方法有m2种方案，那么

完成这件事有m1*m2种方案将方案分步，步步相乘。

（这两种原理都好说，稍加理解立即明白，以下的知识几乎都要基于这两种原理咕～）

三、排列与组合

：（弱小的主角）

排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫

做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(nm)表示

公式：A(nm)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!

（自己理解：第一个数字有n种选择，第二个数字有（n-1）中选择，以此类推，然后相乘）

组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取

出m个元素的组合数从n个数中取出m个数的方案数用符号C(nm)表示

公式：C(nm)=A(nm)/A(mm)=n!/(m!(n-m)!)

（自己理解：每一种组合有A（m，m）种排列，所以每一种组合被这A（m，m）中

排列算重了A（m，m）次，除掉就好啦）

四、定理一箩筐（这东西才是组合数学（死亡）的真谛啊）

欧几里得算法：

这东西好说。辗转相除法。

一个式子基本上就涵盖了：gcd(ab)=gcd(ba%b);

事实上里面还有一点东西，就是和更相减损术一起用来优化（我不知道我理解的对不对啊QAQ）

1.若x，y均为偶数，则gcd(xy)=2*gcd(x/2y/2);

2.若x为偶数，y为奇数，则gcd(xy)=gcd(x/2y);

3.若x为奇数，y为偶数，则gcd(xy)=gcd(xy/2);

4.若x，y均为奇数，则gcd(xy)=gcd(x-yy);

——《信息学奥赛之数学一本通》

代码不放啦~

懒的理直气壮

扩展欧几里得算法：

我花了半个小时看了证明！（傻得无所畏惧，证明一共不到三行）

然后自己推了三遍终于烂熟于胸……（不仅傻，而且笨……）

下面给出证明（保证默写拒不翻书如有错误请大佬指正）

解丢番图方程：ax+by=c

我们先解ax+by=gcd(ab);

（跟据裴蜀定理，ax+by=c仅当gcd(ab)|c时有整数解）

ax+by=gcd(ab)=gcd(ba%b)=b*x+a%b*y=b*x+(a-a/b*b)*y=b*x+a*y-a/b*b*y=a*y+(x-a/b*y)*b 完。（注意上面用到的除都是整除啊~：5/2=2）

啥？你没看懂？不要紧我们把其中的两个式子提出来看！

ax+by=gcd(ab)=gcd(ba%b)=b*x+a%b*y=b*x+(a-a/b*b)*y=b*x+a*y-a/b*b*y=a*y+(x-a/b*y)*b 这两个式子是等价的！

所以我们得到回溯关系：x=yy=x-a/b*y。

及：在递归求gcd中，回溯时x=y，y=x-a/b*y。

就是这样啦啦啦~

inline int exgcd(int aint bint &xint &y)

{

if(b==0)

{

x=1y=0;

return a;

}

int d=exgcd(ba%bxy);

int tmp=x;

x=y;

y=tmp-a/b*y;

return d;

}

Lucas定理（尝试着看证明结果被洗礼了……）

Lucas是用来求C(nm)%p的方法，时间复杂度挺低的，不过要求p为质数。

给出式子：C(nm)%p=C(n/pm/p)*C(n%pm%p)%p

然后就递归下去。

递推式：Lucas(nm)%p=Lucas(n/pm/p)*C(n%pm%p)%p

好说，递归啊～

边界显然是m=0，return 1;

代码回头再放～（懒～）

赶紧继续去看证明……

所以有了Lucas我们就可以写下面这道题了：

「集合计数」

题目描述：从n个数的数列中取出若干个集合，要求这些集合的交集一共有k个元素，求取数方案个数。

题解：我们先取出来k个数，让剩下的数集合交集为空集就好啦～

撕烤一下，直接让他们交集为空集好像不好实现。

剩下的n-k个数总共会组成2n-k个集合。这2n-k个集合取或不取又能组成22n-k种取集合的方案。

所以我们枚举交集元素为k到n，容斥就好啦～

五、基本数学方法：

一、特殊元素和特殊位置优先策略（有时需要注意分情况）

由012345可以组成多少个没有重复数字的五位奇数

解:由于末位和首位有特殊要求，

应该优先安排，

以免不合要求的元素占了这两个位置。

先排末位共有C(31)，然后排首位共有C(41)，最后排其它位置共有A(43)

由分步计数原理得C(31)C(41)A(43)

二、相邻元素捆绑策略（不要忽略捆绑元素内部排列！）

7人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法.

解:先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，

同时丙丁也看成一个复合元素，

再与其它元素进行排列，

同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有A(55)A(22)A(22)种不同的排法。

三、不相邻问题插空策略（注意特殊情况：详见题解[排队]）

一个晚会的节目有4个舞蹈2个相声3个独唱舞蹈节目不能连续出场则节目的出场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步，排列2个相声和3个独唱，共有A(55)种方案

第二步，将四种舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位A(64)共有种不同的方法

节目的不同顺序共有A(55)A(64)种。

四、定序问题倍缩空位插入策略

7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法 (倍缩法)

对于某几个元素顺序一定的排列问题，

可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，

然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，

则共有不同排法种数是A(77)/A(33)

五、排列问题求幂策略

把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:

把第一名实习生分配到车间有7种分法，

把第二名实习生分配到车间也有7种分法

依此类推，

由乘法原理共有7^6种不同的排法。

六、环排问题转化成线排策略

8人围桌而坐共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，

坐成圆形没有首尾之分，

所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!=7!种排法

七、多排问题转化成直排策略

8人排成前后两排每排4人其中甲乙在前排丙在后排共有多少排法

8人排前后两排相当于8人坐8把椅子，

可以把椅子排成一排。

前排有2个特殊元素，

方案数为A(42) 后4个位置上有一个特殊元素丙，

方案数为A(41) 其余的5人在5个位置上任意排列，

方案数为A(55) 共有A(42)A(41)A(55)种方案

八、排列组合混合问题先选后排策略

有5个不同的小球装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，求共有多少不同的装法第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C(52)种方法.

再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A(44)种方法

根据分步计数原理装球的方法共有C(52)A(44)。

九、平均分组问题除法策略

6本不同的书平均分成3堆每堆2本共有多少分法

分三步取书得C(62)C(42)C(22)种方法，

但这里出现重复计数的现象

每种方案计算了A(33)次，

故最终答案为C(62)C(42)C(22)/A(33)

十、重排列

由四面红旗，三面蓝旗，二面黄旗，五面绿旗排成的一排彩旗有多少种？

将14面彩旗排成一个排列，方案数A(1414) 其中红旗之间每种排列等价，

方案数A(44) A(1414)/(A(44)A(33)A(22)A(55))