最不枯燥的排列组合学习!(信息学奥赛基础)
信息学奥赛——排序算法
全国青少年信息学奥林匹克联赛排序算法一、插入排序(Insertion Sort)1. 基本思想：每次将一个待排序的数据元素，插入到前面已经排好序的数列中的适当位置，使数列依然有序；直到待排序数据元素全部插入完为止。
2. 排序过程：【示例】：[初始关键字] [49] 38 65 97 76 13 27 49J=2(38) [38 49] 65 97 76 13 27 49J=3(65) [38 49 65] 97 76 13 27 49J=4(97) [38 49 65 97] 76 13 27 49J=5(76) [38 49 65 76 97] 13 27 49J=6(13) [13 38 49 65 76 97] 27 49J=7(27) [13 27 38 49 65 76 97] 49J=8(49) [13 27 38 49 49 65 76 97]Procedure InsertSort(Var R : FileType);//对R[1..N]按递增序进行插入排序, R[0]是监视哨//Beginfor I := 2 To N Do //依次插入R[2],...,R[n]//beginR[0] := R[I]; J := I - 1;While R[0] < R[J] Do //查找R[I]的插入位置//beginR[J+1] := R[J]; //将大于R[I]的元素后移//J := J - 1endR[J + 1] := R[0] ; //插入R[I] //endEnd; //InsertSort //二、选择排序1. 基本思想：每一趟从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，顺序放在已排好序的数列的最后，直到全部待排序的数据元素排完。
2. 排序过程：【示例】：初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49]第一趟排序后 13 ［38 65 97 76 49 27 49]第二趟排序后 13 27 ［65 97 76 49 38 49]第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65 49]第四趟排序后 13 27 38 49 [49 97 65 76]第五趟排序后 13 27 38 49 49 [97 97 76]第六趟排序后 13 27 38 49 49 76 [76 97]第七趟排序后 13 27 38 49 49 76 76 [ 97]最后排序结果 13 27 38 49 49 76 76 97Procedure SelectSort(Var R : FileType); //对R[1..N]进行直接选择排序//Beginfor I := 1 To N - 1 Do //做N - 1趟选择排序//beginK := I;For J := I + 1 To N Do //在当前无序区R[I..N]中选最小的元素R[K]//beginIf R[J] < R[K] Then K := Jend;If K <> I Then //交换R[I]和R[K] //begin Temp := R[I]; R[I] := R[K]; R[K] := Temp; end;endEnd. //SelectSort //三、冒泡排序(BubbleSort)1. 基本思想：两两比较待排序数据元素的大小，发现两个数据元素的次序相反时即进行交换，直到没有反序的数据元素为止。
高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 排列与组合
排列与组合课题：排列与组合目标：知识目标：如何利用程序就各种排列和组合能力目标：排列组合的运用重点：求出n的全排列和从m中取n个的组合难点：算法的理解板书示意：1）求全排列的算法2）求组合数的算法授课过程：例5：有3个人排成一个队列，问有多少种排对的方法，输出每一种方案？分析：如果我们将3个人进行编号，分别为1、2、3，显然我们列出所有的排列，123，132，213，231，312，321共六种。
可用循环枚举各种情况，参考程序：program exam5;vari,j,k:integer;beginfor I:=1 to 3 dofor j:=1 to 3 dofor k:=1 to 3 doif (i+j+k=6) and (i*j*k=6) then writeln(i,j,k);end.上述情况非常简单，因为只有3个人，但当有N个人时怎么办？显然用循环不能解决问题。
下面我们介绍一种求全排列的方法。
设当前排列为P1 P2 ,…,P n，则下一个排列可按如下算法完成：1．求满足关系式P j-1 < P j的J的最大值，设为I，即I=max{j | P j-1 < P j , j = 2..n}2．求满足关系式P i -1 < P k的k的最大值，设为j，即J=max{K | P i-1 < P k , k = 1..n}3．P i -1与P j互换得 (P) = P1 P2 ,…,P n4．(P) = P1 P2 ,…, P i-1 P i,…, P n部分的顺序逆转，得P1 P2 ,…, P i-1 P n P n-1,…, P i便是下一个排列。
例：设P1 P2 P3 P4 =34211．I= max{j | P j-1 < P j , j = 2..n} = 22．J=max{K | P i-1 < P k , k =1..n} = 23．P1与P2交换得到43214．4321的321部分逆转得到4123即是3421的下一个排列。
NOIP数学之排列组合-数学排列组合
加法原理和乘法原理
从A到C共有多少种走法？
A
B
C
共有N=1+3*2+1=8种
做题方法与实例
例1 :学校师生合影，共8个学生，4个老师，要 求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多 少种不同的合影方式？
8 P 解 先排学生共有 8 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 4 8 4 有P P 7 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 P 8 7 种. 结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求 不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条 件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好 元素的空档之中即可.
为（ ）。
2、容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研 究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是： 先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对 象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目 排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计 数的方法称为容斥原理。
对有限集合S，用 S 表示S的元素个数
m
n! m! ( n m )!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序 无关的为组合问题.
加法原理： 做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有
M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方 法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那 么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。 比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海， 1：火车3个班次 2：飞机2个班次 3：轮船4个班次， 那么从北京-上海的方法N=3+2+4=9种
信息学竞赛中问题求解常见题分析(排列组合)
信息学竞赛中问题求解常见题分析排列组合问题一、知识点：1． 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 。
种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 。
种不同的方法。
2． 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1*m 2*…m n 。
种不同的方法。
3． 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
4． 排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示。
5． 排列数公式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m ，n ∈N ，m ≤n)6． 阶乘：n!表示正整数l 到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!=l 。
7． 排列数的另一个计算公式：)!(!m n n A m n -= 8． 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．9． 组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．10． 组合数公式：!)1)...(2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---==，或)!(!!m n m n C m n -= (n ，m ∈N ，且m ≤n)11． 组合数的性质1：m n n m n C C -=，规定：0n C ：=1； 2：11-++=m n m n m n C C C 。
((完整版))排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结),推荐文档
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的n 1m 2m 方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，n 1m 2m …，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
信奥排列组合题
信奥排列组合题是信息学奥林匹克竞赛（信奥赛）中涉及
排列组合知识的题目。
以下是一些例子：
1. 有五个人排成一排，要求其中甲和乙必须相邻，那么
不同的排法有多少种？
2. 有七个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，那么不同
的排法有多少种？
3. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方
格里，每格填一个数，要求每个方格的标号与所填数字均不
相同，那么有多少种填法？
4. 有四封信需要投入五个信箱中，问有多少种投法？
5. 七个人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？
6. 有十个三好学生名额需要分到七个班级中，每个班级
至少一个名额，那么有多少种不同的分配方案？
以上问题都需要应用排列组合的知识进行解答。
在解决这
些问题时，通常需要明确问题的限制条件，并根据限制条件
选择合适的排列组合方法进行计算。
最不枯燥的排列组合学习!（信息学奥赛基础）
最不枯燥的排列组合学习!（信息学奥赛基础）组合数学>最不枯燥的排列组合学习！尽管我在认真，刷题速度和学习进度还是要被大佬们甩好几条街……忙着刷题后期肯定没办法写总结，就只好一边学习一边填坑啦啦啦。
^上面的都是废话^—————————————————————————————一、什么是组合数学（完全没用，建议跳）对于很多计数类问题，由于方案数过于巨大，我们无法用搜索的方式来解决问题因此我们需要对计数类问题进行一些优化这些优化就是组合数学研究的内容：（没错就是研究计数类问题）————————————————————二、基本原理加法原理：如果完成一件事有两类方法，第一类方法有m1种方案，第二类方法有m2种方案，那么完成这件事有m1+m2种方案将方案分类，类类相加，并且要不重不漏乘法原理：如果完成一件事有两步，第一步有m1种方案，第二步方法有m2种方案，那么完成这件事有m1*m2种方案将方案分步，步步相乘。
（这两种原理都好说，稍加理解立即明白，以下的知识几乎都要基于这两种原理咕～）三、排列与组合：（弱小的主角）排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(nm)表示公式：A(nm)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!（自己理解：第一个数字有n种选择，第二个数字有（n-1）中选择，以此类推，然后相乘）组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数从n个数中取出m个数的方案数用符号C(nm)表示公式：C(nm)=A(nm)/A(mm)=n!/(m!(n-m)!)（自己理解：每一种组合有A（m，m）种排列，所以每一种组合被这A（m，m）中排列算重了A（m，m）次，除掉就好啦）四、定理一箩筐（这东西才是组合数学（死亡）的真谛啊）欧几里得算法：这东西好说。
信息学竞赛中的组合数学问题与解决方法
信息学竞赛中的组合数学问题与解决方法组合数学是一门研究离散结构及其性质的数学学科，它在信息学竞赛中扮演着重要角色。
组合数学问题在竞赛中常常出现，并且需要灵活运用数学原理和方法来解决。
本文将探讨信息学竞赛中的组合数学问题及其解决方法，帮助读者提升解题能力。
一、全排列与组合的概念及性质在组合数学中，全排列（Permutation）和组合（Combination）是最基本的概念。
全排列指的是将一组元素按照一定规则进行排列，而组合则是从一组元素中选择出若干元素的集合。
全排列的个数可以通过求解阶乘来得到，例如n个元素的全排列个数为n!（n的阶乘）。
组合的个数则可以通过组合数公式来计算，即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数。
了解全排列和组合的概念及性质有助于我们更好地解决相关问题。
二、排列组合在竞赛中的应用在信息学竞赛中，排列组合问题常常涉及到选择、排序、计数等方面。
下面将介绍几个常见的组合数学问题及其解决方法。
1. 选取问题选取问题是组合数学中的一类常见问题，涉及在给定集合中选择符合条件的元素。
例如，给定一个集合{1, 2, 3, ..., n}，我们需要从中选出m个元素，并且满足某种特定条件。
解决这类问题时，可以运用组合数公式进行计算，同时结合条件进行筛选。
2. 重复选取问题重复选取问题是指从给定的元素集合中进行有放回地选择。
在这类问题中，元素可以被选择多次。
解决重复选取问题时，可以利用全排列的思想，根据元素的重复次数进行计算。
3. 排列问题排列问题是指将一组元素按照一定规则进行排序。
在信息学竞赛中，常见的排列问题包括全排列和部分排列。
解决排列问题时，可以通过递归、动态规划等算法设计方法。
三、解决组合数学问题的常用技巧与策略除了掌握基本的概念和方法外，还需要掌握一些常用的解题技巧和策略，以提高解题效率。
1. 计数技巧在解决组合数学问题时，经常需要统计满足条件的排列组合的个数。
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组合数学
>最不枯燥的排列组合学习！
尽管我在认真，刷题速度和学习进度还是要被大佬们甩好几条街……
忙着刷题后期肯定没办法写总结，
就只好一边学习一边填坑啦啦啦。
^上面的都是废话^
—————————————————————————————
一、什么是组合数学（完全没用，建议跳）
对于很多计数类问题，
由于方案数过于巨大，
我们无法用搜索的方式来解决问题
因此我们需要对计数类问题进行一些优化
这些优化就是组合数学研究的内容
：（没错就是研究计数类问题）
————————————————————
二、基本原理
加法原理：如果完成一件事有两类方法，第一类方法有m1种方案，第二类方法有m2种方案，那么完成这件事有m1+m2种方案将方案分类，类类相加，并且要不重不漏
乘法原理：如果完成一件事有两步，第一步有m1种方案，第二步方法有m2种方案，那么
完成这件事有m1*m2种方案将方案分步，步步相乘。
（这两种原理都好说，稍加理解立即明白，以下的知识几乎都要基于这两种原理咕～）
三、排列与组合
：（弱小的主角）
排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫
做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(nm)表示
公式：A(nm)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!
（自己理解：第一个数字有n种选择，第二个数字有（n-1）中选择，以此类推，然后相乘）
组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的组合数从n个数中取出m个数的方案数用符号C(nm)表示
公式：C(nm)=A(nm)/A(mm)=n!/(m!(n-m)!)
（自己理解：每一种组合有A（m，m）种排列，所以每一种组合被这A（m，m）中
排列算重了A（m，m）次，除掉就好啦）
四、定理一箩筐（这东西才是组合数学（死亡）的真谛啊）
欧几里得算法：
这东西好说。
辗转相除法。
一个式子基本上就涵盖了：gcd(ab)=gcd(ba%b);
事实上里面还有一点东西，就是和更相减损术一起用来优化（我不知道我理解的对不对啊QAQ）
1.若x，y均为偶数，则gcd(xy)=2*gcd(x/2y/2);
2.若x为偶数，y为奇数，则gcd(xy)=gcd(x/2y);
3.若x为奇数，y为偶数，则gcd(xy)=gcd(xy/2);
4.若x，y均为奇数，则gcd(xy)=gcd(x-yy);
——《信息学奥赛之数学一本通》
代码不放啦~
懒的理直气壮
扩展欧几里得算法：
我花了半个小时看了证明！（傻得无所畏惧，证明一共不到三行）
然后自己推了三遍终于烂熟于胸……（不仅傻，而且笨……）
下面给出证明（保证默写拒不翻书如有错误请大佬指正）
解丢番图方程：ax+by=c
我们先解ax+by=gcd(ab);
（跟据裴蜀定理，ax+by=c仅当gcd(ab)|c时有整数解）
ax+by=gcd(ab)=gcd(ba%b)=b*x+a%b*y=b*x+(a-a/b*b)*y=b*x+a*y-a/b*b*y=a*y+(x-a/b*y)*b 完。
（注意上面用到的除都是整除啊~：5/2=2）
啥？你没看懂？不要紧我们把其中的两个式子提出来看！
ax+by=gcd(ab)=gcd(ba%b)=b*x+a%b*y=b*x+(a-a/b*b)*y=b*x+a*y-a/b*b*y=a*y+(x-a/b*y)*b 这两个式子是等价的！
所以我们得到回溯关系：x=yy=x-a/b*y。
及：在递归求gcd中，回溯时x=y，y=x-a/b*y。
就是这样啦啦啦~
inline int exgcd(int aint bint &xint &y)
{
if(b==0)
{
x=1y=0;
return a;
}
int d=exgcd(ba%bxy);
int tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*y;
return d;
}
Lucas定理（尝试着看证明结果被洗礼了……）
Lucas是用来求C(nm)%p的方法，时间复杂度挺低的，不过要求p为质数。
给出式子：C(nm)%p=C(n/pm/p)*C(n%pm%p)%p
然后就递归下去。
递推式：Lucas(nm)%p=Lucas(n/pm/p)*C(n%pm%p)%p
好说，递归啊～
边界显然是m=0，return 1;
代码回头再放～（懒～）
赶紧继续去看证明……
所以有了Lucas我们就可以写下面这道题了：
「集合计数」
题目描述：从n个数的数列中取出若干个集合，要求这些集合的交集一共有k个元素，求取数方案个数。
题解：我们先取出来k个数，让剩下的数集合交集为空集就好啦～
撕烤一下，直接让他们交集为空集好像不好实现。
剩下的n-k个数总共会组成2n-k个集合。
这2n-k个集合取或不取又能组成22n-k种取集合的方案。
所以我们枚举交集元素为k到n，容斥就好啦～
五、基本数学方法：
一、特殊元素和特殊位置优先策略（有时需要注意分情况）
由012345可以组成多少个没有重复数字的五位奇数
解:由于末位和首位有特殊要求，
应该优先安排，
以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C(31)，然后排首位共有C(41)，最后排其它位置共有A(43)
由分步计数原理得C(31)C(41)A(43)
二、相邻元素捆绑策略（不要忽略捆绑元素内部排列！）
7人站成一排其中甲乙相邻且丙丁相邻共有多少种不同的排法.
解:先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，
同时丙丁也看成一个复合元素，
再与其它元素进行排列，
同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有A(55)A(22)A(22)种不同的排法。
三、不相邻问题插空策略（注意特殊情况：详见题解[排队]）
一个晚会的节目有4个舞蹈2个相声3个独唱舞蹈节目不能连续出场则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步，排列2个相声和3个独唱，共有A(55)种方案
第二步，将四种舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位A(64)共有种不同的方法
节目的不同顺序共有A(55)A(64)种。
四、定序问题倍缩空位插入策略
7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法 (倍缩法)
对于某几个元素顺序一定的排列问题，
可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，
然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，
则共有不同排法种数是A(77)/A(33)
五、排列问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:
把第一名实习生分配到车间有7种分法，
把第二名实习生分配到车间也有7种分法
依此类推，
由乘法原理共有7^6种不同的排法。
六、环排问题转化成线排策略
8人围桌而坐共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，
坐成圆形没有首尾之分，
所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!=7!种排法
七、多排问题转化成直排策略
8人排成前后两排每排4人其中甲乙在前排丙在后排共有多少排法
8人排前后两排相当于8人坐8把椅子，
可以把椅子排成一排。
前排有2个特殊元素，
方案数为A(42) 后4个位置上有一个特殊元素丙，
方案数为A(41) 其余的5人在5个位置上任意排列，
方案数为A(55) 共有A(42)A(41)A(55)种方案
八、排列组合混合问题先选后排策略
有5个不同的小球装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，求共有多少不同的装法第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C(52)种方法.
再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A(44)种方法
根据分步计数原理装球的方法共有C(52)A(44)。
九、平均分组问题除法策略
6本不同的书平均分成3堆每堆2本共有多少分法
分三步取书得C(62)C(42)C(22)种方法，
但这里出现重复计数的现象
每种方案计算了A(33)次，
故最终答案为C(62)C(42)C(22)/A(33)
十、重排列
由四面红旗，三面蓝旗，二面黄旗，五面绿旗排成的一排彩旗有多少种？
将14面彩旗排成一个排列，方案数A(1414) 其中红旗之间每种排列等价，
方案数A(44) A(1414)/(A(44)A(33)A(22)A(55))。