排列组合基本知识
有关排列组合的基本知识排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合．(一)两个基本原理是排列和组合的基础(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法．(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．(二)排列和排列数(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法．(2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列,当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！(三)组合和组合数(1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的．一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同[例题分析]排列组合思维方法选讲1．首先明确任务的意义例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴2b=a+c, 可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。
例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。
若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，∴本题答案为：=56。
2．注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；第二类：A在第二垄，B有2种选择；第三类：A在第三垄，B有一种选择，同理A、B位置互换，共12种。
例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有种方法；（二）从剩下的十只手套中任选一只，有种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有种方法；（四）由于选取与顺序无关，因而（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。
例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。
例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。
现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有种；第二类：这两人有一个去当钳工，有种；第三类：这两人都不去当钳工，有种。
因而共有185种。
例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
抽出的三数含0，含9，有种方法；抽出的三数含0不含9，有种方法；抽出的三数含9不含0，有种方法；抽出的三数不含9也不含0，有种方法。
又因为数字9可以当6用，因此共有2×(+)++=144种方法。
例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。
分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有种停车方法。
3．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑例9．六人站成一排，求(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数分析：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，共+种站法。
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排头，有种方法。
第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共+2+=312种。
例10．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。
若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有种可能；第二步：前四次有一件正品有中可能。
第三步：前四次有种可能。
∴共有种可能。
4．捆绑与插空例11. 8人排成一队(1)甲乙必须相邻(2)甲乙不相邻(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻分析：（1）有种方法。
（2）有种方法。
（3）有种方法。
（4）有种方法。
（5）本题不能用插空法，不能连续进行插空。
用间接解法：全排列-甲乙相邻-丙丁相邻+甲乙相邻且丙丁相邻，共--+=23040种方法。
例12. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?分析：∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。
另外没有命中的之间没有区别，不必计数。
即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即。
例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。
又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
∴共=20种方法。
5．间接计数法.(1)排除法例14. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，∴共种。
例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，∴共-12=70-12=58个。
例16. l，2，3，……，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数?分析：由于底数不能为1。
（1）当1选上时，1必为真数，∴有一种情况。
（2）当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共，其中log24=log39，log42=log93, log23=log49, log32=log94.因而一共有53个。
(3)补上一个阶段，转化为熟悉的问题例17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。
因而有=360种。
（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了种，∴共=120种。
例18．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法?分析：首先不考虑男生的站位要求，共种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。
因而有=9×8×7×6=3024种。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合基本知识
排列组合基本知识排列组合是概率统计学中常用的一种数学方法，用于描述一个或多个物体之间的不同状态。
它是定义所引入的一种概念，可用于研究诸如概率，排序，决策，密码和自然语言等的问题。
排列组合的基本概念是用来描述一个或多个物体的“排列状态”。
它有助于把具有不同特性的多个物体进行组合，以协助分析物体的关联的特性。
例如，在计算机方法中，可以使用排列组合来模拟某种算法的运行效率，以及它和其他算法之间的比较；游戏玩家可以利用排列组合来做出最佳的决策；市场营销人员也可以利用排列组合来表示和分析客户偏好和行为。
排列分为几种类型：简单排列，互换排列，重复排列，标准排列。
简单排列是指把一系列数据（组成物体）按一定的顺序安排起来，没有重复次数。
例如，3个不同颜色小球正确的排列可以是红、绿、蓝，也可以是绿、蓝、红，而红、红、蓝则不是正确的排列。
重复排列也称为混排，也是在排列时每种物体可以重复参与排列，但是每种物体的次数可以相同，只要所排列的物体不重复即可，它主要用于研究物体之间的搭配关系。
例如，从3个不同颜色小球中取出任意2个，可以得到红色、绿色；绿色、蓝色；红色、蓝色，而不是红绿蓝三色全都选择。
标准排列是一种复杂的排列，它常用于研究物体和它们之间的关系。
例如，分析市场上20种商品的销售模式可以使用标准排列，以了解每种商品的销售额和销量的分布，并与其他商品进行比较，从而帮助商家正确定位消费者。
排列组合等数学方法常常用于统计分析和决策，不仅可以应用到社会科学，自然科学，技术科学，也可以用于日常生活中的决策和分析，如文字拼写检查，排序，计算路线图等。
排列组合的运算过程可以被计算机程序执行，可以更有效地解决问题。
(完整版)基础排列组合部分知识总结
计数原理1.摆列组合知识导学 ：1. 分类计数原理：达成一件事，有ｎ类方法，在第1 类方法中，有 m 1 种不一样的方法，在第 2类方法中，有 m 2 种不一样的方法， 在第ｎ类方法中，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ＋ m 2 ＋ ＋ m n 种不一样的方法 .N2. 分步计数原理：达成一件事，需要分红ｎ个步骤，做第 1 步，有 m 1 种不一样的方法，做第2 步，有m 2 种不一样的方法， 做第ｎ步，有 m n 种不一样的方法，那么达成这件事共有 ＝m 1 ×Nm 2 × × m n 种不一样的方法 .摆列数公式 ：A n mn ( n 1)( n 2)( n 3)( n m 1)A n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N * ，且ｍ≤ｎ）(n m)!组合数公式：mA n m n(n 1)(n 2)( n 3) ( nm 1)C nA m mnC n mn! （这里ｍ、ｎ∈ N *，且ｍ≤ｎ）m! (n m)!组合数的两个性质C n m C n n m 规定： C n 0 1C n m 1 C n mC n m 1例 l、分类加法计数原理的应用在全部的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？剖析：该问题与计数相关，可考虑采纳两个基来源理来计算，达成这件事，只需两位数的个位、十位确立了，这件事就算达成了，所以可考虑安排十位上的数字状况进行分类．解法一：按十位数上的数字分别是1， 2， 3， 4，5， 6， 7，8 的状况分红8 类，在每一类中知足题目条件的两位数分别是8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， l 个．由分类加法计数原理知，切合题意的两位数的个数共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + l＝36 个．解法二：按个位数字是2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9 分红 8 类，在每一类中知足条件的两位数分别是 l 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个，所以按分类加法计数原理共有l + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36个．评论：分类加法计数原理是对波及达成某一件事的不一样方法种数的计数方法，每一类的各样方法都是互相独立的，每一类中的每一种方法都能够独立达成这件事。
排列组合基础知识
排列组合基础知识排列组合基本原理讲解如下：排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号C(n,m)表示。
难点从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力。
限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解。
计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
乘法原理和分步计数法1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
2、合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
排列组合基础知识
排列组合基础知识排列组合基础知识一、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有n 类方法，在第一类方法中有1m 中不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法......第n 类方法中n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= (21)种不同的方法。
（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。
（3）特点：分成几类，就有几项相加。
2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要n 个步骤，做第一个步骤有1m 中不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法......做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ...21=种不同的方法。
（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。
（3）特点：分成几步，就有几项相乘。
二、排列组合1.排列（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个排列，排列数记为m n P ，或记为m n A 。
（2）使用排列的三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③讲究顺序。
（3）计算公式)!(!)1)....(2)(1(m n n m n n n n A m n -=+---= 尤其：!,,110n P n P P n n n n ===2.组合（1）定义：从n 个不同的元素中，任取m 个（n m ≤）元素并为一组，叫做从n 个不同的元素中，选取m 个元素的一个组合，组合数记为m n C 。
（2）使用三条件①n 个不同元素；②任取m 个；③并为一组，不讲顺序。
（3）计算公式12)...1()1)...(1()!(-+--=-==m m m n n n m n m n P P C m m m n mn尤其：m n n m n n n n n C C C n C C -====,1,,110例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226B.246C.264D.288解析：由于首位和末位有特殊要求，应优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，末位有13C 种选择，然后排首位，有14C 种选择，左后排剩下的三个位置，有34A 种选择，由分步计数原理得：13C 14C 34A =288例2.旅行社有豪华游5种和普通游4种，某单位欲从中选择4种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。
排列组合知识点总结典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n nn n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若12m m1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合基础知识点
排列组合基础知识点排列组合是组合数学的重要组成部分，它研究的是如何根据特定的规则从一个集合中选择或排列对象。
它不仅在数学中有广泛的应用，在计算机科学、统计学、金融学等领域也扮演着重要角色。
本篇文章将详细介绍排列组合的基础知识，包括其定义、性质，以及相关的公式和应用示例。
一、排列的概念排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出r个元素，所形成的不同序列。
排列强调顺序，因此a和b的排列与b和a是不同的。
排列的公式为：[ A(n, r) = ]其中，n!（n的阶乘）表示从1到n所有整数的乘积。
1. 阶乘的定义阶乘是一个自然数n的连续乘积，记作n!，其定义为：n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1，当n ≥ 1;0! = 1。
2. 排列示例设有5种不同颜色的球（红、蓝、绿、黄、白），要从中选取3种颜色并进行排列。
根据排列公式，计算方法如下：[ A(5, 3) = = = = 60 ]此时，我们可以得出60种不同的颜色排列方式，例如（红、蓝、绿）、（蓝、绿、黄）等。
二、组合的概念组合是从n个不同元素中，选择r个元素而不考虑顺序的方法。
组合只关注所选元素，不关心它们的排列顺序。
例如，从a、b、c三种元素中选出两种元素，组合为(ab, ac, bc)。
组合的公式为：[ C(n, r) = ]1. 组合示例继续使用上面的例子，即有5种颜色的球，从中选择3种颜色组合。
根据组合公式进行计算：[ C(5, 3) = = = = 10 ]此时，可以得出10种颜色组合方式，如（红、蓝、绿）、（红、蓝、黄）等。
三、排列与组合之间的联系与区别虽然排列和组合都是从一个集合中选择元素，但它们有本质上的区别。
顺序：排列关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为两种不同情况。
组合不关注顺序，选择a和b以及b和a，被视为相同情况。
计算方法：排列使用的是A(n, r)公式。
排列组合知识点
排列组合知识点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：nm 种） 二、排列.1. 基本概念。
⑪对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑭排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C2. 含有．．可重．．元素．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑫组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm nmn-=+--== ⑬两个公式：①;mn n mn C C -=②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑮①几个常用组合数公式nn nn n n C C C 2210=+++11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法.如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用mn m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C .vi. 构造二项式.如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列. 它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有mm m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.例如：①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个， 有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法）， 当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？答案：3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）例如：将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？答案：!2/102022818C C C P =注意：分组与插空综合.例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？答案：mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式如下图所示故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .1x 2x 34⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？解：固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A（一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
排列组合知识点归纳总结
排列组合知识点归纳总结
排列组合
1. 定义：排列是指将n个不同元素的一组按某种规律排成一列的过程；组合是指从n个不同元素中取任意多个元素一组组合，不考虑顺序称
作组合。
2. 公式：排列公式A(n,m)：n(n-1)...(n-m+1)；组合公式C(n,m)：
n!/(m!(n-m)!)
3. 例题：
（1）从学校里的20个男生和10个女生中任取5人参加一次活动，这
次活动一共有多少种选择？
用排列的方法来求的话，总的选择数为
A(30,5)=30*29*28*27*26=653,800；用组合方法来求的话，总的选择数
为C(30,5)=30!/(5!*25!)=653,800。
（2）如何从10名男生中组成一个不相同的三人小组？
用排列的方法来求的话，总的选择数为A(10,3)=10*9*8=720；用组合
方法来求的话，总的选择数为C(10,3)=10!/(3!*7!)=120。
4. 实际应用：排列组合在数学中极为重要，其应用贯穿于数学当中的
很多领域，如余弦定理、泰勒公式、抛物线等。
诸如加密或者信息安全，以及网络安全等，其中也应用了排列组合的原理，以增强安全性。
同时，它还广泛会被用在生产调度、选号、玩游戏、医学等各种领域下。
排列组合基础知识
关于排列组合的一些基础知识1. 排列：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
2. 组合：从n个元素中取出m个（m≦n），并按照一定的方式进行组合，称为从n个元素中取出m个元素的组合。
3. 排列的公式：A(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）。
4. 组合的公式：C(n,m)=n×（n-1）×（n-2）×...×（n-m+1）÷m×（m-1）×（m-2）×...×2×1。
5. 重复排列：在排列时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与排列的顺序有关，这种排列称为重复排列。
6. 重复组合：在组合时允许相同的元素重复出现，每个元素出现的次数与组合的方式无关，这种组合称为重复组合。
7. 排列数的性质：若A(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则A(n,m)=A(n,n-m)；若n=m则A(n,m)=1。
8. 组合数的性质：若C(n,m)=0，则m<0或m>n；若0≦m≦n，则C(n,m)=C(n,n-m)；若n=m则C(n,m)=1。
9. 插空法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插空法。
10. 捆绑法：在排列或组合时，先将几个元素捆绑在一起，作为一个元素处理，然后再对其他元素进行排列或组合的方法称为捆绑法。
11. 插板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，一部分暂时不取，然后对剩下的元素进行排列或组合，这种方法称为插板法。
12. 隔板法：在解决有关问题时，将元素分成两部分，中间插入隔板，使得每部分元素的个数等于规定的个数，这种方法称为隔板法。