图2.【永毬同歩电机转子蒂构
2.2永磁同步电机的数学模型
木节苜先建立PMSM的数学模型，这也是后续研究PMSM矢丘控制算法的屣础"
接卜來分别对三相静止坐标系、两和邯止坐标系和两相旋转堰标系F的PMSM 的数学
模型进行描述。
严格的说，永磁同步电机是一个存在非线性磁化特性和饱和效应的电磁装留，它的 动态方程式一个高阶微分方程，很难对它进行粘确求解，所以必须对它进行一定程度的 简化，将它化成一个二阶微分方程组。为了突出主婆何题，先忽略次要因素，作如下假 设叫
（1） 忽略谐波效应，设定子三相绕组完全对称且在空间中互差120°电角度，所 产生理
想正弦磁动势；
（2） 忽略永磁体的非线件饱和因素，认为各相绕纽的阴值、电感都是恒定的，FI Ro = R 、= R< = &丄（! = — = Lc ；
（3） 不计电机的磁滞损耗和涡流损耗等： （4） 不考电频率和温度变化对电机参数的场响： （5） 转子上没有阻尼绕组，永磁体没有阻尼作用。 2.2.1矢量控制系统中的三种坐标系
在研究矢量控制算法时，常见的有三种坐标系如下：
（1） 三相静止坐标系（abc 坐标系），a 轴、b 轴、c 轴所在的位置是定子三相绕组 轴
心所在的位置，相位在空间上互差120°电角度；
（2） 两相静止坐标系（a0坐标系），其中，a 轴直合于a 轴，0轴逆时针旋转趙 前于a 轴90°电角度：
（3） 两相旋转坐标系（呦坐标系），d 轴位于转子N 极所在位趕，并随看转子同 步旋
转，q 轴逆时针超前d 轴90°电角度.
图2.2 PMSM 的空间矢呈图
这三种坐标系在空间的相对位置如图2.2
所示，下而分别建立永磁同步电机在这三
种坐标系下的数学模型.
222 PMSM 在三相静止坐标系下的数学模型
电压方程:
其中，"八心、乞分别为abc 三相电压■ i 八・、J 分别为abc 三相电流.化、％、 忆分别为
abc 三相逆琏，&为电枢电阻，
磁链方料
-M,b 心
■ ■
•
COS0
Wb = 叽4叽
8S(& -2兀/3) (2.2)
%.
如M* —
丄.
8,(0 +2^/3)
• ■
其中，L_、厶八&•为各相绕组自感，且有―丄〜八A/小g 叽、A ：为绕组间的互感，且有=
帆汗胚*：岁/为转子永磁
磁谨，8为转子磁极位賈即转子N 极与a 相轴线的夹角。
2.23 PMSM 在阳相静止坐标系卜•的数学模型
要研究PMSM 在两相静止坐标系下的数学模型点先需要研究堆标变换。定义 为三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换矩阵（即Clark 变换）.
-
在坐标变换的过程中•要保持坐标变换前后的功率不变，变换后的两相绕组每相匝 数应为原来的J 扌倍；若要保持坐标变换前后的矢量幅值不变，变换后的两相绕组每相 匝数应为原来的3/2倍。基于功率不变的原则，可得变换矩阵如式（2.3）
1 1 7
2 ?2
对式（2.3）求逆矩阵就可得到两相静止坐标系到三相静止坐标系的变换矩阵（即反
Clark 变换）如式（2.4）所示°
(2.1)
(2.3)
心0
0 & 0 0
1
1 >/3 V3
2 2
(2.4)
当a 、b 、c 各柑绕组上的电压与电流分别为互差120。的正弦量时，则变
换到妙绕 组上的电压与电流就是互差90°的正弦量。三相绕组与两相绕组在气隙中产生的磁动 势是一致的，并且该磁动势以电压（或电流）的角速度旋转。
将式（2.1）、式（2.2）经过式（2.3）的Cknk 变换即可得到PMSM 在两相静止坐 标系下的电压方程和磁链方程，如式（2.5）和式（2.6）所示。
电压方程：
其中，厶为轴电感• ◎为转子旋转的电角速度.
2.2.4 PMSM 在两相旋转坐标系下的数学模型
定义Gm,为两相静止坐标系到两相旋转坐标系的处标变换（即Park 变换人有
_ cos0 sinO 2t2r
一 sinO cos0
Jt 逆变换为Park 反变换，冇
将式（2.5）.式（2.6）经过式（2.7）的Park 变换即可得到PMSM 在两相旋转坐标 系下的数学模型，如式（2.9）和式（2.10）所示。
电压方程：
r^ir &
-3丄q
q
其中，"八"g 为如轴电压■ i 八〜为呦轴电流.厶八厶g 为dg 轴电感.卩八
(2.5)
其中， “0为a0轴电压，乙为a0轴电流•性、岁©为妙轴磁链•
磁链方程:
• ■
%
■
0" ■ ■ l
a
[3
■ ■
cos0 %
0 ■
勺-
+占叱 sinO
■ ■
(2.6)
(2.7)
Qr/2f
cosO sin 。
一 sinO cos 。
(2.8)
(2.9)
V3丄
T 疋
75 i
