高中数学必修一：单调性与奇偶性典型例题(教师版)

必修一：函数的单调性与奇偶性总结一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

例1、讨论函数0)(>+=a xa x x f ，的单调性。

解：由)(x f 为奇函数，令0>x任取021>>x x ，()()21212121)()(x x a x x x x x f x f --=-，令a x a x >⇒>2 单调递增区间为：()+∞,a ，()a --，∞ 单调递减区间为：(]a ，0，[)0,-a 小结：（1）要证明函数的单调性，只能用定义的方法，但它也可用来求函数的单调性；（2）使用定义法判断单调性时，要注意格式，设元、作差、变形、定号、下结论，其中最难的一步为变形，需将作差式整理为多项连乘，方便定号；（4）判断a x x -21的符号时，可令x x x ==11，即a x -2；（5）当多个同增或同减区间不在一起时，单调区间之间不能用“或”字连接，只能用“逗号”。

当多个同增或同减区间连在一起时，要注意判断其单调区间是否能合并；（6）单调性是研究函数图像在某段区间内的变化情况，在某点处研究单调性无意义，故单调区间端点处一般可开可闭，均正确。

但若端点处不在定义域内，则必须为开；（7）对于复杂题型，先通过奇偶性得图像对称性，从而只需讨论一半的范围，会降低解题难度；（8）当已知函数值为正时，还可以通过作商实现比大小；（9）记住两个特殊函数的图像。

其中x b ax x g +=)(与x b ax x h -=)(，0,0>>b a 时，图像轮廓相同。

2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。

）例2、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( B )A.13+-=x yB.2+=x yC.xy 4= D.342+-=x x y 小结：熟练掌握常见函数的图像，是研究函数性质的关键。

如：2+=x y 、22++=x y 、342+-=x x y 、342+-=x x y 等，一般先判断奇偶性得图像对称性，从而先画0>x 的图像，再通过对称性得另外一半的图像；如果函数整体带绝对值，只需将x 轴下方图像翻上。

如果是非标准型，先找原点位置即可。

例3、下列函数中，在()+∞,0上为增函数的是( D )A.342+-=x x yB.5--x y =C. 1-32x x y -=D.xx x y 342-+= 小结：（1）分式形式的函数，常用“分离常数”的方法化简；（2）一个复杂函数可以分解成多个函数相加得到，而函数的单调性也可以进行加法运算，同减为减，同加为加，但不能进行乘除运算。

同时要注意单调区间统一。

例4、若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-+-=1,21,56)2()(22x x x x a a x a x f 为R 上减函数，则实数a 的取值范围是 21≤≤a 小结：分段函数单调性并不是不能合并，只是需要满足两点（1）各段单调性相同；（2）两段函数图像在联结处也符合相同的单调性，此点用联结处两函数值的大小来反映图像的上下关系。

3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，由开口方向与对称轴同时决定。

例5、已知函数34)(2++=x x x f ，求函数)(x f 在区间[]1,+t t 的最小值)(t g 与最大值)(t h()[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈++--∈--∞-∈++=,2,342,3 ,13,,86)(22t t t t t t t t g ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈++⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈++=25,,34,25,86)(22t t t t t t t h 小结：（1）由于给定为动区间，它在抛物线上的位置未定，导致最值无法确定；（2）只需弄清区间与抛物线的对称轴之间相对位置关系，就能通过图像确定最值的位置，故需要讨论三种情况：对成轴在区间左边、右边、中间；（3）开口向上的抛物线中，有其天然的最小值，即顶点处。

故，最大值只能在给定区间的端点处取到。

由，抛物线的轴对称性，开口向上的抛物线上的点，到对称轴距离越大，函数值越大。

则，只需讨论给定区间的两端点到对称轴的距离的大小，就能确定最大值是左右端点中哪个个取到；（4）开口向下的抛物线、定轴动区间，解法与本题类似。

4．复合函数的单调性：同增异减例6、函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ A ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞解：原函数由u y =与322-+=x x u 所复合，由u y =恒增，故函数322-+=x x u 的减区间即为原函数的减区间，1-≤x 。

但u y =中，0≥u ，故310322-≤≥⇒≥-+=x x x x u 或，综上，3-≤x 小结：（1）高中阶段，复合函数单调性一般其中一个简单函数单调性恒定，故只需考虑另外一个函数的单调性，但容易漏掉限制条件；（2）我们可以直接记住结论，首先考查定义域，如果单调性恒定的函数为恒增，那么另一个函数的单调性与原函数单调性相同，其单调区间与定义域取交集即可；如果单调性恒定的函数为恒减，那么另一个函数的单调性与原函数单调性相反。

例7：已知函数228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，那么)(x g （ A ）A.在区间(-1，0)上是减函数B.在区间(0， 1)上是减函数C..在区间(-2，0)上是增函数D..在区间(0， 2)上是增函数.解：)(x g 由228)(u u u f y -+==与2-2x u =所复合。

先考虑外层函数)(u f 的单调性，1≥u 时单调递增，1≤u 时为单调递减。

由于我们研究x 的范围，故将u 的范围还原成x ，1-22≥=x u 则11-≤≤x 时)(u f 为增，1-22≤=x u 则11-≤≥x x 或时)(u f 为减；再考虑内层函数2-2x u =，0≥x 时为增，0≤x 时为减。

如图：由同增异减，得原函数)(x g ，在1-≤x 为增；01-≤≤x 为减；10≤≤x 为增；1≥x 为减。

小结：（1）本题关键在于弄清)(x g 的构成；（2）一般先讨论外层函数单调性；（3）注意将u 还原成x 。

二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。

例8、判断下列各函数的奇偶性（1）x x x x f 12)(3+--= （2）1)(23--=x x x x f （3）⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0)(22x x x x x f ， （4）()1)(2-=x x x f 小结：（1）考察函数奇偶性首先要检查定义域是否关于原点对称；（2）函数的奇偶性可以进行加减乘除运算，可将奇函数看成“负号”，偶函数看成“正号”；（3）分段函数考察奇偶性时，必须每段都考察，奇偶性一致才能得到原函数奇偶性，奇偶性不一致则为非奇非偶。

（4）在选填题中，在检查了定义域的前提下，还可以通过图像得到函数的奇偶性。

例9、已知函数),,(1)(2Z c b a cbx ax x f ∈++=是奇函数，又2)1(=f ，3)2(<f ，求c b a ,,的值。

解：由)(x f 是奇函数，且0=x 在定义域内，则0)0(=f ，即0=c又2)1(=f 则b a 21=+，又3)2(<f 得3214<+b a ，故3114<++a a ，即21<<-a ，由Z a ∈故10或=a 若0=a 则Z b ∉=21（舍）；当1=a 则Z b ∈=1。

综上0,1,1===c b a 小结：由于本题给定了奇偶性，故可以使用特殊值0)0(=f 简化运算。

但求或证明奇偶性时，只能用定义，不能用x特殊值法，即通过)()(x f x f =-恒成立，得)(c bx c bx +-=+-恒成立，即b b -=-且c c -=，故0=c 。

2、奇偶性的性质例10、已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f解：108222)2-(35=----=b a f 则1822235=---b a 又268188222)2(35-=--=-++=b a f小结：本题虽然含有参数，但)(x f 可看成bx ax x y ++=35这个奇函数加常数形成，而条件与结论中，自变量2-与2本身关于原点对称，故由奇函数的对称性，可得变量部分bx ax x ++35两函数值之间互为相反数，从而整体代换得到结果。

当然，如果求？=)3(f ，显然无法求解了。

例11、已知)(x f 、)(x g 都是定义在R 上的奇函数，若2)()()(++=x bg x af x F 在区间()+∞,0上的最大值为5，求)(x F 在区间()0,∞-上的最小值。

解：令)()()(x bg x af x h +=，则)(x h 为奇函数且52)()(max max =+=x h x F ，则3)(max =x h由2)()(min min +=x h x F ，又3)()(max min -=-=x h x h ，故1-)(min =x F小结：（1）注意由奇函数图像的对称性，发现在对称的两个区间上，最大值与最小值之间互为相反数；（2）若函数为偶函数则在对称区间上，最值不变。

3、由奇偶性得函数解析式例12、已知)(x f 为定义在11≤≤-x 奇函数当10≤<x 时，x x f -=1)(，则=)(x f 解：令01<≤-x ，则10≤-<x ，故()x x f --=-1)(x +=1，又)(x f 为奇函数，则)()(x f x f -=- 故)(1)(x f x x f -=+=- ，即此时x x f --=1)(，又0)0(=f ，综上⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<≤---=10,10,001,1)(x x x x x x f小结：（1）求哪个范围的解析式，就令x 在哪个范围内；（2）求某个范围内的解析式，就是要得到)(x f ，要将其相关形式如)(x f -转换成)(x f ；（3）要注意检查范围的完备性。

三、单调性、奇偶性综合应用1、定义在[]33-，上的偶函数)(x f 在[]03-，是单调递减，若)2()2-(22a a f a a f -<，则求a 的取值范围 解：由奇偶性与单调性得函数图像类似开口向上的抛物线， 则1032-a -232012241213123313≤≤≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≥≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+<+≤+≤-≤+≤-a a a a a a a a a 或或图(2-3)小结：（1）函数奇偶性、单调性本质上就是研究函数的图像，反过来，通过函数的奇偶性与对称性就能大致复原函数图像的轮廓；（2）注意复合函数问题的定义域考察。