理论声学 第十二章 固体中声波
固体中的声波方程
1.固体的基本弹性性质要建立固体中声波方程，首先必须了解固体的基本弹性性质，当固体受到外力作用时，体内就产生形变，一般用物理量应变来描述，由于固体的弹性性质体内各部分之间就产生互相作用力，而这种力是通过它们的界面起作用的具有面力的性质，一般用物理量-应力来描述。
固体中应变与应力的关系远比流体复杂得多，因此需要详细分析。
1.1 固体中的应变分析我们考察固体中某一点 A ，其坐标为( x，y，z），由于某种原因它产生了位移，它在x，y，z方向的位移分量分别为ξ,η,ζ,设与它相邻的 C 点坐标为（ x+dx， y+dy ，z+dz ) ，它的位移相应为ξ+dξ,η+dη,ζ+dζ。
利用泰勒级数展开可得 A 与 C 点的位移差为：式1 从式1可见，固体中的形变可用如下九个应变分量来描述式2为了简化分析采用如下符号：式3 我们用图 1所示的二维模型来考察固体的形变。
取原来的一小方体元 ABCD 经形变后成为菱形A’B’C’D ' 。
从图可以清楚看到，εxx 就是代表长度为 dx 的线段沿 x 轴的简单的相对“伸长” , 称为 x 方向的伸长应变。
εyy同样为长度为dy的线段沿 y 轴相对“伸长” , εzz为沿 z 轴的相对“伸长”。
从图还可看到，形变的另一特征是小体元形变成菱形，其两棱边的夹角发生了变化。
图1这一夹角的变化就代表了小体元的切形变大小。
考虑到形变量是微量．所以 x 方向棱边绕 Oz 轴的旋转角为：x ¶¶=»h q q 11tan y 方向棱边绕 Oz 轴的旋转角为：y ¶¶-=»xq q 22tan于是，yx xy e e q q ==-21就是小体元在 xOy 平面的切形变，称为xOy 平面的切应变．同样从图可知yx ¶¶+¶¶=-x h q q 21。
这就是对角线 AC 转动角度的 2 倍，因而Ωz 就相当于小体元绕 z 轴的旋转。
声学基本理论概述
声学基本理论概述声学是研究声波产生、传播和接收的科学学科。
它涉及到声音的物理特性以及其在环境中的传播和感知。
声学基本理论是声学研究的基石，通过对声音的性质、传播和声学系统的工作原理进行深入的探究，可以更好地理解和应用声学知识。
本文将简要概述声学的基本理论，并展示其在日常生活和科学研究中的重要性。
一、声音的产生和传播声音是由物体振动引起的机械波，通过介质传播而产生听觉感受。
产生声音的主要方式包括物体的振动、气流的湍流等。
声音的传播依赖于介质，可以是固体、液体或气体，因为声波需要介质的分子或原子作为传递信息的媒介。
声波通过分子或原子的振动传递能量，形成连续的波动。
在空气中，声波以压缩和稀疏的形式传播，而在固体或液体介质中则以纵波或横波的形式传播。
二、声波的特性声波的特性是声学研究的重要内容之一。
声波具有频率、幅度、相位和速度等基本特性。
频率是指单位时间内声波的振动次数，用赫兹（Hz）表示。
幅度则表示声波的振动强度，通常用分贝（dB）来度量。
声波的相位描述了声波振动的相对位置，相位差可以影响声波的合成和干涉。
声波传播的速度与介质的性质有关，一般来说，在相同介质中，声波的传播速度与温度和密度有关。
三、声学系统和参数声学系统是由声源、传播介质和接收器组成的系统。
这些组成部分相互作用，形成了声音的产生、传播和接收过程。
声学系统的性能可以通过一些重要参数来描述。
声压是声音产生的一个重要指标，指的是声波对单位面积的压力。
声强则是单位时间内通过单位面积的能量流量。
声阻抗则表示声波传播时介质对其运动的阻力，与介质的密度和声速有关。
声学系统还涉及到其他参数，如声音的品质、清晰度和声场的分布等。
四、声音的感知声音的感知是声学研究的重要方面，也是我们日常生活中最直接的体验之一。
声音的感知受到个体听觉器官和大脑的共同作用。
人耳能够感知不同频率范围内的声音，从低沉的重低音到尖锐的高音。
音高则是指声音的频率高低，而音量是指声音的强弱。
语音传导声音的原理
语音传导声音的原理语音传导是指通过物质媒介（如空气、水、固体等）传递声音的过程。
在日常生活中，我们常常通过听觉器官（耳朵）来感知声音，声音通过空气传播到耳朵中的鼓膜，再由耳朵内部的结构传导到神经系统，最终我们才能听到声音。
而声音的传导是基于声波的传播原理。
声波是一种机械波，是由物体的振动引起的物质中的粒子的机械振动，进而在媒介中传播的能量波动。
它的传播方式可分为气体中的声波传播、液体中的声波传播和固体中的声波传播。
首先，先来看看在气体中的声波传播。
当一个物体进行振动时，例如人的声带颤动、音箱的振动膜等，振动引起周围空气分子的机械振动，形成一个“震荡点”。
这个震荡点会将机械振动传递给相邻的空气分子，使其依次传递下去。
每个空气分子在接收到振动后会以以极小的速度和与其它分子的相撞将振动传递给相邻的分子。
这样振动就在空气中传递，形成了一个像水波一样的波纹，称为声波。
声波在空气中的传播速度与温度有关，一般情况下，在20时大约为340米/秒。
而在液体中的声波传播原理与气体中的原理类似。
在液体中，声波的振动是由液体分子之间的相互作用引起的。
当一个物体在液体中振动时，它会引起周围液体分子的机械振动，使液体中的分子逐渐向各个方向传递振动能量，从而形成声波。
液体的分子比气体的分子间距更密集，相互作用更紧密，因此液体中声波的传播速度一般较大，例如水中的声速大约是1500米/秒。
最后，我们来研究在固体中的声波传播原理。
固体是由分子或者原子紧密排列组成的物质，因此固体中的声波传播具有一定特点。
在固体中，声波的传播是通过固体中的粒子相互作用引起的。
当一个物体在固体中振动时，它会引起固体中的粒子发生机械振动。
固体中的粒子间距较短，相互之间的作用较强，因此固体中的声波能够更快地传播，一般来说，固体中的声速要比液体和气体中的声速更高。
总结而言，无论是在气体、液体还是固体中，声波通过振动物体引起媒介中的粒子的相互作用，使振动能量在媒介中传播。
固体的动力学性质和声波的传播
固体的动力学性质和声波的传播固体是不可压缩的，因此在受到外力时固体会有一定的形变，而这种形变在固体内部会引起应力波的传播。
这种应力波就是我们常说的声波，它在固体中的传播具有许多的特性。
在本文中，我们将会讨论固体的动力学性质和声波的传播。
固体的动力学性质固体的动力学性质指的是固体物质在受到外力时的响应情况，通俗地说就是物质的机械性质。
其中主要包括弹性模量、导热系数、热膨胀系数等。
这些性质在固体力学中都有很重要的应用。
弹性模量是衡量固体刚性的指标。
它反映了固体应力和应变之间的关系，即单位应变所产生的单位应力，常常用来描述弹性体的性质。
不同的材料具有不同的弹性模量，如钢的弹性模量要比橡胶的大得多。
导热系数是衡量固体热导性能的指标。
它反映了固体中能量传递的速率，即热量在固体中的扩散速度。
导热系数高的材料将能更快地将热量传递到旁边的物体，而低导热系数的材料则相反。
热膨胀系数是固体根据温度变化所产生的线膨胀或体膨胀量与原始长度或体积的比值。
不同的材料具有不同的热膨胀系数，这对于一些需要耐温性能的设备来说是一个很重要的物理量。
声波的传播声波是由固体内部的应力波引起的，它们传播时与所有物体的相互作用都是基于固体的动力学性质的。
在固体中，声波会以精确的速度传递，并会在材料中反射和折射，同时在固体表面上发生反射。
声波的速度受到固体的密度、弹性模量和体积的影响，而声波经过的距离可能会与声波密度有关。
声波固有频率也在固体物质中产生变化，而这些变化却也会对整个系统产生影响，因此它们是被认为在物质的动力学性质中起着前所未有的重要作用。
与空气或液体不同，固体中的声波速度很高，但其能量传播却远不如空气或液体。
因此，一些需要精确检测和能量传输的设备通常要经过精确的寻找和选用，通常会选择一些高密度、高弹性和低散射的材料。
总结固体的动力学性质和声波的传播是物理学的两个重要分支。
针对不同材料的物理特性制造出的基于它们的性质的设备，是各种行业的基石。
声学波动理论
声学波动理论由于波动本身的特性，声学波动在自然界和人类生活中起着重要的作用。
声学波动理论是研究声音波动传播和特性的学科，它涉及各种声学现象，如声音的传播、反射、折射、干涉和衍射等。
这篇文章将探讨声学波动理论的一些基本原则和应用。
一、声学波动的基本原理声学波动是指声音在空气、水或固体等介质中以波动的形式传播的现象。
声音波动的基本原理是由声源产生的震动使介质中的分子发生振动，从而使声音以波的形式传播出去。
声音波动的传播速度取决于介质的性质，例如在空气中传播速度约为343m/s。
声音波动的频率和振幅决定了我们听到的声音的音调和音量。
频率指的是声波振动的次数，单位是赫兹(Hz)，而振幅则是声波振动的幅度。
我们能够听到的声音频率范围约为20Hz到20kHz，而在此范围之外的声音则无法被人类听到。
二、声音的传播和反射声音在空气中传播时，会遇到各种障碍物，并发生反射现象。
当声音波动遇到障碍物时，一部分能量会被障碍物吸收，而另一部分会发生反射，沿着其他方向继续传播。
这就是我们经常听到的回声。
声音的传播和反射现象对于声学工程和音响设计至关重要。
在建筑设计中，需要合理设计房间的形状和材料，以控制声音的反射和吸收，确保良好的声学效果。
音响系统的设计和布置也与声音的反射和传播有密切关系，合理利用声音的反射和传播特性，可以获得更好的音响效果。
三、声音的折射和干涉除了反射外，声音波动还能够发生折射和干涉。
当声波从一个介质传播到另一个介质时，由于介质的密度和声速不同，声波会发生折射现象。
这类似于光线从空气射入水中时的折射。
声音的干涉现象也是声学波动理论的重要内容之一。
干涉是指两个或多个声音波动相遇时发生的现象。
当波峰和波峰相遇时，会发生叠加，形成更大的振幅，这被称为构造性干涉；而当波峰和波谷相遇时，会发生相消干涉，声音减弱或消失。
四、声音的衍射现象声音波动还能够发生衍射现象。
当声音波动通过一个孔或绕过一个障碍物时，会朝不同的方向传播，这就是衍射现象。
第12章声与振动
P2 1 1 2 cw2 A2 ZVm m 2 2 2Z
(12- 2)
声波在传播过程中，遇到两种声阻抗不同的媒质的界面时，发生反射和折射。反射波的强 度与入射波的强度之比，叫做强度反射系数，用 ir 表示。透射波的强度与入射波的强度之比， 叫做透射系数，用 it 表示。理论证明，在垂直入射的条件下，
式中，
Px
、
Ix
——距声源 x 处的声压和声强；
2
X——声波与声源间的距离； α——衰减系数， 单位为 Np/m （奈培 / 米） 。 声波在介质中传播时，能量的衰减决定于声波的扩散、散射和吸收，在理想介质中，声波 的衰减仅来自于声波的扩散，即随声波传播距离增加而引起声能的减弱。散射衰减是固体介质 中的颗粒界面或流体介质中的悬浮粒子使声波散射。吸收衰减是由介质的导热性、粘滞性及弹 性滞后造成的，介质吸收声能并转换为热能。粘滞性及弹性滞后造成的，介质吸收声能并转换 为热能。 衍射 衍射亦称绕射，声波在传播时，如果被一个大小近于声波波长或等于波长的物体所阻挡， 就会绕过这个物体，继续行进。当阻挡物较小(与波长相比)时，其后面仍能清晰地听到声音；但 当阻挡物较大时，就会在其后形成声影民音量明显减少。 散射 由于大气经常处于湍流运动状态，其温度、湿度和风速的时空分布均有随机脉动，这使声 波在大气中传播的速度在小尺度范围内也产生时空脉动，因而声波波阵面产生随机性的畸变。 随机性波阵面的相干效应，使一部分声波波能脱离原传播方向而向其他方向传播，造成声波在 湍流大气中的散射。声波散射的散射强度和方向分布取决于大气湍流的强度和频谱特征。利用 声波大气散射原理已成功地研制了声雷达，用以遥感边界层大气。 因前面光谱微波章节有类似介绍，此处不再详述。
12.1.4 声压及其描述
理论声学 Theoretical Acoustics
音频声学实验室
• 主体建筑建成 于1964、1985 年,国内外少有 • 大量的声场实 验和标准测量 •仪器设备改造 投资逾400万元
2018/10/10
理论声学(1) 绪论
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Pneumatic loudspeaker
2018/10/10
理论声学(1) 绪论
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Equipment Made in China
2018/10/10 理论声学(1) 绪论 1
主要参考书
马大猷，现代声学理论基础，科学出版社 (2004)。 杜功焕、朱哲民、龚秀芬著，声学基础(第2版)， 南京大学出版社(2001年)。 Allan D. Pierce, Acoustics, McGraw-Hill Book Company P.M.莫尔斯、K.U.英格特著，理论声学(上、下 两册)，科学出版社(1984、1986年)。 Dan Russell /~drussell/Demos.html,
2018/10/10
理论声学(1) 绪论
11
振动
• 频率 单位时间里波动的次数 单位 Hz次/秒 赫兹 • 周期 波动一次的时间 • 波长 波动一次传播的距离 • 声速 声速等于波长乘以频率 • 振幅
2018/10/10 理论声学(1) 绪论 12
声音的频谱
A4=440Hz
2018/10/10 理论声学(1) 绪论 13
2018/10/10
理论声学(1) 绪论
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声波的定性描述
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理论声学(1) 绪论
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声是弹性介质中传播的机械波
• 弹性介质: 空气 • 真空中没有声波 水 (流体) 固体
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声学基础知识点总结
声学基础知识点总结1. 声波的产生声波是由振动的物体产生的，当物体振动时，会产生压缩和稀疏的波动，这些波动以一定速度在介质中传播，就形成了声波。
声波的产生需要具备两个条件：振动源和传播介质。
一般来说，声波的振动源可以是任何物体，包括人类的声带、乐器的琴弦、机器的发动机等，而传播介质主要是固体、液体和气体。
声波在不同的介质中传播速度不同，气体中的声速最慢，固体中的声速最快。
2. 声波的传播声波的传播包括两种方式：纵波和横波。
纵波是指波动方向与传播方向相同的波动，即介质中的分子以与波动方向相同的方式振动。
在气体和液体中，声波主要是纵波。
横波是指波动方向与传播方向垂直的波动，即介质中的分子以与波动方向垂直的方式振动。
在固体中，声波主要是横波。
3. 声波的特性声波具有一些特性，包括频率、振幅和波长。
频率是指单位时间内声波振动的次数，单位是赫兹（Hz），通常用来表示声音的高低音调。
振幅是指声波振动的幅度，通常用来表示声音的大小。
波长是指声波在介质中传播一个完整周期所需要的距离，与频率和传播速度有关。
4. 声音的产生声音是由声波在空气中传播而形成的，但在声音产生的过程中，还需要经过声带的振动、共鸣腔的放大和嘴唇、舌头等器官的调节。
声带位于声音道中部分，当呼吸进入声音道时，声带会振动产生声波，不同的振动频率会形成不同的音调。
共鸣腔是指声音道中的空腔部分，不同的共鸣腔大小和形状会影响声音的音色。
嘴唇、舌头等器官的调节会改变声音的音调和音色，从而产生不同的语音。
5. 声波的接受人类的听觉系统能够接受声波并将其转化为神经信号传递给大脑，从而形成对声音的感知。
耳朵是人类的听觉器官，主要包括外耳、中耳和内耳。
外耳是声音的接收器，能够接受来自外界的声波并将其传递给中耳。
中耳是声音的传导器，能够将声波转化为机械波并传递给内耳。
内耳是声音的感受器，能够将机械波转化为神经信号，并传递给大脑进行处理。
6. 声波的用途声波在日常生活中有着广泛的应用，包括声音通讯、声波测量、声波成像等方面。
张海澜《理论声学》答案Theoretical Acoustics
1 Mg 1 Mg K x K xa cos 0t 2 K 2 K
2
2 Mg 1 K xa cos 0t Mgxa cos 0t 2 2K
2
重力势能： E3 Mgx Mgxa cos 0t
1 ．2
一弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质点组成简单质点振动系统。质点同时受到 向下的重力。分析质点的振动和能量的转换。
M
d 2x d 2x K Mg ， ， x 0 弹簧受力为零 Mg Kx x g ，特解 x0 2 2 dt K dt M
Mg Mg ，平衡位置 x ，简谐振动 K K
2 2 0 02 / 2 0 2 2 2 2 0 / 2 0 0 / 2 0 0 02 / 2 2 02
1
1 1 1 1 1,2 0 ，模式是 ， ，模式是 0 1 2 / 2 2 0 2 2 1 1
张海澜的《理论声学》答案 1 ．1 有一质点振动系统，固有频率 f 0 已知，质量和弹性系数待求。现在质点上增加已知 质量 m ，固有频率改变了 f 0' 。求原质点系统的质量和弹性系数。
2 f 0
K M
增加质量 m ， 2 f 0 f 0
'
K M m
2 2
m f 0 f 0' 4 2mf 0 2 f 0 f 0' f0 m 可得 ，M ' ，K 1 f 0 f 0' M f 0 2 f 0 f 0' f 0' 2 f 0 f 0'
声波在固体中的传播与声学性质
声波在固体中的传播与声学性质声波作为一种机械波，可以在固体中传播，且对固体的声学性质产生影响。
本文将从声波在固体中的传播机制、声波在固体中的特性以及固体中声波的应用等方面进行论述。
一、声波在固体中的传播机制声波在固体中的传播可以通过固体内的分子振动和传递来实现。
当声源产生声波时，固体中的分子开始振动，并将振动信息通过分子与分子之间的相互作用传递。
具体来说，在固体中，分子之间存在着化学键的相互连接，当一个分子受到外界的作用而发生振动时，它的振动会引起周围分子的振动，通过这种相互作用，振动信息会迅速传递到固体的各个部分。
二、声波在固体中的特性1. 声速：声波在固体中传播的速度被称为声速，它与固体的密度和弹性模量有关。
一般来说，固体的密度越大，弹性模量越高，声速也就越大。
2. 吸收与传导：在固体中，声波的传播会受到固体材料的吸收与传导的影响。
固体的吸音特性会降低声波的强度，使声波在传播过程中逐渐减弱。
而固体的导音特性则会促进声波的传导，使其能够以较高的效率在固体中传播。
3. 声阻抗：声波在进入固体时，会遇到介质之间的阻抗不匹配问题，这就引发了声波的反射和折射现象。
当声波从一种介质进入另一种介质时，由于介质的声阻抗不同，部分声波会被反射回来，而剩下的声波则会继续传播，并在传播过程中发生折射。
三、固体中声波的应用1. 声学材料：固体中的声波传播特性可以被应用于声学材料的设计与研究。
例如，在建筑领域中，通过调整建筑材料的密度、弹性模量等参数，可以实现声学隔音的效果，减少室内外噪音的传播。
2. 超声波应用：超声波是一种频率高于人类可听范围的声波，在固体中传播时，可以被用于材料的检测、成像以及焊接等领域。
超声波的传导特性可以通过固体中的缺陷、密度变化等信息的反射和散射来获取。
3. 声学传感器：固体中的声波传播特性也被广泛应用于声学传感器的开发。
通过固体中声波的传播和反射，可以测量介质的密度、弹性模量、温度等物理参数，从而实现对固体性质的监测和测量。
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31 32 33
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理论声学(2) 第十二章
6
坐标系绕原点转动
• 坐标系 x 1 x 2 x 3 • 新的坐标系 x 1 x 2 x 3
• x j 与 x i 夹角余弦 a i j
a11 a12 a13
A
a21
a22
a
23
a31 a32 a33
• 一点在原坐标系中的坐标 x i
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理论声学(2) 第十二章
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有限应变
• 刚性移动不改变任意线段的长度 ，形变 时总有一些线段的长度会改变
• 位移前后线段长度的平方差作为形变的 度量 dxdu2dx2
d x i d u i d x i d u i d x i d x i 2 j k d x j d x k
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理论声学(2) 第十二章
11
•2
12 21
1 12sincos 2 22sincos
Байду номын сангаас
1 2 2 1 c o s2 sin 2
• 如果
4
1122
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理论声学(2) 第十二章
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主应力方向
• l i 方向和 i jil j 是同向的，剪应力为 零 ijlj li 0
• 应力是对称的二阶张量 ij amianjm n
• 分量随坐标变换而改变 • 应力张量决定固体内部作用力的状况
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理论声学(2) 第十二章
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例
cos sin 0
sin 0
cos
0
0 1
• 1 11
11 cos2 22 sin2 1 22 1 sinc o s
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理论声学(2) 第十二章
13
• 正交实矩阵有三个实的特征值，对应三个 特征矢量，互相正交
• 介质内任意一点存在三个法向方向切面
• 应力矢量方向与切面垂直
• 剪应力矢量为零，主应力方向
• 应力不变量 ，在主应力方向
I1 123
I21 2 2 3 3 1
I3123
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理论声学(2) 第十二章
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流体
• 剪应力为零
123p
• 所有的方向都是主应力方向
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理论声学(2) 第十二章
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应变
• 位移 u x , t
• 相对位移
dui ui,jdxj
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理论声学(2) 第十二章
16
矢量微分算子
• 转动坐标系 ，根据复合函数求导的规则
• 新坐标系中 xi aij x j
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理论声学(2) 第十二章
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矢量
• 一矢量在新旧坐标系中的分量
n i
ni
ni aijn j
ni a jinj
• 由三个分量组成的物理量，在坐标旋转 时分量的变换满足这个关系，这个物理 量是矢量
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理论声学(2) 第十二章
8
• 坐标旋转前后九个应力分量
理论声学(2) 第十二章
2
应力矢量
• 固体内部的力的状态
• 假想切面
• 两部分的相互作用力
• 力的方向、大小
•
应力矢量
σn
df lim
S0 dS
• 正应力矢量，剪应力 或剪切应力矢量
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理论声学(2) 第十二章
3
直角坐标系
• 应力分量是对 称的
ij ji
• 法向应力，拉 力为正
第十二章 固体中的声波
• 流体：体积形变、声压、纵波 • 固体: 体积形变和切形变、应力、纵波
和横波
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理论声学(2) 第十二章
1
固体介质的弹性性质
1 cijk 1
0
i, j,k是1,2,3的偶排列 i, j,k是1,2,3的奇排列
其他
• 叉积
zi cijk xj yk
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xi
xj xi
xj
aij
xj
• 新旧坐标系中空间求导的规则与矢量的
变化一致，三个方向的空间坐标求导组
成矢量算子
i
xi
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理论声学(2) 第十二章
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位移的梯度
ui,j xjuiajn xn aim umaim ajnum ,n
• 二阶张量 • 有些刚性运动的位移梯度也不为零 • 位移梯度不适于作为形变的度量。
ij
ij
• n i 的切面上正应力
n ijninj
n ijninj
ijn in jijn in jija m ia n jn m n n
ij aimajn mn σAσA1
• 正交变换，对称，相同的特征值 • 二阶张量转换公式
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理论声学(2) 第十二章
9
二阶张量
• 一个物理量有九个分量，坐标旋转时分 量的变换满足二阶张量转换公式 ，这个 物理量是二阶张量
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理论声学(2) 第十二章
4
应力分量
• 法向为 n 的切面 • 应力矢量，分量
记作 i
i jinj
• 正应力 n ijninj
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理论声学(2) 第十二章
5
• 九个应力分量决定一点内部的受力状态 • 矩阵的形式 ，对称的实矩阵
11 12 13
σ
21
x1, x2, x3
x1dx1,x2,x3
• 变形后长度的改变 1 211dx1
• 变形比较小时 1 1 1d x11 1 1d x1
• 线元的相对伸长
e11111dxd1x1dx1 11
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理论声学(2) 第十二章
21
剪切应变
• P Q 在 x 2 方向
• P Q 的分量
u 1 ,2 d x 2 1u2,2 dx2 u 3 ,2 d x 2
• 矩阵的特征值问题 ，特征方程是
3I12I2I30
I1112233
I 2 1 12 2 2 23 3 3 31 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1
I 2 2
2
2
3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2
• P S 的分量
u 1 ,3 d x 3 u 2 ,3 d x 3 1u3,3 dx3
2020/3/21
理论声学(2) 第十二章
22
• 夹角的余弦
u 1 ,2 d x2 u 1 ,3 d x31 u 2 ,2d x2 u 2 ,3 d x3 u 3 ,2d x21 u 3 ,3d x3 u 1 2 ,21 u 2 ,22 u 1 2 ,3 u 1 2 ,3 u 2 2 ,31 u 3 ,32d x2 d x3
jk1 2uj,kuk,j ui,jui,k
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理论声学(2) 第十二章
19
应变张量
• 声波位移及导数比较小，忽略高次量
jk
1 2
uj,k
uk,j
• 应变分量，位移的线性函数
• 是张量，称为应变张量
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理论声学(2) 第十二章
20
伸长应变
• 与 x 1 轴平行的一线元 d x 1