高等数学作业本参考答案
高等数学作业册答案Word版
高等数学作业册参考答案一、函数与极限1.1)1()1(2222---x x ； 22)1(11x -- 2. 10≤≤x 3. 31≤≤-x ； x y sin 21-= ))2,2((ππ-∈x4. 3-5. 22-x 6.)1ln(112++x 7. 3- 8.该数列极限不存在 9. 1 10. x x 632- 11.2π； π ；不存在 12. 略二、极限的运算1.（1）0 （2）a 2 （3）32（4）1 （5）202 （6）21 （7）∞ （8）02. 0,1==βα3. 3-4. 15. 证明略，26. (1)52(2) 21 (3) 1 (4) 1 (5) 1- (6) e (7) e (8)2 (9) 4e (10) 21-e(11) 1 (12) 1三、无穷小的比较及连续性 1.(1)32 (2) 2 (3) 25 (4) 0 (5) 9 (6) 161 2.3 3. R c b a ∈==,1,0 4. 125.(1) 2=x 为可去间断点，令1)2(-=f 则该点变为连续点； 3=x 为无穷间断点 （2）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 则变为连续点； ...)2,1(±±==k k x π为无穷间断点；...)2,1,0(2=±=k k x ππ为可去间断点，令0)2(=±ππk f 则变为连续点；（3）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 变为连续点 （4）1=x 为跳跃间断点；（5）0=x 为可去间断点，令1)0(=f 则变为连续点6.(1)2=k (2) (a)0;0 (b)1- (3) 1,0==b a (4)1=x 为跳跃间断点四、导数的概念及运算(1)A - (2)A 2 (2)2A2.(1)3 (2)23.64.(1)2)1(='+f ，∞='-)1(f ，所以分段点处不可导 （2）1>k 时分段点处可导且导数值为0，1≤k 时不可导 5.（1）4πα=（2）)1,1(-M 6. 1+=x y ；π++-=1x y7.x y -=或25xy -= 8.-99！ 9.2,2,1-==-=c b a 10.函数在分段点处连续且可导，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-='0 ,20 ,121arctan )(422x x x x x x f π五、导数的运算1.(1)ba cx +2 (2) 8187-x (3) )2ln()2(e e xππ(4) 2sin cos x x x x - (5) 2224)ln 3(32)49(ln x x x x x x x x +-++- (6) x x x x arctan 2122++ 2. (1)3ln 33+ (2) 42ln 2- 4. (1))sin()21(2x x x -- (2) 22x xe(3) 221xx --(4) 22sin 2x x (5)221x a + (6)22x a x --(7) )2sin 222cos (2x x e x +- (8) x sec (9) xxx -+-12)1(12 (10) ))1(1()1arctan()1arctan(ln 42222x x x x ++⋅++ (11) ))31ln(sin()3162(2222x e x x ex x+-+-- 5.(1) )()(xxxxee f ee --+'⋅- (2) 232222))(1()()(2-+⋅'-x f x f x xf6.x 87.x xln cos 1⋅六、导数的运算与微分 1（1）)1212189(2453x x x x ex +++ （2）3222)(x a a --（3）212cot 2xx x arc +-（4）)cos sin 2(ln 22ln 2cos x x x -⋅⋅ 2（1）2ln 23x （2）6 3 0 4 nn x n )1()!1()1(1+---523 6 （1）xye y y -sin cos （2）x y-(3) xy - (4) )ln ln (x x y y y x x y --⋅ (5) y x y x -+ (6) 324ya b - (7) )sin(sin )sin(cos y x x y x x y ++++-7 (1) )sin ln (cos sin xxx x x x+(2))41312111()4)(3()2)(1(414----+++⋅--++x x x x x x x x (3)222ln 2)2ln 2ln 2(2x x x x xx x x⋅++(4) 12)1(ln -++x x xx x8 （1） 2t （2）t （3）34- 9 证明略10 （1）dx x x x x )sec sin cos (2- （2）dx 32 （3）dx e 2-11 (1) 01.04+π(2) 2713七、中值定理1.(1)满足；（2）不满足；（3）不满足2.2π3.31 4.有2个实根5. 6.有1个实根 7.略 8.略 9.提示：)()(x f e x F x-=应用罗尔定理 10.略八、洛必达法则 1.25 2.53- 3.1 4.1 5.0 6.∞+ 7.1 8.1 9.21-10.011.31 12.1 13.1-e 14. 21-e15.29,3=-=b a九、泰勒公式1.32)1(3)1(7)1(42+++-++x x x 2.32453091x x x -+-3.)(31133x o x x +-+ 4.)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-++++5.))1(()1()1(122+++-+--x o x x7.略 8.略十、函数的单调性1.]2,0(上单减；),2[+∞上单增2.单增区间]1,0[；单减区间]2,1[3.单增区间),1[],0,(+∞-∞；单减区间]1,0[4. 1个实根5.略6.略7.略8.单增十一、曲线的凹凸性 1.凹区间),21[],21,(+∞--∞；凸区间]21,21[-2.凹区间]1,1[-；凸区间),1[],1,(+∞--∞；拐点)2ln ,1(),2ln ,1(-3.拐点),21(21arctan e4.3,1-==b a5.ac b 32=6.略7.水平渐近线1=y ；无铅直渐近线8.水平渐近线0=y ；铅直渐近线1,3=-=x x十二、函数的极值与最大最小值1.极大值17)1(=-y ；极小值47)3(-=y2.极大值2)1(-=-y ；极小值2)1(=y3.2=a4.4,421==x x5.(1)1)1(++n n n ;(2)e1 6.x x x y 9323--=;32 7.1:2 8.5;11十三、函数图形的描绘 1.极小值517)2(-=-y ；拐点)2,1(),56,1(-- 2.单减区间),1[+∞ 3.略 4.1个交点 5.略十五、不定积分概念、性质1.21x -2.C x +3559 3.1313++x x 4.C x x x ++-arctan 3135.C e x x ++3ln 13 6.C x x +-tan 7.C x +2ln 218.C x +815158 9.C x +-cot 21 10.C x x +-sec tan 11.C x++2sin 1 12.C x x +-cot tan 13.1)(2+=x x f十六、 1.C b ax F a ++)(1 2.C x x +-2213.C x F +)(ln4.C x ++)38ln(9135.C x ++342)1(83 6.C x x ++881ln81 7.C x x +-3sin 31sin 8.C x ++23)2(ln 32 9.C xx +-ln 1 10.C x e x+-+)1ln( 11.C x +-10ln 210arccos 2 12.C x +++22))11(ln(21十七、不定积分的第二换元法1.C x x +++-+))11ln(1(22.C x+1arccos3.C x x ++-)21ln(24.C xx ++215.C x x x +--)1(arcsin 2126.C x x ++1ln 667.C x x +---)1arctan1(2 8.C x xx x ++-+-arcsin 1129.C x e x +--+)11ln(2 10.C x +2)(arctan十八、不定积分分部积分法 1.C x x e x++-)22(22.C x x x +-3391ln 31 3. C x f x f x +-')()( 4.C x x ++-)1ln(21ln 2 5.C x x e x +-)cos (sin 216.C x x x x x +-+sin 2cos 2sin 27.C x x x x x ++-2ln 2ln 28.C x x x +-+21arcsin 9.C x e x++--)1(10.C x x x +--cot 21sin 2211.C x x x x +----)1ln(2121)1ln(21 12.C x x x x +-++21arcsin 13.C x x x e x+-++-)12(214.C x e x+tan 15.C x x x +-+arctan )1(16.C e ex x x +----2222十九、有理函数的积分 1.C x x ++++-2)1(2111 2.C x x +---1ln 2ln 3 3.C x x +-++1ln 21112 4.C x x +-arctan 21ln 5.C x +3tan 2arctan321 5.C x++2tan1ln 7.C x xxx x x ++-+++-+--11arctan21111ln8.C x x +-+31123 9.C x x +-+-2)1(2111 10.C x x x x +-+++-2cos 2cos ln 1211cos 1cos ln 61二十、定积分的概念、性质1、331()3b a - 2、ln 2 3、12I I > 4、2I ππ≤≤5、12422eI e -≤≤ 6、137、略二十一、微积分基本公式 1、02、2sin x - 3、2 4、24π 5、1x 6、32ln 22+ 7、2(1)e - 8、2 9、14π- 10、-ln2 11、83 12 1e e+ 二十二、定积分换元法1、02、43π- 3 4、24π 5、166、2ln2-17、416a π82)π+ 9、14π- 10、1) 11、2ln 1e e + 12、1ln 284π- 13、121e-- 14、11ln(1)e -++二十三、定积分分部积分法1、112e -- 2、321()92e -+ 3、12π- 4、 142π- 5、21(1)2e π+ 6、364ππ- 7、2e - 8、12(1)e -- 9、1310、112e -- 二十四、反常积分1、 发散2、2π3、1ln 324、28π5、16、发散7、-1 8、1ln 22 9、1 10、2π11、2 π 二十五、平面图形的面积1、3ln 22- 2、12e e -+- 3、3234、2a5、23a π 6、 7、（1，1） 8、529、1,2,0-二十六、体积 1、12864,75ππ 2、1615π 3、310π 4、464,315π5、6436、32224()3R a π- 7、 8、2,9π二十七、平面曲线的弧长、平均值1、214e + 2、433、6a4、22a π 51)a e π- 6、35ln212+ 7、8a 8、212e -- 9、23π 二十八、物理应用1、0.294J2、800ln 2J π3、1211()mg R R - 4、216aH 5、443r g π 61(Gm a ρ- 7、57697.5KJ 三十、微分方程的概念1、（1）2y x '= ；（2）20yy x '+= 2、是3、20xy y '-=4、120;1C C ==5、221()[ln(1)1]2x f x x +=+- 6、2xy y y e '''--= 三十一可分离变量的微分方程 1、2y x C =+ 2、2xy e = 3、(1)yx ex e C --=++4、xy Cxe-=5、2225y x += 6、3C y x=+ 7、221x x y Ce+=-8、221(1)y C x +=- 9、sin ln y x x=三十二、 一阶线性方程，齐次方程1、32431x Cy x +=+2、(1)xy x e e =+-3、3213x y x-= 4、cos xy x=-5、xe y x=6、同57、47y x =+8 3232xx y ee =-三十一、可降阶的高阶方程1、12(2)xy x e C x C =-++2、12C xy C e=3、y4、21arcsin()xy C e C =+5、12ln y C x C =+6、ln 2x xe e y -+=注：原题改为求1)'(''2=+y y 满足(0)0,'(0)0y y ==的特解。
高一数学必修二作业本答案
(1)若a<0，讨论函数f(x)＝x＋ax，在其定义域上的单调性；
(2)若a>0，判断并证明f(x)＝x＋ax在(0，a]上的单调性．
[解析](1)∵a<0，∴y＝ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，
又y＝x为增函数，∴f(x)＝x＋ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．
[答案](0,2]
[解析]a0.
由2－ax≥0得，x≤2a，
∴f(x)在(－∞，2a]上是减函数，
由条件2a≥1，∴0<a≤2.< p>
16．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________．
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2010•江苏，1)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
[答案]－1
[解析]∵A∩B＝{3}，∴3∈B，
∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝－1.
11．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()
A．0B．1
C.52D．5
[答案]C
[解析]f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，∴f(2)＝1，
∴f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.
A．{1,5,7}B．{3,5,7}
河南科技大学高等数学作业及其答案3
作业题答案一．回答问题1.写出由平面0=z ，柱面122=+y x 和曲面222)]([y x f z +=（f 为连续函数）所围立体体积的表达式，并用极坐标的二次积分表示该体积. 解：σd y x f V D222)]([⎰⎰+=其中D ：122≤+y x 在极坐标系下的表达式为：⎰⎰⋅=102220)]([rdr r f d V πθ 其中D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤1020r πθ 2.当物体的体密度为),,(z y x ρ时，写出物体质量的三重积分表达式，并化成三次积分.其中物体在空间中占有区域Ω：,11,11),,{(22x y x x z y x -≤≤--≤≤-}22222y x z y x --≤≤+.解：由题意知：⎰⎰⎰⎰⎰⎰------+Ω⋅==11112222222),,(),,(x x y x y x dz z y x dy dx dxdydz z y x M ρρ二 .化重积分为二次积分1.用两种方法把二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(化为直角坐标系下的二次积分，其中区域D 是由x y 82=与y x 82=围成的闭区域.解：（1）区域2:08,8x D x y ≤≤≤≤2808(,)(,)x DI f x y d dx f x y dy σ==⎰⎰⎰⎰. （2）区域2:08,8y D y x ≤≤≤≤808(,)(,)DI f x y d dy f x y dx σ==⎰⎰⎰⎰ 2. 将二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(化为极坐标形式的二次积分, 其中D 是由10,10≤≤≤+≤x y x 围成的闭区域在第一象限部分.解：区域1:0,02cos sin D y πθθθ≤≤≤≤+12cos sin 0(,)(cos ,sin )DI f x y d d f d πθθσθρθρθρρ+==⎰⎰⎰⎰3. 设空间区域Ω由22y x z +=与1222=++z y x )0(≥z 所围成，将⎰⎰⎰Ω+=dv y x f I )(22化为三种坐标系下的三次积分.解：122222=+++=z y x y x z 和的交线在xoy 面上投影曲线为2122=+y x 直角坐标系下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--≤≤+-≤≤--≤≤-Ω222222121212222:y x z y x x y x x ⎰⎰⎰------++=∴22222212212222122)(x x y x yx dz y x f dy dx I柱面坐标系下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤Ω2122020:rz r r πθ⎰⎰⎰-=πθ2012222)(r rdz r rf dr d I球面坐标系下：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω104020:r πϕπθ⎰⎰⎰=ππϕϕϕθ20012224)s i n (s i n dr r f r d d I三．计算下列重积分1.σd yx D⎰⎰221,,2:===xy x y x D 所围成. 解：由题意知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤xy xx D 121: ∴ 原式4921221==⎰⎰xxdy y x dx2. ()DI x y dxdy =+⎰⎰ D 由曲线2,,1===y x y xy 所围成. 解：由题意知12:1y D x y y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩∴ 原式1219()4yydy x y dy =+=⎰⎰3．⎰⎰-+=2222x a y xa dy e dx I )0(>a ..解：由题意知220,0:x a y a x D -≤≤≤≤因此极坐标下的区域a r D ≤≤≤≤0,20:πθ∴原式=)1(42121(22222000-=-=⎰⎰⎰a a ar e d e rdr e d πθθππ4.求dxdy y x f I D⎰⎰=),(，其中D ：10,10≤≤≤≤x y ，⎩⎨⎧>+≤+--=1111),(y x y x y x y x f .解：由题意将积分区域划为如图： 21D D D = ⎩⎨⎧≤≤-≤≤⎩⎨⎧-≤≤≤≤1110:1010:21y x x D xy x D ⎰⎰⎰⎰+--=∴12)1(D D dxdy dxdy y x I 1121)1(101⨯⨯+--=⎰⎰-xdy y x dx 322161=+=5．⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I 其中Ω由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成.解：原式⎰⎰⎰---=101010xyx zdz dy dx 2416)1(13=-=⎰dx x . 6. ⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I ，1:22=+=Ωz y x z 及所围成.（要求用柱面坐标和球面坐标两种方法计算）. 解：122=+=z y x z 和的交线在xoy 面上投影曲线为122=+y x∴柱面坐标：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω11020:z r r πθ所以421210220101ππθπ=-==⎰⎰⎰⎰dr r r zdz rdr d I r又球面坐标：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 104020:r4c o s s i n 200024c o s1πϕϕϕθππϕ⎰⎰⎰=⋅=∴dr r r d d I四．改变下列积分次序 1．⎰⎰11),(ydx y x f dy .解：由题意知:011D y x ≤≤≤改变积分次序后区域20,10:x y x D ≤≤≤≤∴原式⎰⎰=12),(x dy y x f dx2．⎰⎰eexdy y x f dx ),(10.x e解：由题意知⎩⎨⎧≤≤≤≤ey e x D x10:⎩⎨⎧≤≤≤≤yx e y D ln 01: ∴原式⎰⎰=eydx y x f dy 1ln 0),(五．应用1. 求由曲线⎩⎨⎧==-022y z x 绕z 轴旋转而成的曲面与平面8,2==z z 所围成的介于此二平面之间的立体的体积.解：旋转曲面方程为：0222=-+z y x σσd y x d V D D ⎰⎰⎰⎰+-+-=12)28()28(22其中1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2020r πθ 2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤4220r πθrdr r d V ⎰⎰-+⨯⨯=∴πθπ20422)28(46πππ6018224=⨯+=2.物体Ω由曲面)(222y x z +=和)0(>=h h z 围成，设Ω的体密度1=ρ： （1）求物体的质量; （2）求物体的重心坐标; （3）求物体对z 轴的转动惯量. 解：（1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dv dv M ρ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωhz r h r 222020:πθrdr r h rdz dr d M h hh r ⎰⎰⎰⎰-==∴222022)2(22πθπ42h π=（2）0===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩxdv dv x M x ρ （由奇函数和Ω的对称性）0=y M ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==zdv dv z M z ρ3202262h r z d z dr d h h rπθπ==⎰⎰⎰h M M z y x z 32,0,0====∴ ∴重心坐标)32,0,0(h（3）对z 轴的转动惯量⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+=+=dv y x dv y x I z )()(2222ρ320223242h dz r dr d hh rπθπ==⎰⎰⎰练习题答案一．计算下列重积分 1．Dydxdy ⎰⎰ 区域D 由2,2y x y x x==-围成.解：由22y x y x x=⎧⎨=-⎩得交点坐标为(0,0)，故区域2:01,2,D x x y x x ≤≤≤≤- 因此2121234011(34)210x x xDydxdy dx ydy x x x dx -==-+=⎰⎰⎰⎰⎰ （注：此题也可把区域D 看成Y 型区域来作.） 2.⎰⎰+Dd xy σ)1(3 区域4:22≤+y x D .（提示：利用二重积分的对称性）. 解：3xy 是x 的奇函数，D 对称于y 轴，03=∴⎰⎰σd xy D，⎰⎰Dd σ表示D 的面积∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+=+DDDDd d xy d d xy πσσσσ4)1(333计算dx e dy yx ⎰⎰112.解：利用Y 型区域来积分，2xe dx ⎰不能用初等函数表示，可考虑用X型区域，因此有dx e dy y x ⎰⎰1102=⎰⎰Dx dv e 2==⎰⎰dy e dx xx 0102dx xe x ⎰102=)1(21-e 4.⎰⎰+Dd y x σ22 22222:0,,,0D x x y a xx y a a ≥+≥+≤>. D ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-ar a θπθπcos 22原式=)43(93cos 22-=⋅⎰⎰-πθθππa rdr r d a a .5. ⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I ，其中Ω由0,,0,1====z x y y x 及z 解： Ω在xoy 平面上的投影区域为D D ,由x y y x ===,0,1围成，且D 为Ω的底面，Ω的曲顶为曲面（马鞍面）xy z x y x xy z ≤≤≤≤≤≤Ω∴=0,0,10:,∴原式⎰⎰⎰=10x xyzdz dy dx =3616.计算222()I x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰，其中c b a z y x czb y a x ,,.0,,,1:≥≤++Ω都是正常数. 解： 60)1(213022)(022abc dz c z z ab dxdy dz z dxdydz z cz D c =-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω同理60,603232c ab dxdydz y bc a dxdydz x ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ， ∴)(60)(222222c b a abc dxdydz z y x ++=++⎰⎰⎰Ω。
华东理工高等数学作业本第1次作业答案
华东理工高等数学作业本第1次作业答案第3章（之3）第15次作业教学内容: §3.3.1 00型3.3.2 ∞∞型1. 填空题*（1）若0≠p ，则px px xx x cos sin 1cos sin 1lim0-+-+→________=.解：p 1.**（2）_______)e1ln()e 1ln(lim11=+--+-∞→x x x .解：2e -。
2. 选择题。
**（1）若)()(limx g x f x x →是00待定型，则“Ax g x f x x =''→)()(lim 0”是“Ax g x f x x =→)()(lim 0”的（ B ）（A ）充要条件； (B)充分条件，非必要条件；（C ）必要条件，非充分条件； (D) 既非充分条件，也非必要条件.**（2）若)()(limx g x f x x →是∞∞的未定型，且Ax g x f x x =''→)()(lim 0，则=→)(ln )(ln lim 0x g x f x x（ B ）（A ）A ln ；（B ）1； (C)2A ； (D)21A.***3 求极限 xx x xxx arctan 3 3e2elim220---+-→.解：原式= =+----→2201116e2e2limxxxxx 2203e elim2xxx xx ---→xxxx 23e e2lim220-+=-→31ee4lim20=-=--→xxx .4 求下列极限:**（1）+→0lim x )0()sin ln()sin ln(>>a b bx ax ； **（2）∞→x lim)43ln()35ln(236+-++x x x x .解：（1）原式bxa x cos cot lim+→=ax b bxa x tan tan lim+→=1=.（2）)431ln(ln )751ln(ln lim 22636x x x x x x x +-++++=∞→原式=++++-+→∞limln()ln ln()ln x x xxx x x 3157113436222=3.****5. xex x x -+→1)1(lim.解： ])1[(lim )00()1(lim 10'+=-+→→xx x x x x e x 210)1()1)](1ln()1([lim x x x x x x x x ++++-=→2]21)1ln(1lim[])1ln()1(lim[02e xx e xx x x e x x -=-+-=++-=→→.***6. 若已知()x f '在0=x 连续，且有()00=f ，2)0(='f ，求极限()()[]2limxx f f x f x ?→.解：xx f f xx f xx f f xx f xx f f x f x x x x )]([lim)(lim)]([)(lim)]([)(lim2→→→→?=?=?82)]0('[)]0('[)0(')('1)](['lim1)('lim3320===?=??=→→f f f x f x f f x f x x .***7. 设()x f 具有2阶连续导数，且()00=f ，试证()x g 有1阶连续导数，其中()()()??=≠=.0,0,0,'x f x xx f x g证明：依题意，当0≠x 时，2)()(')('xx f x x f x g -?=均连续.故只需证明 )0(')('lim 0g x g x =→ 即可.由导数定义，有)0("212)0(')('lim)0(')(lim)0(')(lim0)0()(lim)0('02f xf x f xxf x f xf xx f x g x g g x x x x = -=-=-=--=→→→→又)0(')0(''212)(')(')(''lim)()('lim)('lim 020g f xx f x f x x f xx f x x f x g x x x == -+=-=→→→.故命题得证.。
高等数学下册作业本答案
0
，q =
-1
.
3.微分方程 y′′ − 2 y′ + y =0 满足条件 y = 4, y′ = −2 的特解为 y= (4 − 6x)ex . =x 0=x 0
4.微分方程 y′′ − 2 y′ + 5y = 0= 的通解为 y ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x) .
= 5.以 y ex (C1 sin x + C2 cos x) 为通解的二阶常系数线性微分方程为 y′′ − 2 y′ + 2 y = 0 .
0
0
y = f (x) ，即 y′′ − y = 0 ，对应的特征方程为 r 2 −1 = 0 ，特征根 r1 = 1, r2 = −1，所以通解
为 y = C1ex + C2e−x ，又 f (0) = 0 ， f ′(0) = 0 ，代入得 C1 = 0, C2 = 0 ,故 f (x) = 0 .
第六章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念
一、单项选择题
1. 下列各式中是常微分方程的为
B.
A. y2 + y =3 B. y′′ + y2 = y′ C. xy′ + y =(xy)′
D. x + z′x + z′y =y
2. 函数 y= C − x ( C 为任意常数)是微分方程 xy′′ − y′ = 1的 C .
y = C1ex + C2e4x ，由于 λ = 1 是特征方程的一个根，可设 y*(x) = axex 为原方程的一个特
解，代入得
a
=
−2 3
，所以
y*(x)
=
− 2 ex 3
，所以通解为
东北农业大学经济类高等数学作业本及答案
经济类高等数学作业本班级：姓名：学号：数学系第一章 函数一、作业题1．求下列函数的定义域 （1）2322+-=x x x y （2）()x y lg 1lg -=2．设()⎩⎨⎧≤<-≤≤=21,210,1x x x f ，()3+=x x g ，求()()x g f 和()()x f g 。
3．将下列复合函数分解为简单函数： （1）xy 1sin = （2）)1arccos(2x y -=（3）1ln2+=x y （4）)5(cos 23x y =4．要做一个容积为300立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。
二、练习题 1．填空（1）()δ,a U表示的集合为___________；（2）函数)3arcsin(-=x y 的定义域是________________________； （3）函数1142-+-=x x y 的定义域是________________________； （4）若()12323+-=x x x f ，则()()=-∆+x f x x f __________________； （5）设1)(-=x xx f ，则{}=)]([x f f f _________________________； （6）设()xx x f -=3，()xx 2sin =ϕ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛12πϕf =__________________； （7）设函数()y f x =的定义域是[0,1]，则函数)()(a x f a x f -++)210(<<a的定义域为___________； （8）设()1312-+-=x x x f ，则()x f 在[]1,0上的最大值为___________；最小值为___________；（9）函数()x xx x f +-=11lg 的奇偶性为___________； （10）函数2332+-=x x y 的反函数是___________。
高数练习册答案(完整版)
高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y（2）解 由11+-=x x y 得 y y x -+=11 交换x 、y 得反函数为xxy -+=114．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义 （2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w wv v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u uv v yx w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解 设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加 三．计算题1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π=得23rv h π= 表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四 证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=---习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错 四．（1） 证明 令12+=n nx n ε<=<+=-nn n n n x n 11022只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01lim2=+∞→n nn（2）证明 因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有 2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错； 四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→xxxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n nn n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1sin ≤x 所以 0sin lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０ 三、1.（1）0sin 77limtan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++解： （4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n n n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式 （2）()1()1111lim(1)lim 1xx x x x x e ---•-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式=（3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-•---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e •→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n nn n n n n nn•→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四．1.证明：2......n n n π<+<+1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。
(完整版)高等数学习题册答案华东师大Ch8Differentialofmultivariablefunctions
第8章 多元函数微分学及其应用参考解答1、设22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求(),f x y ，(),f x y xy -。
解：()()()()221,1yy x y x f x y x y x y x y x y y x x y x--⎛⎫+=+-=+=+ ⎪+⎝⎭+，故得 ()21,1y f x y x y -=+，()()21,1xyf x y xy x y xy--=-+ 2、求下列各极限：22422222220000cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。
本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。
()00sin sin (2) lim lim 1x t y axy t xy t →→→==3、证明极限22400lim x y xy x y →→+不存在。
证明：当2y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故222420lim 1y kx x xy kx y k =→=++与k 有关。
可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。
（两路径判别法）4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性：（1）()()()22222222ln , 0,0, 0x y x y x y f x y x y ⎧+++≠⎪=⎨+=⎪⎩解：()()()()()()()()2222,0,0,0,0lim,limln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→=++===故原函数在()0,0点处连续。
（2）()2222222, 0,0, 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩解：22222lim1y kx x xy kx y k =→=++与k 有关，故原函数在()0,0点处的极限不存在，因而在该点不连续。