近邻法
第四章近邻法则和聚类
当P(ωm| X)接近于1，即当最小错误概率非常小时，近邻 法则的结果和最小错误率的Bayes法则的结果几乎相同， 而其错误率也比较小，这说明两种方法同样“好”。 而当各类的后验概率接近于 时，两种决策规则的分类 结果就相差比较大了，但两者的错误率都接近 1 1 ， c 说明两种方法同样“坏”。 虽然需要更详细的理论分析，但粗略的感觉是 ：最近邻 法则有比较好的结果并不是偶然的。
1 c
4.1.2 K-近邻法则
最近邻法可以扩展成找测试样本的k个最近样本作决策依据的 方法。其基本规则是，在所有N个样本中找到与测试样本的k个最 近邻者，其中第个个类别所占个数为gi(X),i＝1，…，c，决策规 则：
gi ( x) 则决策X∈ω 。 如果gj ( x) max i j
k近邻一般采用k为奇数， 跟投票表决一样，避免 因两种票数相等而难以 决策。
譬如A类有10个训练样本，因此有10个模板，B类有8 个训练样本，就有8个模板。任何一个待测试样本在分类时 与这18个模板都算一算相似度，如最相似的那个近邻是B类 中的一个，就确定待测试样本为B类，否则为A类。因此原 理上说近邻法是最简单的。 但是近邻法有一个明显的缺点就是计算量大，存储量 大，要存储的模板很多，每个测试样本要对每个模板计算一 次相似度，因此在模板数量很大时，计算量也很大的。那么 有一个如此明显缺点的方法还有没有存在的必要性呢？这就 要看其是否有优点，所以对近邻法的优点也要弄清楚。结论 是:在模板数量很大时其错误率指标还是相当不错的。这就 是说近邻法有存在的必要。
当最近邻法所使用的训练样本数量 N不是很大时，其错误率是带有偶 然性的。图中所示一维特征空间中 两类别情况。X表示一特测试样本， 而X'是所用训练样本集中X的最邻 近者，则错误是由X与X'分属不同 的类别所引起的。由于X'与所用训 练样本集有关，因此错误率有较大 偶然性。
k近邻算法的发展
k近邻算法的发展
k近邻算法的发展如下：
k近邻算法最初是由Cover和Hart在1967年提出的，也称为k-最近邻法（k-NN）。
它的基本原理是：对于样本数据集合中每个数据都存在标签，输入没有标签的新数据后，将新的数据的每个特征与样本集中数据对应的特征进行比较，然后算法提取样本最相似数据（最近邻）的分类标签。
k近邻算法在Cover和Hart提出后，并没有受到太多关注。
直到1984年，Devroy和Lloyd重新独立地发现了k近邻算法，并将其应用到英国的邮政编码分类问题上，取得了良好的效果。
之后，k近邻算法得到了广泛的应用和发展。
如今，k近邻算法已经成为了机器学习中最常用的算法之一，被广泛应用于分类和回归问题中。
同时，k近邻算法也在数据挖掘、自然语言处理、图像处理等领域得到了广泛的应用。
k近邻法的三个基本要素
k近邻法的三个基本要素k近邻法是一种基本的分类和回归方法，在机器学习领域被广泛应用。
它的三个基本要素是样本集、距离度量和k值的选择。
一、样本集（Sample Set）样本集是指已经分好类的样本数据集合。
k近邻法通过计算未知样本与已知样本的距离来确定其所属类别。
因此，已知样本的质量和分布对分类效果有很大的影响。
在构建样本集时，需要注意以下几个方面：1.样本的多样性：样本应该代表不同的类别和特征，以确保模型的泛化能力。
2.样本的数量：样本数量越多，模型的训练效果越好，但也需要考虑时间和计算资源的限制。
二、距离度量（Distance Measurement）距离度量是k近邻法的核心，用于衡量未知样本与已知样本之间的相似性。
常用的距离度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离和闵可夫斯基距离。
1. 欧氏距离（Euclidean Distance）：也称为直线距离，是最常用的距离度量方法。
欧氏距离定义为两个样本在各个维度上差值的平方和的开方。
2. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：也称为城市街区距离，是指两个样本在各个维度上差值的绝对值之和。
3. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）：是欧氏距离和曼哈顿距离的推广形式。
闵可夫斯基距离定义为各个维度上差值绝对值的k次方和的k次方根。
选择合适的距离度量方法需要根据具体的问题和数据集来确定。
不同的距离度量方法可能对模型的性能和预测结果产生影响。
三、k值的选择（Choice of k）k值是指在分类中选择距离未知样本最近的k个已知样本，并根据它们的类别进行投票决定未知样本的类别。
k值的选择对模型的性能和鲁棒性有很大的影响。
选取过小的k值可能会导致模型过于敏感，无法很好地捕捉数据的整体特点。
而选取过大的k值可能会导致模型过于保守，无法区分较为复杂的样本。
一般来说，k值的选择需要考虑以下几个方面：1.样本的分布：如果样本之间的分布较为紧密，可以选择较小的k值，以捕捉其细微的差异。
近邻分类法
对“data3.m”数据，采用剪辑法、压缩法生成参考集，近似描绘其决策面，并用所有数据测试其分类效果。
1.近邻法算法：
近邻法NN(nearest neighborhood)的基本思想是：以全部训练样本作为代表点，计算测试样本与这些代表点的距离，即所有样本的距离，并以最近邻者的类别作为决策。最初的近邻法是由Cover和Hart与1968年提出的。
步骤3：结束过程。若Grabbag中所有样本在执行步骤2时没有发生转入Store的现象，或Grabbag已称空集，则算法终止，否则转入步骤2.
2.近邻法参考核心程序：
3.近邻法分类实验结果：
两分剪辑近邻法：
步骤1将原始样本随机分为两个集合：预测集T和参考集R，分别含有 和 个样本，设两个集合所含样本数量之比为 。来自预测集T合参考集R的样本分别完成考试和参考任务，相互独立。
步骤2对预测及T中的任一个样本 ，利用参考集R采用近邻对其进行分类决策，判定 所属类别为 ，而样本 自身实际所属类别为 ，如 和 不相同，则将不相容样本 从预测集T中删除，预测及T样本数量 减1。对预测集中所有样本依次进行判定，直至删除所有的不相容样本的，得到经过剪辑的考试样本集TE。
步骤1：初始化。Store是空集，原样本集存入Grabbag；从Grabbag中任意选择一样本放入Store中作为新样本集得第一个样本。样本集生成，在Grabbag中取出第i各样本用Store中的当前样本集按最近邻法。
步骤2：分类。若分类错误，则将该样本从Grabbag转入Store中，若分类正确，则将该样本放回Grabbag中。
步骤3利用经过剪辑的考试样本集TE，采用最近邻法对测试样本X做出分类决策。
重复剪辑近邻法：当采用两分剪辑近邻法，预测集T和参考集R所含的样本是由总样本随机产生的，剪辑只针对预测集T中的样本，而参考集R中的样本则经过剪辑。为进一步提高近邻法的分类性能，在样本数量足够多的情况下，可以针对所有样本重复地执行剪辑程序。
模式识别基础之近邻法
模式识别基础之近邻法近邻法是一种常用的模式识别方法，它通过测量不同对象间的相似性来进行分类。
本文将介绍近邻法的基本原理、应用领域以及优缺点。
一、基本原理近邻法是基于实例学习（instance-based learning）的一种算法。
它通过计算样本之间的距离或相似度来判断其归属类别。
简单来说，近邻法将新的样本与已有的样本进行比较，将其归类到与其最相似的样本所属的类别中。
在实际应用中，近邻法通常是通过计算样本之间的欧氏距离或余弦相似度来进行分类。
欧氏距离是指在坐标系中两点之间的直线距离，而余弦相似度是指两个向量之间的夹角的余弦值。
根据距离或相似度的大小，近邻法将样本进行分类。
二、应用领域1. 图像识别近邻法在图像识别领域有着广泛的应用。
通过计算图像的特征向量之间的相似度，可以实现图像分类、图像匹配等功能。
例如，当需要将一张未知图像分类到已知类别中时，可以通过计算未知图像与已知图像的特征向量之间的相似度来判断其归属类别。
2. 文本分类在文本分类任务中，近邻法也是一个常用的算法。
通过计算文本之间的相似度，可以实现文本的自动分类。
例如，当需要将一篇未知文本归类到已有类别中时，可以计算未知文本与已有文本之间的相似度，并将其归类到相似度最高的类别中。
3. 推荐系统近邻法在推荐系统中也得到了广泛的应用。
通过计算用户之间的兴趣相似度，可以为用户推荐符合其兴趣的物品。
例如，在电商平台上，通过计算用户购买记录或点击行为之间的相似度，可以为用户推荐与其兴趣相似的商品。
三、优缺点1. 优点近邻法具有以下优点：- 简单直观：近邻法的原理简单易懂，容易实现和解释。
- 非参数化：近邻法不对数据的分布做任何假设，适用于任何类型的数据。
- 灵活性强：近邻法适用于多种应用场景，可以根据实际需求进行定制。
2. 缺点近邻法也存在一些缺点：- 计算复杂度高：对于大规模的数据集，计算样本之间的距离或相似度可能会非常耗时。
- 依赖样本质量：近邻法受样本质量的影响较大，对于噪声数据或不均衡数据容易产生误分类。
matlab knn近邻法代码实现
MATLAB是一种强大的科学计算软件，其具有丰富的工具箱和功能，可以帮助科研人员和工程师进行数据分析、算法设计和模型仿真等工作。
KNN（K-Nearest Neighbors）近邻法是一种常用的机器学习算法，它基于特征空间中的样本进行分类、回归和模式识别。
在本文中，我们将介绍如何使用MATLAB实现KNN近邻法，并给出相应的代码示例。
1. 数据准备在使用KNN算法之前，首先需要准备好样本数据。
假设我们有一个包含N个样本的数据集X，每个样本有M个特征。
另外，我们还需要准备一个包含N个类别标签的向量Y，用于表示每个样本的类别。
在MATLAB中，可以通过以下代码来生成示例数据：```m生成示例数据N = 100; 样本数量M = 2; 特征数量K = 3; 邻居数量X = rand(N, M); 生成N个样本，每个样本包含M个特征Y = randi([1, 3], N, 1); 生成N个随机的类别标签```2. KNN算法实现接下来，我们将使用MATLAB实现KNN算法，并用其对样本数据进行分类。
KNN算法的基本思想是，对于给定的未知样本，找出与其距离最近的K个已知样本，然后通过多数表决的方式来确定未知样本的类别。
在MATLAB中，可以通过以下代码来实现KNN算法：```mKNN算法实现function result = knn_classify(X, Y, x, k)N = size(X, 1); 样本数量distances = sqrt(sum((X - x).^2, 2)); 计算未知样本与已知样本的距离找出距离最近的K个样本[~, index] = sort(distances);knn_labels = Y(index(1:k));统计K个样本中类别出现的次数unique_labels = unique(Y);label_count = histc(knn_labels, unique_labels);多数表决确定类别[~, result] = max(label_count);end```3. 使用KNN算法进行分类有了KNN算法的实现之后，我们可以用它对样本数据进行分类，并观察其分类结果。
k-近邻法求解互信息的计算过程
K-近邻法是一种常用的机器学习算法，它在分类和回归问题中有着广泛的应用。
而互信息是一种用于衡量两个随机变量之间关联性的指标，它在特征选择、信息检索等领域具有重要的作用。
本文将以k-近邻法为基础，探讨如何利用k-近邻法来求解互信息的计算过程。
1. 什么是K-近邻法K-近邻法（K-nearest neighbors, KNN）是一种基本的分类与回归方法。
在K-近邻法中，对于一个未知样本，通过计算它与训练集中所有样本的距离，然后选择与它距离最近的k个样本，最后根据这k个样本的类别来对该未知样本进行分类或回归预测。
2. 什么是互信息互信息（Mutual Information, MI）是信息论中的一个重要概念，用于衡量两个随机变量之间的相关性。
互信息的定义如下：对于离散型随机变量X和Y，其联合概率分布为P(X, Y)，边缘概率分布分别为P(X)和P(Y)，则X和Y的互信息I(X; Y)定义为：I(X; Y) = ΣΣP(X, Y)log(P(X, Y) / (P(X)P(Y)))对于连续型随机变量X和Y，互信息的定义稍有不同，这里不做详细展开。
3. K-近邻法与互信息的关联K-近邻法的关键在于样本之间的距离度量，通常使用的距离度量有欧氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离等。
而互信息则可以用于衡量两个随机变量之间的关联程度。
我们可以利用K-近邻法来近似计算互信息。
4. K-近邻法求解互信息的计算过程我们假设有两个随机变量X和Y，它们分别有n个样本。
现在，我们希望利用K-近邻法来计算它们之间的互信息。
步骤一：计算X和Y的联合概率分布在K-近邻法中，我们需要计算样本之间的距离。
对于X和Y的每一个样本Xi和Yi，我们可以根据它们的特征值计算它们之间的距离，得到一个距离矩阵。
假设我们选择欧氏距离作为距离度量，那么对于Xi和Yi，它们之间的距离可以表示为：d(Xi, Yi) = sqrt(Σ(Xij - Yij)^2)其中，Xij和Yij分别表示Xi和Yi的第j个特征值。
哈工大模式识别课程7近邻法
，则
不可能是 不可能是 中的样本到
的最近邻。 的最近邻。 的
17
：当前已经涉及到的样本集 最 近距离。 近距离。
【搜索算法的基本思想 】
搜索算法的大体过程是这样的： 搜索算法的大体过程是这样的： 当搜索树形样本 集结构由高层次向低层次深入时， 由高层次向低层次深入时 集结构由高层次向低层次深入时，对同一层次的 所有结点，可以利用规则 规则1排除掉一些不可能包含 所有结点，可以利用规则 排除掉一些不可能包含 待识别样本的近邻的结点(样本子集 样本子集)。 待识别样本的近邻的结点 样本子集 。但是这往往 不能做到只留下唯一的待搜索结点，因此必须选 不能做到只留下唯一的待搜索结点，因此必须选 择其中某一结点先深入搜索， 择其中某一结点先深入搜索，以类似于深度优先 的方法确定搜索路径直至叶结点。 的方法确定搜索路径直至叶结点。然而在该叶结 点中找到的近邻并不能保证 不能保证确实是全样本集中的 点中找到的近邻并不能保证确实是全样本集中的 最近邻者， 最近邻者，所找到的该近邻样本需要在那些有可 能包含最近邻的样本子集中核对与修正，直至找 能包含最近邻的样本子集中核对与修正， 核对与修正 到真正的最近邻样本为止。 到真正的最近邻样本为止。
23
【基本步骤】
两分剪辑近邻法 假定样本集被分为两个独立的样本集-考试集和参考集，分别对 假定样本集被分为两个独立的样本集-考试集和参考集， 应于错误率估计中的考试集和设计集。 应于错误率估计中的考试集和设计集。 剪辑： 剪辑：利用参考集的中样本对考试集的每个样本利用最近邻法 进行分类决策，剪辑掉那些被参考集中样本错分类的样本， 进行分类决策，剪辑掉那些被参考集中样本错分类的样本， 然后将参考集中剩余样本构成剪辑样本集。 然后将参考集中剩余样本构成剪辑样本集。
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则有Bayes条件错误率
P * (e | x) 1 P(m | x)
因此 P* P * (e | x) p ( x) dx
对于两类问题，由前面公式
N
lim PN (e | x) 1 P (i | x)
2 i 1
2
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
图4.14示出近邻法的上下界。一般地，最 近邻法的错误率落在图中的阴影区域 中。 c类别最近邻
分类器可能 渐近误差率
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
可以证明以下关系式成立
c P* P P * (2 P*) c 1
其中P*为贝叶斯错误率，c为类数。
上式实际上给出了最近邻法渐近平均错 误率P的范围，指出它在Bayes错误率P* c 和 P * (2 P*) 之间。 c 1
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
c i 1
知样本x，只要比较x与 N N i 个已知类 别的样本之间的欧氏距离，并决策x与离 它最近的样本同类。
4.5.1最近邻法
二、最近邻法的错误率分析
近邻法的错误率很难计算，因为训练样本集的 数量总是有限的，有时多一个少一个训练样本 对测试样本分类的结果影响很大。如图中所示
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
P* P * (e | x) p(x)dx [1 P(m | x)] p(x)dx 0
此时P = P*。
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
⒉在P(ωi|x) =1/c,（i =1，2，…，c）时，即 各类后验概率相等的情况，有
c 1 1 P [1 ] p(x)dx c i 1 c
⑶ 除m外，其它后验概率都相等，即 P(i | x) A ，i =1，2，…，c； i ≠m
2 P 满足时 (i | x) 达到极小。 i 1 c
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
根据第二个约束条件，有
P( | x) (c 1)P( | x) P * (e | x)
N
lim p (x' | x) (x' x)
当说有N个独立抽取并有类别标记的样本 时，意思是说有N对 (x1,1 ), (x2 ,2 ),, (x N , N )
随机变量其中xi是独立抽取的样本， i 是xi 的类别标记，且 i 是c个类别状态ω 1， ω 2，…，ω c之一。
c 证明P的上界是 P * (2 P*) c 1
仍然考虑下式
P [1 P (i | x)] p(x)dx
2 i 1
c
并已知Bayes条件错误率 P*(e|x)=1－P(ωm|x)
以上两式表明：对已知的 P(ωm|x)， c 2 P (i | x) 的最小值对应于P的最大值。
x 's
这样，一个样本落在s外的概率为(l-Ps)， N个独立样本x1，x2，…，xN落在s外的概 率为
P(x1，x2，…，xN) = (1-Ps)N
当N → ∞时，这一概率趋于零。
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
由于s可以任意小，所以N → ∞时，x’落在以x 为中心无限小区域中的概率趋于l。 就是说x’以概率为l收敛于x，从而
其中 x 中的第k个。按照上式。决策规则可以写为
k i 的角标i表示ωi类，k表示ωi类Ni个样本
i
4.5.1最近邻法
一、最近邻决策规则
g i (x)，i 1， 2， ，c 若 g j (x) min i
则决策
x ∈ω j
这一决策方法称为最近邻法。 其直观解释是相当简单的，就是说对未
当最近邻法所使用的训练样本数量 N 不是很大 时，其错误率是带有偶然性的。为了说明这一 点用如图所示一个在一维特征空间的两类别情 况来讨论。
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
当最近邻法应用于特定的一组样本时，所得
到的错误率与样本的偶然性有关。 特别是用不同组的N个样本对x进行分类的话， 则x的最近邻可能是不相同的x’。 由于决策完全取决于该最近邻样本，所以条 件错误率是 PN(e|x,x’)，它同 x 和 x’ 都有关系。 若对x’取平均，得给定x时的条件错误率
4.5 近 邻 法
4.5.1最近邻法 4.5.2 k-近邻法 4.5.3 最佳距离度量近邻法
4.5 近 邻 法
4.5.1最近邻法
一、最近邻决策规则 最近邻分类是假定有c个类别ω1，ω2，…， ωc的模式识别问题，每类有标明类别的 样本Ni个， i=1,2，……，c 规定ω i类的判别函数为 k g i (x) min || x xi ||，k 1,2,, N i
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
从式中可见在一般情况下只要P(ω1|x)＞
P(ω2|x)＞0，△P是大于零的值。
在两种例外情况下△P＝0：
P(ω1|x)＝1
或P(ω1|x)＝P(ω2|x)＝1/2。
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
特例
⒈在P(ω m|x)=1时，
P [1 1] p (x)dx 0
i 1
P *2 P *2 (e | x) p (x)dx
c
及上述结果，可得
P [1 P 2 (i | x)]p(x)dx
i 1 c
c [ 2 P * (e | x ) P *2 (e | x) p(x)dx c 1 c 2 2 P * (e | x) p(x)dx P * (e | x) p(x)dx c 1 c c 2 2P * P * P * (2 P*) c 1 c 1
4.5 近 邻 法
利用每一类的“代表点”设计分段线性分类器 问题是最简单而直观的设计方法，这类方法的 缺点是所选择的“代表点”不一定能很好地代 表各个类，其后果是使所设计分类器的错误率 增加。
将各类中全部样本都作为“代表点”进行决策 的方法称为近邻法。 近邻法是模式识别非参数法中最重要的方法之 一。
i 1
c
1 P(i | x) P(i | x' )
i 1
c
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
N
lim PN (e | x, x' ) 1 P (i | x)
2 i 1
c
N
lim PN (e | x) lim PN (e | x, x' ) P(x' | x)dx'
i m i i
P * (e | x) ，i m P(i | x) c 1 1 P * (e | x)，i m
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
2 2 2 P ( | x ) P ( | x ) P i (i | x) m i 1 im 2 P * (e | x ) 2 [1 P * (e | x)] 2 ( c 1 ) im 2 P * (e | x ) 2 [1 P * (e | x)] c 1 c 1 2 P * (e | x ) P *2 (e | x) c 1 c
PN (e | x) PN (e | x, x' ) p(x' | x)dx'
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
其中条件概率密度p(x’|x)的确切表达式是难以 得到的。但按定义x’应为x的最近邻，所以可 以设想该密度在x附近尖峰凸起，而在其它地 方则较小。
就是说在已知x条件下，x的最近邻x’在x附近 概率密度最大，这显然是合理的。
E[P*(e| x)] = P* 根据方差定义有
D[ P * (e | x)] [ P * (e | x) P*]2 p(x)dx P * (e | x) p(x)dx P * 0
2 2
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
即
根据错误率公式 P [1 P 2 (i | x)]p(x)dx
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
假定抽取一对(x， )并假定标以 ' 的x’是 x的最近邻。由于抽出x’时，它的类别状态 和x无关，因此有
P( , ' | x, x' ) P( | x) P( '| x' )
采用近邻规则的条件错误率就是
PN (e | x, x' ) 1 P( i , ' i | x, x' )
i 1
4.5.1最近邻法 二、最近邻法的错误率分析
若记
2 2 2 P ( | x ) P ( | x ) P i (i | x) m i 1 im
c
则在以下约束条件 ⑴ ⑵
i m i
P(i | x) 0
P( | x) 1 P(
m
| x) P * (e | x)
可得
N
lim PN (e | x) 1 P (1 | x) P (2 | x)
2 2
将上式减去贝叶斯错误率
P * (e | x) 1 P(1 | x)
可得
P P(1 | x)[1 P(1 | x)] P (2 | x)