苏锡常镇四市2020年二模

苏锡常镇四市2020届高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考公式：样本数据12n x x x L ，，，的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑． 球的体积34π3V R =，其中R 表示球的半径．柱体的体积V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知i 为虚数单位，复数11z i =+，则｜z ｜= ．2.已知集合A ={x ｜0≤x ≤1}，B ={x ｜a -1≤x ≤3}，若A ⋂B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ． 3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ．4.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为23y x=，则a = ．5.甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 ．6.右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 ．（第6题图）7.“直线l 1:ax +y +1=0与直线l 2:4x +ay +3=0平行”是“a =2”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=9，9595S S -＝－4，则a n = ．9.已知点M 是曲线y =2ln x +x 2-3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ．10.已知3cos2α＝4sin(π4－α)，α∈(π,π4)，则sin2α= ．11.如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB =1，BC =2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．12.在∆ABC 中，()AB AC BC λ-⊥u u u r u u u r u u u r （1λ>），若角A 的最大值为π6，则实数λ的值是 ．13.若函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1<m <n )，则a 的取值范围是 ．14.如图，在∆ABC 中，AB =4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE =2EC ，CD 与BE 交于点O ，若OBOC ，则∆ABC 面积的最大值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（本小题满分14分）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且满足b cos Aa sin B =0 （1）求A ；（2）已知a =，B =3π，求∆ABC 的面积.EDCBA （第11题图）（第14题图）16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥BC，∆PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点.（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC.17.（本小题满分14分）某地为改善旅游环境进行景点改造.如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）.（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标.18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12，且经过点（1，32），A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若∆AEF与∆BDF的面积比为1:7，求直线l的方程.19.（本小题满分16分）已知函数f (x )=23x 3-mx 2+m 2x （m ∈R ）的导函数'()f x（1）若函数g (x )=f (x )- '()f x 存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数h (x )= '()'(ln )x f e f x +f '(ln x )（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式h (x )≥m 2+k 2在（0，＋∞）上恒成立，求正整数k 的取值集合.20.（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足（1）若a n =n ，b n =2n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；（2）若数列{a n }为等差数列，且对任意n ∈N *，c n +1>c n 恒成立.①当数列{b n}为等差数列，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由.2019年~2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）A.选修4-2；矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．B.选修4-4；坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标．22.（本小题满分10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）。

抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.23.（本小题满分10分）已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学I一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知i 为虚数单位，复数11iz =+，则z ＝ ．答案：2考点：复数解析：111i 1i 22z z ==-⇒=+ 2．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A I B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．答案：2考点：集合交集运算解析：由题意知a ﹣1＝1，得a ＝2．3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是 ． 答案：0.08 考点：方差解析：首先求得2x =，2222221[(1.62)(1.82)(22)(2.22)(2.42)]0.085S =-+-+-+-+-=．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝ ．答案：3考点：双曲线的渐近线 解析：由题意知：223a =，∴a ＝3． 5．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是 ． 答案：56考点：概率解析：乙不输包括乙获胜或和棋，故P ＝13＋12＝56． 6．右图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为 ．答案：6考点：算法与流程图解析：第一次：x ＝4，y ＝16， 第二次：x ＝5，y ＝32，第三次：x ＝6，y ＝64，此时64＞10×6＋3，输出x ，故输出x 的值为6． 7．“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）． 答案：必要不充分考点：两直线平行，充要性解析：“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”等价于a ＝±2，故“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的必要不充分条件．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝ ． 答案：211n -+考点：等差数列及其性质 解析：29(1)(1)10211nn n S n S n n a n n=+--⇒=-+⇒=-+． 9．已知点M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2﹣3x 上一动点，当曲线在M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为 ． 答案：3y x =-考点：导数与切线，基本不等式解析：223M Mk x x =+-，M x ＝1时有最小值1，此时M(1，﹣2)， 故切线方程为：21y x +=-，即3y x =-． 10．已知3cos 24sin()4παα=-，α∈(4π，π)，则sin 2α＝ ． 答案：19-考点：两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数，同角三角函数关系式解析：∵3cos 24sin()4παα=-，∴3(cos sin )(cos sin )sin )αααααα+-=-，则sin cos 3αα+=，1sin 29α=-． 11．如图在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2．分别以A ，D 为圆心，1为半经作圆弧EB ，EC ，将两圆弧EB ，EC 及边BC 所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD 旋转一周，所形成的几何体的体积为 ．答案：23π 考点：圆柱与球的体积 解析：234213133V πππ=⋅-⋅=． 12．在△ABC 中，(AB AC λ-u u u r u u u r )⊥BC uuu r (λ＞1)，若角A 的最大值为6π，则实数λ的值是 ． 答案：3考点：平面向量数量积解析：22(AB AC)(AB AC)(1)cos A 0c b bc λλλ-⋅-+=--++=u u u r u u u r u u u r u u u r1cos A ()112b c c b λλλ=+≥=++，解得λ＝3． 13．若函数()xf x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是 ． 答案：(1，2ee ) 考点：函数与导数综合解析：由题意知：()xf x a =与2y x =的图像在(1，+∞)上恰有两个交点考查临界情形：0x y a =与2y x =切于0x ，0022200000(1,)ln 2x e e xa x a e a e a a x ⎧=⎪⇒=⇒∈⎨=⎪⎩． 14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，E 在边AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE交于点O ，若OBOC ，则△ABC 面积的最大值为 ．答案：考点：向量与解三角形、圆的综合解析：设32222CO CD CA CB CE CB λλλλλ==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rB ，O ，E 共线，则3122λλ+=，解得12λ=，从而O 为CD 中点，故OB =， 在△BOD 中，BD ＝2，OB =，易知O的轨迹为阿圆，其半径r =故42ABC BOD S S BD r =≤⋅=△△二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A sin B 0b =． （1）求A ；（2）已知a ＝B ＝3π，求△ABC 的面积．解：（1）由正弦定理：sin sin a bA B=，得：sin cos sin 0B A A B =B 为△ABC 内角，故sinB ＞0，所以cos A A =，若cos 0A =，则sin 0A =，与22sin cos 1A A +=矛盾，故cos 0A ≠，因此tan 3A =，又A 为△ABC 内角，所以6A π=； （2）由正弦定理得：sin 6sin aB b A ==，2C A B ππ=--=故12S ab == 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ； （2）证明：BE ⊥PC ．证明：（1）连结AC 交BD 于点O ，连结OE 因为四边形ABCD 为平行四边形 ∴O 为AC 中点，又E 为PC 中点， 故AP ∥OE ，又AP ⊄平面EBD ，OE ⊂平面EBD 所以AP ∥平面EBD ；（2）∵△PCD 为正三角形，E 为PC 中点 所以PC ⊥DE因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD I 平面ABCD ＝CD ，又BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥CD ∴BD ⊥平面PCD又PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BD又BD I DE ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE故PC ⊥平面BDE 又BE ⊂平面BDE ，所以BE ⊥PC ．17．（本小题满分14分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．解：（1）以A 为原点，l 1为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建系 由题意知：B(1，0.5)，设抛物线方程为22x py = 代入点B 得：p ＝1，故方程为22x y =，x ∈[0，1]；（2）设，2t )，t ∈[0]，作PQ ⊥l 3于Q ，记∠EPQ ＝α，∠FPQ ＝β1EQ =+，22PQ t =-，1FQ =-224222tan tan 2(2)22tan tan()121tan tan 231(2)t t t EPF t t t t αβαβαβ+---∠=+===---+-- 令232[2]2t x -=∈，，22t x =-，则：222221tan 3(2)212322x x EPF x x x x x x ∠===≤-+--++- 当且仅当3x x=即x =22t =t =故1，2)时视角∠EPF 最大， 答：1，2)时，视角∠EPF 最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12．且经过点(1，32)，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（其中D 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△AEF 与△BDF 的面积之比为1：7，求直线l 的方程．解：（1）设焦距为2c ，由题意知：222222222191443: 143112a ab x y b ac b C c c a ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⎪=-⇒=⇒+=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩； （2）由（1）知：F(﹣1，0)，设l ：1x my =-，D(1x ，1y )，E(2x ，2y )，2y ＜0＜1y1112221()372=713()()2BDFAEFa c y S y y y S y a c y +==⇒=----△△①，22221(34)6903412x my m y my x y =-⎧⇒+--=⎨+=⎩，2144(1)m =+V，122122122633493434m y y m m y m y y m ⎧+=⎪±⎪+=⇒⎨-+⎪=⎪+⎩，②③ 由①②得：2292(34)m y m -=+，1221002(34)my m m =>⇒>+， 代入③得：222221899164(34)349m m m m --=⇒=++，又0m >，故43m =， 因此，直线l 的方程为3344y x =+． 19．（本小题满分16分）已知函数3222()3f x x mx m x =-+(m ∈R)的导函数为()f x '． （1）若函数()()()g x f x f x '=-存在极值，求m 的取值范围；（2）设函数()(e )(ln )xh x f f x ''=+（其中e 为自然对数的底数），对任意m ∈R ，若关于x 的不等式22()h x m k ≥+在(0，+∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合． 解：（1）因为3222()3f x x mx m x =-+，所以22()22f x x mx m '=-+， 所以32222()()()(2)(2)3g x f x f x x m x m m x m '=-=-+++-， 则22()22(2)2g x x m x m m '=-+++，由题意可知224(2)8(2)0m m m ∆=+-+>，解得(2,2)m ∈-； （2）由（1）可知，22()22f x x mx m '=-+， 所以222()222(ln )2ln 2xx h x e me x m x m =-+-+因为22222()222(ln )2ln 2xx h x eme x m x m m k =-+-+≥+整理得22222(ln )22(ln )0x xm e x m ex k -+++-≥，设()ln xH x e x =+，则1()0xH x e x'=+>，所以()H x 单调递增， 又因为11()1m m e H e e m m --=+->，且＋m ﹣1m e em -<，所以存在，使得()ln xH x e x m =+=，设2222()2(ln )22(ln )xxF m m e x m ex k =-+++-，则22min ()(ln )(ln )xxF m F e x e x k =+=+-， 设()ln xG x e x =-，则1()xG x e x '=-，21()xG x e x ''=+， 所以()G x '单调递增，因为1()202G '=<，(1)10G e '=->所以存在01(,1)2x ∈，使得0()0G x '=，即01x ex =， 且当0(0,)x x ∈时，()0G x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0G x '>， 所以()G x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0min 00001()()ln xG x G x e x x x ==-=+， 因为01(,1)2x ∈，所以00015()(2,)2G x x x =+∈， 又由题意可知22(())0G x k -≥，所以2222min 0(())(())0G x k G x k -=-≥，解得0()k G x ≤，所以正整数k 的取值集合为{1，2}． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，数列{}n c 满足n n n a n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数，为偶数，n N *∈．（1）若n a n =，2nn b =，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；（2）若数列{}n a 为等差数列，且对任意n N *∈，1n n c c +>恒成立．①当数列{}n b 为等差数列时，求证：数列{}n a ，{}n b 的公差相等；②数列{}n b 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{}n b ；若不能，请说明理由． 解：（1）因为n a n =，2nn b =，所以22n a a +-=，24n nb b +=且111c a ==，224c b == 由题意可知，数列{}21n c -是以1为首项，2为公差的等差数列， 数列{}2n c 是首项和公比均为4的等比数列，所以122(1)4(14)44221433n n n n n T n n +--=+⨯+=+--； （2）①设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公差为1d ，当n 为奇数时，1(1)n n c a a n d ==+-，1111n n c b b nd ++==+ 若1d d <，则当111a d b n d d-->-时，111()0n n c c d d n d a +-=-+-<，即1n n c c +<，与题意不符，所以1d d ≥，当n 为偶数时，11(1)n n c b b n d ==+-，111n n c a a nd ++==+， 若1d d >，则当1111b d a n d d -->-时，11111()0n n c c d d n a d b +-=-++-<，即1n n c c +<，与题意不符，所以1d d ≤，综上，1d d =，原命题得证；②假设{}n b 可以为等比数列，设公比为q ，因为1n n c c +>，所以21n n n c c c ++>>，所以220n n a a d +-=>，221n nb q b +=>， 因为当2141log (1)qdn b q >+-时，12221(1)(1)4n n n n b b b q b qq d -+-=-=⋅⋅->，所以当n 为偶数，且11n n n a b a -+<<时，213(,)n n n b a a +++∉，即当n 为偶数，且11n n n c c c -+<<时，123n n n c c c +++<<不成立，与题意矛盾， 所以数列{}n b 不能为等比数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，且二阶矩阵M 满足AM =B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量。