2018届苏锡常镇高三二模数学试卷
届苏锡常镇高三二模数学试卷及答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B = ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c b B b -=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ． 13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a 的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值；（2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC AB C -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11A C ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ；（2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =；（2）若2AB =，求线段CD 的长.B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ PA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 25 8. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+45=+35+=.（2）因为//a b sin()14a πα+=α(sin cos cos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=， 所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =， 又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ， 所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =， 所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，3CD =，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=， 则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ， 所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --， 设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---， ①1111111k k =---，1110k k +=无实数解； ②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即3sin sin()6παπα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=+cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan 3α=，得6πα=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP =∠∠3sin(())2ππαθ=---，sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θα-cos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tanα=记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=， 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ. 19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增，令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减，∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==.∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-.由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263j k iλμ+=⋅⋅，所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =.因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=， 又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =. B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =. C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ；所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>===，则CQ 与平面PBD （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQPAλλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D =，32D =， 49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+， 理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数。
2017-2018苏锡常镇二模及答案2018.5
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数 学 Ⅰ 试 题2018.5注意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 方差公式：222212[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-,其中12()n x x x x n=+++.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若复数z 满足(1i)2z +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为 ▲ ． 2．设集合{2,4}A =，2{,2}B a =（其中a < 0），若A B =，则实数a = ▲ ．3．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4)P -到抛物线28y x =-的准线的距离为 ▲ ．4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶 图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ． 5．右图是一个算法流程图，若输入值x ∈[0,2]，则输出值S 的取值范围是 ▲ ．6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ▲ ．7．已知函数()sin() (02)f x x ϕϕ=π+<<π在2x =时取得最大（第6题图）值，则ϕ= ▲ ．8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14ad= ▲ ． 9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为P A ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ▲ ．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan AB= ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(2,0)A ，若圆C 上存在点,M12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ▲ ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++⎪=⎨⎪>⎩，≤，，， 若存在实数c b a <<，满足)()()(c f b f a f ==，则)()()(c cf b bf a af ++的最大值 是 ▲ ．14．已知,a b 为正实数，且23()4()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ?ABCD 中，90ADB ∠=︒，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC ?BD ； （2）求证：CE ∥平面P AD ．▲ ▲ ▲16．（本小题满分14分）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，且2224)S a c b =+-． （1）求∠B 的大小；ABCDP E （第15题图）（2）设向量sin ()2,3cos A A =m ，3,2cos ()A =-n ，求m ·n 的取值范围．▲ ▲ ▲17．（本小题满分14分）下图（Ⅰ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（Ⅱ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ,CD 距离之比为21∶4，且P 对两塔顶的视角为135︒．（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．（本小题满分16分）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by ax A ， B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x轴于点M (x 1，0)，直线AC 与直线BD 交于点N (（1）求椭圆的标准方程；（2）若MD CM 2=，求直线l 的方程； （3）求证：12x x ⋅为定值. 19．（本小题满分16分）已知函数32()1f x x ax bx =+++，a b ∈R ，.（1）若02=+b a ，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且214k k =，求a b ，满足的关系式.▲ ▲ ▲ 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（第17题图（Ⅰ））（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列1{}2n b +为等比数列，求d 的值；（3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．▲ ▲ ▲2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题1. 1-2. 2-3. 44. 20.85. [0,1]6.14π7. 2π 8. 2 9. 10. 411. [ 12. 1,1] 13. 22e 12- 14. 二、解答题 15. 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO ，PO ，因为CD =CB ，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD ?CO ． 因为PB =PD ，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD ?PO ． 又PO ∩CO =O ，所以BD ?平面PCO ． 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC ?BD ． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO ∥PD ， 又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由∠ADB =90?，以及BD ?CO ，所以CO ∥AD ， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又COEO O =，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16. 解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b +-⨯，则sin B =，所以sin B B ．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B又0＜B ＜π，所以B =π3．（2）由向量m =(sin2A ,3cos A )，n =(3,?2cos A )，得m ·n =3sin2A ?6cos 2A =3sin2A ?3cos2A?3=()π24A -?3．由（1）知B =π3，所以A +C =2π3，所以0＜A ＜2π3．所以π24A -?()π13π,412-． 所以()πsin 24A -?(⎤⎥⎦．所以m ·n ??3]．即取值范围是?3]．17. 解（1）设)0(421>==t t BP t AP ，，，记,APB CPD αβ∠=∠=，则60206015tan tan 2174t t t tαβ====，， 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， 化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- （注：不写定义域扣1分） 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab.答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18. 解（1，焦点到对应准线的距离为1. 得221c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩，所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+. （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为12y x =+， ② 联立①②得212x x =， 从而12x x =2为定值. 解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-， ① 由B ,D ,N221y + 代入可得2x=②①和②相乘得，231231xx xy=-33332)2x y x==-+-.19. 解：（1）①由2()32f x x ax b'=++及02=+ba，得22()32f x x ax a'=+-，令()0f x'=，解得3ax=或ax-=.由0>a知，(,)()0x a f x'∈-∞->，，)(xf单调递增，(,)()03ax a f x'∈-<，，)(xf单调递减，(,)()03ax f x'∈+∞>，，)(xf单调递增，因此，)(xf的极大值为3()1f a a-=+，)(xf的极小值为35()1327a af=-.②当0a=时，0b=，此时3()1f x x=+不存在三个相异零点；当0a<时，与①同理可得)(xf的极小值为3()1f a a-=+，)(xf的极大值为35()1327a af=-.要使)(xf有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a+-<，即332715a a<->或.不妨设)(xf的三个零点为321,,xxx，且321xxx<<，则123()()()0f x f x f x===，3221111()10f x x ax a x=+-+=，①3222222()10f x x ax a x=+-+=，②3223333()10f x x ax a x=+-+=，③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x-+++-+--=，因为21x x->，所以222212121()0x x x x a x x a++++-=，④同理222332232()0x x x x a x x a++++-=，⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x-+-++-=，因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+，所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d-=时，3d =，符合题意；②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=，此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-， 由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式， 所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=， 如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA . 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ， 所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解 由2104xl l --=--， 得(2)()40x l l ---=的一个解为3， 代入得1x =-，因为2141轾犏=犏-臌M ，所以111662133-轾犏犏=犏犏-犏臌M . 21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=,cos()4a pq -=，得cos sin 0a r q r q +-=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=.依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-. 21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又m n >，解得13m =，1.4n =（2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=23. 解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C =+=++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=+-=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =. （2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的. 假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ，则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的. 下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--+=+02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++，显然(2)(2)f f --∈N*.2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-+=-=.。
2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷(解析版)
2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是．6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C 上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2（i是虚数单位），则z的虚部为﹣1．【解答】解：由（1+i）z＝2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．2．（5分）设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}（其中a＜0），若A＝B，则实数a＝﹣2．【解答】解：∵A＝{2，4}，B＝{a2，2}，且A＝B；∴a2＝4；又a＜0；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为4．【解答】解：抛物线y2＝﹣8x的准线方程为：x＝2，点P（﹣2，4）到抛物线y2＝﹣8x的准线的距离为：2+2＝4．故答案为：4．4．（5分）一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，则这五人成绩的方差为20.8．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这五人成绩的平均数为＝×（78+82+84+84+92）＝84，方差为s2＝×[（78﹣84）2+（82﹣84）2+（84﹣84）2+（84﹣84）2+（92﹣84）2]＝20.8．故答案为：20.8．5．（5分）如图是一个算法流程图，若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]．【解答】解：当x∈[0，1）时，S＝1，当x∈[1，2]时，S＝2x﹣x2∈[0，1]，综上可得：若输入值x∈[0，2]，则输出值S的取值范围是[0，1]，故答案为：[0，1]6．（5分）欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是．【解答】解：正方形的面积S＝1×1＝1，铜钱的半径为2，则铜钱的面积S＝π×22＝4π，则油恰好落入孔中的概率P＝，故答案为：7．（5分）已知函数f（x）＝sin（πx+φ）（0＜φ＜2π）在x＝2时取得最大值，则φ＝．【解答】解：函数f（x）＝sin（πx+φ）的周期为T＝＝2，x＝2时f（x）＝sin（2π+φ）＝sinφ取得最大值，由0＜φ＜2π，得φ＝．故答案为：．8．（5分）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则＝2．【解答】解：∵，∴10a1+d＝4×（5a1+d），化为：2a1＝d≠0．则＝2．故答案为：2．9．（5分）在棱长为2的正四面体P﹣ABC中，M，N分别为P A，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥P﹣MBD的体积为．【解答】解：如图：∵P﹣ABC为正四面体，且棱长为2，∴C在底面P AB的射影为底面三角形P AB的外心O，也是重心，则BM＝，BO＝，∴，又N为BC的中点，PD＝2DN，D到面P AB的距离为，而，∴．故答案为：．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且a cos B﹣b cos A＝c，则＝4．【解答】解：由a cos B﹣b cos A＝c及正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C，即sin A cos B﹣sin B cos A＝sin（A+B），即5（sin A cos B﹣sin B cos A）＝3（sin A cos B+sin B cos A），即sin A cos B＝4sin B cos A，因此tan A＝4tan B，所以＝4．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x+1）2+y2＝2，点A（2，0），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2≤10，则点M的纵坐标的取值范围是．【解答】解：如图，设M（x，y），由MA2+MO2≤10，得（x﹣2）2+y2+x2+y2≤10，∴（x﹣1）2+y2≤4，联立，解得或．∴点M的纵坐标的取值范围是[]．故答案为：[]．12．（5分）如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为[﹣1，1]．【解答】解：根据题意，以O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴建立坐标系，如图：设∠POA＝θ，则P的坐标为（cosθ，sinθ），0°≤θ≤90°，A（1，0），B（0，1），直线AB的方程为x+y＝1，设Q（m，n），由（cosθ+m）+（sinθ+n）＝1，＝1，解得m＝1﹣sinθ，n＝1﹣cosθ，即Q（1﹣sinθ，1﹣cosθ），＝cosθ（1﹣sinθ）+sinθ（1﹣cosθ）＝sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ，令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+45°），由θ+45°∈[45°，135°]，sin（θ+45°）∈[，1]，t＝sin（θ+45°）∈[1，]，又2sinθcosθ＝t2﹣1，＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣）2+在t∈[1，]递减，可得t＝1，取得最大值1，t＝时，取得最小值﹣1，则的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．13．（5分）已知函数，若存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f （b）＝f（c），则af（a）+bf（b）+cf（c）的最大值是2e2﹣12．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），∴a+b＝﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）＝（a+b+c）f（c）＝（c﹣6）lnc，由函数图象可知：＜c＜e2，设g（c）＝（c﹣6）lnc，则g′（c）＝lnc+1﹣，显然g′（c）在（，e2]上单调递增，∵g′（e）＝2﹣＜0，g′（e2）＝3﹣＞0，∴g′（c）在（，e2]上存在唯一一个零点，不妨设为c0，在g（c）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g（）＝（﹣6）＜0，g（e2）＝2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）＝2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12．14．（5分）已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则的最小值为．【解答】解：已知a，b为正实数，且（a﹣b）2＝4（ab）3，则：（a+b）2＝4（ab）3+4ab，所以：＝＝＝≥＝2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面P AD．【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．又PO∩CO＝O，所以BD⊥平面PCO．因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD．解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，又EO⊄平面P AD，所以EO∥平面P AD．由∠ADB＝90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面P AD，所以CO∥平面P AD．又CO∩EO＝O，所以平面CEO∥平面P AD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面P AD．16．（15分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且．（1）求∠B的大小；（2）设向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），求的取值范围．【解答】解：（1）由题意，△ABC中，有，则有，变形可得，所以．因为sin B≠0，所以cos B≠0，所以．又0＜B＜π，所以．（2）由向量＝（sin2A，3cos A），＝（3，﹣2cos A），则有•＝．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．17．（15分）如图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21：4，且P对两塔顶的视角为135°．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．【解答】解：（1）设AP＝21t，CP＝4t，（t＞0），记∠APB＝α，∠CPD＝β，则，由tan（α+β）＝tan45°＝＝＝1，化简得7t2﹣125t﹣300＝0，解得t＝20或t＝﹣（舍去），所以AC＝AP+PC＝25×20＝500．答：两索塔之间的距离AC＝500米．（2）设AP＝x，点P处的承重强度之和为L（x）．则L（x）＝60[+]，x∈（0，500），即L（x）＝60ab[+]，x∈（0，500），记t（x）＝+，t′（x）＝﹣+，令t′（x）＝0，解得x＝250，当x∈（0，250），t′（x）＜0，t（x）单调递减；当x∈（250，500），t′（x）＞0，t（x）单调递增，所以x＝250时，t（x）取到最小值，L（x）也取到最小值．答：两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为．18．（15分）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M（x1，0），直线AC与直线BD交于点N（x2，y2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：x1•x2为定值．【解答】（1）解：由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1．可得：＝，﹣c＝1，a2＝b2+c2，解得a＝，c＝1＝b．∴椭圆的标准方程为：+y2＝1．（2）解：由（1）知C（0，1），设D（x0，y0），∵，得2y0＝﹣1，∴y0＝﹣，代入椭圆方程得：+＝1，解得x0＝．∴D，∴l的方程为：y＝±x+1．（3）证明：设D坐标为（x3，y3），由C（0，1），M（x1，0）可得直线CM的方程：y＝﹣x+1，联立椭圆方程得：，解得x3＝，y3＝．由B（，0），得直线BD的方程：y＝（x﹣），①直线AC方程为：y＝x+1，②联立①②得：x2＝，从而x1x2＝2为定值．19．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．（1）若a2+b＝0，①当a＞0时，求函数f（x）的极值（用a表示）；②若f（x）有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f（x）图象上点A处的切线l1与f（x）的图象相交于另一点B，在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．【解答】解：（1）①∵函数f（x）＝x3+ax2+bx+1，a，b∈R．∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，∵a2+b＝0，∴f′（x）＝3x2+2ax﹣a2，令f′（x）＝0，解得x＝，或x＝﹣a．由a＞0知，x∈（﹣∞，﹣a），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（﹣a，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极大值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极小值为f（）＝1﹣．②当a＝0时，b＝0，此时f（x）＝x3+1不存在三个相异零点；当a＜0时，与①同理可得f（x）的极小值为f（﹣a）＝1+a3，f（x）的极大值为f（）＝1﹣．要使f（x）有三个不同零点，则必须有（1+a3）（1﹣）＜0，即a3＜﹣1或a3＜．不妨设f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，f（x1）＝，①，②，③②﹣①得（x2﹣x1）（）+a（x2﹣x1）（x2+x1）﹣a2（x2﹣x1）＝0，∵x2﹣x1＞0，∴+＝0，④同理＝0，⑤⑤﹣④得x2（x3﹣x1）+（x3﹣x1）（x3+x1）+a（x3﹣x1）＝0，∵x3﹣x1＞0，∴x2+x3+x1+a＝0，又x1+x3＝2x2，∴．∴f（﹣）＝0，即，即＜﹣1，∴存在这样实数a＝﹣满足条件．（2）设A（m，f（m）），B（n，f（n）），则，，又＝＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，由此可得3m2+2am+b＝m2+mn+n2+a（m+n）+b，化简得n＝﹣a﹣2m，∴k2＝3（﹣a﹣2m）2+2a（﹣a﹣2m）+b＝12m2+8am+a2+b，∴12m2+8am+b+a2＝4（3m2+2am+b），∴a2＝3b．20．（15分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差为d，数列{b n}的前n项和为S n，且对任意的n∈N*，6S n＝9b n﹣a n﹣2恒成立．（1）如果数列{S n}是等差数列，证明数列{b n}也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求d的值；（3）如果d＝3，数列{c n}的首项为1，c n＝b n﹣b n﹣1（n≥2），证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．【解答】解：（1）设数列{S n}的公差为d′，由6S n＝9b n﹣a n﹣2，……①6S n﹣1＝9b n﹣1﹣a n﹣1﹣2，（n≥2）……②①﹣②得6（S n﹣S n﹣1）＝9（b n﹣b n﹣1）﹣（a n﹣a n﹣1）……③∵等差数列{a n}的首项为1，公差为d，∴6d′＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d．所以：b n﹣b n﹣1＝为常数，所以{b n}为等差数列．（2）由③得6b n＝9（b n﹣b n﹣1）﹣d，即3b n＝9b n﹣1+d，所以：＝3+是与n无关的常数，所以﹣1或为常数．①当﹣1＝0时，d＝3，符合题意；②当为为常数时，在6S n＝9b n﹣a n﹣2中令n＝1，则6a1＝9b1﹣a1﹣2又a1＝1，解得b1＝1．所以＝此时3+＝1，解得d＝﹣6；综上，d＝3或d＝﹣6．（3）当d＝3时，a n＝3n﹣2，由（2）得数列为等比数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以即当n≥2时，c n＝b n﹣b n﹣1＝3n﹣1当n＝1时，也满足上式，所以c n＝3n﹣1．设a n＝c i﹣c j，则3n﹣2＝3i﹣1+3j﹣1，即3n＝3i﹣1+3j﹣1＝2如果i≥2，因为3n为3的倍数，3i﹣1+3j﹣1为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾．所以i＝1，则3n＝3+3j﹣1，即n＝1+3j﹣2．（j＝2，3，4……）故得数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和．（附加题）【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，过E作⊙O的切线交AC 于点D，求证：AC⊥DE．【解答】证明：连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED．因为OA＝OE，所以∠OAE＝∠OEA．又因为AB为⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于E点，所以∠OAE＝∠EAD，所以∠EAD＝∠OEA，所以OE∥AC，故AC⊥DE．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵的一个特征值为3，求M﹣1．【解答】解：由题意可知：|λE﹣M|＝0，即＝0，得（λ﹣2）（λ﹣x）﹣4＝0的一个解为3，代入得x＝﹣1，∴M＝，则|M|＝﹣6，∴M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数）．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，已知圆心C到直线l的距离等于，求a的值．【解答】解：圆C的参数方程为为参数）．圆C消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝4，由，得ρcosθ+ρsinθ﹣a＝0，所以直线l的直角坐标方程为x+y﹣a＝0．依题意，圆心C到直线l的距离等于，即＝，解得a＝﹣1或a＝3．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，求证：．【解答】证明：因为a+2b+c＝1，a2+b2+c2＝1，所以a+2b＝1﹣c，a2+b2＝1﹣c2．由柯西不等式：（12+22）（a2+b2）≥（a+2b）2，5（1﹣c2）≥（1﹣c）2，整理得，3c2﹣c﹣2≤0，解得﹣≤c≤1．所以﹣≤c≤1．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m，n的值；（2）求X的数学期望．【解答】解：（1）由题意，得，又m＞n，解得m＝，n＝．（2）由题意，a＝++＝，b＝1﹣﹣＝，∴E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．26．已知函数．（1）当n＝2时，若，求实数A的值；（2）若f（2）＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），求证：α（m+α）＝1．【解答】解（1）当n＝2时，f（x）＝（x+5）5＝x5+x4+x3（）2+x2（）3+x（）4+（）5，所以f（2）+f（﹣2）＝（2+）5+（﹣2+）5＝2[（）124+（）322+（）520]＝2（5×16+10×4×5+25）＝610，所以A＝610．（2）因为f（x）＝（x+）2n+1＝x2n+1+x2n+x2n﹣1（）2+…+（）2n+1，所以f（2）＝22n+1+22n+22n﹣1（）2+…+（）2n+1，，由题意f（2）＝（+2）2n+1＝m+α（m∈N*，0＜α＜1），首先证明对于固定的n∈N*，满足条件的m，α是唯一的．假设f（2）＝（2+）2n+1＝m1+α1＝m2+α2（m1，m2∈N*，0＜α1，α2＜1，m1≠m2，α1≠α2），则m1﹣m2＝α2﹣α1≠0，而m1﹣m2∈Z，α2﹣α1∈（﹣1，0）∪（0，1），矛盾．所以满足条件的m，α是唯一的．下面我们求m及α的值：因为f（2）﹣f（﹣2）＝（2+）2n+1﹣（﹣2+）2n+1＝（2+）2n+1+（2﹣）2n+1＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，，显然f（2）﹣f（﹣2）∈N*．又因为﹣2∈（0，1），故（﹣2）2n+1∈（0，1），即f（﹣2）＝（﹣2+）2n+1＝（﹣2）2n+1∈（0，1）．所以令m＝2[22n+1+22n﹣1（）2+22n﹣3（）4+…+21（）2n]，α＝（﹣2+）2n+1，则m＝f（2）﹣f（﹣2），α＝f（﹣2），又m+α＝f（2），所以α（m+α）＝f（﹣2）•f（2）＝（2+）2n+12n+1＝（5﹣4）2n+1＝1．。
江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年高三教学情况调研(二)数学试题Word版含答案
江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ． 4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ．5． 下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的取值范围是 ． 6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ．8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d =．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ． 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB = ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0xx f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b +的最小值为 ． 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，且2224)S a c b +-. （1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围． 17．（本小题满分14分）下图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135．（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A ，ABCDP EB ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．19．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，1 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；2 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式．20．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列；（2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)nn n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t =+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线la 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求mn ，的值； （2）求X 的数学期望．23．已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，． （1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值；（2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=．2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1． 1- 2．2- 3．4 4．20.8 5．[]01，6． 14π 7．π2 8．2 9． 10．411．⎡⎢⎣⎦ 12．11⎤⎦， 13．22e 12- 14．二、解答题15． 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又POCO O =，所以BD ⊥平面PCO ．因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又=COEO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-，则sin B =以sin B B ．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B 又0πB <<，所以π3B =．（2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =．由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，．所以πsin(2)14A ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦．所以(63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则60206015tan =tan 2174t t t t αβ===，，由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--，化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去），所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x .则22()60[](500)ab abL x x x =+-，且(0,500)x ∈，即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈-记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-，令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增；所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18. 解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得21c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ， 因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+.（3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+，联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y x =+， ②联立①②得212xx=，从而12x x=2为定值. 解法2：设D坐标为(x3，y3），由C,M,D三点共线得31311yx x x=--，所以3131xxy=-，①由B,D,N，将2212y x=+代入可得2x，②①和②相乘得，231231xx xy=-33332)2x y x==-+-+.19. 解：（1）①由2()32f x x ax b'=++及02=+ba，得22()32f x x ax a'=+-，令()0f x'=，解得3ax=或ax-=.由0>a知，(,)()0x a f x'∈-∞->，，)(xf单调递增，(,)()03ax a f x'∈-<，，)(xf单调递减，(,)()03ax f x'∈+∞>，，)(xf单调递增，因此，)(xf的极大值为3()1f a a-=+，)(xf的极小值为35()1327a af=-.②当0a=时，0b=，此时3()1f x x=+不存在三个相异零点；当0a<时，与①同理可得)(xf的极小值为3()1f a a-=+，)(xf的极大值为35()1327a af=-. 要使)(xf有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a+-<，即332715a a<->或.不妨设)(xf的三个零点为321,,xxx，且321xxx<<，则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-.所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322， 又bn m a n mn m n m n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数，所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+， 所以11111111133()11322332311112222n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数， 所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d -=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分 所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-．综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n nn b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -．当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥． 设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=，如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA .又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ，所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解 由2104xl l --=--，得(2)()40x l l ---=的一个解为3，代入得1x =-， 因为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1142M ，所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-316132611M .21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=, 由a=-)4cos(2πθρ，得0sin cos =-+a θρθρ,所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=.依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-.21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－≤c ≤1.所以－≤c ≤1. 22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又m n >，解得13m =，1.4n =（2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---=()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯=23. 解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=-=+=2(5104⨯⨯⨯所以610A =.（2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的.假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ， 则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的.下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--=+02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++， 显然(2)(2)f f --∈N *.2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-=-=.。
江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研(二模)数学(文)试题(WORD版)
．
9． 在棱长为 2 的正四面体 P ABC 中， M ， N 分别为 PA ， BC 的中点，点 D 是线段 PN 上一点，且
PD 2DN ，则三棱锥 D MBC 的体积为
．
10． 设△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c 且满足 a cosB
b cos A
3
ant
c ，则
．
3． 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P ( 2,4) 到抛物线 y2 8x 的准线的距离
为
．
4． 一次考试后，从高三（ 1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶图如图所示，
则这五人成绩的方差为
．
5． 根据如图所示的算法流程图， 若输入值 x [0, 2] ，则输出值 S 的取值范围
是
．
6． 欧阳修在《卖油翁》中写到： “（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐 以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿” ，可见卖油翁的技艺之高超，若铜
2017—2018 学年度苏锡常镇高三调研试卷（二）
数学 I
2018.05
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．． ．
1． 若复数 z 满足 (1+i)z=2(i 为虚数单位 ) ，则 z 的虚部为
．
2． 设集合 A {2,4} ，B { a2,2}( 其中 a 0) ，若 A B ，则实数 a
索塔 AB ， CD 与桥面 AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为
60 m，桥面 AC 上一点 P 到索塔
AB ， CD 的距离之比为 21: 4，且 P 对两塔顶的视角为 135 .
（ 1）求两索塔之间桥面 AC 的长度；
20182018苏锡常镇数学高三模拟(二)
合用标准文案2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕数学Ⅰ试题本卷须知：1．本试卷共4 页，包括填空题〔第 1 题～第 14 题〕、解答题〔第 15 题～第 20 题〕两局部．本试卷总分值 160 分，考试时间 120 分钟．2．答题前，请您务必然自己的姓名、考试号用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址．3．答题时，必定用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址，在其他地址作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描述清楚．5.请保持答题卡卡面干净，不要折叠、破坏．一律严禁使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应地址上．．．．．．．．．1．会集A x 1 x 3 ， B x x 2 ，那么 A B▲．2． i 为虚数单位，复数z1 3 yi ( y R )，z2 2 i ，且z1 1 i ，那么y▲．z23．下表是一个容量为10 的样本数据分组后的频数分布．假设利用组中值近似计算本组数据的平均数 x ，那么 x 的值为▲．数据[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)频数2134x2y24．直线 2 x 3 y0 为双曲线a2b2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线，那么该双曲线的离心率的值为▲．优秀文档合用标准文案5．据，在公元前 3 世，阿基米德已得出了前n 个自然数开始平方和的一般公式．右是一个求前n 个自然数平方和的算法入 x 流程，假设入 x 的1，出S的▲．S06 ． 1 是会集( x, y) x2y2 ,1所表示的地域， 2 是会集S S2x x 1 x( x, y) y, x所表示的地域，向地域 1 内随机的投一个点，S5否是点落在地域 2 内的概率▲．出 S 7．等比数列a n的前 n 和 S n，公比 q3，S3S453 ，结束3a3▲．8．直四棱柱底面是 2 的菱形，面角的 2 3 ，直四棱柱的面▲．9．是第二象限角，且sin 3， tan() 2 ， tan▲．1010．直 l ： mx y2m 1 0 ， C ： x2y22x 4 y0 ，当直 l 被 C 所截得的弦最短，数m▲．11．在△ ABC 中，角 A, B, C 分是 a, b, c ，假设足 2b cos A =2 c3a ，角B的大小▲．12．在△ ABC 中， AB AC，AB 1， AC t ，P是△ ABC 所在平面内一点，假设tAP 4 AB AC▲．|AB|，△ PBC 面的最小|AC|4x2, x⋯0,13．函数 f (x)x3x0,假设函数g( x) f (x)3x b 有三个零点，数 b 的,x取范▲．14． a ,b 均正数，且ab a2b0， a22b21的最小▲．4a b优秀文档合用标准文案二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分．请在答题卡指定地域内作答，解答时应写出必．．．．．．．要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14 分〕向量 m( 3cos x, 1) , n(sin x,cos2 x) ．（1〕当 x π时，求m n的值；3〔 2〕假设x0, π，且m n31，求 cos2x 的值．43216．〔本小题总分值 14分〕B 如图，在周围体 ABCD 中，平面 ABC ⊥平面 ACD ，E， F， G 分别为 AB， AD ，AC 的中点， AC BC ，EACD 90 ．〔 1〕求证： AB⊥平面 EDC ；A GC〔 2〕假设 P 为 FG 上任一点，证明EP∥平面 BCD ．PFD17．〔本小题总分值14 分〕某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w〔单位：百千克〕与肥料花销x〔单位：百元〕满足以下关系：3，且投入的肥料花销不高出 5 百元．其他，还需w 4x 1要投入其他本钱〔如施肥的人工费等〕2x 百元．这种水蜜桃的市场售价为16 元/千克〔即 16 百元 /百千克〕，且市场需求向来供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 L (x) 〔单位：百元〕．（1〕求利润函数L x的函数关系式，并写出定义域；（2〕当投入的肥料花销为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？优秀文档合用标准文案18．〔本小分16 分〕函数 f (x) a ln x bx 3，a，b 数， b 0 ， e 自然数的底数， e 2.71828 ⋯．〔 1〕当 a 0 ， b 1 ，函数 f (x) 的最小g ( a) ，求 g (a) 的最大；〔 2〕假设关于x 的方程 f ( x)=0 在区 (1， e] 上有两个不相同数解，求 a 的取范．b19．〔本小分16 分〕x2y2F ( 1,0)x2C :a2b21(a b0) 的左焦点，左准方程．〔 1〕求C的准方程；y〔 2〕直 l 交C于A，B两点．①假设直 l C的左焦点 F ，P A交 y 于点 P ，且足PA AF ，PBBF ．求：定；F O x②假设 A， B 两点足 OA OB 〔OB坐原点〕，求△ AOB 面的取范．20．〔本小分16 分〕数列 a na2 a 4*足 a1 1,a n n n,其中 n N ,,非零常数．1a n2〔 1〕假设3,8 ，求：a n 1 等比数列，并求数列a n的通公式；（2〕假设数列 a n是公差不等于零的等差数列．①求数 , 的；②数列a n的前n和S n构成数列S n，从S n中取不相同的四按从小到大排列成四子数列．：可否存在首S1的四子数列，使得子数列中的全部之和恰好2021？假设存在，求出全部足条件的四子数列；假设不存在，明原由．优秀文档合用标准文案21．【选做题】此题包括A ，B， C ，D四小题，每题10 分. 请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．应的答题地域内作答，假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．．．证明过程或演算步骤．A．〔选修 4－ 1：几何证明选讲〕如图，直线 DE 切圆O于点 D ，直线EO交圆O于A,B两点，DC OB于点C，且 DE 2BE ，求证：2OC3BC ．DAO C B E B．〔选修 4— 2：矩阵与变换〕1a1 及对应的特色向量e 1矩阵 M的一个特色值1．3b1求矩阵 M 的逆矩阵．C．〔选修 4— 4：坐标系与参数方程〕在平面直角坐标系xO y 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为x32cos，为参数 )，曲y32sin(0,2 π,线 C2的极坐标方程为sin(πaR 〕．假设曲线C1与曲线 C2有且仅有一个公) a 〔a 的值．3共点，求实数D. 〔选修 4— 5：不等式选讲〕a ,b,c 为正实数，求证：b2c2a2⋯abc ．a b c【必做题】第22，23 题，每题10 分，共 20 分 . 请把答案写在答题卡的指定地域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10 分〕优秀文档袋中装有大小相同的 2 个白球、 2 个红球和 1 个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0 分、 1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得 n 分〔n N*〕的情况就算游戏过关，同时游戏结束，假设四局过后仍未过关，游戏也结束．〔 1〕求在一局游戏中得 3 分的概率；〔 2〕求游戏结束时局数X 的分布列和数学希望 E ( X )．23．〔本小题总分值10 分〕f n (x) C n0 x n C1n (x 1)n( 1)k C n k ( x k)n( 1)n C n n ( x n) n，其中 x R，n N *，k N, k, n．（1〕试求 f1 ( x) ， f 2 ( x) ， f 3 ( x) 的值；（2〕试猜想 f n (x) 关于 n 的表达式，并证明你的结论．2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕优秀文档数学参照答案一、填空．1． x1x22． 13．4．21 35． 146．37． 38．16 2 49．110．- 111．π12．3 76213． (,6)(1,0]14． 7 46 小，共90 分．二、解答：本大共π31) ，n(314 分15．解：〔 1〕当 x， m(,,) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3224所以 m n311 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分442〔 2〕m n = 3 cos xsin x cos2 x3sin 2 x 11sin(2 xπ18 分2cos2 x2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯262假设 m n31，s in(2 xπ131，即sin(2 xπ3，32)232)366因 x[0,π，所以ππ ππ610 分]6剟2 x6，所以 cos(2x)，⋯⋯⋯⋯⋯4363cos2 x cos[(2 xππcos(2xπ3π 1⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分6)])2sin(2 x)2666633132314 分32326．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16．〔 1〕因平面 ABC⊥平面 ACD ，ACD90，即 CD ⊥ AC，平面 ABC平面 ACD =AC， CD平面 ACD ，所以 CD ⊥平面 ABC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又 AB平面 ABC，所以 CD ⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 AC BC ，EAB 的中点，所以CE⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又 CE CD C ，CD平面 EDC， CE平面 EDC ，所以 AB ⊥平面 EDC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分〔 2〕 EF， EG，因 E， F 分 AB， AD 的中点，所以 EF ∥ BD，又BD平面 BCD ， EF平面 BCD，优秀文档合用标准文案所以 EF ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分同理可 EG ∥平面 BCD ，且 EF EG=E ， EF 平面 BCD ， EG平面 BCD ，所以平面 EFG ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分又 P FG 上任一点，所以EP平面 EFG ，所以 EP ∥平面 BCD ．⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．解：〔 1〕 L ( x)16 43x 2x 6448 3x 〔 0剟x 5 〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x 1x 1〔 2〕法一 ： L ( x)64483 x 6748x 1x1x31, 67248 3 x 143 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x 1当且 当48 3 x 1 ，即 x3 取等号．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分x 1故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分法二： Lx483 ，由 L x0 得， x3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 21故当 x 0,3 ， Lx 0 ， L x 在 0,3 上 增；当 x3,10 ， L x0 ， L x在 3,5 上 减；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分18．解：〔 1〕当 b1 ，函数 f (x)a ln x x 3 ，f ( x)a 3x 2 a 3x 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分xx令 f ( x)0 ，得 xaa 0 ，3，因 a 0 ，333x(0,3aaa,))33(333 f (x)+f (x)极小所以 g ( a) f (3aa ln3a a aa a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分)33ln()，3 3 33令 t (x) x ln xx ，t ( x) ln x ，令 t ( x) 0 ，得 x 1 ，且当 x1 ， t (x) 有最大1，所以 g ( a) 的最大 1〔表格略〕， (分段写 性即可 )，此 a3 ．⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕由 意得，方程a ln x bx 3 0 在区 (1， e] 上有两个不相同 数解，优秀文档合用标准文案所以ax 3 在区 (1， e] 上有两个不相同的 数解，b ln x即函数y 1a像与函数 m(x)x 3 像有两个不相同的交点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分bln x因x 2 (3ln x 1)3m ( x)(ln x)2，令 m (x)0 ，得 xe ，x(1, 3 e)3e( 3 e,em ( x) 0+m( x)3e所以当 x3(3e, ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(1， e) ， m(x) 当 x 〔 3 e ，e] ， m( x) (3e,e 3 ] ，所以 a ,b 足的关系式a3，即a 33e, eb 的取 范 〔3e ， e ] ．⋯⋯⋯⋯ 16 分b19．解：〔 1〕由 知 e2， a 22c 2b 2c 2 ，即 a 22b 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分22代入C 获得1 11 ，b 21 ， a 22 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分(1,) 2b 2 2b 22∴ C : x 2y 2 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2〔 2〕①由 知直 l 的斜率存在， 直l 的方程 y k(x 1) ， P(0,k ) ．A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，直 l 代入 得 x 2 2k 2 ( x 1)22 ，整理得，(1 2k ) x4k x2k20 ，∴ x 1x 24k 2 2 ,x 1x 2222． ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22k2221 2k1 2k由 PAAF ，PBBF 知，1 x 1 , 1 x2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 1x 2x 1 x 22 x 1x 2 4k 2 4k 2 44∴1 2k2 1 2k 24〔定 〕．⋯⋯⋯ 9 分1 x x x x4k 2 2k 2 2121211221 2 k1 2k②当直 OA, OB 分 与坐 重合 ，易知△AOB 的面 S2 10 分，⋯⋯⋯⋯⋯2当直 OA, OB 的斜率均存在且不 零 ，OA : ykx, OB : y1x ，kA( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，将 y kx 代入 C 获得 x 2 2k 2 x 2 2 ，合用标准文案2222k 2，同理 x222k 222，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分∴ x12k 2, y12122 , y222 12k k kk22△ AOB 的面S OA OB1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分22k21k 2221令t211,，S t，k2t 1 t1112t t 2令 u 1(0,1) ， S1122．⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分t u2u2129,2u324上所述， S2,2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分323a 28a4(3a2)(an 2)20．解：〔 1〕当3,8 ， a n1n n n3a n2，a n2a n 2∴ a n 113(a n1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又 a n10 ，不然 a110，与 a1 1 2矛盾，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴ a n12 首， 3 公比的等比数列，∴ a n1n 1n 11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2 3，∴ a n 2 3〔 2〕① a n a1(n1)d dn d 1 ，由 a na n2a n4a( a2)2a 4 ，1得1aa n2n n n n∴ ( dn d3)(dn1)(dn d2( dn d1) 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1)∴ d 2n2(4 d d 2 )n d3 d 2 n2(2(1 d )) dn(1 d ) 2(1 d )4任意 n N 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分d 2 d 2，，1∴4d d2(2(1 d ))d，即u d，∴1,u4, d2．⋯⋯⋯⋯ 9 分2d 3(1 d)2(1 d )4，，d 2上，14,a n 2n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分，②由①知S n n(12n1)n2．22021 奇数，四也许三个奇数一个偶存在足条件的四元子列，察到数、也许一个奇数三个偶数．1 假设三个奇数一个偶数，S1 , S2x1 , S2 y 1 , S2 z是足条件的四，1(2 x1)2(2 y1)24z22021 ，∴ 2( x2x y2y z2 )1007 ，与1007 奇数矛盾，不合意舍去．⋯⋯11 分合用标准文案2 假设一个奇数三个偶数，S 1 , S 2x , S 2 y , S 2 z 是 足条件的四 ，124 x 24 y 2 4z 22021 ，∴ x 2y 2 z 2504 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分由 504 偶数知， x, y, z 中一个偶数两个奇数也许三个偶数．1〕假设 x, y, z 中一个偶数两个奇数，不如x 2 x 1，y 2 y 1 1,z 2 z 1 1,2(x 12y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 ) 251 ， 与 251奇数矛盾． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分2〕假设 x, y, z 均 偶数，不如x 2x 1, y 2 y 1, z2 z 1 ，x 12y 1 2z 12 126 ， 奇偶解析知x 1 , y 1 , z 1 中两奇数一个偶数，不如 x 12x 2 ， y 1 2 y 21 ， z 12 z 2 1 ， x 2 2y 2 2y 2 z 2 2 z 2 31． ⋯14 分因 y 2 ( y 2 1), z 2 ( z 21) 均 偶数，所以 x 2 奇数，不如0剟 y 2z 2 ，当 x 2 1 ， y 2 2y 2 z 2 2z 2 30 ， y 22y 2 ,14 ， 得 y 2 0 ， z 25 ， x 2 1 ， 当 x 2 3 ， y 2 2 y 2z 22z 2 22 ， y 2 2 y 2 , 10 ， 得 y 2 1 ， z 24 ， x 2 3 ， 当 x 25 ， y 22y 2 z 22z 26 ， y 22y 2 , 2 ， 得 y 2 0 ， z 22 ， x 25 ，即 S 1, S 4 , S 8 , S 44 也许 S 1, S 12 , S 24 ,S 36 也许 S 1, S 4 , S 20 , S 40 足条件，上所述，S 1, S 4 , S 8 , S 44 ， S 1, S 12 , S 24 , S 36 ， S 1 , S 4 , S 20 , S 40 全部 足条件的四元子列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分〔第二卷 理科附加卷〕21．【 做 】本 包括 A ， B ， C ， D 四小 ，每小10 分.A ．〔 修 4－ 1 几何 明 〕 .合用标准文案解： OD ，的半径R， BE x ， OD R， DE2BE 2x ．⋯⋯⋯⋯ 2 分在 Rt△ ODE 中，∵ DC OB，∴ OD2OC OE ，即 R2OC ( R x) ，①又∵直 DE 切 O 于点 D， DE 2BE OE ，即 4x2x ( R x) ，②⋯⋯⋯ 6 分∴ x 2R，代入①， R2OC (R2R) ， OC3R ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分335∴ BC OB OC R 3R2R ，55∴ 2OC3BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分B．〔修 4— 2：矩与〕解：由知，1a11a1111a ，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分3b13b113b ，1∴ a2,b 2 ， M 12. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分32det(M )121 2 23 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3211∴ M122．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 14 4C．〔修 4— 4：坐系与参数方程〕解： ( x22224 ，3)( y 3)4cos4sin∴曲 C 的一般方程 (x224 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1)( y 3)sin(1sin3cos a ，3) a22∴曲 D 的直角坐方程3x y2a0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分曲 C 心到直D的距离 d 33 3 12a8 分(3) 2122 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴ a3 2 ，∴a1或 a 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔少一解，扣一分〕D．〔修 4— 5：不等式〕解法一：根本不等式∵ a b2⋯2b ， bc2⋯2c ， ca2⋯2a ，a b c合用标准文案b 2c 2ca 22b 2c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴ abb⋯2a ac∴ b2c 2 a 2 ⋯a b c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分a bcc)(b 2c 2 a 2解法二：柯西不等式( a b) ⋯(bc a)2 ，∴ b 2c 2 a 2ab c⋯a bc ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分ab c【必做 】第22， 23 ，每小 10 分， 20 分.22．解：〔 1〕 在一局游 中得3 分 事件 A ，C 1C 1C 1 2P( A) 2 2 1．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分C 535答：在一局游 中得3 分的概率2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分5〔 2〕 X 的全部可能取 1,2,3, 4 ．C 1C 2C 2C 13 在一局游 中得2 分的概率2 2 21，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分C 5310P( X1) C 22C 211；C 535P( X2)4 3 65 10；25P( X3) 4 (1 3 )2 28 ；5 10 5 125 P( X4) 4 (1 3 )3 425 5．10125所以X 12 34162842P525125125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴ E(X)1126 3 28 4 42337．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分525 12512512523．解： (1) f 1 (x)C 10 x C 11( x 1) xx 11 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分0 21 22f 2 ( x) C 2 xC(2x 1 ) 2C ( x 2 )22( x 224 x4)2 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分x2x 1) (xf 3 ( x) C 30 x 3 C 31 (x 1)3 C 32 (x 2)3C 33 ( x 3)33333合用标准文案〔 2〕猜： f n ( x)n! ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分而 kC n k k n !n!， nC n k11n(n 1)!n!，k!( n k )!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!所以 kC n k nC n k11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分用数学法明建立．①当 n 1 ， f1 (x) 1 ，所以建立．②假当 n k ，建立，即f k ( x)C k0 x k C k1 (x当 n k0k 11k 11，f k 1 ( x) C k 1 x C k 1 (x 1)1)k( 1)k C k k ( x k) k k! ．k 1k 1k 1( 1)C k 1 (x k 1)C k01x k 1C k11 ( x 1)k ( x 1)( 1)k C k k1 (x k) k ( x k) ( 1)k 1 C k k11 (x k 1)k 1 x[C k01 x k C k1 1 ( x 1)k( 1)k C k k 1 ( x k )k ]1k2k(k 1k k]k 1k 1k 1[ C k 1 ( x1)2C k 1 ( x2)1)kC k 1 (x k)( 1) C k 1 (x k 1)x[C k0 x k(C k1C k0 )( x 1)k(1)k (C k k C k k1 )( x k )k ]( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k )k ] ( 1)k 1C k k11 (x k 1)k (x k 1) x[C k0 x k C k1 (x 1)k(1)k C k k ( x k)k ]x[C k0 (x1)k( 1)k1 C k k 1 ( x k)k ] ( k 1)[( x 1)k C k1 ( x2) k( 1)k1 C k k1 (x k)k ]x( 1)k 1 C k k ( x k 1)k( k 1)( 1)k 1( x k 1)k0k1k(k kk)kx[C k x C k (x 1)1) C k ( x]x[C k0 ( x1)k( 1)k-1 C k k1 (x k)k(1)k C k k ( x k 1)k ]〔 * 〕( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k)k( 1)k ( x k 1)k ]由假知〔 * 〕式等于 x k! x k!( k1)k!(k 1)!．所以当 n k 1 ，也建立．合①②， f n ( x) n! 建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。
江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研(二)数学试题
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数 学 Ⅰ 试 题 2018.5注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两部分．本试卷总分值160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置． 3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 方差公式：2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中121()n x x x x n=++⋅⋅⋅+．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1． 假设复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ▲ ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，假设A B =，则实数a = ▲ ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ▲ ． 4． 一次考试后，从高三〔1〕班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如下图，则这五人成绩的方差为 ▲ ．5． 如图是一个算法流程图，假设输入值[02]x ∈，，则输出值S 的取值范围是 ▲ ． 6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“〔翁〕乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，假设铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油〔油滴大小忽略不计〕，则油恰好落入孔中的概率是 ▲ ． 7． 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ▲ ．7 88 2 4 4 9 2〔第4题图〕〔第5题图〕S ←2x −x 2S ←1输出S 结束开始 输入xx ＜1Y N 〔第6题图〕8． 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设1054S S =，则14ad= ▲ ． 9． 在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ▲ ．10． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= ▲ ．11． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，假设圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ▲ ．12． 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ▲ ．13． 已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，假设存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值 是 ▲ ．14． 已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点． 〔1〕假设PB PD =，求证：PC BD ⊥； 〔2〕求证：CE //平面PAD ．ABCDP E 〔第15题图〕在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，且22243()S a c b =+-.〔1〕求B ∠的大小；〔2〕设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围． 17．〔本小题总分值14分〕下列图〔I 〕是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图〔II 〕所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135． 〔1〕求两索塔之间桥面AC 的长度；〔2〕研究说明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比〔比例系数为正数a 〕，且与该处到索塔的距离的平方成反比〔比例系数为正数b 〕．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．〔本小题总分值16分〕如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC与直线BD 交于点22()N x y ，． 〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设2CM MD =，求直线l 的方程；〔3〕求证：12x x ⋅为定值．〔第17题图〔Ⅰ〕〕〔第17题图〔Ⅱ〕〕DDM CBA y xO 〔第18题图〕已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． 〔1〕假设20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值〔用a 表示〕；② 假设()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？假设存在，试求出a 的值；假设不存在，请说明理由；〔2〕函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式．20．〔本小题总分值16分〕已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．〔1〕如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； 〔2〕如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； 〔3〕如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数学Ⅱ〔附加题〕 2018.5注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A ，B ，C ，D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．假设考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他位置作答一律无效． 4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔． 21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如下图，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t =+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2cos()()4a a πρθ-=∈R ，已知圆心C 到直线l 的距离等于2，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙 做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三 位学生中做对该题的人数，其分布列为：〔2〕求X 的数学期望．23．〔本小题总分值10分〕已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，．〔1〕当2n =时，假设(2)(2)f f +-=，求实数A 的值；〔2〕假设(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕参考答案一、填空题：1． 1- 2．2- 3．4 4．20.8 5．[]01，6．14π 7．π28．2 9 10．411． 22⎡-⎢⎣⎦， 12．11⎤⎦， 13．22e 12- 14． 二、解答题15． 证明：〔1〕取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥．……………………2 分 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥．……………………4 分 又PO CO O =，所以BD ⊥平面PCO ． ……………………6 分因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． ……………………7 分 〔2〕由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． ……………………9 分 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥，又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． ……………………11 分 又=COEO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ， ……………………13分而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ． ……………………14 分16．解〔1〕由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-， …………………………2 分则sin B =sin B B =． ………………………………4 分因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B = 又0πB <<，所以π3B =． …………………………………………………6 分 〔2〕由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =．………8 分由〔1〕知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<． 所以ππ13π2()4412A -∈-，． ……………………………………………………10 分所以πsin(2)142A ⎛⎤-∈-⎥ ⎝⎦． ……………………………………………12 分所以(63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． ……………………14 分17．解〔1〕设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则 60206015tan =tan 2174t t t tαβ===，， ………………………………………2 分 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， …………………4 分 化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-〔舍去〕， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． …………………………………6分答：两索塔之间的距离AC =500米．〔2〕设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- ……………………………9 分 〔注：不写定义域扣1分〕 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， …………11 分 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. ……………13 分 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. …14 分 18. 解〔1，焦点到对应准线的距离为1. 得221c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩，………………………………………………2 分所以，椭圆的标准方程为2212x y +=. …………………………………4分〔2〕由〔1〕知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-， ……………………………6 分代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+. …………………………9 分 〔3〕设D 坐标为(x 3，y 3〕,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+. …………12 分由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y =+， ② 联立①②得212x x =， …………………………………………………………15 分 从而12x x =2为定值. …………………………………………………………16 分 解法2：设D 坐标为(x 3，y 3〕， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-， ① ………………10 分 由B ,D ,N221y + 代入可得2x =② …………………………………………………12 分①和②相乘得，231231x x x y =-2333323333222)2x y x x x y x +-==-+-. ……………………………………………16 分19. 解：〔1〕①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ，得22()32f x x ax a '=+-， ……………………………………………………1 分 令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，……………………………………………………3 分因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.……………………………………………………4 分② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-.要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<， 即332715a a <->或. …………………………………………………………6 分 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<，则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ …………………………………………………………8 分同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=，因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， ……………………………………9 分 又1322x x x +=，所以23ax =-. ………………………………………10 分 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =. ………………………………12 分〔2〕设A 〔m ，f (m )〕,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，…………………………………………13 分由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=，因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， ……………15分 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++，所以b a 32=. …………………………………………………………………16分 20. 解：〔1〕设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ …………………………2 分即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列． …………………………………………………………3 分〔2〕由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+， …………………………4 分所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数． ………………………………6 分 ①当103d-=时，3d =，符合题意； …………………………………………7 分 ②当112n b -+为常数时，在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-． ………………………………………………………10分 〔3〕当3d =时，32n a n =-， ………………………………………………11分 由〔2〕得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． …………………………………………………12 分当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=， 当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥． …………………………………………………13分 设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=， 如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾． …………………………………………………15 分 所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和． ……………16 分2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED . ………………3 分因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA . …………6 分 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ， …………8 分 所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ． …………………10 分21.B 解 由2104x，得(2)()40x 的一个解为3，……………3分代入得1x ， ………………………5分 因为2141M，所以111662133M . ………………………………10 分 21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为22324x y , ………………3 分2cos()4a ，得cossin 0a , 所以直线l 的直角坐标方程为0x y a .…………………………………6分依题意，圆心C 到直线l2，解得13a 或.……………………………………………………………10 分21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. ……………………………………3 分 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， ………………………………6 分 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1. ……………………………………9 分所以－23≤c ≤1. ……………………………………10 分22. 解〔1〕由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………………3 分 又m n >，解得13m =，1.4n = ………………………………………………………5 分〔2〕由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ………………………7 分14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---= ……………………9 分()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………10 分23. 解〔1〕当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C =+=++++，……………………………………………………………………1 分所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=+-+=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =. ……………………………………………………………………3 分 〔2〕因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的. 假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ，则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的. ………………………………………………5分下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--+=++021*******4112212121212[222++2]n n n nn n n n C C C C +--++++=++，显然(2)(2)f f --∈N*. ………………………………………………………7 分2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-+=∈. …………………………………8分所以令021*******4112212121212[222++2]n n n nn n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=， …………………………9 分所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-+=-=. ……10分。
2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及答案word
2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．. {1,1}A =-，{3,0,1}B =-，那么集合A B = ． z 满足34z i i ⋅=-〔i 为虚数单位〕，那么z = ．22143x y -=的渐近线方程为 ． 1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，那么n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子〔每个面上分别写有数字1，2，3，4〕先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，那么两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，那么输出S 的值是 ．2cm ，侧面积为28cm ，那么它的体积为 3cm ．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设242a a +=，241S S +=，那么10a = ．0a >，0b >，且23a b+=，那么ab 的最小值是 ．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan 3tan A c bB b-=，那么cos A = ． ,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩〔e 是自然对数的底〕.假设函数()y f x =的最小值是4，那么实数a 的取值范围为 ．ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，3CP =，4CA =，23ACB π∠=，那么CP CA ⋅= ．l ：20x y -+=及x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，那么点P 的横坐标的取值集合为 ．2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，那么(1)f a的取值范围为 ． 答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. (2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.〔1〕假设角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； 〔2〕假设//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC AB C -，其底面边长为2.点M ，N 分别是棱11A C ，求证：〔1〕1//B M 平面1A BN ； 〔2〕AD ⊥平面1A BN .C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，(1,2，点A 是椭圆的下顶点.〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 及直线y x =分别相交于E ，F 两点，OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座欣赏亭Q ，其中23AQC π∠=.方案在BC 上再建一座欣赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.〔1〕当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；〔2〕当OPQ ∠越大，游客在欣赏亭P 处的欣赏效果越佳，求游客在欣赏亭P 处的欣赏效果最正确时，角θ的正弦值.32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.〔1〕假设0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； 〔2〕假设3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.①求实数a 的值； ②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈.〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕对于正整数i ，j ，()k i j k <<，j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；〔3〕设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --13n n T a =的所有正整数n .2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学Ⅱ〔附加题〕请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.〔1〕求证：2AB BC =；〔2〕假设2AB =，求线段CD 的长.B. 选修4-2：矩阵及变换矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 〔1〕求矩阵AB ；〔2〕假设1151B A X --⎡⎤=⎢⎥，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系及参数方程 在极坐标系中，圆C 经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA 〔不含端点〕上一点.〔1〕当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 及平面PBD 所成角的正弦值； 〔2〕二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，假设这n 个元素的一个排列〔1a ，2a ，…，n a 〕满3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列〕.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D . 〔1〕直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；〔2〕当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由； 〔3〕试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =±4. 635. 3166.25 8. 8 9. 10.1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1) 二、解答题15.解：〔1〕由题意4sin 5α=，3cos 5α=， 所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+4552=+⨯3522+⨯=.〔2〕因为//a b sin()14a πα+=α(sin cos cos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，那么2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：〔1〕连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，那么四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱ABC A B C -中//AA BB 且AA BB =，所以//MN BB 且MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；〔2〕正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，3CD =，所以1AA ANAC CD ==又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆及ACD ∆相似，那么1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，那么1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：〔1〕由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=；〔2〕由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零， 设直线1l ：11y k x =-，及直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --， 设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k =综上可得，直线1l的斜率为118.解：〔1〕设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即3sin sin()6παπα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos sin 22αα=+cos αα=，因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan 3α=，得6πα=；〔2〕设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即3sin sin(())2παπαθ=---，sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tanα=，记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：欣赏效果到达最正确时，θ.19.解：〔1〕函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+， ∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，那么21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.〔2〕①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞. 当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >. ∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：〔1〕由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，那么13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*()n N ∈； 〔2〕由题意26j ki a a a λϕ+=⋅，即33263j k i λμ+=⋅⋅，所以3312j i k i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥， 所以333j i λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；〔3〕由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+， 所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <，11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=； 综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔一〕数学Ⅱ〔附加题〕参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：〔1〕连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=， 又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.〔2〕解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =B. 选修4-2：矩阵及变换 解：〔1〕401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； 〔2〕由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =. C. 选修4-4：坐标系及参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0). 因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】22.解：〔1〕以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如下图空间直角坐标系；设AB t =，那么(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ； 所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，那么110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>===，那么CQ 及平面PBD .〔2〕由〔1〕知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQPAλλ=<<，那么PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，那么2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---， 12cos ,n n =<>1212n nn n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=，因为01λ<<，所以23λ=，那么23PQ PA =. 23. 解：〔1〕10D =，21D =，32D =， 49D =，〔2〕12(1)()n n n D n D D --=-+， 理由如下：对n A 的元素的一个错位排列〔1a ，2a ，…，n a 〕，假设1(1)a k k =≠，分以下两类： 假设1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；假设1ka ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+； 〔3〕根据〔2〕的递推关系及〔1〕的结论，n D 均为自然数； 当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D 〔其中*n N ∈〕为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，那么当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数。
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2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题 2018.3一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A B =I ． 2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23ab a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c b B b -=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB的中点，已知CP =u u u r 4CA =u u u r ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u r u u u r ． 13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量,1)a α=r ，(1,sin())4b πα=+r . （1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值；（2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11A C ，AC 的中点，点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ；（2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1(3,)2，3)，点A 是椭圆的下顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数.①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =；（2）若2AB =，求线段CD 的长.B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点(22,)4P π，圆心为直线sin()33πρθ-=-与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥. 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ PA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 25 8. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+45=+35+=.（2）因为//a b sin()14a πα+=α(sin cos cos sin )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=， 所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =， 又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ， 所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =I ， 所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ， 所以AD BN ⊥， 由题意，16AA =，2AC =，1AN =，63CD =，所以132AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N =I ，BN ，1A N ⊂平面1A BN ， 所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --， 设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----，因为OE OF =，所以1111||||111k k =---， ①1111111k k =---，1110k k +=无实数解； ②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即3sin sin()6παπα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=+cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan 3α=，得6πα=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP =∠∠3sin(())2ππαθ=---，sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θα-cos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠，所以tanα=记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=， 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ. 19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增，令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减，∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==.∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-.由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >.对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >.故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263j k iλμ+=⋅⋅，所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j iλλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-， 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈，从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈，当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n nn nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=；综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=o，2AB OB =.因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o， 又因为DA DC =，所以A C ∠=∠， 于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =， 所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以3CD =. B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =. C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：在sin()33πρθ-=-0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ； 所以(,,)CQ t t t =-u u u r ，(2,,0)DB t t =u u u r ，(0,0,2)DP t =u u u r，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =u r ，则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r， 即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-u r ，111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>=u r u u u r u r u u u r u r u u ur ==， 则CQ 与平面PBD（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-u r ，设(01)PQPAλλ=<<，则PQ PA λ=u u u r u u u r ，DQ DP PQ =+u u u r u u u r u u u r (0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =u u u r，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =u u r ，则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---u u r，12cos ,n n =<>u r u u r 1212n n n n ⋅=u r u u ru r u ur =，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =. 23. 解：（1）10D =，21D =，32D =， 49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+， 理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类：若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数. 当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数。