弹性力学轴对称问题
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河南理工弹性力学- 轴对称应力问题
4.5 轴对称应力问题
u 1 A (1 ) 2 (1 3)B 2(1 )B ln 2(1 )C E
1 u u 1 A (1 ) 2 (3 )B 2(1 )B ln 2(1 )C E
其中，H、I、K 是新引入的积分常数。
6
4.5 轴对称应力问题
1 A u (1 ) 2(1 )B (ln 1) (1 3)B 2(1 )C E I cos K sin 4B u H I sin K cos E
E E , . 1 1 2
8
u 当 H 0 时， u
cos sin I ，说明 I、K sin cos K H , I u 0 , K v 0 .
其中，A、B、C、D 是待定的积分常数。
1 d A B(1 2 ln ) 2C 2 d 2 d A B(3 2 ln ) 2C 2 d 2 0
()
1 d d 2 d d 2 0
Laplace 算子
2 1 1 2 2 2 2
2
()
1 d d d2 1 d d d 2 d d
B
d
d
C
d
y
d
③ 切应力
第10章 弹性力学轴对称问题的有限元法简介
第10章 弹性力学轴对称问题的有限元法简介
一、轴对称问题的定义 (1)几何形状轴对称：要求结构是相对对称轴的受到的载荷和位移约束条件具 有轴对称性。 (3)材料轴对称要求：结构的材料特性具有轴对称性。
二、 轴对称问题基本方程
轴对称问题的特点是结构的位移、应变和应力都呈轴对称分布。 (l) 柱坐标系(r, θ, z) (u, v, w) 有许多实际工程问题，其几何形状、约束条件以及载荷 都对称于某一固定轴，这类问题为轴对称问题。 (2)基本变量 对于轴对称问题，在柱坐标中的三大 类力学变量为: 位移: ur , wz , (vθ=0)
(下标i, j, m轮换)
用矩阵表示的单元位移为
u Ni w 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui w i 0 u j N m w j um wm
四、 三结点单元刚度矩阵
轴对称问题的几何方程：
u a1 a 2 r a 3 z w a4 a5 r a6 z
该模式与平面问题三节点三角形单元相同，由节点条件可以推出相同的形 状函数矩阵，即
Ni N 0
定义形态函数为
Ni
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
1 (ai bi r ci z ) 2
bj 0 fj 0 0 cj cj bj
式中
ai ci z f i bi r r
{ } [ B] { }e
(i , j, m )
B B( r , z )
用几何矩阵表示单元的应变
[ B] [ Bi
Bj
Bm ]
bi 1 fi [ Bi ] 2 0 ci
一、轴对称问题的定义 (1)几何形状轴对称：要求结构是相对对称轴的受到的载荷和位移约束条件具 有轴对称性。 (3)材料轴对称要求：结构的材料特性具有轴对称性。
二、 轴对称问题基本方程
轴对称问题的特点是结构的位移、应变和应力都呈轴对称分布。 (l) 柱坐标系(r, θ, z) (u, v, w) 有许多实际工程问题，其几何形状、约束条件以及载荷 都对称于某一固定轴，这类问题为轴对称问题。 (2)基本变量 对于轴对称问题，在柱坐标中的三大 类力学变量为: 位移: ur , wz , (vθ=0)
(下标i, j, m轮换)
用矩阵表示的单元位移为
u Ni w 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui w i 0 u j N m w j um wm
四、 三结点单元刚度矩阵
轴对称问题的几何方程：
u a1 a 2 r a 3 z w a4 a5 r a6 z
该模式与平面问题三节点三角形单元相同，由节点条件可以推出相同的形 状函数矩阵，即
Ni N 0
定义形态函数为
Ni
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
1 (ai bi r ci z ) 2
bj 0 fj 0 0 cj cj bj
式中
ai ci z f i bi r r
{ } [ B] { }e
(i , j, m )
B B( r , z )
用几何矩阵表示单元的应变
[ B] [ Bi
Bj
Bm ]
bi 1 fi [ Bi ] 2 0 ci
弹性力学13-轴对称应力和相应的位移
df1 ( r ) df (j ) f1 ( r ) r = f (j )dj dr dj
上式等号两边分别只是单独 r 和单独 j 的函数式 ，要使该式成立，两边须为同一常数，因此有： df1 ( r ) f1 ( r ) r =F (d) dr df (j ) f (j )dj = F (e) dj
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
得到轴对称问题在极坐标（ r ，j ）下的：
应力分量的通用表达式（含待定系数）
位移分量的通用表达式（含待定系数）
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
轴对称问题：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡 通过对称轴的任何面均是对称面。即，在对称面两边对 应点的物理量必须满足如下两个条件： （1）数值必须相等：在极坐标下，任一环向线 上的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径 向坐标 r 的函数，不随环向坐标 f 改变，即与 f 无 关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少 一维。 （2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不 对称的物理量不能存在：trj= tjr=0 。
r =r r =R
在内外边界面上，分别有应力边界条
= q1 , t rj = q 2 , t rj
r
r =r r =R
=0 =0
由于轴对称，关于切应力的两个条件是 自然满足的。将应力分量表达式代入应 力边界条件，得到 2 个方程，显然不 能确定 3 个待定常数A、B、C。
A B 1 2 ln r 2C = q1 2 r A B 1 2 ln R 2C = q2 2 R
当外半径趋于无限大时，由上式可得到具
有圆孔的无限大薄板或具有圆孔的无限大弹 性体的应力解答： r2 r2
上式等号两边分别只是单独 r 和单独 j 的函数式 ，要使该式成立，两边须为同一常数，因此有： df1 ( r ) f1 ( r ) r =F (d) dr df (j ) f (j )dj = F (e) dj
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
得到轴对称问题在极坐标（ r ，j ）下的：
应力分量的通用表达式（含待定系数）
位移分量的通用表达式（含待定系数）
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
轴对称问题：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡 通过对称轴的任何面均是对称面。即，在对称面两边对 应点的物理量必须满足如下两个条件： （1）数值必须相等：在极坐标下，任一环向线 上的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径 向坐标 r 的函数，不随环向坐标 f 改变，即与 f 无 关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少 一维。 （2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不 对称的物理量不能存在：trj= tjr=0 。
r =r r =R
在内外边界面上，分别有应力边界条
= q1 , t rj = q 2 , t rj
r
r =r r =R
=0 =0
由于轴对称，关于切应力的两个条件是 自然满足的。将应力分量表达式代入应 力边界条件，得到 2 个方程，显然不 能确定 3 个待定常数A、B、C。
A B 1 2 ln r 2C = q1 2 r A B 1 2 ln R 2C = q2 2 R
当外半径趋于无限大时，由上式可得到具
有圆孔的无限大薄板或具有圆孔的无限大弹 性体的应力解答： r2 r2
《弹塑性力学》第九章空间轴对称问题
80%
物理方程
描述了材料在不同应力状态下表 现出的物理性质。
塑性力学的基本方程
流动法则
描述了塑性应变与应力之间的 关系。
屈服准则
描述了材料屈服的条件，即应 力达到屈服点时的状态。
强化准则
描述了材料在塑性变形过程中 的应力增强机制。
空间轴对称问题的边界条件和初始条件
边界条件
描述了物体在边界上的受力状态和位 移约束。
如旋转机械、航空航天器等的 设计和分析。
土木工程
如桥梁、高层建筑等大型结构 的分析。
石油工程
如油藏模拟、油气管道设计等 。
核工程
如核反应堆、核废料处理设施 等安全评估。
02
空间轴对称问题的数学模型
弹性力学的基本方程
80%
平衡方程
描述了物体内部各点的受力平衡 状态。
100%
几何方程
描述了物体在受力后产生的形变 和位移。
近原问题的解。
在处理空间轴对称问题时，有限元法能 够将复杂的空间几何形状和边界条件简 化为易于处理和计算的离散模型，从而
提高求解效率。
有限元法在空间轴对称问题中广泛应用 于弹性力学、塑性力学等领域，能够得
到高精度的数值解。
有限差分法在空间轴对称问题中的应用
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法，通过求解差分方程来逼近原问题
目
CONTENCT
录
• 空间轴对称问题的基本概念 • 空间轴对称问题的数学模型 • 空间轴对称问题的解析解法 • 空间轴对称问题的数值解法 • 空间轴对称问题的实验研究
01
空间轴对称问题的基本概念
定义与特性
定义
空间轴对称问题是指物体在空间中关于某一直线或平面对称分布 的问题。
弹塑性力学讲义 第九章空间轴对称问题
的取值范围：由 0 1 的取值范围：0
r sin 1 a a sin
2
w
4(1 2 )q 2 2 a a 2 sin 2 0 E
a cos d a2 r 1 2 sin 2 r
4(1 2 )q a 2 cos 2 d E a2 r 1 2 sin 2 r
r R z z
当 R 时 R=(r +z ) ， 应力、位移 0； 当 R 0 时，应力奇异。 Boussinesq 采取 Love 函数求解，
x
y
(r,z)为重调和函数，由(r,z)的三次微分导出应力。
选
(r,z) 为 r 和 z 的正一次幂式: (r,z) = A1R+ A2[R - zln(R+z)] ——为双调和函数 (r,z) 自然满足 4=0 。代入位移、应力计算式
其中
2 1 2 2 r r z 2 r
2
7．按位移法解 a．基本未知函数： ur 和 w
基本方程两个：
( G )
u e G( 2 u r r ) f r 0 r r
( G )
e G 2 w f z 0 z
并考虑适当的边界条件。 b. 引入 Love（拉甫、勒夫）位移函数（当无体力作用时） 对于位移法的基本方程的解可由考虑体力的一个特解加上齐次 方程的通解。 轴对称问题齐次拉梅方程的通解可以引入一个 Love 位移函数
(1 ) P (1 2 ) P w 2Gr Er
圆面积均布荷载 q 对圆外 M 点竖向位移影响可取一个微面元， 距 M 点为 s，角度为 处，dA=sdds ，dA 上 q 对 M 点影响：
弹性力学13-轴对称应力和相应的位移
1. 压力隧洞问题特点： （1）接触问题：因为不符合均 匀性假定，所以不能用一个表达 式同时表述两个问题的未知量分 布。因此本题是两个圆筒的接触 问题，要考虑两个物体接触面上 的接触条件。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.7 压力隧洞
（2）两个问题均为轴对称问题，是平面应变问 题。 外围无限大弹性体可看成内半径为
1 ur uj uj = rj = 0 r r r
（4）位移分量 对第一式径向应变积分：
ur = 1 A (1 ) (1 3 ) B r 2(1 ) B r (ln r 1) 2(1 ) C r f (j ) E r
R2
r =
r
2 2
1 q1 , j =
R2
r
2 2
1 q1
R 1 2 r
R 1 2 r
第四章 平面问题的极坐标解答 4.6 圆环或圆筒受均布压力
R
2 2
r =
r2
2
1 q1 , j =
R
r2
R2 r2
R 1 2 r
显然，由应力公式可知，径向 1 正应力总为负值，即为压应力 q1；环向正应力总为正值，即为 1 拉应力。应力分布大致如图所 示。最大值发生在内壁处。
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
得到轴对称问题在极坐标（ r ，j ）下的：
应力分量的通用表达式（含待定系数）
位移分量的通用表达式（含待定系数）
第四章 平面问题的极坐标解答 4.5 轴对称应力和相应的位移
轴对称问题：物体的形状或物理量是绕一轴对称的，凡 通过对称轴的任何面均是对称面。即，在对称面两边对 应点的物理量必须满足如下两个条件： （1）数值必须相等：在极坐标下，任一环向线 上的各点的应力分量的数值相同。因此，它只能是径 向坐标 r 的函数，不随环向坐标 f 改变，即与 f 无 关。由此可见，凡是轴对称问题，总是使自变量减少 一维。 （2）方向必须对称，即方向对称于z轴，方向不 对称的物理量不能存在：trj= tjr=0 。
弹性力学空间轴对称问题有限元法
轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，在实际工程中存 在大量的轴对称问题，如飞轮、回转类的压力容器、发动机 汽缸套、烟囱及受内压的球壳等，无限大、半无限大的弹性 体受集中载荷作用时也可以处理为轴对称问题。
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于 平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对 称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点 发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致 产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
Ke
B
eT
e
DB
dv
Ve
Fbe NeTf dv
Ve
Fqe NeT f dS Se
Fe 0
BeT0 dv
Ve
Fe 0
BeTD0 dv
Ve
Ke 2
BeT
e
DB
rdrdz
e
Fbe 2 NeTf rdrdz e
Fqe 2 NeT f rds Se
Fe 0
2
BeT0 rdrdz
u r
u
r
z
r u r w
rz
z
w
u
r z
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
1 1
0
r
σ
z rz
E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1
7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述
一、柱坐标系
由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 分析轴对称问题
w r
u z
• 尽管点的位移发生在平面内，但是，对于垂直于 平面的线元素却存在着伸缩的可能，因此，轴对 称问题的环向应变不为零。
2）几何方程
• 对于周向应变，尽管不存在周向位移，但由于A点 发生径向位移后，它与轴的距离变为，从而导致 产生周向的变形，如图所示，则产生周向应变为
(r u)d rd rd
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7.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程
（2）应力应变关系 —物理方程
1
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E 1 1 1
2
1 1
1
1
1
1
弹性力学问题的有限元法轴对称问题
drdz
Ri e
πA
6 2ri
0 rj
rm
(i, j,m)
当
rc ri rj rm, 则有
Wi
Wj
Wm
1 3
2πArc
2020/5/7
13
面积力 沿单元的jm面
q L0j q
Re
2π
A
Ni
0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
T
L0jqrdS
z
m
q j i
r
2020/5/7
πrc A3 2A
brbs
fr fs A1 br fs frbs A1cr bs fs A2brbs
A2cr cs
(r, s i, j,m)
A1cs br fr A2crbs
crcs A2brbs
其中
A1
1
A2
1 2 2(1 )
A3
E(1 ) (1 )(1 2)
ci z
(i, j, m)
1 ri zi
面积 A 1 rj z j
1 rm zm
常数
abii
rj zm zj
rm z j zm
c j rj rm
(i, j,m)
f
u w
N
e
Ni I 2
N jI2
Nm I2 e
备注:
平面三角形单元
x, y
轴对称三角形单元
r, z
2020/5/7
4
2. 确定应力-应变、应变-位移
(i, j, m)
应变 r , z , rz是常量, 是单元中r和z的函数;
Be Bi Bj Bm e