弹性力学边值问题
弹性力学边值问题及有限元法(PPT)
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
弹性力学基础(二)
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)， 求解物体内由此产生的应力场和位移场。
对物体内任意一点，当它处在弹性阶段时，其应力分量、应变分量、 位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程，这15个 泛定方程，同时在边界上要满足给定的全部边界条件。
定解条件：
满足基本方程和边界条件的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受 一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
7.6 弹性力学问题的基本解法
7.6.1 位移法 以位移作为基本未知量，将泛定方程用位移u,v,w来表示。
sx
2G
x
u 1 2u
sy
2G
y
u 1 2u
sz
2G
z
u 1 2u
t xy 2G xy t yz 2G yz t zx 2G zx
t zx z
Fbx
0
t xy x
s y y
t zy z
Fby
0
t xz x
t yz y
s z z
Fbz
0
将本构关系代入到平衡方程中
x
2u
Fbx
0
y
2v Fby
0
z
2w
Fbz
0
u j, ji ui, jj 0
式中▽2为拉普拉斯(Laplace)算子
2u 2u 2v 2w x2 y 2 z 2
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u
z
将几何关系代入到本构关系中
弹性力学问题的边界元法
弹性力学问题的边界元法
边界元法是一种被广泛应用于弹性力学问题的数值方法，它可以解决复杂、不可均匀结构的振动和弹性结构的动力学变形问题，具有计算准确、实现方便的优点，在力学中的应用越来越普遍。
边界元法的基本思想是将原来的弹性力学问题通过重新定义结构边界定义的特征变量转换为多边形表示的有限元问题。
它以节点和边为基本模型建立，采用有限单元法来描述边界上的物体、力和应力的变化，从而使得整个模型可以用有限元法实现数值求解。
边界元法的如此流行，主要是因为它具有容易计算、准确度高的优点，它能很好地求解复杂不确定状态下的弹性结构，而且它还可以解决柔性结构的受力变化。
此外，它还可以应用于多种时间和空间刻度，可为工程应用提供准确、简便的计算方法。
总之，边界元法在弹性力学研究领域有其重要价值，是弹性结构分析的最佳选择之一。
边界元法的广泛应用与先进的数值技术息息相关，能极大提高设计工程的效率和准确性。
未来，边界元法在弹性力学领域的发展将参考更多的研究成果。
chapter_4_弹性力学的边值问题
弹性力学
第 4 章 弹性力学的边值问题
2
§4-1 弹性力学边值问题的建立
§4-1 弹性力学边值问题的建立
3
§4-1 弹性力学边值问题的建立
1，弹性力学的全部方程式 ，
平衡方程
∇iT + f = 0
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂x + ∂σ y ∂y + ∂τ zy ∂z + fy = 0
1 +ν ν Γ= T − J (T) I E E
2 ∂ 2γ yz ∂ 2ε z ∂ ε y + =2 2 2 ∂ y ∂z ∂y ∂ z
∂ 2ε x ∂ 2ε z ∂ 2γ xz + =2 2 2 ∂z ∂x ∂ x∂z ∂ 2ε x ∂ ∂γ xy ∂γ xz ∂γ yz ( )= + − ∂x ∂ z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂ 2ε y ∂ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ( − + )= ∂y ∂ x ∂y ∂z ∂x ∂z ∂ ∂γ xz ∂γ xy ∂γ yz ∂ 2ε z ( − + )= ∂z ∂ y ∂z ∂x ∂x∂ y
ui , jj
1 1 + u j , ji + f i = 0 1 − 2ν µ
19
§4-2 位移表示的弹性力学边值问题
2，位移表示的边界条件： ，位移表示的边界条件：
u = u, on ∂ u Ω n ⋅ T = t on ∂ t Ω
n ⋅ T + ku = 0, on ∂ e Ω
∂u =t n ⋅ T = λ ( ∇ ⋅ u ) n + µn × ( ∇ × u ) ∇ u + 2µ ∂n
弹性力学极坐标边界条件例题
弹性力学极坐标边界条件例题【景德镇瓷器，我为你感到骄傲】姚宏业（初二）景德镇，闻名世界的千年瓷都，以“匠从八方来，器成天下走”而著称。
“白如玉、明如镜、薄如纸、声如磬”景德镇瓷器流传了数千年，引举世之瞩目，是值得自豪的民族瑰宝。
寒假期间，我有幸参观了景德镇古窑民俗展区。
博览区展出的精美瓷器吸引着我驻足观赏。
讲解员告诉我欣赏精品瓷器由远及近会发现：这些呈乳白色的瓷器，光泽柔和，温润如玉；釉面光滑，晶莹剔透；宛若明镜，光彩照人。
把玩在手中，胎质轻薄，宛若蛋壳，薄如蝉翼，轻若绸纱。
正所谓“只恐风吹去，还愁日灸销”。
用指轻扣，能听到“咚”的脆响，宛若乐器奏出的优美磬声，扣人心弦。
这样精美绝伦的艺术品怎能不令人自豪！览区内有一处展示古法工艺制作瓷器的作坊。
走进作坊，世界上最古老的制瓷生产线展现在我们面前。
手感细腻如面粉、颜色乳白如奶酪的高岭土散发着芳香。
从一块块泥巴变成精美的瓷器，真是件神奇的事情。
一排排未经烧制的瓷坯宛如素颜的少女，静雅而纯净。
聚集在车间里的老工匠们，技艺独特，按照古老的方法拉坯、施釉、画坯……，一个个素颜美女便穿上华丽的釉衣，绽放出惊人的美丽。
据介绍，古法制作一个瓷器需要经过七十二道工序，舂泥、拉坯、印坯、利坯、画胚、施釉、开窑……一个都不能少。
这样的制瓷过程让我感受到艺术品出炉的不易，更让我为景德镇瓷器精益求精的制作过程而自豪。
景德镇的制瓷匠人一生只从事一项工作。
拉坯的一辈子拉坯，烧窑的一辈子烧窑。
每一步技法都需要多年经验的积累。
80多岁的王燕生是国家级非物质文化遗产的继承人。
他11岁开始学徒，擅长圆器拉坯。
看着王师傅用木棍搅动轱辘车盘使其快速旋转，随着双手手形不断变换，车盘上的泥料也在不停变化，一个葫芦雏形飞快地呈现出来。
他仿佛魔术师一般，陡然间变出了一个大葫芦。
王师傅把做好的葫芦掰开一节展示给我们，中间全是空心的，太神奇了！大家禁不住热烈鼓掌。
王师父会心地一笑，他绝对可以为自己的精湛技艺自豪。
弹性力学基本方程及原理
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所有
方程，为真解
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x
1 E
x
( y
z )
1 E
( p
2
p)
p(1 2 )
E
y
z
xy yz zx 0
6）求位移分量：
代入几何方程并积分可求位移
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
1、检查在柱体侧边（主要边界）X i 0 n3 n 0
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时）
ij ,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足
4）检查是否满足应力的边界条件 z
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
（A）
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
y
x=y=z=-p
xy=yz=zx=0
x
a）前、后面： 1 m n 0 前面面力：fx p f y 0 fz 0
应力法可归结为：在给定的边界条件下，求解下列方程
弹性力学-边界条件
yx
x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy
由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0
h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：
x x l
dy Fx ,
xy x l
dy Fy ,
x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
弹性力学-边界条件
1 (
y x) s
f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
yxx
xy y
s
l m
f f
x y
fYyn
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
O yyຫໍສະໝຸດ l cos m sin
x yx
xy y
s
l m
f f
x y
x s cos
xy
sin
s
0
xy
cos
s
y
sin
s
0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
cos
yx
s in
s
0
xy
cos
s
y
s in
s
0
x
s
ytg 2
p
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第五章弹性力学边值问题
本章任务
总结对弹性力学基本方程
讨论求解弹性力学问题的方法
目录
§5.1弹性力学基本方程
§5.2问题的提法
§5.3弹性力学问题的基本解法
解的唯一性
§5.4圣维南局部影响原理
§5.5叠加原理
§5.1弹性力学基本方程
✓总结弹性力学基本理论；
✓讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。
弹性力学基本方程1.平衡微分方程
000=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂bz z
yz z by zy
y xy bx zx
yx x F z
y x F z y x F z y x στττστττσ0
,=+bj i ij F σ2.几何方程
x
w z u z v y w y u x v z w y v x u zx yz xy z y x ∂∂+
∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=γγγεεε,,,
,,)
,,(2
1
i j j i ij u u +=ε
3.变形协调方程
y
x z y x z z x z y x y z y z y x x z
x x z z
y z y y
x y x z
xy xz yz y xy
xz yz x xy xz yz xz
z x yz
y z xy
x y
∂∂∂=∂∂-∂∂+∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂εγγγεγγγεγγγγεεγεεγεε22
2
2
22
2
2
2
22
2
2
222
2
22)(2)(2)(位移作为基本未知
量时，变形协调方程自然满足。
3.本构方程——广义胡克定律
应力表示
应变表示
G
G
G
v v E
v E
v v E v E v v E v E xz
xz yz
yz xy
xy z y x z z y z x y y x z y x x τγτγτγσσσσεσσσσεσσσσε=
==Θ-+=
+-=Θ-+=
+-=Θ-+=
+-=])1[(1
)]([1
])1[(1
)]([1
])1[(1
)]([1
xz
xz yz yz xy xy z z y y x x μγτμγτμγτμελθσμελθσμελθσ===+=+=+=222基本方程：平衡微分方程；几何方程和本
•边界条件
•若物体表面的面力分量为F sx 、F sy 和F sz 已知•则面力边界条件为：
n
m l F n m l F n m l F z yz xz sz zy y xy sy xz xy x sx στττστττσ++=++=++=j
ij si n F σ=•若物体表面的位移已知，则位移边界条件为
w v u ,,w
w v v u u ===,
,
•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件
§5.1 基本方程5
§5.1 基本方程6
总结：
弹性力学基本方程和边界条件
§5.2问题的提法
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。
求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。
为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。
•在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。
•按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。
•第一类边值问题：已知弹性体内的体力和
其表面的面力分量为F
sx 、F
sy
和F
sz
，边界条
件为面力边界条件。
•第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。
§5.2 问题提法2
•第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。
称为混合边界条件。
•以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。
•若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。
位移解法
——以位移函数作为基本未知量
应力解法
——以应力函数作为基本未知量
混合解法
——以部分位移和部分应力分量作为基本未知量
§5.3弹性力学问题基本解法
解的唯一性
•选取位移函数作为基本未知量求解的方法称为位移解法。
•主要工作：
•利用位移函数u,v,w表达其他未知量；•推导位移函数描述的基本方程•——位移表达的平衡微分方程
w
w v v u u ===,,•位移解法的基本未知量为3个位移函数•基本方程为3个拉梅方程
•对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。
0)(0)(0)(b 2b 2b 2=+∇+∂∂+=+∇+∂∂+=+∇+∂∂+z y x F w z
F v y
F u x μθμλμθμλμθμλ0)(b 2,=+∇++i i i kk F u μελμ
)()()()()()(n z
w m y v l z u n z w m y w l x w n F n y
w m y v l y u n z v m y v l x v m F n x
w m x v l x u n z u m y u l x u l F sz sy sx ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=μμλθμμλθμμλθi
i j j j i i kk bi n u n u n F ,,μμλε++=但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂这一边界条件几乎不可能实现
•总之，位移解法以位移为基本未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。
•位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。
•应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法
•应力解法的基本方程
• 1. 平衡微分方程
• 2. 变形协调方程
•应力解法综述
•应力解法的基本未知量为6个应力分量；•基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。
•应力解法适用于面力边界条件。
•总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。
混合解法
根据问题性质和边界条件，选择不同的基本未知量求解称为混合解法。
解的唯一性原理——
弹性体受已知体力作用。
在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。
则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。
证明12
•弹性力学的基本未知量位移、应力和应变
等在体力为常量时具有一些特性。
•掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力
学问题。
•物理量特性体力为常量时一些物理量的特性
02=∇θ02
=∇Θ022=∇∇i u 002
222=∇∇=∇∇ij ij εσ
•体力为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯（Laplace)方程。
•体积应力函数和体积应变函数为调和函数。
•位移分量，应变分量和应力分量均满足双调和方程，
•位移分量，应变分量和应力分量为双调和函数。
•局部影响原理——
•物体任意一个小部分作用
一个平衡力系，则该平衡
力系在物体内部所产生的
应力分布，仅局限于力系
作用的附近区域。
在距离
该区域相当远处，这种影
响便急剧减小。
•证明12
§5.4圣文南原理
§5.5叠加原理
解的叠加原理——
小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。
逆解法
——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。
然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。
半逆解法
——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。
逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有“试算”的性质。
偏微分方程边值问题求解困难
难以确定弹性力学问题的解析解
显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。