弹性力学基本知识考试必备

弹性力学基本知识考试必备
一、 基本概念：
（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定
（2） 切应力互等定理：
作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。

（3） 弹性力学的基本假定：
连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。

（4） 平面应力与平面应变；
设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。

同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。

这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。

设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。

由胡克定律，0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。

因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变
问题。

（5）一点的应力状态；
过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。

（6）圣维南原理；（提边界条件）
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。

（7）差分法的基本概念：
是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。

（8）极小势能原理：
在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。

（9）轴对称；
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。

这种问题称为空间轴对称问题。

二、 平衡微分方程：
(1) 平面问题的平衡微分方程；
00yx x x xy y y f x y f x y
τστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记） (2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；
10210f f ρρϕρϕρϕρϕρϕϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ∂σ∂ττρ∂ϕ∂ρρ
-+++=+++= (3) 空间问题的平衡微分方程；
000yx x zx x xy y zy y yz xz z z f x y z
f x y z
f x y z
τσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂（记） (4)
空间问题的平衡微分方程（柱坐标）； 00z z z z z f z f z ρρρϕρρρστσσρρττσρρ
∂∂-++=∂∂∂∂+++=∂∂＋ 1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。

2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。

三、 几何方程；
（1） 平面问题的几何方程；
x y xy u
x
v y
v u x y εεγ∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂（记）
（2） 平面问题的几何方程（极坐标）；
1212121u u v v u v ρρρϕϕϕρϕρϕρϕεεερεεερρ∂ϕγγγρρϕρ
∂=+=
∂∂=+=+∂∂=+=+-∂∂
（3） 空间问题的几何方程；
1,21,212x y z yz zx xy u x
v y
w z
w v y z u w z x v u x y εεεγγγ∂=
∂∂=∂∂=∂⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫
=+ ⎪∂∂⎝⎭
⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭，，
（4） 空间问题的几何方程（柱坐标）；
1()1()12(1)E
E
G E ρρϕϕϕρρϕρϕρϕεσνσεσνσνγττ=
-=-+== 1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。

2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，
位移并不能确定。

（刚体位移）
四、 物理方程；
（1） 平面应力的物理方程；
()()()1121x x y y y x xy xy E
E
E εσμσεσμσμγτ=
-=-+=（记） （2） 平面应变的物理方程；
()22111121x x y y y x xy xy E E E
μμεσσμμμεσσμμγτ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
+= （3） 极坐标的物理方程（平面应力）；
1()1()12(1)E
E
G E ρρϕϕϕρρϕρϕρϕεσνσεσνσνγττ=
-=-+== （4） 极坐标的物理方程（平面应变）；
221()11()12(1)E E E
ρρϕϕϕρρϕρϕμμεσσμ
μμεσσμ
μγτ-=---=--+= （5） 空间问题的物理方程；
()()()1,1,1,1,1,1x x y z y y z x z z x y yz yz zx zx xy xy E E E G
G
G εσμσσεσμσσεσμσσγτγτγτ⎡⎤=
-+⎣
⎦⎡⎤=-+⎣
⎦⎡⎤=-+⎣⎦=== （6） 空间问题的物理方程（柱坐标）；
()()()()111211z z z z z z z E E E
G E ρρϕϕϕρρϕρρρεσμσσεσμσσεσμσσμγττ⎡⎤=
-+⎣
⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦+== 五、 边界条件；
（1） 几何边界条件；
平面问题：()()()()
s s u u s v v v == 在u s 上； 空间问题：()()
()()()()
s s s u u s v v v w w s === 在u s 上；
（2） 应力边界条件；
平面问题：()()x yx x s xy y y s l m f l m f σττ
σ+=+=（记）
空间问题：()()()x yx zx x s xy y zy y s xz yz z z s
l m n f l m n f l m n f σ
τττ
στττσ++=++=++= （3） 接触条件；
光滑接触：()()n n
σσ'= n 为接触面的法线方向 非光滑接触：()()()()n n n n
u u σσ'='= n 为接触面的法线方向 （4） 位移单值条件；
()()2u u θπθ+=
（5） 对称性条件：
具体问题具体分析。