第10章 弹性力学空间问题

第十章弹性力学空间问题知识点

空间柱坐标系

空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解

分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析

热应力的弹性力学分析方法坝体热应力

质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程

球坐标的基本方程

位移表示的平衡微分方程乐普位移函数

载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析

受热厚壁管道

弹性应力波及波动方程应力波的相向运动

一、内容介绍

对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。

本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。

本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。

另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。

二、重点

1、空间极坐标和球坐标问题；

2、布希涅斯克问题；

3、半无限空间作

用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。

§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程

学习思路:

对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。

例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。

本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。

学习要点：

1、空间柱坐标系；

2、柱坐标基本方程；

3、空间轴对称问题的基本方程。

1、空间柱坐标系

在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M的位置坐标用（ρ，ϕ，z）表示。

直角坐标与柱坐标的关系为：x =ρ cos ϕ，y =ρ sin ϕ ，z = z

柱坐标下的位移分量为：uρ，uϕ ， w

柱坐标下的应力分量为：σρ，σϕ ，σz，τρϕ，τϕ z，τzρ

柱坐标下的应变分量为：ερ，εϕ ，εz，γρϕ，γϕ z，γzρ

以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。

2、柱坐标基本方程

1、平衡微分方程

2、几何方程

3、物理方程

其中

3、空间轴对称问题的基本方程

对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对称于某一坐标轴，例如z轴时，则根据变形的对称性，有

根据几何方程，则，而根据本构方程，则。其余应变分量和应力分量仅是坐标ρ,z的函数，而与坐标ϕ 无关。因此，基本方程可以简化为

1、平衡微分方程

2、几何方程

3、本构方程

§10.2 球坐标表示的弹性力学基本方程

学习思路:

对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选择与问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。

对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。这些问题如果应用直角坐标问题可能得不到解答。

本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。对于空间球对称问题的基本方程表达形式作专门的探讨。

学习要点：

1、球坐标的基本方程；

2、空间球对称问题的基本方程

1、球坐标的基本方程

在球坐标系下，空间一点M的位置是用3个坐标（R，θ，ϕ）表示。直角坐标与球坐标的关系为

如果分别采用表示柱坐标下的位移分量；采用

和分别表示柱坐标下的应力和应变分量。则它们应该满足下列方程，有

1、平衡微分方程

2、几何方程

3、物理方程

2、空间球对称问题的基本方程

对于球对称问题，也就是说物体的几何形状，约束条件，外力和其他外界因素都对称于某一点（例如坐标原点）。

由于变形的对称性，则。根据几何方程和

本构方程，则和，其余的应变分量和应力分量也仅是坐标R的函数，而与坐标θ，ϕ 无关。而且

。因此基本方程可以简化为

如果将球对称位移代入平衡微分方程，则球对称条件下的位移表示的平衡微分方程为

§10.3 半无限平面受法向力的作用

学习思路:

1885年，布西内斯科（Boussinesq.J.V）首先求解了半无限平面受法向集中力作用的问题，因此该问题称为布西内斯科问题。这一问题的求解是弹性力学最有理论价值的结论之一。

布西内斯科问题的求解对于地基应力、基础沉陷和弹性力学接触等领域的研究工作具有重要的应用价值，为相关学科的理论研究奠定了基础。

根据结构分析，问题是空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。求解方法采用位移法，求解步骤为：

1、建立位移表示的平衡微分方程。

2、引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。这一方面简化问题分析，使得基本方程成为双调和方程；另一方面，乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。

3、根据问题的性质假设乐甫位移函数，并且通过边界条件确定函数的待定系数。

4、回代可以确定问题的位移，特别是半无限平面的沉陷等。

学习要点：

1、位移表示的平衡微分方程；

2、乐甫位移函数与基本方程；

3、乐

甫位移函数的选择与基本未知量；4、边界条件与布西内斯科解。

1、位移表示的平衡微分方程

设半无限体的表面受法向集中力F的作用，选取坐标系如图所示

在不计重力的条件下，求半无限体内的应力和位移分布情况。

对于半无限平面受法向集中力F的作用问题。根据结构的受力分析，显然这是一个空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。

问题的求解有多种方法，下面讨论位移法求解。