第10章 弹性力学空间问题

第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。

本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。

通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。

另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。

本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。

然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。

通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。

另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。

二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。

§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。

但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。

某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。

因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。

例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。

本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。

特别是关于空间轴对称问题的基本方程。

学习要点：1、空间柱坐标系；2、柱坐标基本方程；3、空间轴对称问题的基本方程。

1、空间柱坐标系在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M的位置坐标用（ρ，ϕ，z）表示。

直角坐标与柱坐标的关系为：x =ρ cos ϕ，y =ρ sin ϕ ，z = z柱坐标下的位移分量为：uρ，uϕ ， w柱坐标下的应力分量为：σρ，σϕ ，σz，τρϕ，τϕ z，τzρ柱坐标下的应变分量为：ερ，εϕ ，εz，γρϕ，γϕ z，γzρ以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。

2、柱坐标基本方程1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程其中3、空间轴对称问题的基本方程对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对称于某一坐标轴，例如z轴时，则根据变形的对称性，有根据几何方程，则，而根据本构方程，则。

其余应变分量和应力分量仅是坐标ρ,z的函数，而与坐标ϕ 无关。

因此，基本方程可以简化为1、平衡微分方程2、几何方程3、本构方程§10.2 球坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选择与问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。

因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。

对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。

这些问题如果应用直角坐标问题可能得不到解答。

本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。

对于空间球对称问题的基本方程表达形式作专门的探讨。

学习要点：1、球坐标的基本方程；2、空间球对称问题的基本方程1、球坐标的基本方程在球坐标系下，空间一点M的位置是用3个坐标（R，θ，ϕ）表示。

直角坐标与球坐标的关系为如果分别采用表示柱坐标下的位移分量；采用和分别表示柱坐标下的应力和应变分量。

则它们应该满足下列方程，有1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程2、空间球对称问题的基本方程对于球对称问题，也就是说物体的几何形状，约束条件，外力和其他外界因素都对称于某一点（例如坐标原点）。

由于变形的对称性，则。

根据几何方程和本构方程，则和，其余的应变分量和应力分量也仅是坐标R的函数，而与坐标θ，ϕ 无关。

而且。

因此基本方程可以简化为如果将球对称位移代入平衡微分方程，则球对称条件下的位移表示的平衡微分方程为§10.3 半无限平面受法向力的作用学习思路:1885年，布西内斯科（Boussinesq.J.V）首先求解了半无限平面受法向集中力作用的问题，因此该问题称为布西内斯科问题。

这一问题的求解是弹性力学最有理论价值的结论之一。

布西内斯科问题的求解对于地基应力、基础沉陷和弹性力学接触等领域的研究工作具有重要的应用价值，为相关学科的理论研究奠定了基础。

根据结构分析，问题是空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。

求解方法采用位移法，求解步骤为：1、建立位移表示的平衡微分方程。

2、引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。

这一方面简化问题分析，使得基本方程成为双调和方程；另一方面，乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。

3、根据问题的性质假设乐甫位移函数，并且通过边界条件确定函数的待定系数。

4、回代可以确定问题的位移，特别是半无限平面的沉陷等。

学习要点：1、位移表示的平衡微分方程；2、乐甫位移函数与基本方程；3、乐甫位移函数的选择与基本未知量；4、边界条件与布西内斯科解。

1、位移表示的平衡微分方程设半无限体的表面受法向集中力F的作用，选取坐标系如图所示在不计重力的条件下，求半无限体内的应力和位移分布情况。

对于半无限平面受法向集中力F的作用问题。

根据结构的受力分析，显然这是一个空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。

问题的求解有多种方法，下面讨论位移法求解。

将轴对称问题的本构方程代入平衡微分方程则可以得到位移表示的平衡微分方程其中，空间轴对称问题的拉普拉斯算符为。

如果不计体力，则平衡微分方程可以简化为2、乐甫位移函数与基本方程对于无体力的半无限平面受法向集中力作用问题，基本方程为在给定边界条件下求解位移表示的平衡微分方程。

对于空间轴对称弹性体分析，可以引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。

设位移分量为将上述位移分量代入平衡微分方程，可以得到关于ψ (ρ，z)的双调和方程。

ψ (ρ，z)称为乐甫函数。

因此，问题就归结于在给定的边界条件下求解双调和函数ψ (ρ，z)。

引入乐甫位移函数一方面可以简化问题，使得基本方程成为双调和方程；另一方面由于乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。

将乐甫函数表达的位移分量代入几何方程和本构方程，则问题求解的关键是建立双调和函数ψ (ρ，z)。

3、乐甫位移函数的选择与基本未知量根据量纲分析，应力分量表达式应为F乘以ρ，z，R等长度坐标的负二次幂，位移分量应为长度坐标的负一次幂函数。

如果注意到应变分量和位移分量之间的关系，以及应变分量和应力分量之间的关系，可以知道，乐甫函数ψ(ρ，z) 为ρ，z，R的正一次幂的双调和函数。

所以设乐甫位移函数为其中，而A和B为任意常数。

将乐甫函数代入位移和应力分量表达式，则可以得到位移分量应力分量4、边界条件与布西内斯科解根据面力边界条件，有。

根据上述边界条件第二式，可得考虑距离表面为z的水平面上的正应力的合力由平衡条件，有求解可以得到联立求解上述方程，可得。

回代可得位移分量为应力分量为根据位移表达式，对于任何一条常数的直线上，位移与距坐标原点的距离成反比。

在无穷远点，位移趋于零。

在z = 0的平面上，即半无限体表面上任一点的法向位移（即沉陷）为上式对于任意的z =0，而 ≠0均成立。

公式表明，半无限体表面的沉陷与该点到力的作用点的距离成反比。

上述公式称为布西内斯科解。

§10.4 半无限平面作用法向分布载荷学习思路:通过布西内斯科问题解答的叠加，可以得到表面区域作用分布载荷问题的解答。

本节讨论半无限体，表面半径为a到圆形区域，作用均匀法向分布力问题。

分析半无限弹性体的应力和位移分布等，特别是表面沉陷问题。

问题分为三个部分讨论。

一是载荷作用区域中心点下方的位移；二是载荷作用区域外的沉陷；三是载荷作用区域内的沉陷。

由于分布载荷是连续的，因此问题的迭加工作可以通过积分完成。

这里应该特别注意的是布西内斯科解的坐标在积分中的变换问题。

由于坐标的变换，因此对于每一个问题都要建立积分的局部坐标。

积分坐标变换是本节学习的难点。

学习要点：1、载荷作用区域中心点下方的位移；2、载荷作用区域外的沉陷；3、载荷作用区域内的沉陷。

1、载荷作用区域中心点下方的位移在半无限体的表面半径为a到圆形区域作用法向分布力，其应力分量和位移分布情况可以通过半无限体受法向集中力的结果迭加得到。

设圆形区域的半径为a，单位面积的压力为q，如图所示首先分析载荷作用圆形区域中心下面（即z轴上）任意一点的位移表达式。

对于圆形区域中心下面任意一点M，由于对称性，有z方向的位移分量可以根据公式的第二式得到。

引进变量 , 并且注意到则环形面积上的分布载荷q引起圆形区域中心下面任意一点M 的位移为所以令上式中z=0，则可得载荷圆域中心点的沉陷为2、载荷作用区域外的沉陷下面讨论半无限体表面的沉陷。

对于半无限体表面上的点M，则必须首先区分它在载荷圆形区域之外，还是在圆形区域之内。

如果点M位于载荷圆形区域之外，则由图可见变量s和ψ作为描述圆形区域的局部坐标，则根据公式可得图中阴影部分的合力在M点产生的沉陷为因此，M点的总沉陷为对上式进行积分，注意到弦mn的长度，即并且在积分时考虑对称性，可得积分上限ψ1是ψ的最大值，即圆的切线与OM之间的夹角，对于确定的点M，它是确定的值。

为了简化运算，我们引进变量ϕ，由图可见，它与ψ 之间的关系为a sinϕ = ρ sinψ由此可得将上式代入积分公式，并且注意到当ψ从0变化到ψ1时，ϕ由0变化到π/2，于是上式右边的两个积分为椭圆积分，他们可以按照 a/ρ 的数值从函数表中查出。

当ρ =a时，则3、载荷作用区域内的沉陷如果点M位于载荷圆域内部，考虑图中的阴影部分（其面积为d A=s dψd s）在点M 引起的沉陷，然后经积分，得到总沉陷为由于弦mn的长度，即，而ψ是由0变化到π/2的，所以利用关系式a sinϕ = ρsinψ，则上式成为上式右边的椭圆积分，可以通过查表而得到。

若令ρ =0，则可以得到公式的结果，它是半无限体表面的最大沉陷。

将公式和公式相比较，可见最大沉陷是载荷圆边界沉陷的π/2倍。

由公式可以看到，最大沉陷不仅与载荷集度q成正比，而且还与载荷圆的半径成正比。

半无限体表面作用分布载荷的应力分量同样可以使用叠加法求解。