第10章弹性力学空间问题
弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
t
2
yz zdz
（10.10）
将式（10.3）和（10.5）代入式（10.9），（10.10）得
Mx
D
2w x2
2w y 2
,
My
D
2w y 2
2w x2
M
xy
D(1
)
2w xy
（10.11）
FQx
D
x
2w x2
2w y 2
,
FQy
D
y
2w x2
2w y 2
将式（10.3）和（10.5）与（10.11）进行比较， 可以得到用内力矩表示的薄板应力
D 4 w q
（10.7） （c） （10.8a）
即
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
（10.8b）
方程（10.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或 挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。 从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导 出该方程式。
纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄 板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠 度w后，然后就可以按公式（10-3）、（10-5）和 （10-7）求应力分量。
薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个计
算假定：
（1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形 后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度 不变。这就是Kichhoff的直法线假设；
（2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx 、 τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本 身却是维持平衡所必须的，不能不计。
薄板弯曲问题的经典解法
第10章 薄板弯曲问题
在弹性力学中， 将两个平行面和垂 直于该平面的柱面 所围城的物体称为 平板，简称为板， y 如图10-1所示。
弹性力学 本构方程 刚度矩阵 柔度矩阵
弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵中文名称:弹性力学英文名称:theory of elasticity其他名称:弹性理论定义:研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。
所属学科:水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科)弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展大体分为四个时期。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。
这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。
第二个时期是理论基础的建立时期。
这个时期的主要成就是，从1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。
第10章 弹性力学空间问题
第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。
本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。
通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。
另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。
本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。
然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。
通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。
另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。
二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。
§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。
但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。
某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。
本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。
特别是关于空间轴对称问题的基本方程。
弹性力学 空间问题基本理论共55页文档
45、自己的饭量自己知道。——苏联来自弹性力学 空间问题基本理论
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
弹性力学--CH 7 空间问题的基本理论
CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
M
ab
0
yz zy
同理：
xy yx
zx xz
CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
F F F
x
0 0 0
y
z
x yx zx X 0 x y z y zy xy Y 0 y z x z xz yz Z 0 z x y
解方程得出σ的三个根σ1、σ2、σ3，即为P点的三个主应力。 求解与σ1相应的方向余弦l1、m1、n1。
l1 ( x 1 ) m1 yx n1 zx 0 l1 xy m1 ( y 1 ) n1 zy 0
l1 m1 n1 1
m1 n1 1 可以解出： , 及l1 2 2 l1 l1 1 (m1 / l12 ) 2 (n1 / l12 ) 2
X l x m yx n zx Y m y n zy l xy Z n z l xz m yz
X i l j ji
CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
静力学方面、几何方面和物理学方面建立方程
在物体内的任意 一点P，取一个微小 的平行六面体，它 的六个面垂直于坐 标轴，而棱边的长 度为PA=dx、PB=dy、 PC=dz。一般而论， 应力分量是位置坐 标的函数。
N lX N m YN nZN
7.2 物体内任一点的应力状态
l 2 x m 2 y n 2 z 2m n yz 2nl zx 2lm xy
2 2 2 2 2 2 sN N N XN YN ZN 2 2 2 2 2 N XN YN ZN N
弹性力学与有限元智慧树知到答案章节测试2023年武汉工程大学
第一章测试1.下列不属于弹性力学研究对象的是（）。
A:板壳B:刚体C:杆件D:实体结构答案:B2.下列不属于弹性力学中基本未知量的是（）。
A:位移分量B:应力分量C:面力分量D:应变分量答案:C3.在工程强度校核中起着重要作用的是（）。
A:应力分量B:主应力C:正应力D:切应力答案:B4.已知物体内某点的应力张量(单位：Pa)，则沿方向的正应力大小为（）。
A:222.22 PaB:888.89 PaC:666.67 PaD:444.44 Pa答案:D5.下列关于应力分量的说法，正确的有（）。
A:坐标面上的应力B:一点的9个应力分量可以完全确定该点的应力状态C:应力分量与面力分量的正负号规定相同D:正截面上的应力E:弹性力学中应力分量的正负号规定反映了作用力与反作用力原理以及“受拉为正、受压为负”的传统观念。
答案:ABDE6.理想弹性体满足的假设有（）。
A:无初始应力假设B:均匀性假设C:连续性假设D:完全弹性假设E:各向同性假设答案:BCDE7.建立在基本假设上的弹性力学，也称为（）。
A:弹性理论B:线性弹性力学C:应用弹性力学D:数学弹性力学答案:ABD8.弹性力学的主要任务是解决各类工程中所提出的问题，这些问题包括（）。
A:稳定B:刚度C:强度D:动力答案:ABC9.弹性力学的研究方法是在弹性体的区域内严格考虑三方面条件，建立三套基本方程，这三方面条件包括（）。
A:几何学B:物理学C:静力学D:动力学答案:ABC10.中国科学家胡海昌于1954年最早提出了三类变量的广义变分原理。
（）A:错B:对答案:B11.物体内任意一点的应力分量、应变分量和位移分量，都不随该点的位置而变化，它们与位置坐标无关。
（）A:对B:错答案:B12.在最大正应力的作用面上切应力为零，在最大切应力的作用面上正应力为零。
（）A:对B:错答案:B13.应力张量的三个不变量是与坐标选择无关的标量。
（）A:错B:对答案:B14.弹性力学与材料力学在研究方法上是完全相同的。
西北工业大学网络教育学院 有限元及程序设计 章节测试1-11含答案
A、 正确 B、 错误 标准答案：A 8. ( 单选题 ) 极坐标系下的基本未知量只有径向正应力σr，环向正应力σθ，剪应力τrθ( )。
A、 正确 B、 错误 标准答案：A 7. ( 单选题 ) 薄板的边界不包括（ ）。(本题 13 分)
第3页共6页
西北工业大学网络教育学院 有限元及程序设计 章节测试 1-11
A、 简支边界 B、 固定边界 C、 自由边界和荷载边界 D、 非固定边界 标准答案：D 8. ( 单选题 ) 通过挠曲微分方程求出位移后即可确定所有物理量，是按坐标求解法( )。 A、 正确 B、 错误 标准答案：B
应力函数φ=cθ求得圆盘的应力为
， 的值为（
A、 1 B、 0 C、 -1 D、 2 标准答案：B 2. ( 多选题 ) 轴对称情况下，应力分量可简化为（ ）。(本题 12 分)
）。
A、
B、
C、
D、
1 标准答案：ABC
3. ( 单选题 ) 轴对称问题应力分量只是坐标 r 的函数，不随θ而变，同时剪应力为零，应
A、 线性项 B、 非线性项 C、 边界项 D、 体力项 标准答案：A 8. ( 单选题 ) 按应力求解具体可分为逆解法和 半逆解法 两种( )。(本题 13 分)
A、 正确 B、 错误 标准答案：A
1. ( 单选题 ) 已知圆环在 r=a 的内边界被固定，在 r=b 的外边界作用着均布剪力τ0，用
西北工业大学网络教育学院 有限元及程序设计 章节测试 1-11
1. ( 多选题 ) 弹性力学的基本假设有（ ）。(本题 13 分) A、 假设物体是连续的 B、 假设物体是均匀的和各向同性的 C、 假设物体是完全弹性
弹性力学--第十章等截面直杆的扭转(全部)ppt课件
s 0
(10-4）
在多连截面的 虽情 然况 应下 力 在 ， 函 每数 一边界上 ，都 但是常 各个常数一般 。并 因不 此相 ，同 只能 一把 个其 边中 界 s取 某 上为 的 零。其他边 s， 界则 上须 的根据位 件移 来单 确值 定条 。
精品课件
11
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移
(1
) 2
x
2 x 2
0
(1 ) 2 y
2 y 2
0
xyzxy0
(1
) 2
z
2 z 2
0
(1)2yzy2z 0 (1)2zxz2x0
该两式要求：
2yz 0,
2zx 0
最后一式自动满足。
(1)2xyx2y0
xz
将(102)代入，得：
zx
y
(10-2）
yz
zy
x精品课件
相邻截面翘曲的程度完全相同，横截面上只有切应力，没 有正应力。 约束扭转：两端受到约束而不能自由翘曲（翘曲受到限制）。
相邻截面的翘曲程度不同，在横截面上引起附加正应力。
弹性力学讨论自由精品课扭件 转。
4
第十章 等截面直杆的扭转 y
10.1 扭转问题的应力和位移
x
设有等直截面杆，体力可
y
以不计，在两端平面内受有大
第十章 等截面直杆的扭转
10.1 扭转问题的应力和位移 10.2 扭转问题的薄膜比拟 10.3 椭圆截面杆的扭转 10.4 矩形截面杆的扭转
精品课件
1
学习指导
扭转问题是空间问题中的一个专门问 题。
扭转问题的理论，是从空间问题的基 本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立 起来的。扭转问题的应力函数(x，y)， 仍然是二维问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。
本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。
通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。
另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。
本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。
然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。
通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。
另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。
二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。
§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。
但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。
某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。
本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。
特别是关于空间轴对称问题的基本方程。
学习要点：1、空间柱坐标系；2、柱坐标基本方程；3、空间轴对称问题的基本方程。
1、空间柱坐标系在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x，y，z）表示的，而在柱坐标系下，空间一点M的位置坐标用（，，z）表示。
直角坐标与柱坐标的关系为：x = cos ，y = sin ， z = z柱坐标下的位移分量为：u，u，w柱坐标下的应力分量为：，z，，z，z柱坐标下的应变分量为：，z，，z，z以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。
2、柱坐标基本方程1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程其中3、空间轴对称问题的基本方程对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对称于某一坐标轴，例如z轴时，则根据变形的对称性，有根据几何方程，则，而根据本构方程，则。
其余应变分量和应力分量仅是坐标 ,z的函数，而与坐标无关。
因此，基本方程可以简化为1、平衡微分方程2、几何方程3、本构方程§10.2 球坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选择与问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。
这些问题如果应用直角坐标问题可能得不到解答。
本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。
对于空间球对称问题的基本方程表达形式作专门的探讨。
学习要点：1、球坐标的基本方程；2、空间球对称问题的基本方程1、球坐标的基本方程在球坐标系下，空间一点M的位置是用3个坐标（R，，）表示。
直角坐标与球坐标的关系为如果分别采用表示柱坐标下的位移分量；采用和分别表示柱坐标下的应力和应变分量。
则它们应该满足下列方程，有1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程2、空间球对称问题的基本方程对于球对称问题，也就是说物体的几何形状，约束条件，外力和其他外界因素都对称于某一点（例如坐标原点）。
由于变形的对称性，则。
根据几何方程和本构方程，则和，其余的应变分量和应力分量也仅是坐标R的函数，而与坐标，无关。
而且。
因此基本方程可以简化为如果将球对称位移代入平衡微分方程，则球对称条件下的位移表示的平衡微分方程为§10.3 半无限平面受法向力的作用学习思路:1885年，布西内斯科（Boussinesq.J.V）首先求解了半无限平面受法向集中力作用的问题，因此该问题称为布西内斯科问题。
这一问题的求解是弹性力学最有理论价值的结论之一。
布西内斯科问题的求解对于地基应力、基础沉陷和弹性力学接触等领域的研究工作具有重要的应用价值，为相关学科的理论研究奠定了基础。
根据结构分析，问题是空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。
求解方法采用位移法，求解步骤为：1、建立位移表示的平衡微分方程。
2、引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。
这一方面简化问题分析，使得基本方程成为双调和方程；另一方面，乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。
3、根据问题的性质假设乐甫位移函数，并且通过边界条件确定函数的待定系数。
4、回代可以确定问题的位移，特别是半无限平面的沉陷等。
学习要点：1、位移表示的平衡微分方程；2、乐甫位移函数与基本方程；3、乐甫位移函数的选择与基本未知量；4、边界条件与布西内斯科解。
1、位移表示的平衡微分方程设半无限体的表面受法向集中力F的作用，选取坐标系如图所示在不计重力的条件下，求半无限体内的应力和位移分布情况。
对于半无限平面受法向集中力F的作用问题。
根据结构的受力分析，显然这是一个空间轴对称问题，因此采用柱坐标求解。
问题的求解有多种方法，下面讨论位移法求解。
将轴对称问题的本构方程代入平衡微分方程则可以得到位移表示的平衡微分方程其中，空间轴对称问题的拉普拉斯算符为。
如果不计体力，则平衡微分方程可以简化为2、乐甫位移函数与基本方程对于无体力的半无限平面受法向集中力作用问题，基本方程为在给定边界条件下求解位移表示的平衡微分方程。
对于空间轴对称弹性体分析，可以引入乐甫（love）位移函数简化问题分析。
设位移分量为将上述位移分量代入平衡微分方程，可以得到关于(，z)的双调和方程。
(，z)称为乐甫函数。
因此，问题就归结于在给定的边界条件下求解双调和函数(，z)。
引入乐甫位移函数一方面可以简化问题，使得基本方程成为双调和方程；另一方面由于乐甫函数作为基本未知量可以表达弹性体的位移和应力分量，因此减少了面力边界条件在位移解法中应用的困难。
将乐甫函数表达的位移分量代入几何方程和本构方程，则问题求解的关键是建立双调和函数(，z)。
3、乐甫位移函数的选择与基本未知量根据量纲分析，应力分量表达式应为 F乘以，z，R等长度坐标的负二次幂，位移分量应为长度坐标的负一次幂函数。
如果注意到应变分量和位移分量之间的关系，以及应变分量和应力分量之间的关系，可以知道，乐甫函数(，z ) 为，z，R的正一次幂的双调和函数。
所以设乐甫位移函数为其中，而A和B为任意常数。
将乐甫函数代入位移和应力分量表达式，则可以得到位移分量应力分量4、边界条件与布西内斯科解根据面力边界条件，有。
根据上述边界条件第二式，可得考虑距离表面为z的水平面上的正应力的合力由平衡条件，有求解可以得到联立求解上述方程，可得。
回代可得位移分量为应力分量为根据位移表达式，对于任何一条常数的直线上，位移与距坐标原点的距离成反比。
在无穷远点，位移趋于零。
在z = 0的平面上，即半无限体表面上任一点的法向位移（即沉陷）为上式对于任意的z =0，而≠0均成立。
公式表明，半无限体表面的沉陷与该点到力的作用点的距离成反比。
上述公式称为布西内斯科解。
§10.4 半无限平面作用法向分布载荷学习思路:通过布西内斯科问题解答的叠加，可以得到表面区域作用分布载荷问题的解答。
本节讨论半无限体，表面半径为a到圆形区域，作用均匀法向分布力问题。
分析半无限弹性体的应力和位移分布等，特别是表面沉陷问题。
问题分为三个部分讨论。
一是载荷作用区域中心点下方的位移；二是载荷作用区域外的沉陷；三是载荷作用区域内的沉陷。
由于分布载荷是连续的，因此问题的迭加工作可以通过积分完成。
这里应该特别注意的是布西内斯科解的坐标在积分中的变换问题。
由于坐标的变换，因此对于每一个问题都要建立积分的局部坐标。
积分坐标变换是本节学习的难点。
学习要点：1、载荷作用区域中心点下方的位移；2、载荷作用区域外的沉陷；3、载荷作用区域内的沉陷。
1、载荷作用区域中心点下方的位移在半无限体的表面半径为a到圆形区域作用法向分布力，其应力分量和位移分布情况可以通过半无限体受法向集中力的结果迭加得到。
设圆形区域的半径为a，单位面积的压力为q，如图所示首先分析载荷作用圆形区域中心下面（即z轴上）任意一点的位移表达式。
对于圆形区域中心下面任意一点M，由于对称性，有z 方向的位移分量可以根据公式的第二式得到。
引进变量, 并且注意到则环形面积上的分布载荷q引起圆形区域中心下面任意一点M 的位移为所以令上式中z=0，则可得载荷圆域中心点的沉陷为2、载荷作用区域外的沉陷下面讨论半无限体表面的沉陷。
对于半无限体表面上的点M，则必须首先区分它在载荷圆形区域之外，还是在圆形区域之内。
如果点M位于载荷圆形区域之外，则由图可见变量s和作为描述圆形区域的局部坐标，则根据公式可得图中阴影部分的合力在M点产生的沉陷为因此，M点的总沉陷为对上式进行积分，注意到弦mn的长度，即并且在积分时考虑对称性，可得是的最大值，即圆的切线与OM之间的夹角，对于确定的点M，积分上限1它是确定的值。
为了简化运算，我们引进变量，由图可见，它与之间的关系为asin= sin由此可得时，由0变化到将上式代入积分公式，并且注意到当从0变化到1/2，于是上式右边的两个积分为椭圆积分，他们可以按照a/的数值从函数表中查出。
当=a时，则3、载荷作用区域内的沉陷如果点M位于载荷圆域内部，考虑图中的阴影部分（其面积为d A=s d d s）在点M 引起的沉陷，然后经积分，得到总沉陷为由于弦mn的长度，即，而是由0变化到/2的，所以利用关系式a sin =sin，则上式成为上式右边的椭圆积分，可以通过查表而得到。
若令=0，则可以得到公式的结果，它是半无限体表面的最大沉陷。
将公式和公式相比较，可见最大沉陷是载荷圆边界沉陷的/2倍。
由公式可以看到，最大沉陷不仅与载荷集度q成正比，而且还与载荷圆的半径成正比。
半无限体表面作用分布载荷的应力分量同样可以使用叠加法求解。
§10.5 赫兹接触问题学习思路:1881年,赫兹（hertz,H.R）首先研究了弹性球体的接触问题。
本节以弹性球体的接触介绍接触问题的基本概念。