北师大版数学七年级上《3.5探索与表达规律》同步练习(有答案)
北师大版 七年级 上册 3.5 探索与表达规律 练习(带答案)
探索与表达规律练习一、选择题1. 一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，若第n 个数为57，则n =( )A. 50B. 60C. 62D. 712. 已知有理数a ≠1，我们把11−a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数是11−2=−1，−1的差倒数是11−(−1)=12.如果a 1=−2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+⋯+a 100的值是( )A. −7.5B. 7.5C. 5.5D. −5.53. 观察以下一列数的特点：0，1，−4，9，−16，25，…，则第11个数是( )A. −121B. −100C. 100D. 1214. 观察点阵图的规律，第100个图的小黑点的个数应该是( )A. 399B. 400C. 401D. 4025. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )A. 11B. 13C. 15D. 176. 仔细观察下列数字排列规律，则a =( )A. 206B. 216C. 226D. 2367.按一定规律排列的单项式：x3，−x5，x7，−x9，x11，……，第n个单项式是()A. (−1)n+1x2n−1B. (−1)n x2n−1C. (−1)n+1x2n+1D. (−1)n x2n+18.求1+2+22+23+⋯+22016的值，可设S=1+2+22+23+⋯+22016，于是2S=2+22+23+⋯+22017，因此2S−S=22017−1，所以S=22017−1.我们把这种求和方法叫错位相减法．仿照上述的思路方法，计算出1+5+52+53+⋯+ 52016的值为()A. 52017−1B. 52016−1C. 52017−14D. 52016−149.在下列数字宝塔中，从上往下数，2018在_____层等式的______边．1+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+1516+17+18+19+20=21+22+23+24正确的答案是()A. 44，左B. 44，右C. 45，左D. 45，右10.观察下列各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第5个图形中小圆点的个数为()．A. 49B. 50C. 53D. 5611.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，那么：71+72+73+⋅⋅⋅+72021的末位数字是()A. 9B. 7C. 6D. 012.观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…若第ｎ个相同的数是103，则ｎ等于()A. 18B. 19C. 20D. 2113.计算9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=()A. 9a7b B. a97bC. 9ab7D. a9b714.如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处)，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是()A. C、EB. E、FC. G、C、ED. E、C、F二、填空题15.如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成：……，按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________．16.如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中图①有4根火柴棍，图②有12根火柴棍，图③有24根火柴棍……以此类推，则图⑩中火柴棍的根数是_____________．17.已知a1=t1+t ，a2=11−a1，a3=11−a2，…，a n+1=11−an(n为正整数，且t≠0，1)，则a2016=______(用含有t的代数式表示)．18.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2020次输出的结果为______________．19.如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM、BM，分别取AM、BM的中点P、Q，以P、Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图……若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30，则第n个矩形的边长分别是______，______．三、解答题20.观察下列关于自然数的等式：2×4−12+1=8；3×5−22+1=12；4×6−32+1=16；5×7−42+1=20；…利用等式的规律，解答下列问题：(1)若等式8×10−a2+1=b(a,b都为自然数)具有以上规律，则a=_________，a+b=_________．(2)写出第n个等式(用含n的代数式表示)．21.请观察下列算式，找出规律并填空：①11×2=1−12；②11×3=12×(1−13)；③11×4=13×(1−14)；④11×5=14×(1−15)……(1)第6个算式是__________________，第n(n为正整数)个算式是_________________；(2)从以上规律你可以得到哪些启示？根据你的启示，试解答下列问题：若有理数a，b满足|a−1|+(b−4)2=0，求1ab+1(a+3)(b+3)+1(a+6)(b+6)+1(a+9)(b+9)+⋯+1(a+30)(b+30)的值．22. 符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)=1+21，f(2)=1+22，f(3)=1+23，f(4)=1+24… (1)利用以上运算的规律写出f(n)=______；(n 为正整数) (2)计算：f(1)⋅f(2)⋅f(3)…f(100)的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，可写为：11，(12,21)，(13,22,31)，(14,23,32,41)，…， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为111,210,39,48,57,66,75,84,93,102,111，∴第n 个数为57，则n =1+2+3+4+⋯+10+5=60，2.【答案】A【解答】 解：∵a 1=−2， ∴a 2=11−(−2)=13，a 3=11−13=32，a 4=11−32=−2，…… ∴这个数列以−2，13，32依次循环，且−2+13+32=−16， ∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+⋯+a 100=33×(−16)−2=−152=−7.5，故选：A ．3.【答案】B【解析】解：0=−(1−1)2，1=(2−1)2，−4=−(3−1)2，9=(4−1)2，−16=−(5−1)2，∴第11个数是−(11−1)2=−100，4.【答案】C【解析】解：∵第1个图形中小黑点个数为1+4×1=5个， 第2个图形中小黑点个数为1+4×2=9个， 第3个图形中小黑点个数为1+4×3=13个，…∴第100个图形中小黑点个数为1+4×100=401个，5.【答案】B【解答】 解：观察图形知：第①个图形有3个正方形，第②个有5=3+2×1(个)，第③个图形有7=3+2×2(个)，…故第⑥个图形有3+2×5=13(个)，故选B．6.【答案】C【解答】解：观察发现：2=1×2−0；10=3×4−2；26=5×6−4；50=7×8−6；…a=15×16−14=226，故选C．7.【答案】C【解答】解：∵第1个式子：x3=(−1)1+1x2×1+1，第2个式子：−x5=(−1)2+1x2×2+1，第3个式子：x7=(−1)3+1x2×3+1，第4个式子：−x9=(−1)4+1x2×4+1，第5个式子：x11=(−1)5+1x2×5+1，……∴由上可知，第n个单项式是：(−1)n+1x2n+1，故选C．8.【答案】C【解析】解：设S=1+5+52+53+⋯+52016，则5S=5+52+53+⋯+52017，∴5S−S=52017−1，∴S=52017−1．49.【答案】B【解答】解：第1层等式左右两边共3个数，第2层等式左右两边共5个数，第3层等式左右两边共7个数，第4层等式左右两边共9个数，…，第n层等式左右两边共2n+1个数，3+5+7+9+⋯+2n+1=n(n+2)，当n=43时，n(n+2)=1935，当n=44时，n(n+2)=2024，∵1935<2018<2024，∴2018在第44层，又∵2018−1935=83，83>44+1，∴2018在第44层的右边．故选：B．10.【答案】B【解答】解：根据题意分析可得：第1个图形中小圆点的个数为10=(1+2)2+1；第2个图形中小圆点的个数为17=(2+2)2+1；第3个图形中小圆点的个数为26=(3+2)2+1；…；，第n个图形中小圆点的个数为(n+2)2+1，∴第5个图形中小圆点的个数为7×7+1=50．故第5个图形中小圆点的个数为50．故选B．11.【答案】B【解答】解：由71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，...可知；个位数字的变化规律为：7，9，3，1，所以2021÷4=505...1，所以72021的末位数字为7，∴所有数的个位数之和为：(7+9+3+1)×505+7=10107， 所以71+72+73+⋯+72021的末位数字是7． 故选B ．12.【答案】A【解答】解：第1个相同的数是1=0×6+1， 第2个相同的数是7=1×6+1， 第3个相同的数是13=2×6+1， 第4个相同的数是19=3×6+1， …，第n 个相同的数是6(n −1)+1=6n −5， 所以6n −5=103，解得n =18． 故选A ．13.【答案】C【解析】解：9个{a+a+⋯+ab⋅b⋯⋅b7个=9ab 7，14.【答案】D【解析】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+⋯+k =12k(k +1)，应停在第12k(k +1)−7p 格，这时P 是整数，且使0≤12k(k +1)−7p ≤6，分别取k =1，2，3，4，5，6，7时，12k(k +1)−7p =1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7<k ≤2020，设k =7+t(t =1,2，3)代入可得，12k(k +1)−7p =7m +12t(t +1)， 由此可知，停棋的情形与k =t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．15.【答案】9n +3【解析】解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．16.【答案】220【解答】解：设摆出第n个图案用火柴棍为S n．①图，S1=4；②图，S2=4+3×4−(1+3)=4+2×4=4×(1+2)；③图，S3=4(1+2)+5×4−(3+5)=4×(1+2+3)；…；图⑩火柴棍的根数是：S10=4×(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=220，故答案为220．17.【答案】−1t【解答】解：根据题意得：a1=t1+t ，a2=11−t1+t=1+t，a3=11−1−t=−1t，a4=11+1t=tt+1⋯2016÷3=672，∴a2016的值为−1t，故答案为−1t．18.【答案】3【解答】解：∵第二次输出的结果为12，∴第三次输出的结果为6，第四次输出的结果为3，第五次输出的结果为6，第六次输出的结果为3，…，∴从第三次开始，第偶数次输出的为3，第奇数次输出的为6，∴第2020次输出的结果为3．故答案为3．19.【答案】10×(12)n−1； 5×(12)n−1【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC ，∠D =∠C =90°∵M 为CD 的中点，∴DM =CM ，∴△ADM≌△BCM(SAS)，∴AM =BM ，∵AM ⊥MB ，∴△ABM 是等腰直角三角形，∴∠MAB =∠MBA =45°，∴∠DAM =∠CBM =45°，∴∠DAM =∠DMA ，∴AD =MD =12CD ，∵矩形ABCD 的周长为30，∴CD =10，AD =5，∵P 、Q 分别是AM 、BM 的中点，∴矩形PSRQ 的长和宽之比为2：1，在△ABM 中，PQ =5，则宽为52，同理可得：第三个矩形的边长为10×(12)2 和5×(12)2，则可得：第n 个矩形的边长分别是10×(12)n−1，5×(12)n−1． 20.【答案】解：(1)7，39；(2)由已知的等式可得：第n 个等式为(n +1)(n +3)−n 2+1=4(n +1)．【解答】解：(1)∵2×4−12+1=8；3×5−22+1=12；4×6−32+1=16；5×7−42+1=20；....∴第7个等式为8×10−72+1=4×(7+1)，故a =7，b =32，∴a +b =7+32=39，故答案为7，39；(2)见答案．21.【答案】解：(1)11×7=16×(1−17)，11×(n+1)=1n ×(1−1n+1)；(2)∵|a −1|+(b −4)2=0，∴a −1=0，b −4=0，∴a =1，b =4，∴原式=11×4+14×7+17×10+110×13+···+131×34，=13×(1−14)+13×(14−17)+⋯+13×(131−134)，=13×(1−14+14−17+⋯+131−134)，=13×(1−134)，=1134．22.【答案】解：(1)1+2n ；(2)f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)=(1+21)(1+22)(1+23)(1+24)…(1+2100) =31×42×53×64×…×102100 =101×1021×2=5151．(1)根据f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的运算方法，写出f(n)的表达式即可．(2)根据(1)中求出的f(n)的表达式，求出f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅…⋅f(100)的值是多少即可．【解答】解：(1)∵f(1)=1+21，f(2)=1+22，f(3)=1+23，f(4)=1+24…∴f(n)=1+2n ．。
2022-2023学年北师大版七年级数学上册《3-5探索与表达规律》优生辅导练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版七年级数学上册《3.5探索与表达规律》优生辅导练习题（附答案）一．选择题1．按一定规律排列的一列数依次为，，……按此规律排列下去，这列数的第9个数是（）A．B．C．D．2．一列数a1，a2，a3，…，a n，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，a n＝，则a1+a2+a3+…+a2021的值为（）A．1009B．C．D．10083．将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则2022应在（）A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处4．观察下列等式：第1层1+2＝3第2层4+5+6＝7+8第3层9+10+11+12＝13+14+15第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24…在上述数字宝塔中，从上往下数，2022在第（）层．A．33B．34C．44D．455．已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，…则1+3+5+7+…+2021＝（）A．10102B．10112C．20202D．202126．小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2022时对应的指头是（）A．无名指B．食指C．中指D．大拇指7．如图所示的是中国南宋数学家杨辉在详解《九童算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，第20行从左边数第19个数是（）A．19B．380C．210D．1908．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）A．98B．100C．102D．1049．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序数对（n，m）表示第n排，从左到右第m 个数，如（4，2）表示9，则表示2022的有序数对是（）A．（64，6）B．（63，59）C．（63，6）D．（64，59）10．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第25行第20个数是（）A．639B．637C．635D．63311．将被3整除余数为1的正整数，按照如图规律排成一个三角形数阵，则第20行第17个数是（）A．619B．622C．625D．62812．根据题目提供的四个数的变化规律，则x的值为（）A．252B．209C．170D．13513．观察“田”字中各数之间的关系：则b的值为（）A．140B．270C．271D．14114．如图所示，正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）A．70B．72C．74D．7615．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1所示，仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，若这个两位数的个位数字为a，则这个两位数为（）A．a+60B．a+50C．a+40D．a+3016．如图1，是11月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数（如图2），下列表示a，b，c，d之间关系的式子中不正确的是（）A．a+d＝b+c B．a﹣d＝b﹣c C．a+c+2＝b+d D．a+b+14＝c+d 17．已知一个由50个偶数排成的数阵，用如图所示的框去框住四个数，并求出这四个数的和．在下列给出的备选答案中，有可能是这四个数的和是（）A．80B．148C．180D．332二．填空题18．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3，2）表示6，则表示99的有序数对是．三．解答题19．如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．（1）图中圈出的9个数的平均数是多少？直接写结果．（2）若用正方形圈出此日历中的任意9个数中，位于中心位置的数是m，那么这9个数的和是多少？这9个数的平均数是多少？（3）若用正方形圈出此日历中的9个数，这9个数的和有可能是225吗？试说明理由．20．如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图①中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图②）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若x＝17，则a+b+c+d＝；（2）用含x的式子分别表示数a，b，c，d；（3）直接写出a，b，c，d，x这5个数之间的一个等量关系：；（4）设M＝a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵＝，＝，，……∴第n个数为：，∴第9个数为：．故选：B．2．解：∵a1＝﹣1，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝，…，∴这列数以﹣1，，2不断循环出现，且﹣1++2＝，∵2021÷3＝673……2，∴a1+a2+a3+…+a2021＝×673+（﹣1）+＝＝1009．故选：A．3．解：由题意得：在A位置的数被4除余2，在B位置的数被4除余3，在C位置的数被4整除，在D位置的数被4除余1；2022÷4＝505……2，∴2022应在2的位置，也就是在A处．故答案为：A．4．解：由题意可知每行式子的第一个数是n2，∵442＜2022＜452，∴2022在第44层，故选：C．5．解：由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，猜想：1+3+5+•+（2n﹣1）＝n2，验证：当n＝4时，1+3+5+7＝16＝42，当n＝5时，1+3+5+7+9＝25＝52，猜想成立，∴2n﹣1＝2021，解得：n＝1011，∴1+3+5+7+…+2021＝10112．故选：B．6．解：由题图可得，大拇指对应的数列用代数式表示为1+8（n﹣1），当n＝253时，大拇指对应的数为：2025，由题图可得，中指对应的数列为3+4（m﹣1），当m＝506时，中指对应的数为：2023，所以2022对应的手指为：无名指，故选：A．7．解：观察数字的变化发现：第3行的右边起第2个数是2＝3﹣1，第4行的右边第2个数是3＝4﹣1，第5行的右边第2个数是4＝5﹣1，第6行的右边第2个数是5＝6﹣1，…所以第20行的右边第2个数是20﹣1＝19，即第20行从左边数第19个数是19．故选：A．8．解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，∴第9行最后一个数为90，∴第10行第5个数是90+2×5＝100，故选：B．9．解：由图可知，第一排1个数，第二排2个数，数字从大到小排列，第三排3个数，数字从小到大排列，第四排4个数，数字从大到小排列，…，则前n排的数字共有：1+2+3+...+n＝个数，∵当n＝64时，，当n＝63时，，∴2022在第64排，∵2080﹣2022+1＝59，∴表示2022的有序数对是（64，59）．故选：D．10．解：观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：第一行的第一个数：1×0+1＝1第二行的第一个数：2×1+1＝3第三行的第一个数：3×2+1＝7…第n行的第一个数：n•（n﹣1）+1∴第25行的第一个数：25×24+1＝601∴第25行的第20个数：601+19×2＝639故选：A．11．解：由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，∴第20行第17个数是：628﹣3×3＝619，故选：A．12．解：由题可知：n所在位置的数是1，2，3，…的自然数，第一行第二个是2的倍数，∵20＝2×10，∴n＝9，∴m＝n+1＝10，∴x＝20×10+9＝209，故选：B．13．解：a＝28＝256，b＝15+a＝256+15＝271，故选：C．14．解：第一行第二个数是从4开始的偶数，第二行第一个数是从2开始的偶数，∴m＝8×10﹣6＝74，故选：C．15．解：设这个两位数的十位数字为b，由题意得，2ab＝10a，解得b＝5，所以，这个两位数是10×5+a＝a+50．故选：B．16．解：由对角线的角度看，两个数字的和相等，则a+d＝b+c，故A正确；横向来看，左右两个数相差1，得b＝a+1，d＝c+1，则a+c+2＝b+d，故C正确；纵向看，上下两个数字相差7，得a+7＝c，b+7＝d，则a+b+14＝c+d，故D正确；由于a﹣b＝﹣1，d﹣c＝1，则a﹣b≠d﹣c，即a﹣d≠b﹣c，故B错误．故选：B．17．解：设框住四个数中，第一行的第1数为x，则第2个为x+2，第二行的第1数为x+12，则第2个为x+14，这四个数为和为x+x+2+x+12+x+14＝4x+28，若4x+28＝80，解得x＝13，x应为偶数，不合题意；若4x+28＝148，解得x＝30，而30为第三行最后一个数，不合题意；若4x+28＝180，解得x＝38，而30为第四行的第4个数，不合题意；若4x+28＝332，解得x＝76，则四数为76，78，88，90．故选：D．二．填空题18．解：∵第n行的最后一个数是n2，第n行有（2n﹣1）个数，∴99＝102﹣1在第10行倒数第二个，第10行有：2×10﹣1＝19个数，∴99的有序数对是（10，18）．故答案为：（10，18）．三．解答题19．解：（1）6+7+8+13+14+15+20+21+22＝126，126÷9＝14．∴圈出的9个数的平均数是14．（2）中间的数为m，则剩下的8个数分别为m﹣1，m+1，m﹣7，m﹣8，m﹣6，m+7，m+6，m+8，∴这9个数之和：m+m﹣1+m+1+m﹣7+m﹣8+m﹣6+m+7+m+6+m+8＝9m，∵9m÷9＝m，∴这9个数的平均数为m．（3）不可能，理由如下；若这9个数的和为225，则9m＝225，解得m＝25，由图可知，25是日历中第4行的最后一个数，∴不可能．20．解：（1）∵x＝17，∴a＝x﹣12＝5，d＝x+12＝29，b＝x﹣2＝15，c＝x+2＝19，∴a+b+c+d＝5+15+19+29＝68．故答案为：68．（2）根据数的排列结合十字框的框法，即可得出：a＝x﹣12，b＝x﹣2，c＝x+2，d＝x+12．（3）∵a+d＝x﹣12+x+12＝2x，b+c＝x﹣2+x+2＝2x，∴a+b+c+d＝4x．故答案为：a+b+c+d＝4x．（4）不能等于2020，理由如下：∵a+b+c+d＝4x，∴M＝a+b+c+d+x＝5x．当5x＝2020时，x＝404，∵404为偶数，而数表中的所有数为奇数，∴M的值不能等于2020．。
北师大版数学七年级上《3.5探索与表达规律》同步练习(有答案)
2018-2019学年度北师大版数学七年级上册同步练习3.5 探索与表达规律学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共10小题）1．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）A．2B． C．5 D．2．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．75 B．89 C．103 D．1393．农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（）A．6 B．8 C．12 D．164．观察下列关于自然数的式子：4×12﹣12①4×22﹣32②4×32﹣52③…根据上述规律，则第2018个式子的值是（）A．8068 B．8069 C．8070 D．80715．如图，四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2018时对应的小朋友可得一朵红花，那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王6．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：第一组：2，4；第二组：6，8，10，12；第三组：14，16，18，20，22，24第四组：26，28，30，32，34，36，38，40……则现有等式A m=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到又数），如A10=（2，3），则A2018=（）A．（31，63）B．（32，17）C．（33，16）D．（34，2）7．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（）A．110 B．158 C．168 D．1788．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2018应在（）A．A处B．B处 C．C处 D．D处9．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（）A．M=mn B．M=m（n+1）C．M=mn+1 D．M=n（m+1）10．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，按如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中D的位置是有理数（），2008应排在A、B、C、D、E中的（）位置．其中两个填空依次为（）A．29，C B．﹣29，D C．30，B D．﹣31，E二．填空题（共5小题）11．已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即当n为大于1的奇数时，S n=；当n为大于1的偶数时，S n=﹣S n﹣1﹣1），按此规律，S2018=．12．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．13．根据下列各式的规律，在横线处填空：，，=，…，+﹣=14．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是．15．将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，S n=a1+a2+…+a n，则S2018=．三．解答题（共4小题）16．观察以下等式：第1个等式： ++×=1，第2个等式： ++×=1，第3个等式： ++×=1，第4个等式： ++×=1，第5个等式： ++×=1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．17．（1）根据下列算式的规律填空：﹣=，﹣=，﹣=，﹣=，第n个算式为；（2）利用上述规律计算： ++…=．18．如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若x=17，则a+b+c+d=．（2）移动十字框，用x表示a+b+c+d=．（3）设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．19．观察下列等式的规律，解答下列问题：a1=（+），a2=（+），a3=（+），a4=（+），……．（1）第5个等式为；第n个等式为（用含n的代数式表示，n 为正整数）；（2）设S1=a1﹣a2，S2=a3﹣a4，S3=a5﹣a6，……，S1008=a2015﹣a2016．求S1+S2+S3+……+S1008的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．B．2．A．3．B．4．D．5．B．6．B．7．B．8．A．9．B．10．C．二．填空题（共5小题）11．﹣．12．．13．．14．2018．15．63．三．解答题（共4小题）16．（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明：=∴等式成立17．（1）∵第1个算式为﹣==，第2个算式为﹣==，第3个算式为﹣==，∴第4个算式为﹣==，…∴第n个算式为﹣=．故答案为，﹣=；（2）由（1）可知﹣=，∴=﹣．∴++…=（++…+）=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=．故答案为．18．观察图1，可知：a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12．（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，∴a+b+c+d=5+15+19+29=68．故答案为：68．（2）∵a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12，∴a+b+c+d=（x﹣12）+（x﹣2）+（x+2）+（x+12）=4x．故答案为：4x．（3）M的值不能等于2020，理由如下：令M=2020，则4x+x=2020，解得：x=404．∵404是偶数不是奇数，∴与题目x为奇数的要求矛盾，∴M不能为2020．19．（1）由题意得：a5=；∴a n=（+）=；故答案为： +，；（2）由（1）可知a n=，∴S1=a1﹣a2=（1+）﹣（+）=1﹣，S2=a3﹣a4=（+）﹣（+）=﹣，S3=a5﹣a6=（+）﹣（+）=﹣，………S1008=a2015﹣a2016=（+）﹣（+）=﹣，∴S1+S2+S3+…+S1008，=（1﹣）+（）+（﹣）+…+（），=1﹣，=．。
七年级上册数学(北师大版)同步测试(教师版)：3.5 探索与表达规律【含答案及解析】
七年级上册数学（北师大版）同步测试（教师版）：3.5 探索与表达规律【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在某月的日历表中，竖列取连续的三个数字，它们的和可能是( )A. 18B. 38C. 75D. 332. 下面是按照一定规律排列的一列数：第1个数：－(1＋)；第2个数：－(1＋)× [1＋]×[1＋]；第3个数：－(1＋)×[1＋]×[1＋]×[1＋]×[1＋]；…依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是( )A. 第10个数B. 第11个数C. 第12个数D. 第13个数二、单选题3. 小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A. 2010B. 2012C. 2014D. 2016三、填空题4. 观察下列各式：13＝1213＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102…猜想13＋23＋33＋…＋103＝_____.四、选择题5. 观察下列等式：×2＝＋2，×3＝＋3，×4＝＋4，…，设n为自然数，则第n个式子可表示为_______．五、填空题6. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；④__________⑤________(2)根据上面算式的规律，请计算：1＋3＋5＋…＋199＝______.六、解答题7. 有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12，…，它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示；则有规律排列的一列数：1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，…(1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？(2)它的第100个数是多少？(3)2 017是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】。
北师大版七年级上册3.5探索与表达规律
3.5探究与表达规律（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行15 13 119第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25依据上边规律，2019应在（）A ． 125行， 3列B ． 125行， 2列C． 251行， 2列D ． 251行， 5列2．如下图的是某年5月的日历表 ,随意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不行能是（ )日一二三四五六1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30 31A ． 27 B． 36 C． 40D ．543．察看图中正方形四个极点所标的数字规律，可知，数2019应标在（）2 1 6 5 10 8 14 1330741181512第 1 个正方形第2个正方形第3个正方形第4个正方形A ．第 504个正方形的左下角B．第 504个正方形的右下角C．第 505个正方形的左上角D．第 505个正方形的右下角4．一根绳索曲折成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线 a把绳索剪断时，绳索被剪为 5段；当用剪刀像图3那样沿虚线 b（b∥a）把绳索再剪一次时，绳索就被剪为 9段．若用剪刀在虚线 a， b之间把绳索再剪（ n 2）次（剪刀的方向与 a平行），这样一共剪 n次时绳索的段数是（）a a bA ． 4n+1B ． 4n+2C． 4n+3 D． 4n+55．如下图，把相同大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，依据这样的规律摆下去，则图 1 ( )第 n(n是大于 0的整数 )个图形需要黑色棋子的个数是图 2D． 2n－1 图 2A ． 3nB． n(n＋2) C． n(n＋1)6．古希腊有名的毕达哥拉斯学派把1，3， 6， 10，⋯⋯，这样的数称为“三角形数”，而把 1， 4， 9， 16，⋯⋯，这样的数称为“正方形数”；从图中能够发现，任何一个大于1的“正方形数”都能够看作两个相邻“三角形数”之和；则以下切合这一规律的等式是（）A ． 20=4+16 B． 25=9+16C． 36=15+21 D． 40=12+281 / 47．同用样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，依据这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是（）A ． 15B ． 16C．17D． 188．以下图形都是由相同大小的五角星按必定的规律构成，此中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，⋯⋯，则第⑥个图形中五角星的个数为（）图①图②图③A ． 50 B． 64 C． 68 D． 729．如图，以下图案均是长度相同的火柴按必定的规律拼搭而成：第1个图案需 7根火柴，第2个图案需 13根火柴，⋯⋯，依此规律，第11个图案需（）根火柴A ． 156B ． 157 C． 158D． 15910．如图，都是由边长为 1的正方体叠成的立体图形，比如第（1）个图形由 1个正方体叠成，第（ 2）个图形由 4个正方体叠成，第（3）个图形由 10个正方体叠成，挨次规律，第（ 6 ）个图形由（）个正方体叠成；A ． 36 B． 37 C． 56 D ．84二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．察看以下算式：31=3， 32=9， 33=27， 34=81 ， 35=243， 36=729 ， 37 =2187， 38=6561，⋯，依据上述算式中的规律，32019的末位数字是 _______；12．下边每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，依据这类规律，则第4个正方形中间数字 m为，第 n个正方形的中间数字为；（用含n的代数式表示）1 2 5 6 9 10 135 13 21 m4 3 8 7 12 11第 1 个第 2 个第 3 个第 4 个13．将一些半径相同的小圆按如下图的规律摆放：（1）填写下表：图形序号 1 2 3 4 5小圆个数 6 10 16（2）照这样的规律摆放，第100个这样的图形需要个小圆；14．察看以下图形，它们是按必定规律摆列的，依据此规律，第n个图形有个；15．将一个正方体木块涂成红色，而后如图把它的棱三平分，再沿平分线把正方体切开，能够获得 27个小正方体 .察看并回答以下问题：（1）此中三面涂色的小正方体有 ________个，两面涂色的小正方体有 ______个，各面都没有涂色的小正方体有 ________个；2 / 4（2）假如将这个正方体的棱 n平分，所得的小正方体中三面涂色的有 _________个，各面都没有涂色的有 ________个；（3）假如要获得各面都没有涂色的小正方体125个 , 那么应当将此正方体的棱 ______平分；三．解答题：（写出必需的说明过程，解答步骤）16．察看下边数表：12343456745678 9 10(1)依此规律：第 6行最后一个数字是 ________；第 n行最后一个数字是 ________．(2)此中某一行最后一个数字可能是 2019吗？若不行能，请说明原因；若可能，恳求出是第几行？17．将连续的奇数1， 3， 5，7， 9，⋯⋯，排成如下图的数阵．（1）十字框中的五个数的和与中间数15有什么关系？（2）设中间数为 a，求出十字框中五个数之和；（3）十字框中五个数之和能等于 2 015吗？若能，请写出这五个数；若不可以，说明原因．18．如图 1是一个三角形，分别连结这个三角形三变的中点获得图2，在分别连结图3中间的小三角形三边中点，获得图 3，按此方法持续下去，请你依据每个图中三角形个数的规律，达成以下问题：（1）将下表填写完好图形编号12345⋯⋯三角形个数159（2）在第 n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示）？19．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，而后将此中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将此中的一个正方形剪成四个小正方形，这样持续下去，⋯⋯，请你依据以上操作方法获得的正方形的个数的规律达成各题；（1）将下表填写完好；操作次数 1 2 3 4 5 ⋯⋯n正方形个数 4 5 10 a n（2） a n = ___________________ （用含 n的代数式表示）；（3）依据上述方法，可否获得 2019个正方形？假如能，恳求出 n；假如不可以，请简述原因．20．用相同规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，察看以下图形并解答相关问题．（1）在第 n个图中，第一横行共 _____________ 块瓷砖，第一竖列共有 ____________ 块瓷砖；（均用含 n的代数式表示）（2）在第 n个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________ ；（3）某商铺黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n个图的矩形地面，共需花多少元购置黑瓷砖？此刻该商铺举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠予2块黑瓷砖；活动二：不赠予瓷砖，每块黑瓷砖打9折；此刻需要购置黑瓷砖，铺设n= 6时矩形地面，参加哪个活动合算？3.5探究与表达规律参照答案：1~10DCDAB CBDBC11.7 ；3 / 412.29 ， 8n-3 ；13.24 ， 34， 10104；14.(n 2n 1 ) ；15. （ 1） 8， 12， 1；（ 2） 8，(n2)3；（3）7；16.（ 1） 6， 3n-2 ；（ 2）可能， 672 行；17.（ 1） 15 的 5 倍；（ 2） 5a；（ 3）能；18.（ 1） 13， 17；（ 2） 4n-3 ；19.（ 1） 13， 16；（ 2） a n =3n+ 1；n 6721 （3）由 3n+ 1=2019 得： 3这时， n不是整数，依据上述方法，不可以获得2019个正方形；20．（ 1）（ n+3），（ n+2）；（ 2） 4n+6；（ 3）参加活动二合算；4 / 4。
北师大版七年级上册 3.5 探索与表达规律(专题练习)
3.5 探索与表达规律（含答案）一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2019应在（）A ．125行，3列B ．125行，2列C ．251行，2列D ．251行，5列2．如图所示的是某年5月的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不可能是（)A ．27B ．36C ．40D ．543．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2019应标在（）A ．第504个正方形的左下角B ．第504个正方形的右下角C ．第505个正方形的左上角D ．第505个正方形的右下角4．一根绳子弯曲成如图1所示的形状，当用剪刀像图2那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b （b ∥a ）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a ，b 之间把绳子再剪（n 2）次（剪刀的方向与a 平行），这样一共剪n 次时绳子的段数是（）A ．4n +1B ．4n +2C ．4n +3D ．4n +55．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n (n 是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是( )A ．3nB ．n (n ＋2)C ．n (n ＋1)D ．2n －16．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，……，这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16，……，这样的数称为“正方形数”；从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和；则下列符合这一规律的等式是（） A ．20=4+16 B ．25=9+16 C ．36=15+21 D ．40=12+283 2第1个正方形54 7 6第2个正方形 88 11 10第3个正方形 15 14第4个正方形日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31图 1 图 2 a 图 2 a b7．同用样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第10个图案需要的黑色五角星的个数是（）A ．15B ．16C ．17D ．188．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，……，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A ．50B ．64C ．68D ．729．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……，依此规律，第11个图案需（）根火柴 A ．156 B ．157 C ．158 D ．15910．如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（6）个图形由（）个正方体叠成； A ．36 B ．37 C ．56 D ．84二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）11．观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，32019的末位数字是_______；12．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m 为，第n 个正方形的中间数字为；（用含n 的代数式表示）13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放： （（14．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形有个；15．将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱三等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到27个小正方体.观察并回答下列问题：（1）其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有______个，各面都没有涂色的小正方体有________个；145 32第1个581376第2个912211110第3个13m第4个图 ① 图 ② 图 ③（2）如果将这个正方体的棱n等分，所得的小正方体中三面涂色的有_________个，各面都没有涂色的有________个；（3）如果要得到各面都没有涂色的小正方体125个, 那么应该将此正方体的棱______等分；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）16．观察下面数表：12343456745678 9 10(1)依此规律：第6行最后一个数字是________；第n行最后一个数字是________．(2)其中某一行最后一个数字可能是2019吗？若不可能，请说明理由；若可能，请求出是第几行？17．将连续的奇数1，3，5，7，9，……，排成如图所示的数阵．（1）十字框中的五个数的和与中间数15有什么关系？（2）设中间数为a，求出十字框中五个数之和；（3）十字框中五个数之和能等于2 015吗？若能，请写出这五个数；若不能，说明理由．18．如图1是一个三角形，分别连接这个三角形三变的中点得到图2，在分别连接图3中间的小三角形三边中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：（1（219．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，如此继续下去，……，请你根据以上操作方法得到的正方形的个数的规律完成各题；（1（2）a n =___________________（用含n的代数式表示）；（3）按照上述方法，能否得到2019个正方形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．20．用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，观察下列图形并解答有关问题．（1）在第n个图中，第一横行共_____________块瓷砖，第一竖列共有____________块瓷砖；（均用含n的代数式表示）（2）在第n个图中，铺设地面所用黑瓷砖的总块数为______________；（3）某商店黑瓷砖原价每块4元，则铺设第n个图的矩形地面，共需花多少元购买黑瓷砖？现在该商店举行“双11”促销活动，活动一：凡参加买黑瓷砖活动者赠送2块黑瓷砖；活动二：不赠送瓷砖，每块黑瓷砖打9折；现在需要购买黑瓷砖，铺设n=6时矩形地面，参加哪个活动合算？3.5 探索与表达规律参考答案：1~10DCDAB CBDBC11.7；12.29，8n-3；13.24，34，10104；14.1 (2)nn-+；15.（1）8，12，1；（2）8，3(2)n-；（3）7；16.（1）6，3n-2；（2）可能，672行；17.（1）15的5倍；（2）5a；（3）能；18.（1）13，17；（2）4n-3；19.（1）13，16；（2）a n =3n+1；（3）由3n+1=2019得：16723 n=这时，n不是整数，按照上述方法，不能得到2019个正方形；20．（1）（n+3），（n+2）；（2）4n+6；（3）参加活动二合算；。
北师大版数学七年级上册3 5探索与表达规律同步练习(含解析)
第三章整式及其加减5探索与表达规律基础过关全练知识点探索规律的一般方法1.(2022湖北十堰房县一模)将正整数按如图所示的位置顺序排列:根据排列规律,知2021应在()A.A处B.B处C.C处D.D处2.观察下列等式:42-12=3×5;52-22=3×7;62-32=3×9;72-42=3×11;……则第n(n是正整数)个等式为(n+3)2-n2=.3.(2022山东济宁曲阜模拟)观察下面的变化规律:21×3=1−13,23×5=13−15,25×7=15−1 7,27×9=17−19,……,根据上面的规律计算:21×3+23×5+25×7+27×9+…+22 021×2 023.4.(教材P98变式题)如图为2022年8月的月历.在月历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数.(1)设中间的一个数为a,则另外的两个数为,;(2)这三个数的和为,这三个数的和能为60吗?这三个数都在星期几?日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930315.(教材P103变式题)图①②③是由火柴棒搭成的,按要求回答下列问题:(1)观察图形,并完成下表:图形标号①②③小正方形的个数1火柴棒的根数4(2)按照这种方式搭下去,搭第n个图形中小正方形有个,需要火柴棒根;(3)按照这种方式搭下去,求第50个图形需要的火柴棒根数.能力提升全练6.(2021山东济宁中考,10,)按规律排列的一组数据:12,35,□,717,926,1137,…,其中□内应填的数是()A.23B.511C.59D.127.(2022安徽合肥庐江期中,10,)下列图案是由长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成的,图案①需要8根火柴棒,图案②需要15根火柴棒,……,按此规律,图案n需要火柴棒的根数为()A.2+7nB.8+7nC.4+7nD.7n+18.(2022河北石家庄赵县月考,19,)如图,按此规律,第6行最后一个数字是,第行最后一个数是2020.素养探究全练9.[数学运算](2022江苏南京二十九中月考)探究规律,完成相关题目.定义“*”运算:(+2)*(+4)=+(22+42);(-4)*(-7)=+[(-4)2+(-7)2];(-2)*(+4)=-[(-2)2+(+4)2];(+5)*(-7)=-[(+5)2+(-7)2];0*(-5)=(-5)*0=(-5)2;(+3)*0=0*(+3)=(+3)2;0*0=02+02=0.(1)归纳“*”运算的法则:两数进行“*”运算时,(文字语言或符号语言均可).特别地,0和任何数进行“*”运算或任何数和0进行“*”运算,;(2)计算:(+1)*[0*(-2)];(3)是否存在有理数m,n,使得(m-1)*(n+2)=0?若存在,求出m,n的值,若不存在,请说明理由.答案全解全析基础过关全练1.D 因为2021÷4=505……1,所以2021应在1的位置,也就是在D处.故选D.2.3(2n+3)解析第n个等式为(n+3)2-n2=3(2n+3).3.解析原式=1-13+13−15+15−17+17−19+…+12 021−12 023=1−12 023=2 0222 023.4.解析(1)a-7;a+7.(2)这三个数的和为3a,这三个数的和可以为60.因为60÷3=20,所以这三个数都在星期六.5.解析(1)补全题表如下:图形标号①②③小正方形的个数149火柴棒的根数41224(2)第1个图形中小正方形的个数是1=12,需要火柴棒的根数是4=2×1×(1+1);第2个图形中小正方形的个数是4=22,需要火柴棒的根数是12=2×2×(2+1);第3个图形中小正方形的个数是9=32,需要火柴棒的根数是24=2×3×(3+1);……第n个图形中小正方形的个数是n2,需要火柴棒的根数是2n(n+1).故答案为n2;2n(n+1).(3)当n=50时,2n(n+1)=2×50×(50+1)=5100,即第50个图形需要的火柴棒根数为5100.能力提升全练6.D 观察这组数据可知,第n个数据为2n-1n2+1.当n=3时,2n-1n2+1=510=12.所以□内应填的数为12,故选D.7.D 因为图案①需要8根火柴棒;图案②需要8+7=15根火柴棒;图案③需要8+7+7=22根火柴棒;……所以图案n需要8+7(n-1)=(7n+1)根火柴棒.故选D.8.16;674解析因为每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10,…,所以第n行最后一个数字为1+3(n-1)=3n-2,所以第6行最后一个数字为3×6-2=16.当3n-2=2020时,n=674,故答案为16;674.素养探究全练9.解析(1)同号得正,异号得负,并把两数的平方相加;都等于这个数的平方.(2)(+1)*[0*(-2)]=(+1)*(-2)2=(+1)*(+4)=+(12+42)=1+16=17.(3)存在.因为(m-1)*(n+2)=0,所以(m-1)2+(n+2)2=0,所以m-1=0,n+2=0,解得m=1,n=-2.。
北师大七年级数学上3.5探索与表达规律同步练习含答案试卷分析详解
第三章整式及其加减5 探索与表达规律基础巩固1.（题型一）观察下列各数：1，43，97，1615，…．则这列数的第6个数为（）A．2531B．3635C．47D．62632.（题型二）用菱形纸片按规律依次拼成如图3-5-1的图案．第1个图案中有5张菱形纸片；第2个图案中有9张菱形纸片；第3个图案中有13张菱形纸片．按此规律，第6个图案中的菱形纸片的张数为（）图3-5-1A．21 B．23 C．25 D．293.（题型二）如图3-5-2，在日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的数为a，则这三个数之和为________．4.（题型一）从2开始，连续的偶数相加，和的情况如下表：2＋4+6＋8＝20＝4×52＋4+6＋8＋10＝30＝n个从2开始的连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么样的关系？用公式表示出来，并由此计算下列各题：（1）2＋4＋6＋8＋ (202)（2）126＋128＋130＋ (300)5.（题型三）观察下列一组图形（如图3-5-3），它反映了图中点的个数与第n个图形之间的某种变化规律.（1）填写下表：（2）设第n个图形中点的个数为S，写出S与n的关系式：；（3）求出第10个图形中S的值．图3-5-3能力提升6.（题型一）将从1开始的自然数，按如图3-5-4的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，…，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…，次弯，则第33次拐弯处的那个数是（ ）图3-5-4A ．290B ．226C ．272D ．302答案基础巩固1.C 解析：因为1=11 ，所以这些数的分子分别是1，4，9，16，…，则第n 个数的分子是n 2；这些数的分母分别为1，3，7，15，…，则第n 个数的分母是2n -1（注：分母数据还具备的规律特征是前一个数的2倍加1就是后一个数），即第n 个数为221n n -，故第6个数为26621-=47．故选C ．2.C 解析：观察题图可以发现，第1个图案中有（5=4×1+1）张菱形纸片；第2个图案中有（9=4×2+1）张菱形纸片；第3个图案中有（13=4×3+1）张菱形纸片；……第n个图案中有（4n+1）张菱形纸片.当n=6时，4×6+1=25，即第6个图案中有25张菱形纸片.故选C. 3. 3a解析：由题图知，若任意圈出一竖列上相邻的三个数，中间的数为a，则另两个数分别为a-7，a+7.所以这三个数之和为a-7+a+a+7=3a.4.解：S＝n（n＋1）.（1）2+4+6+8+…+202=101×（101＋1）＝10 302.（2）126+128+130+…+300=（2+4+6+8+…+300）-（2+4+6+8+…+124）= 150×（150＋1）-62×（62＋1）＝18 744.5.解：（1）填写下表：（2）S=12（n+1）（n+2）.（3）当n=10时，S=12×（10+1）×（10+2）=66．故第10个图形中S的值为66.能力提升6.A解析：拐弯处的数与其序数的关系如下表：数拐弯处的数拐弯6由此可见相邻两数的差是1，1，2，2，3，3，4，4，…，则第33次拐弯处的数是1+2×（1+2+…+16）+17=290.故选A.。
北师大版数学7年级上册3.5《探索与表达规律》同步练习
《探索与表达规律》同步练习A 100 B. 125 C. 150 D.175答案：C解析：解答：∵2=1+1=13+12，12=8+4=23+22，36=27+9=33+32，80=64+16=43+42，∴下一个数是53+52=125+25=150．（第n个数为n3+n2）．故选C分析:所给的数正好可以分成同一个数的立方与平方的和，从而得解.2.现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（）A．（1，2，1，2，2）B．（2，2，2，3，3）C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）答案：D解析：解答:A.∵ 2有3个，∴不可以作为S1，故A选项错误；B.∵ 2有3个，∴不可以作为S1，故B选项错误；C.3只有1个，∴不可以作为S1，故C选项错误；D.符合定义的一种变换，故D选项正确．选：D．分析:根据题意可知，S1中2有2的倍数个，3有3的倍数个，据此即可作出选择3.将正奇数按下表排成5列：第一列第二列第三列第四列第五列第一行 1 3 5 7第二行15 13 11 9第三行17 19 21 23第四行31 29 27 25…根据上面规律，2007应在（）A．125行，3列B．125行，2列C．251行，2列D．251行，5列答案：D解析：解答: 因为（2007+1）÷2=2008÷2=1004所以2007是第1004个奇数；因为1004÷4=251，所以2007在第251行；又因为奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，所以2007应在第5列，综上，可得2007应在第251行第5列．选：D．分析: 首先判断出2007是第1004个奇数；然后根据每行有4个奇数，用1004除以4，判断出2007在第251行；最后根据奇数行的数从小到大排列，偶数行的数从大到小排列，可得2007应在第5列，据此判断4. 一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答:∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．故选：A分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可.5.多位数139713…、684268…，都是按如下方法得到的：将第1位数字乘以3，积为一位数时，将其写在第2位；积为两位数时，将其个位数字写在第2位．对第2位数字进行上述操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字为4时，所得多位数前2014位的所有数字之和是（）A．10072 B．10066 C．10064 D．10060答案:B解析：解答:当第1位数字为4时，得到42684268…，每四个数字一循环，∵2014÷4=503…2，∴第2014位的数字是2，则（4+2+6+8）×503+4+2=20×503+6=10066．选：B．分析: 通过计算发现，每4位数为一个循环组依次循环，然后用2014除以4即可得出第2014位数字是第几个循环组的第几个数字，由此进一步计算得出答案6.小张在做数学题时，发现了下面有趣的结果：3-2=1，8+7-6-5=4，15+14+13-12-11-10=9，24+23+22+21-20-19-18-17=16，…根据以上规律可知，第20行左起第一个数是（）A．360 B．339 C．440 D．483答案:C解析：解答: ∵3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…∴第20个式子左起第一个数是：212-1=440．选：C．分析: 根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2-1，由此求出7.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（）A．小沈B．小叶C．小李D．小王答案:A解析：解答: 去掉第一个数，每6个数一循环，（2015-1）÷6=2014÷6=335…4，则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个．选：C．分析: 从图上可以看出，去掉第一个数，每6个数一循环，用（2015-1）÷6算出余数，再进一步确定2015的位置8.观察下列数据：0，3，8，15，24…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（）A．40400 B．40040 C．4040 D．404答案:A解析：解答: ∵0=12-1，3=22-1，8=32-1，15=42-1，24=52-1，…，∴第201个数据是：2012-1=40400．选A．分析: 观察不难发现，各数据都等于完全平方数减1，然后列式计算即可得解9.对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）的值为（）A．6 B．4022 C．4028 D．6708答案:C解析：解答:∵f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，∴每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0…∴2012÷5=402..2∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=2+6+2+0+0+2+6+2+…+2+6=402×（2+6+2）+8=4028．选：C．分析: 首先根据已知得出规律，f（1）=2（1×2的末位数字），f（2）=6（2×3的末位数字），f（3）=2（3×4的末位数字），f（4）=0，f（5）=0，f（6）=2，f（7）=6，f（8）=2，f（9）=0，…，进而求出10.两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31，…7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第1个相同的数是7，第10个相同的数是（）A．115 B．127 C．139 D．151答案:A解析：解答: 第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m+4，第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n+3，∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，∵第一个相同的数为7，∴相同的数的组成的数列的通式为12a-5，第10个相同的数是：12×10-5=120-1=115．选：A．分析: 根据两组数的变化规律写出两组数的通式，从而得到它们的相同数列中两个相邻的数的差值，再结合第一个相同的数写出通式，然后把序数10代入进行计算11.对正整数n，记n!=1×2×3×…×n，则1!+2!+3!+…+10!的末尾数为（）A．0 B．1 C．3 D．5答案:C解析：解答: ∵1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，而5!、…、10!的数中都含有2与5的积，∴5!、…、10!的末尾数都是0，∴1!+2!+3!+…+10!的末尾数为3．选C．分析: 根据n!=1×2×3×...×n得到1!=1，2!=1×2=2，3!=1×2×3=6，4!=1×2×3×4=24，且5!、...、10!的数中都含有2与5的积，则5!、...、10!的末尾数都是0，于是得到1!+2!+3!+ (10)的末尾数为312.一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（）A．8 B．9 C．13 D．15答案:A解析：解答: ∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x=1+2=3，∴y=x+5=3+5=8，即这组数中y表示的数为8．选：A．分析: 根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答13.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135 B．170 C．209 D．252答案:C解析：解答: ∵a+（a+2）=20，∴a=9，∵b=a+1，∴b=a+1=9+1=10，∴x=20b+a=20×10+9=200+9=209选：C．分析: 首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4-1=3，6-2=4，8-3=5，10-4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值14.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（）A．（31，50）B．（32，47）C．（33，46）D．（34，42）答案:B解析：解答：2015是第201512+=1008个数，设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n-1）≥1008，即()1212n n+-≥1008，解得：当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组，第1024个数为：2×1024-1=2047，第32组的第一个数为：2×962-1=1923，则2015是（201512923-+1）=47个数．故A2015=（32，47）．选B．分析:先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是（）A．25 B．27 C．55 D．120答案:C解析：解答：1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55．所以第10个数是55．选C．分析: 观察发现，从第三个数开始，后一个数是前两个数的和，依次计算求解得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，9，8，依此类推，则从数串，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___答案:520解析：解答:一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，a n，依题设操作方法可得新增的数为：a2- a1，a3- a2，a4- a3，a n- a n -1，所以，新增数之和为：（a2- a1）+（a3- a2）+（a4- a3）+…+（a n - a n -1）= a n - a1，原数串为3个数：3，9，8，第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8，根据（*）可知，新增2项之和为：6+（-1）=5=8-3，第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8，根据（*）可知，新增2项之和为：3+3+（-10）+9=5=8-3，按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：（3+9+8）+100×（8-3）=520，答案为：520．分析: 根据题意，计算可得第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8；进而可得第2次操作后所得数串；分析可得其规律，运用规律可得答案17.将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是______答案: 50解析：解答: 由排列的规律可得，第n-1行结束的时候排了1+2+3+…+n-1=12n（n-1）个数．所以第n行从左向右的第5个数12n（n-1）+5．所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．答案为：50．分析：先找到数的排列规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数18.甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为_________答案:4解析：解答: ∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；∴50÷4=12余2，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．答案为：4．分析: 根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案19.观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015= _________ 答案：1016064解析：解答：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，所以1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008-1）=10082=1016064答案为：1016064．分析: 根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n-1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值20.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________ 答案：45解析：解答: 第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45分析: 根据所给的数据发现：第n个三角形数是1+2+3+…+n，由此代入分别求得答案52-1=24=8×3，72-1=48=8×6，92-1=80=8×10，…你发现了什么？答案:（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解答: （1）n=1时，（2×1+1）2-1=8×1；n=2时，（2×2+1）2-1=24=8×（1+2）；n=3时，（2×3+1）2-1=48=8×（1+2+3）；n=4时，（2×4+1）2-1=80=8×（1+2+3+4）；…n=n时，（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）．即发现的规律为：（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）解析：分析: 式子的左边是一个奇数的平方减去1；等式右边是8的倍数，即（2n+1）2-1=8×（1+2+3+…+n）22.观察下列各式你会发现什么规律？1×5=5，而5=32-222×6=12，而12=42-223×7=21，而21=52-22…（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；答案:解答: 10×14=140=122-22；（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．答案: n（n+4）=（n+2）2-22．解答:第n个等式为n（n +4）=（n+2）2-22．∵左边= n（n +4）=n2+4n右边=（n +2）2-22=n2+4n+4-4═n2+4n左边=右边∴n（n+4）=（n+2）2-22．解析：分析: 由1×5=5，而5=5=32-22；2×6=12，而12=42-22；3×7=21，而21=52-22…可以看出两个因数相差4，所得的积是大的因数减去2的差的平方再减去2的平方，由此规律计算23.有规律排列的一列数：2、4、6、8…它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示；有规律的一列数：1、-2、3、-4、5、-6、7、-8…它的第100个数是什么？第n个数是什么？答案：100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；解析：解答：（1）奇数为正数，偶数为负数，并且第n个数的绝对值为n，所以100个数是-100，第n个数，（-1）n+1n；分析: 先得到符号的规律，再得到绝对值的规律即可；24.观察下列等式：12-02 ①，22-12 ②，32-22 ③，42-32 ④，…（1）按此规律猜想写出第⑥和第⑩个算式；答案：观察所给的4个算式，可知⑥、⑩个算式为：62-52，102-92；（2）请用含自然数n的等式表示这种规律．答案：用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2解析：解答：（1）观察所给的4个算式，可知⑥、⑩个算式为：62-52，102-92；（2）用含自然数n的式子表示这种规律为：n2-（n-1）2分析: 本题考查规律型终端额数字变化问题，比较简单，考查学生的观察和总结能力25.观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224…，（1）上面两数相乘后，其末尾的两位数有什么规律？答案：末尾都是24；（2）如果按照上面的规律计算：124×126（请写出计算过程）．答案：124×126=12×（12+1）×100+24=15600+24=15624；答案：（10a+4）（10a+6）=100a2+100a+24=100a（a+1）+24．解析：分析:本题考查了数字的变化类问题，仔细观察算式发现规律是解答本题的关键。
3.5 探索与表达规律 北师大版七年级数学上册素养基础达标(含解析)
3.5探索与表达规律【素养基础达标】2023-2024学年北师大版数学七年级上册一．选择题（共10小题）1．若是不为2的有理数，则我们把称为的“哈利数””，如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，以此类推，则等于 A．3B．C．D．2．如图所示，是用黑色棋子摆成的有规律图形，若第个图形时，黑色棋子有2024枚，则 A．504B．505C．674D．6753．将字母“”“”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是 A．B．C．D．4．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案要7枚棋子，摆第2个图案要19枚棋子，摆第3个图案要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第7个图案要棋子 A．221枚B．363枚C．169枚D．251枚5．“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”——罗丹，美在数学中也不曾少有．如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形．每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线．试求图中斐波那契螺旋线的长 取A．15.7B．31.4C．9.8596D．37.686．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第25行第20个数是 A．639B．637C．635D．6337．如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图⑨中共有爱心的个数为 A．15B．17C．19D．218．如图，内部有若干个点，用这些点以及的顶点，，（其中每三个点不共线）把原分割成一些互相不重叠的小三角形．若当内部有个点时，恰好把原分割成2023个互相不重叠的小三角形，则的值为 A．1009B．1010C．1011D．10129．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是 A．8092B．8093C．4046D．404710．如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△按此规律，则第9个图形中△的个数为 A．108B．128C．144D．162二．填空题（共8小题）11．观察下列单项式：，，，，，，按此规律，第10个单项式是 ．12．如图是若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边有盆花，每个图案花盆的总数是，按此规律，则与的关系 ．13．已知：．请计算： ．（用含的代数式表示）14．一列数，按一定规律排列成，，，，，，那么这一组数据的第个式子是 （用含有的式子表示）．15．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令①，②，①②：有，解得：．类比以上做法，若为正整数，，则 ．16．在由一些小正方形组成的网格中，研究如图中的一条线段所穿过的小正方形个数．请你观察下面图形，按此规律猜想在的网格中，这条线段所穿过的小正方形个数是 个．17．观察下列单项式：，，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ．18．一个跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点 个单位长度．三．解答题（共8小题）19．观察下列算式：，，，．（1）可猜想； ；（2）若用正整数表示（1）中等号左边的两位数中的十位数字，则可用含的等式表示（1）的运算规律： ；（3）请用所学知识说明（2）所写等式的正确性．20．观察下列式子：①，②，③，（1）请写出第5个等式： ；（2）根据你发现的规律，请写出第个等式： ．（3）试用所学知识说明你所写出的等式的正确性；21．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．22．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式；（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．23．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；根据上述规律解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并验证其正确性．24．如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边长作第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边长作第3个正方形，如此进行下去，①记正方形的边长为，依上述方法②所作的正方形的边长依次记为、、，则 ， ， ；③据上述规律写出第个正方形的边长的表达式， ．25．观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明．26．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：（1）图10中小正方形的数量是 个：图2023的周长是 个单位长度；（2）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，则 个（用含的代数式表示）．3.5探索与表达规律【素养基础达标】2023-2024学年北师大版数学七年级上册一．选择题（共10小题）1．若是不为2的有理数，则我们把称为的“哈利数””，如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，以此类推，则等于 A．3B．C．D．【答案】【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．【解答】解：，，，，，该数列每4个数为1周期循环，，．故选：．2．如图所示，是用黑色棋子摆成的有规律图形，若第个图形时，黑色棋子有2024枚，则 A．504B．505C．674D．675【答案】【分析】第1个图形中黑色棋子的个数为：5，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，，据此可求得第个图形菱形的个数，从而可求解．【解答】解：第1个图形中黑色棋子的个数为：5，第2个图形中黑色棋子的个数为：，第3个图形中黑色棋子的个数为：，，第个图形中黑色棋子的个数为：，当有黑色棋子2024枚时，，解得：．故选：．3．将字母“”“”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是 A．B．C．D．【答案】【分析】列举每个图形中“”的个数，找到规律即可得出答案．【解答】解：第①个图中“”的个数为，第②个图中“”的个数为，第③个图中“”的个数为，第④个图中“”的个数为，第⑤个图中“”的个数为，则第个图形中字母“”的个数是，故选：．4．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案要7枚棋子，摆第2个图案要19枚棋子，摆第3个图案要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第7个图案要棋子 A．221枚B．363枚C．169枚D．251枚【分析】依次解出，2，3，，图案需要的棋子枚数．再根据规律依此类推，可得出第个图案需要的棋子枚数，进一步代入求得答案即可．【解答】解：时，总数是；时，总数为；时，总数为枚；；时，有枚．时，总数为枚．故选：．5．“生活中并不缺少美，而是缺乏发现美的眼睛”——罗丹，美在数学中也不曾少有．如图，是以斐波那契数列的每一项的数为边长画6个小正方形组成的一个大长方形．每个小正方形画出四分之一圆弧，使相邻的圆弧首尾相连，这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线．试求图中斐波那契螺旋线的长 取A．15.7B．31.4C．9.8596D．37.68【答案】【分析】分别计算6段圆弧的长，然后求和即可．【解答】解：若半径为，则四分之一圆弧长为，6段圆弧的长分别为：，，，，，图中斐波那契螺旋线的长为6段弧长之和，即．故选：．6．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第25行第20个数是 A．639B．637C．635D．633【答案】【分析】分析出每行个数与行数关系，再分析出每行最大数与行数的关系，代入计算即可．【解答】解：由题得，每行个数与行数相等，故第25行有25个数，且都为奇数，由数列1，5，11，19，．得每行最大数与行数的关系为：，故第25行最大数为：，第25行第20个数是639，故选：．7．如图是由大小相同的爱心按照一定规律排列组成的图形，依此规律，图⑨中共有爱心的个数为 A．15B．17C．19D．21【答案】【分析】不难看出，图①中爱心的个数为：5，图②中爱心的个数为：，图③中爱心的个数为：，图④中爱心的个数为：，从而可求得图中爱心的个数，从而可求图⑨中爱心的个数．【解答】解：图①中爱心的个数为：5，图②中爱心的个数为：，图③中爱心的个数为：，图④中爱心的个数为：，，图中爱心的个数为：，图⑨中爱心的个数为：．故选：．8．如图，内部有若干个点，用这些点以及的顶点，，（其中每三个点不共线）把原分割成一些互相不重叠的小三角形．若当内部有个点时，恰好把原分割成2023个互相不重叠的小三角形，则的值为 A．1009B．1010C．1011D．1012【答案】【分析】先根据三角形内部的点的个数和小三角形的个数，找出关系，再计算求解．【解答】解：当时，有个小三角形；当时，有个小三角形；当时，有个小三角形；；当有个点时，有，解得：，故选：．9．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第2023个图案中涂有阴影的小正方形个数是 A．8092B．8093C．4046D．4047【答案】【分析】先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第2022个图案中涂有阴影的小正方形个数．【解答】解：第一个图案有5个：，第二个图案有9个：，第三个图案有13个：，，则第个图形有：个，故第2023个图案中有（个．故选：．10．如图图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△按此规律，则第9个图形中△的个数为 A．108B．128C．144D．162【答案】【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．【解答】解：第①个图形一共有（个△，第②个图形一共有：（个△，第③个图形一共有（个△，第9个图形一共有：（个△，故选：．二．填空题（共8小题）11．观察下列单项式：，，，，，，按此规律，第10个单项式是 ．【分析】分析题中每个单项式，系数为，含未知数的部分为：，则第项应为：．【解答】解：由分析得到的规律可知第十项为：．12．如图是若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边有盆花，每个图案花盆的总数是，按此规律，则与的关系 ．【分析】观察图形，可发现规律：若每一条边上有盆花，则三条边上共有盆画，但在三角形的三个顶点处多算了一次，故为．【解答】解：由图可知：第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么；第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么；第二图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么；由此可知以，为未知数的二元一次方程为．故答案为：．13．已知：．请计算： ．（用含的代数式表示）【答案】．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则计算出、、，据此得出循环规律，再进一步求解可得．【解答】解：，，，．这列式子的结果以，为周期，每3个数一循环．，．故答案为：．14．一列数，按一定规律排列成，，，，，，那么这一组数据的第个式子是 （用含有的式子表示）．【答案】．【分析】这列数的分子均为一列奇数，各个数的符号是正负交替，分母则是一个数的平方加1，据此即可作答．【解答】解：第1个数：，第2个数：，第3个数：，第4个数：，第5个数：，，第个数：．故答案为：．15．“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出今天我们可以将高斯的做法归纳如下：令①，②，①②：有，解得：．类比以上做法，若为正整数，，则 19 ．【答案】19．【分析】根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可．【解答】解：设①，则②，①②得，，整理得，，即，解得，（舍去）．故答案为：19．16．在由一些小正方形组成的网格中，研究如图中的一条线段所穿过的小正方形个数．请你观察下面图形，按此规律猜想在的网格中，这条线段所穿过的小正方形个数是 2022 个．【答案】2022．【分析】由图知，第个图形中由个小正方形，且线段穿过个小正方形，根据此规律计算即可．【解答】解：由图知，第个图形中由个小正方形，且线段穿过个小正方形，，解得，，故答案为：2022．17．观察下列单项式：，，，，，，根据你发现的规律，第个单项式为 ．【答案】．【分析】系数的规律：第个对应的系数是．指数的规律：第个对应的指数是．【解答】解：根据分析的规律可得：第个单项式为，故答案为：．18．一个跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点 50 个单位长度．【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．【解答】解：，所以落点处离0的距离是50个单位．故答案为50．三．解答题（共8小题）19．观察下列算式：，，，．（1）可猜想； 5625 ；（2）若用正整数表示（1）中等号左边的两位数中的十位数字，则可用含的等式表示（1）的运算规律： ；（3）请用所学知识说明（2）所写等式的正确性．【答案】（1）5625；（2）；（3）见解析．【分析】（1）分析等号左边的两位数字中的十位数字与等号右边百位（千位百位）数字的关系，即可求解；（2）根据（1）中分析即可得出结论；（3）分别计算等号左边、右边的代数式，证明左边等于右边即可．【解答】解：（1）由题意知：，，，，因此猜想，故答案为：5625；（2）若用正整数表示（1）中等号左边的两位数中的十位数字，则可用含的等式表示（1）的运算规律：，故答案为：；（3）证明：，，故．20．观察下列式子：①，②，③，（1）请写出第5个等式： ；（2）根据你发现的规律，请写出第个等式： ．（3）试用所学知识说明你所写出的等式的正确性；【答案】（1）；（2）；（3）见解答过程．【分析】（1）由所给的等式的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式的形式，再总结即可；（3）对（2）的等式的左边与右边的式子进行整理，从而可求证．【解答】解：（1）第5个等式为：；故答案为：；（2）①，②，③，，第个等式为：，故答案为：；（3）左边，右边，．21．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析过程．【分析】（1）根据题目的规律可得第5个等式；（2）根据题目的规律猜想得到等式，再利用因式分解证明左边等于右边即可．【解答】（1）解：由题意可得，，故答案为：；（2），证明：左边右边；猜想成立．22．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式；（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）寻找规律，能求出第6个等式．（2）猜想的第个等式为：．利用分式运算进行证明即可．【解答】解：（1）第6个等式：；（2）猜想的第个等式为：，证明如下：左边，右边，左边右边，．23．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；根据上述规律解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并验证其正确性．【答案】（1）；（2）见解答．【分析】（1）根据等式左、右两边的变化规律写出第5个等式即可；（2）等式左边都可以表示成：的形式，等式右边都可以表示成：，由此可写出第个等式，再验证即可．【解答】解：（1）第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：，故答案为：；（2）第个等式：，证明：右边左边，．24．如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边长作第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边长作第3个正方形，如此进行下去，①记正方形的边长为，依上述方法②所作的正方形的边长依次记为、、，则 ， ， ；③据上述规律写出第个正方形的边长的表达式， ．【答案】②，2，；③．【分析】②找到正方形对角线为正方形边长的倍的关系，根据即可求，进而可以求，；③由②发现的规律可求与的关系．【解答】解：②为边长为的正方形的对角线，为边长为的正方形的对角线，又因为正方形中对角线长为边长的倍，所以，，；故答案为：，2，；③根据、、、的大小可以推断与的关系，．故答案为：．25．观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2）．【分析】将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数．【解答】解：（1）；故答案为：；（2）．证明：左边．右边．故答案为：．26．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：（1）图10中小正方形的数量是 2023 个：图2023的周长是 个单位长度；（2）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，则 个（用含的代数式表示）．【答案】（1）2023，8100；（2）．【分析】（1）不难看出第个图中小正方形的个数为：，周长为：，从而可求解；（2）结合（1）进行求解即可．【解答】解：（1）图1中小正方形的个数为：，周长为：；图2中小正方形的个数为：，周长为：；图3中小正方形的个数为：，周长为：；，图中小正方形的个数为：，周长为：，图1010中小正方形的数量是：；图2023的周长是：，故答案为：2023，8100；（2）．故答案为：．。
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2018-2019学年度北师大版数学七年级上册同步练习
3.5 探索与表达规律
学校:___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共10小题）
1．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）
A．2B． C．5 D．
2．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为
（）
A．75 B．89 C．103 D．139
3．农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数（n）和苹果树数量及针叶树数量的规律：当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n为（）
A．6 B．8 C．12 D．16
4．观察下列关于自然数的式子：
4×12﹣12①
4×22﹣32②
4×32﹣52③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（）
A．8068 B．8069 C．8070 D．8071
5．如图，四个小朋友站成一排，老师按图中所示的规则数数，数到2018时对应的小朋友可得一朵红花，那么得红花的小朋友是（）
A．小沈B．小叶C．小李D．小王
6．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第一组：2，4；
第二组：6，8，10，12；
第三组：14，16，18，20，22，24
第四组：26，28，30，32，34，36，38，40
……
则现有等式A m=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到又数），如A10=（2，3），则A2018=（）
A．（31，63）B．（32，17）C．（33，16）D．（34，2）
7．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值
应是（）
A．110 B．158 C．168 D．178
8．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2018应在（）
A．A处B．B处 C．C处 D．D处
9．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（）
A．M=mn B．M=m（n+1）C．M=mn+1 D．M=n（m+1）
10．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，按如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中D的位置是有理数（），2008应排在A、B、C、D、E中的（）位置．其中两个填空依次为（）
A．29，C B．﹣29，D C．30，B D．﹣31，E
二．填空题（共5小题）
11．已知a＞0，S1=，S2=﹣S1﹣1，S3=，S4=﹣S3﹣1，S5=，…（即当n为
大于1的奇数时，S n=；当n为大于1的偶数时，S n=﹣S n﹣1﹣1），按此规律，S2018=．
12．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为．
13．根据下列各式的规律，在横线处填空：
，，=，…，+﹣
=
14．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是．
15．将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，
，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，S n=a1+a2+…+a n，则S2018=．
三．解答题（共4小题）
16．观察以下等式：
第1个等式： ++×=1，
第2个等式： ++×=1，
第3个等式： ++×=1，
第4个等式： ++×=1，
第5个等式： ++×=1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．17．（1）根据下列算式的规律填空：
﹣=，
﹣=，
﹣=，
﹣=，
第n个算式为；
（2）利用上述规律计算： ++…=．
18．如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．（1）若x=17，则a+b+c+d=．
（2）移动十字框，用x表示a+b+c+d=．
（3）设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．
19．观察下列等式的规律，解答下列问题：
a1=（+），a2=（+），a3=（+），a4=（+），……．
（1）第5个等式为；第n个等式为（用含n的代数式表示，n 为正整数）；
（2）设S1=a1﹣a2，S2=a3﹣a4，S3=a5﹣a6，……，S1008=a2015﹣a2016．求S1+S2+S3+……+S1008的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）1．B．2．A．3．B．4．D．5．B．6．B．7．B．8．A．9．B．10．C．
二．填空题（共5小题）
11．﹣．
12．．
13．．
14．2018．
15．63．
三．解答题（共4小题）
16．（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5
故应填：
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1
故应填：
证明：=
∴等式成立
17．（1）∵第1个算式为﹣==，
第2个算式为﹣==，
第3个算式为﹣==，
∴第4个算式为﹣==，
…
∴第n个算式为﹣=．
故答案为，﹣=；
（2）由（1）可知﹣=，
∴=﹣．
∴++…=（++…+）
=（﹣+﹣+…+﹣）
=（﹣）
=．
故答案为．
18．观察图1，可知：a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12．
（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，
∴a+b+c+d=5+15+19+29=68．
故答案为：68．
（2）∵a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12，
∴a+b+c+d=（x﹣12）+（x﹣2）+（x+2）+（x+12）=4x．
故答案为：4x．
（3）M的值不能等于2020，理由如下：
令M=2020，则4x+x=2020，
解得：x=404．
∵404是偶数不是奇数，
∴与题目x为奇数的要求矛盾，
∴M不能为2020．
19．（1）由题意得：a5=；
∴a n=（+）=；
故答案为： +，；
（2）由（1）可知a n=，
∴S1=a1﹣a2=（1+）﹣（+）=1﹣，
S2=a3﹣a4=（+）﹣（+）=﹣，
S3=a5﹣a6=（+）﹣（+）=﹣，………
S1008=a2015﹣a2016=（+）﹣（+）
=﹣，
∴S1+S2+S3+…+S1008，
=（1﹣）+（）+（﹣）+…+（），
=1﹣，
=．。