2006复旦 高校自主招生数学试题及解答
2006年全国各地高考数学试题及解答分类大全(不等式)
2006年全国各地高考数学试题及解答分类大全（不等式）一、选择题：1. (2006春招上海)若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( ) （A ）b a 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a >.2.（2006安徽文）不等式112x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-⋃(2,)+∞2.解：由112x <得：112022xx x--=<，即(2)0x x -<，故选D 。
3.（2006安徽文、理）如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3- 3. 解：当直线2x y t -=过点(0，-1)时，t 最大，故选B 。
4．.(2006湖北理)已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部以及边界组成。
若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m = ( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．44. 解：依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x ＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1，选C5.(2006江苏)设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是( ) （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 5.【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。
复旦20002006自主招生数学试题
复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin 2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=)4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1n n x y=+x n,y n为整数，求n→∞时，nnxy的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．复旦大学2001年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1．sin x +sin y =0，则cos 2x -sin 2y =___________________．2．平面π1, π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．3．(x 2+2x +2)(y 2-2y +2)＝1，则x +y =________________________．4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=______________． 6．15(x的常数项为_________________．7．n ＝__________________．8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|．4．a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2x a x a -+=-有解？只有一解？5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6．x 3-2y 3＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4一、填空题（本大题共40分，每题4分）1．三次多项式f (x )满足f (3)＝2f (1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S 的最大值是_______________． 3．已知,x y R +∈，x +2y ＝1，则22x y+的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________．5．已知f (x )=ax 7+bx 5+x 2+2x -1，f (2)=-8，则f (-2)=_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n 个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法．9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是___________．10．100!末尾连续有______________个零． 二、解答题（本大题共60分，每题10分）11．数列{a n }的a 1=1，a 2=3，3a n +2=2a n +1+a n ，求a n 和lim n n a →∞．12．3个自然数倒数和为1．求所有的解．13．已知x 1000+x 999(x +1)+…+(x +1)1000，求x 50的系数．14．化简：(1) 11!22!!n n ⋅+⋅++⋅； (2) 1212k nn n k C C C ++++++．15．求证：342231a aa a +++为最简分式．16．证明不等式()!()23nnn n n >>，当自然数n ≥6时成立．复旦大学2003年暨保送生考试数学试题一、填空题(本大题共80分，每题8分)1．函数1()2y f t x x =-，当x =1时，252t y t =-+，则f (x )＝________________． 2．方程x 2+(a -2)x +a +1=0的两根x 1,x 2在圆x 2+y 2=4上，则a =_______________．3．划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有________种分配方法． 4．A ＝{x |log 2(x 2-4x -4)>0}，B ＝{x ||x +1|+|x -3|≥6}，则A B ⋂=_______________． 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a k =k ·p k (1-p ),(p ≠1)，则S k ＝______________． 6．若(x -1)2+(y -1)2=1，则13y x --的范围是___________________． 7．边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成60o 二面角，则BC 中点与A 的距离是_________． 8．已知|z 1|=2，|z 2|=3，|z 1+z 2|=4，则12z z =______________． 9．解方程3log 2a xx xa=，x ＝________________． 10．(a >0)，lim 2nn nn a a →∞+＝______________．二、解答题(本大题共120分)11．已知|z |＝1，求|z 2+z +4|的最小值．12．a 1,a 2,a 3,…,a n 是各不相同的自然数，a ≥2，求证：1231111()()()()2a a a ana a a a ++++<．13．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ⋅的值．14．一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21xy x=+(x >0)的图象上， 求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值．15．一圆锥的底面半径为12，高为16，球O 1内切于圆锥，球O 2内切于圆锥侧面，与球O 1外切，…，以次类推，(1) 求所有这些球的半径r n 的通项公式；(2) 所有这些球的体积分别为V 1,V 2,…,V n ,…．求12lim()n n V V V →∞+++．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，n a =，求S 2003．17．定义闭集合S ，若,a b S ∈，则a b S +∈，a b S -∈．(1) 举一例，真包含于R 的无限闭集合．(2) 求证对任意两个闭集合S 1,S 2⊂R ，存在c R ∈，但12c S S ∉⋃．复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21一、填空题（每题8分，共80分）1．)1)(12(124248++++=+ax x x x x ，则=a _________． 2．已知74535=-++x x ，则x 的范围是___________．3．椭圆191622=+y x ，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法． 5．已知等比数列{}n a 中31=a ，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______． 6．0)1(2<++-a x a x 的所有整数解之和为27，则实数a 的取值范围是___________．7．已知194)4(22=+-y x ，则9422y x +的最大值为____________． 8．设21,x x 是方程053cos 53sin 2=+-ππx x 的两解，则21arctgx arctgx +=__________． 9．z z =3的非零解是___________． 10．x x y +-=112的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：1)3(log 5=--x x ．2．已知1312)sin(=+βα，54)sin(-=-βα，且2,0,0πβαβα<+>>，求α2tg ．3．已知过两抛物线C 1：2)1(1-=+y x ，C 2：2(1)41y x a -=--+的交点的各自的切线互相垂直，求a ．4．若存在M ，使任意D t ∈（D 为函数)(x f 的定义域），都有M x f ≤)(，则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)21,0(∈x 上是否有界？5．求证：3131211333<++++n．6．已知E 为棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点，求点B 到平面A 1EC 的距离．7．比较25log 24与26log 25的大小并说明理由．8．已知数列{}n a 、{}n b 满足n n n b a a 21--=+，且n n n b a b 661+=+，又21=a ，41=b ， 求 (1) n n b a ,； (2) nnb a lim．简单解答： 一、填空题：1.2- 2.)8.0,6.0(- 3.20 4.31二、解答题： 5．证明1：111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm m m m m m m=（2111)1111-++⋅⋅+--m m m m m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式<1+111141213111+--++-+-n n =3111222<+--+n n证明2：)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n n nn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈313)1113121211(21<-=--++-+-+nn n2005年复旦大学考试试卷一、填空题：1．A =(){}22|10x log x x ∈-->R ，B ={}1|221x x x -∈->R ，A CB =______ (C B 表示B 在R 上的补集)． 2．数x 满足11-=+x x ，求_______1300300=+xx ． 3．求ρ=5cos θθ-的圆心坐标，[)πθ2,0∈4．抛物线2222a ax x y ++=与直线1+=x y 交于A 和B 两点，AB 最大时, a =______． 5．limn →∞=________．6．求1+3+6+…＋______2)1(=+n n ． 7．一个班20个学生，有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到1个女生的概率为________． 8．求10003在十进制中最后4位_____________________．9．定义在R 上的函数f (x )（x ≠1)满足 ()x x x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛-++4015120022，则f (2004)=______．10．求xxy cos 2sin 1++=的最大值是__________________．二、解答题1．在四分之一个椭圆12222=+by a x （x >o, y >0）上取一点P ，使过P 点椭圆的切线与坐标轴所围成的三角形的面积最小．2．在ΔABC 中，tan A :tan B :tan C =1:2:3，求ABAC． 3．在正方体A B C D —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 点分别为AD 、AA 1、A 1B 1中点， 求：(1) B 到面EFG 距离；(2) 二面角G —EF —D 1平面角θ． 43=的实数根． 5．已知a =+ααcos sin ()20≤≤a ，求ααn n cos sin +关于a 的表达式．6．直线l 与双曲线xy =1交于P 和Q 两点，直线l 与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，求证：BQ AP =．7．定义在R 上的函数()244+=x x x f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n f n f n f S n 121 n =2,3,… (1) 求n S ； (2) 是否存在常数M >0，2≥∀n ，有231111n M S S S ++++≤．11 / 11 2006年复旦大学推优、保送生考试数学试题1．（本题20分）求和：(1) 77777777777n ++++个(2) 2005200520052005200520052005200520052005n ++++个2．（本题15分）试构造函数f(x),g(x)其定域为（0,1），值域为 [0,1](1) 对于任意a ∈[0,1]，f (x )=a 只有一解；(2) 对于任意a ∈[0,1]，g (x )=a 有无穷多个解．3．（本题15分）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数．4．（本题15分）对于任意12,,,n n N x x x ∈均为非负实数，且1212n x x x +++≤， 试用数学归纳法证明：121(1)(1)(1)2n x x x ---≥成立． 5．（本题20分）求证：02122222()()()()n n n n n n n C C C C C ++++=．6．（本题20分）a ,b 满足何条件，可使22122x ax b x x ++<++ 恒成立． 7．（本题20分）下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解；若不能，请说明理由．(1) x +1 (2) x 2+x +1 (3) x 3+x 2+x +1 (4) x 4+x 3+x 2+x +18．（本题20分）解三角方程：sin()sin 29,4a x x a π+=+为一实常数．9．（本题20分）已知曲线22:14x C y +=，曲线C 关于直线2y x =对称的曲线为曲线C '，曲线C '与曲线C ''关于直线152y x =-+对称，求曲线C '、C ''的方程． 10．（本题20分）已知抛物线2y ax =，直线12,l l 都过点（1，-2）且互相垂直，若抛物线与直线l 1,l 2中至少一条相交，求a 的取值范围．11．（本题15分）f (x )在[1,+∞)上单调递增，且对任意x ,y ∈[1,+∞)，都有f (x +y )=f (x )+f (y )成立，证明：存在常数k ，使f (x )=kx 在x ∈[1,+∞)上成立．。
复旦试题
昨天，一些面试完的考生向快学网（）回忆了部分面试题目。
1、同一架飞机，从纽约飞到上海和从上海飞到纽约，航线一样，哪一次航行时间短一点？2、如果你遇到了劫匪，你打算如何用智慧把他们制服？当媒体把你的事迹报道出去后，你觉得会产生哪些正面效应和负面效应？3、有理数和无理数的定义和区别是什么？如何证明根号2是无理数？4、平面镜在什么情况下，会出现头下脚上的情况。
5、在沙漠中如何给手提电脑供电？7、最近全社会都在关注儿童当乞丐的问题。
如果你是家长，你会把孩子送去当童乞么？9、你对“一沙一世界，一花一天堂”是怎么看的？10、你知道姓名、字、号的来历么？11、你有没有参加过社会活动？12、不打开酒瓶的盖子或塞子，怎么取里面的酒？13、有两辆重20吨的卡车，有一辆坏了，要一辆车拖着另一辆车走，在不用起重机的前提下，请问如何让这两辆车通过限重30吨的大桥？14、你对自己的人生有什么规划？15、你是如何选择你进复旦后学的专业的，是怎么考虑这些专业排列的先后顺序的？16、请用30秒钟时间准备，然后用英语背诵以前学过的一段文学作品。
17、你的自荐材料里写了你曾组织学生去敬老院参加社会活动，现在很多中学生不愿意参加社会活动，你是怎么组织同学去参加的?18、你如何看待当前的房价？毕业后会马上买房么？由父母付首付，子女付房贷，你认同吗？19、请快速地说出7的平方、7的3次方、7的四次方、7的5次方的结果分别是多少？20、请你对自己今天面试过程做个简单小结。
21、一位考生的首选专业是经济管理，面试官让他分析一下杭州的工业结构。
22、如果你是杭州市市长，你觉得杭州要怎样发展比较好？23、生物、化学、物理之间有什么共性？24、现在很多媒体在关注社会贫富差距的问题，你如何看待这个问题？25、一百年后的人到了现在，会发现哪些东西是未来没有的?26、让你一个人去荒原生存15天，你最想去做哪些事情？27、你如何考虑专业和毕业后择业的问题？28、看你的资料，你参加了很多次的社会实践活动，这些社会活动会不会影响你的学习？另外，在前两天上海考生的面试中，上海当地媒体也收集了部分面试题，快学网（）也刊登出来，给大家看一看。
华师大二附中 范端喜历年复旦交大自主招生数学试题详解与应试指导第1讲近年来.doc
第一讲近年来自主招生数学试卷解读集合与命题授课教师：范端喜第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试吋间：试题难度：考试知识点分布：90分钟，满分100分；略高于高考，比竞赛一试稍简单；基本涵盖高屮数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体儿何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试吋间：总的考试吋间为3小吋（共200道选择题，总分1000分，其屮数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相为于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外，还附加了一-些内容，如：行列式、矩阵等;考试重点：同济：题型：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试吋间：90分钟，满分100分；试题难度：考试知识点分布：基本上相半于高考；常规高考内容二、试题特点分析：1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。
例如，2007年交大冬令营自主招生试题中有这样一个问题：设/(x)二(1 + a)x4 + x3- (3a + 2)x2 - 4a ,试证明对任意实数a:(1) 方程/(x)二0总有相同实根；(2) 存在托，恒有/(X。
)工0・这两问解决的策略和方法是：换一个角度看成一个关于a的一次函数’ 关键步骤提示：/(a) = (x4一3兀2—4)° + (兀"+ x3 - 2x2—(% + 2)(兀一2)(兀~ + 1)Q +(x + 2)(兀—1)2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。
通信工程中常用〃元数组...............a”)表示信息，其中q = 0或1, i、•设"=(q,a】,® ...... a；：), v = ...... b鳥,表示"和v中相对应的元素不同的个数.(1 ) ” = (0,0,0,0,0)问存在多少个5元数组v使得力(U(2)z/ = (l?Ll丄1)问存在多少个5元数组v使得67(Z/?V)=3；(3)令w = (0.0.0 ........ 0),"二(％6,4 ................. a“)，v = (b“b],b[ .......... b j,朴0求证：〃(2,小：)+ 〃(匕W)> d{u.v)・此问题与计算机中的“二进制”有关，前两问是排列组合计数问题，尤其是第三问有-定的挑战性。
2006年全国普通高等学校招生统一考试数学理试卷参考答案答案(上海卷)
2006年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1． 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．2． 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．解答 一、（第1题至第12题）1．1 2．23．12 4．165．1i -+ 6．57．221164x y += 8．5 9．13510．36 11．011k b =-<<，12．10a ≤ 二、（第13题至第16题）三、（第17题至第22题）17．解：ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos22x x = ·························································································· 6分 π2sin 26x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． ····························································································· 8分∴函数ππ2cos cos 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是[]22-，，最小正周期是π． ·········· 12分 18．解：连接BC ，由余弦定理得222201022010cos120700BC =+-⨯⨯⨯=，于是，BC = ····································································································· 4分s i n 12020ACB ∠=sin ACB ∴∠=， ························································ 8分 90ACB ∠<，41ACB ∴∠≈， ············································································ 10分 所以，乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B 处救援． ············································ 12分 19．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，由PO ⊥平面ABCD ，得PBO ∠是PB 与平面ABCD 所成角，60PBO ∠=． ··············································· 2分在Rt AOB △中，sin301BO AB ==，又PO BO ⊥，于是，tan 60PO BO ==ABCD S =∴四棱锥P ABCD -的体积123P ABCD V -=⨯=． ··············································· 6分 （2）解法一：以O 为坐标原点，射线OB OC OP ，，分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． ··········································································································· 7分 在Rt AOB △中，OA =于是，点AB D P ，，，的坐标分别是(0(100)(100)(00A B D P -，，，，，，．E 是PB 的中点，则点E 的坐标是1022⎛ ⎝⎭，，，于是，30(02DE AP ⎛== ⎝⎭，，． ····································································· 11分设DE 与AP的夹角为θ，有3cos 4θ==，arccos 4θ= ∴异面直线DE 与PA所成角的大小是． ························································ 14分A解法二：取AB 的中点F ，连接EF DF ，．由E 是PB 的中点，得EF PA ∥，∴FED ∠是异面直线DE 与PA 所成角（或它的补角）． ··································· 8分 在Rt AOB △中，cos30OA AB OP ===，于是，在等腰直角POA △中，PA =2EF =． 而在正ABD △和正PBD △中，DE DF == ························································ 11分12cos EFFED DE ∠===，∴异面直线DE 与PA所成角的大小是arccos4． ························································ 14分 20．证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线22y x =于点1122()()A x y B x y ，，，． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l与抛物线相交于点(3(3A B ，，3OA OB ∴=． ···························································· 1分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠．由22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，，得2260ky y k --=，则126y y =-． ····················································· 3分又221221122x y x y == 1，， 2121212121()34OA OB x x y y y y y y ∴=+=+= ．综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB =”是真命题． ······················ 6分解：（2）逆命题是：设直线l 交抛物线22y x =于A B ，两点，如果3OAOB =·，那么该直线过点(30)T ，．该命题是一个假命题． ··············································································· 8分CBFAPEDO例如：取抛物线上的点1(22)12A B ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，此时3OAOB = ·， ········································ 11分 直线AB 的方程是2(1)3y x =+，而(30)T ，不在直线AB 上． ········································· 14分 说明：由抛物线22y x =上的点1122()()A x y B x y ，，，满足3OA OB = ·，可得126y y =-或122y y =．如果126y y =-，可证得直线AB 过点(30)，；如果122y y =，可证得直线AB 过点(10)-，，而不过点(30)，． 21．证明：（1）当1n =时，22a a =，则21a a a =； ··························································· 1分 当221n k -≤≤时，1(1)2n n a a S +=-+，1(1)2n n a a S -=-+，1(1)n n n a a a a +-=-，1n na a a +∴=． ∴数列{}n a 是等比数列． ······································································································ 4分 解：（2）由（1）得12n n a a -=， (1)(1)12(1)21212222n n n n n nn nk n a a a aa--++++--∴===……， ·················································· 8分1(1)11(122)2121n n n n b n n k n k k --⎡⎤=+=+=⎢⎥--⎣⎦ ，，， ． ······················································ 10分 （3）设32n b ≤，解得12n k +≤，又n 是正整数，于是当n k ≤时，32n b <； 当1n k +≥时，32n b >． ··································································································· 12分原式12123333322222k k k b b b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……121()()k k k b b b b +=++-++……211(21)(01)22212121k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥=+-+=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ··············································· 14分由2421k k -≤，得2840k k -+≤，44k -+≤，又2k ≥，∴当234567k =，，，，，时，原不等式成立． ··········································································· 16分 22．解：（1）函数2(0)by x x x=+>的最小值是6=， 2log 9b ∴=． ························································································································ 3分 （2）设120x x <<，222221212122222112()1c c c y y x x x x x x x x ⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭·． ··················· 5分12x x <时，21y y >，函数22c y x x =+在)+∞上是增函数；当120x x <<21y y <，函数22c y x x=+在(0上是减函数．又22c y x x=+是偶函数，于是，该函数在(--，∞上是减函数，在)⎡⎣上是增函数．（3）可以把函数推广为nn ay x x=+（常数0a >），其中n 是正整数． 当n 是奇数时，函数nn a y x x=+在(0上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是增函数，在)⎡-⎣上是减函数．当n 是偶数时，函数nn a y x x =+在(上是减函数，在)⎡+⎣∞上是增函数；在(--，∞上是减函数，在)⎡-⎣上是增函数． ······················································ 12分2211()nnF x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0212323223231111n n r n rn nn n n n n n n r n C x C x C x C x x x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……， 因此，()F x 在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在[]12，上是增函数． ················································· 16分 所以，当12x =或2x =时，()F x 取得最大值9924n n⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当1x =时，()F x 取得最小值12n +． ······································································ 18分。
2006年高考数学试题及答案(全国卷)
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）一．选择题（1）已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且ab =2，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（2）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（3）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（4）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （5）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=（A ）8 （B ）7 （C ）6（D ）5（6）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为 （A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（7）从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A ）21（B ）53（C ）23 （D ）0（8）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （10）在（x-x21）10的展开式中，x 4的系数为 （A ）-120 （B ）120 （C ）-15 （D ）15 （11）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2 （C ）355cm 2（D ）20cm 2第Ⅱ卷（13）已知函数f(x)=a-121+x,若f(x)为奇函数，则a = 。
2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及参考答案
的( = 1表示双曲线 i ) . 充分不必要条件 ( _) ( ‘ )必要不充分条件 ( a )充要条件 ( b )既不充分也不必要条件 若集合 N= j 1 6 . � X �= �3,- 1^ �^ 1 k , O= j � X �= 2( ) . 1 则 N l O等 于 , 0f �^ 1 k , �
1
.
1- 2 � 的 解集是 >0 . �+ 1 2 2 2 5 .已知圆 C : ( �+ 5 )+ �= r ( r >0 )和直 线l 若圆 C与直线 l 没有公共点 , 则 : 3 �+ �+ 5 =0 . r的取值范围是 . 4 .不等式 上的 6 .已知函数 f ( � )是定义在 ( - �,+ �) 4 则当 偶函数 . 当 �� ( 时 - �, 0 ) , f ( � )= �- � , �� ( 0 ,+ �)时 , f ( � )= . 电视台连 续播放 6个广告 , 其中含有 4个不同 J . 的商业广告和 2个不同的公益广告 , 要求首尾必须 播 放公益广告 , 则共 有 用数值表示 ) . 正四棱锥底面边长为 4 侧棱长为 3 则 其体积 K . , , . 在 MN 已知 O 三 角形面 L . O C中 , C= P , NC= 5 , 积为 1 则 2 , Q o R 2 C= . 为 若向量 T 1 S . , U的夹角为 1 5 0 W , X T X = V 3, X U X 则X =4 , 2 T+ U X= . 已知直线 l 过点 Y( 且与 �轴 , 1 1 . 2 , 1 ) , �轴的正 半轴分别交于 N, 则 MZ O两点 , Z为坐标原点 , NO面 积的最小值为 . 在一 次考试 后 , 如果 按顺 序 1 2 .同 学们都 知道 , 去掉一些高分 , 那么班级的平均分将降低 [ 反之 , 如果 按顺序去掉一 些低分 , 那么班级 的平均 分将提 高 . 这 两个事实可以用数学语言描述为 : 若有限数列 \ 1 , \ 2 , 则 ], \ n 满足 \ 1 ^ \ 2 ^ ] ^ \ n , 结论用数学式子表示 ( ) . 二, 选择题
复旦大学自主招生考试数学试题及答案
1、设函数y=f（x）=e x+1，则反函数OyxOyxO x答案：A2、设f（x）是区间[a，b]f（x）是[a，b]上的递增函数，那么，f（xA．存在满足x<y的x，y∈[a，b]B．不存在x，y∈[a，b]满足x<y且fC．对任意满足x<y的x，y∈[a，b]D．存在满足x<y的x，y∈[a，b]答案：A3、设]2,2[,ππβα-∈，且满足sinαA． [−2，2] B． [答案：D4、设实数0,≥yx，且满足2=+yxA．97/8 B．答案：C5则该多面体的体积为______________。
A．2/3 B．3/4答案：D6、在一个底面半径为1/2，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是___________。
A ．32个；B ．30个；C ．28个；D ．26个答案：B7、给定平面向量（1，1），那么，平面向量（231-，231+）是将向量（1，1）经过________． A ．顺时针旋转60°所得； B ．顺时针旋转120°所得； C ．逆时针旋转60°所得；D ．逆时针旋转120°所得；答案：C8、在直角坐标系O xy 中已知点A 1（1，0），A 2（1/2，3/2），A 4（−1，0），A 5（−1/2，−3/2）和A6（1/2， −3/2）．问在向量−−→−ji A A （i ，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）中，不同向量的个数有_____． A ．9个； B ．15个； C ．18个； D ．30个答案：C9、对函数f:[0，1]→[0，1]，定义f 1（x ）=f （x ），……，f n（x ） =f （f n −1（x ）），n=1，2，3，……．满足f n （x ）=x 的点x ∈[0，1]称为f 的一个n −周期点．现设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=121,22,210,2)(x x x x x f 问f 的n −周期点的个数是___________．A ．2n 个；B ．2n 2个；C ．2n个；D ．2（2n−1）个．答案：C10、已知复数z 1=1+3i ，z 2=−3+3i ，则复数z 1z 2的幅角__________． A ．13π/12 B ．11π/12 C ．−π/4 D ．−7π/12答案：A11、设复数βαβαcos sin ,sin cos i w i z +=+=满足z w =3/2，则sin （β−α）=______． A ．±3/2B ．3/2，−1/2C ．±1/2D ．1/2，−3/2答案：D12、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1．设C 1和C 2分别是以y =±k 1（x −1）+1和y =±k 2（x −1）+1为渐近线且通过原点的双曲线．则C 1和C 2的离心率之比e 1/e 等于_______．A ．222111k k ++ B ．212211k k ++ C ．1 D ．k 1/k 2答案：C13、参数方程0,)cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 所表示的函数y=f （x ）是____________．A ．图像关于原点对称；B ．图像关于直线x =π对称；C ．周期为2a π的周期函数D ．周期为2π的周期函数．答案：C14、将同时满足不等式x −k y −2≤0，2x +3y −6≥0，x +6y −10≤0 （k>0）的点（x ，y ）组成集合D 称为可行域，将函数（y +1）/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点（x ，y ）使目标函数达到在可行域上的最小值．如果这个规划问题有无穷多个解（x ，y ），则k 的取值为_____．A ．k≥1;B ．k≤2C ．k=2D ．k=1．答案：C15、某校有一个班级，设变量x 是该班同学的姓名，变量y 是该班同学的学号，变量z 是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩．则下列选项中正确的是________．A ．y 是x 的函数；B ．z 是y 的函数；C ．w 是z 的函数；D ．w 是x 的函数．答案：B16、对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________． A ．逆命题为“周期函数不是单调函数”； B ．否命题为“单调函数是周期函数”； C ．逆否命题为“周期函数是单调函数”； D ．以上三者都不正确 答案：D17、设集合A={（x ，y ）|log a x +log a y >0}，B={（x ，y ）|y +x <a}．如果A∩B=∅，则a 的取值范围是_______ A ．∅ B ．a>0，a≠1 C ．0<a≤2， a≠1 D ．1<a≤2答案：D18、设计和X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a>0，都存在x ∈X 使得0<|x −x 0|<a ，则称x 0为集合X 的聚点．用Z 表示整数集，则在下列集合（1）{n/（n+1）|n ∈Z ， n≥0}， （2） R\{0}， （3）{1/n|n ∈Z ， n≠0}， （4）整数集Z 中，以0为聚点的集合有_____． A ．（2），（3）B ．（1），（4）C ．（1），（3）D ．（1），（2），（4）答案：A19、已知点A （−2，0），B （1，0），C （0，1），如果直线kx y =将三角形△ABC 分割为两个部分，则当k =______时，这两个部分得面积之积最大？A ．23-B ．43-C ．34-D ．32-答案：A20、已知x x x x f 2cos 3cos sin )(+=，定义域⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππ127,121)(f D ，则=-)(1x f_____A ．π12123arccos 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B ．π6123arccos 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C ．π12123arcsin 21+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x D ．π6123arcsin 21-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 答案：A21、设1l ，2l 是两条异面直线，则直线l 和1l ，2l 都垂直的必要不充分条件是______ A ．l 是过点11l P ∈和点22l P ∈的直线，这里21P P 等于直线1l 和2l 间的距离 B ．l 上的每一点到1l 和2l 的距离都相等 C ．垂直于l 的平面平行于1l 和2lD ．存在与1l 和2l 都相交的直线与l 平行 答案：D22、设ABC −A’B’C’是正三棱柱，底面边长和高都为1，P 是侧面ABB’A’的中心，则P 到侧面ACC’A’的对角线的距离是_____A ．21B ．43C ．814D ．823答案：C23、在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组．如果可以在球面上通过移动和缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系．那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有______A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种 答案：A24、设非零向量()()()321321321,,,,,,,,c c c c b b b b a a a a ===为共面向量，),,(31x x x x x = 是未知向量，则满足0,0,0=⋅=⋅=⋅x c x b x a的向量x 的个数为_____A ．1个B ．无穷多个C ．0个D ．不能确定 答案：B25、在Oxy 坐标平面上给定点)1,2(),3,2(),2,1(C B A ，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112k 将向量OC OB OA ,,分别变换成向量,,，如果它们的终点',','C B A 连线构成直角三角形，斜边为''C B ，则k 的取值为______A ．2±B ．2C ．0D ．0，−2 答案：B26、设集合A ，B ，C ，D 是全集X 的子集，A∩B≠∅，A∩C≠∅．则下列选项中正确的是______． A ．如果B D ⊂或C D ⊂，则D∩A≠∅； B ．如果A D ⊂，则C x D∩B≠∅，C x D∩C≠∅； C ．如果A D ⊃，则C x D∩B=∅，C x D∩C=∅； D ．上述各项都不正确．27、已知数列{}n a 满足21=a 且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，则∑==nk k a 1______A ．221-+n nB ．22)1(1+-+n n C ．)1(22-+n n n D ．n n n 22)1(+-28、复平面上圆周2211=+--iz z 的圆心是_______ A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i29．已知C 是以O 为圆心、r 为半径的圆周，两点P 、P *在以O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP *|=r 2，则称P 、P *关于圆周C 对称．那么，双曲线22x y -=1上的点P （x ，y ）关于单位圆周C':x 2＋y 2=1的对称点P *所满足的方程是（A ）2244x y x y -=+（B ）()22222x y x y-=+（C ）()22442x y x y-=+（D ）()222222x y x y-=+30、经过坐标变换⎩⎨⎧+-=+=θθθθcos sin 'sin cos 'y x y y x x 将二次曲线06532322=-+-y xy x 转化为形如1''2222=±b y a x 的标准方程，求θ的取值并判断二次曲线的类型_______ A ．)(6Z k k ∈+=ππθ，为椭圆 B ．)(62Z k k ∈+=ππθ，为椭圆C ．)(6Z k k ∈-=ππθ，为双曲线D ．)(62Z k k ∈-=ππθ，为双曲线31、设k ， m ， n 是整数，不定方程mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________ A ．m ，n 都整除kB ．m ，n 的最大公因子整除kC ．m ，n ，k 两两互素D ．m ，n ，k 除1外没有其它共因子。
2006年普通高等学校招生统一考试理科数学试题参考答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3． 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．π314．11 15．2400 16．π6三、解答题 17．解：由πA B C ++=，得π222B C A+=-， 所以有cos sin 22B C A+=． 22cos 2cos2cos 2sin212sin 2sin22132(sin )222B CA AA A AA ++=+=-+=--+．当1sin 22A =，即π3A =时，cos 2cos 2BC A ++取得最大值32． 18．解：（I ）设i A 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，012i =，，， i B 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，012i =，，． 依题意有12124224()2()339339P A P A =⨯⨯==⨯=，．01111111()()2224222P B P B =⨯==⨯⨯=，．所求的概率为010212()()()p P B A P B A P B A =++141414494929=⨯+⨯+⨯ 49=． （II ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~4(3)9B ，． 35125(0)9729P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭， 2134100(1)C 9243P ξ5⎛⎫==⨯⨯=⎪9⎝⎭， 223480(2)C 9243P ξ5⎛⎫==⨯⨯= ⎪9⎝⎭， 364(3)729P ξ4⎛⎫===⎪9⎝⎭． ξ的分布列为数学期望393E ξ=⨯=．19．解法一：（I ）由已知2211l MN l l MN l M ⊥⊥= ，，，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN⊥==，，可知A N N B =且AN NB ⊥． 又AN 为AC 在平面ABN 内的射影，AC NB ∴⊥． （II ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB =︒∠，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH NBH ，∠为NB 与平面ABC 所成的角．AB CHN1l2lM在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ===∠ 解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -． 令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，． （I ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥，2l ∴⊥平面ABN ． 2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，． 于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， 1(1)00AC NB =+-+=，AC NB ∴⊥．（II ）(11)(11)AC m BC m ==- ，，，，，．||||AC BC ∴=，又已知60ACB =︒∠，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===． 在Rt CNB △中，NBNC =C ． 连结MC ，作NH MC ⊥于H，设(0)(0)H λλ>，．(01)HN MC λ∴=-= ，，．11203HN MC λλλ=--=∴= ，．103H ⎛∴ ⎝⎭，，，可得203⎛= ⎝⎭ ，，HN ，连结BH ，则 113BH ⎛=- ⎝⎭ ，，， 220099HN BH HN BH =+-=∴⊥ ，，又MC BH H = ，∴HN ⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角． 又(110)BN =-，，，l43cosBH BNNBHBH BN∴===∠．20．解：（I）椭圆方程可写为22221y xa b+=，式中0a b>>，且2232a ba⎧-==⎩，得2241a b==，，所以曲线C的方程为221(00)4yx x y+=>>，．1)y x=<<，y'=设00()P x y，，因P在C上，有00401|x xxx y yy='<<==-，，得切线AB的方程为004()xy x x yy=--+．设()0A x，和()B y，，由切线方程得1xx=，4yy=．由OM OA OB=+得M的坐标为()x y，，由x，y满足C的方程，得点M的轨迹方程为()2214112x yx y+=>>，．（II）222||OM x y=+，222444111yxx==+--，2224||154591OM xx∴=-+++=-≥，且当22411x x -=-，即1x =>时，上式取等号． 故||OM的最小值为3．21．解：（I ）()f x 的定义域为(1)(1)-∞+∞ ，，．对()f x 求导数得 222()e .(1)axax a f x x -+-'=-（i ）当2a =时，2222()e (1)xx f x x -'=-，()f x '在(0)(01)-∞，，，和(1)+∞，均大于0，所以()f x 在(1)(1)-∞∞，，，+为增函数． （ii ）当02a <<时，()0f x '>，()f x 在(1)(1)-∞+∞，，为增函数． （iii ）当2a >时，201a a-<<．令()0f x '=，解得1x =2x = 当x 变化时，()f x '和()f x 的变化情况如下表：()f x 在⎛-∞ ⎝，，⎫⎪⎪⎭，()1+∞，为增函数，()f x 在⎛ ⎝为减函数．（II ）（i ）当02a <≤时，由（I ）知：对任意(01)x ∈， 恒有 ()(0)1f x f >=．（ii ）当2a >时，取0(01)x =，，则由（I ）知0()(0)1f x f <=．（iii ）当0a ≤时，对任意(01)x ∈，，恒有111xx+>-且e 1ax -≥，得 11()e 111ax x xf x x x-++=>--≥． 综上当且仅当(2]a ∈-∞，时，对任意(01)x ∈，恒有()1f x >． 22．解：（I ）由14122333n n n S a +=-⨯+，1n =，2，3， ，① 得1114124333a S a ==-⨯+，所以12a =．再由①有114122333n n n S a --=-⨯+，2n =，3， ．②将①和②相减得()()111412233n nn n n n n a S S a a +--=-=--⨯-，2n =，3， ，整理得()11242n n n n a a --+=+，2n =，3， ，因而数列{}2nn a +是首项为124a +=，公比为4的等比数列，即12444n n n n a -+=⨯=，1n =，2，3， ，因而42n n n a =-，1n =，2，3， ．（II ）将42n n n a =-代入①得()1412422333n n n n S +=⨯--⨯+()()11121223n n ++=⨯--()()1221213n n +=⨯--．()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪---⨯-⎝⎭，所以，11131122121nn i i i i i T +==⎛⎫=- ⎪--⎝⎭∑∑1131122121n +⎛⎫=⨯- ⎪--⎝⎭＜32．Ｂ卷选择题答案1．Ａ2．Ｃ 3．Ｂ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ａ 7．Ｄ8．Ｂ9．Ｃ10．Ａ 11．Ａ12．Ａ。
2006年全国各地高考数学试题及解答分类大全(集合)
2006年全国各地高考数学试题及解答分类大全（集合）一、选择题：1. (2006春招上海) 若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，则A ∩B 等于( ) （A ）]1,(∞-. （B ）[]1,1-. （C ）∅. （D ）}1{.2.(2006安徽文)设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =,{3,6}T =，则()U C S T ⋃等于（ ）A ．∅B ．{2,4,7,8}C ．{1,3,5,6}D ．{2,4,6,8}2.解：{1,3,5,6}S T ⋃=，则()U C S T ⋃＝{2,4,7,8}，故选B3.(2006安徽理)设集合{}22,A x x x R =-≤∈,{}2|,12B y y x x ==--≤≤,则()R C A B 等于( ) A ．R B ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅3.解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C AB C =，故选B 。
4.(2006北京文)设集合A ={}312＜+x x ，B ={}23＜＜x x -，则A ⋂B 等于（ ） (A) {}13＜＜x x - (B) {}21＜＜x x (C)｛x|x >－3｝ (D) ｛x|x <1｝ 4.解：集合A ={}312＜+x x ＝｛x|x <1｝，借助数轴易得选A5.(2006福建文、理)已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于( )（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)- 5．全集,U R =且{}|12{|1或3},A x x x x x =->=<->{}2|680{|24},B x x x x x =-+<=<< ∴ ()U A B =(2,3]，选C.6..(2006湖北文)集合P ＝｛x |x 2－16<0｝,Q ＝｛x |x ＝2n ，n ∈Z ｝,则P Q ＝（ ）A.｛-2,2｝B.｛－2，2，－4，4｝C.｛－2，0，2｝D.｛－2，2，0，－4，4｝6. 解：P ＝｛x |x 2－16<0｝＝｛x |－4<x <4｝，故P Q ＝｛－2，0，2｝，故选C7..(2006湖北理)有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题： ①A B =∅的充要条件是()()()card A B card A card B =+；②A B ⊆的充要条件是()()card A card B ≤；③A B 的充要条件是()()card A card B ≤；④A B =的充要条件是()()card A card B =；其中真命题的序号是 ( )A ．③④B ．①②C ．①④D ．②③7. 解：①A B =∅⇔集合A 与集合B 没有公共元素，正确②A B ⊆⇔集合A 中的元素都是集合B 中的元素，正确③A B ⇔集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，错误④A B =⇔集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误选B8. (2006江苏)若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A8.【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解。
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2006复旦一、选择题1．在(x 2−1x)10的展开式中系数最大的项是_____.A ．第4、6项B ．第5、6项C ．第5、7项D ．第6、7项 2．设函数y=ƒ (x)对一切实数x 均满足ƒ (5+x )=ƒ(5−x)，且方程ƒ (x )=0恰好有6个不同的实根，则这6个实根的和为____.A ．10B ．12C ．18D ．30 3．若非空集合X=｛x ｜a+1≤x≤3a−5｝，Y=｛x ｜1≤x≤16｝，则使得X ⊆X ∪Y 成立的所有a 的集合是_____.A ．｛a ｜0≤a≤7｝B ．｛a ｜3≤a≤7｝C ．｛a ｜a≤7｝D ．空集 4．设z 为复数，E=｛z ｜(z−1)2=|z−1|2｝，则下列_ 是正确的A ．E={纯虚数}B ．E={实数}C ．{实数}⊆E ⊆{复数}D ．E={复数}5．把圆x 2+(y−1)2=1与椭圆x 2+2(1)9y +=1的公共点，用线段连接起来所得到的图形为_____.A ．线段B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．四边形6．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小是___. A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°7．某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如A ．58B ．60C ．62D ．648．若向量a v +3b v 垂直于向量7a v −5b v ，并且向量a v −4b v 垂直于向量7a v −2b v ，则向量a v 与b v的夹角为___ ___.A ．2π； B ．3π； C ．4π； D ．6π. 9．复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛，共有十人参赛，其中一班有三位，二班有两位，其它班有五位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的三位同学恰好演讲序号相连.问二班的两位同学的演讲序号不相连的概率是____.A ．120 B ．140 C ．160 D ．19010．已知sin α，cos α是关于x 的方程x 2−tx+t=0的两个根，这里t ∈R.则3sin α+3cos α=___.A ．B ．；C ．−D ．11．设z 1，z 2为一对共轭复数，如果|z 1−z 2且122z z 为实数，那么|z 1|=|z 2|=____. AB ．2C ．3 D12．若四面体的一条棱长是x ，其余棱长都是1，体积是V(x)，则函数V(x)在其定义域上为____.A ．增函数但无最大值B ．增函数且有最大值C ．不是增函数且无最大值D ．不是增函数但有最大值 13．下列正确的不等式是____.A ．16<1201k =； B ．18<1201k =<19； C ．20<1201k =； D ．22<1201k =<23. 14．设{αn }是正数列，其前n 项和为S n ，满足：对一切n ∈Z +，αn 和2的等差中项等于S n 和2的等比中项，则limnn n→∞α=______.A ．0B ．4C ．12D ．10015．已知x 1，x 2是方程x 2−(α−2)x+(α2+3α+5)=0(α为实数)的两个实根，则x 12+x 22的最大值为______.A ．18B ．19C ．20D ．不存在 16=α.条件乙：sin2θ+cos 2θ=α.则下列________是正确的.A ．甲是乙的充分必要条件B ．甲是乙的必要条件C ．甲是乙的充分条件D ．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件 17．已知函数ƒ(x)的定义域为(0，1)，则函数g(x)= ƒ(x+c)+ƒ(x−c)在0<c<12时的定义域为____. A ．(−c,1+c); B ．(1−c,c); C ．(1+c,−c); D ．(c,1−c); 18．函数____.A ．y min =54-，y max =54； B ．无最小值，y max =54； C ．y min =54-，无最大值 D ．既无最小值也无最大值19．等差数列{αn }中，α5<0，α6>0且α6>|α5|，S n 是前n 项之和，则下列___是正确的.A ．S 1，S 2，S 3均小于0，而S 4，S 5，…均大于0B ．S 1，S 2，…，S 5均小于0，而S 6，S 7，…均大于0C ．S 1，S 2，…，S 9均小于0，而S 10，S 11，…均大于0D ．S 1，S 2，…，S 10均小于0，而S 11，S 12，…均大于0 20．已知角θ的顶点在原点，始边为x 轴正半轴，而终边经过点Q(y)，(y≠0)，则角θ的终边所在的象限为___.A ．第一象限或第二象限B ．第二象限或第三象限C ．第三象限或第四象限D ．第四象限或第一象限 21．在平面直角坐标系中，三角形△ABC 的顶点坐标分别为A(3,4),B(6,0),C(−5,−2),则∠A 的平分线所在直线的方程为_____.A ．7x−y−17=0;B ．2x+y+3=0;C ．5x+y−6=0;D ．x−6y=0. 22．对所有满足1≤n≤m≤5的m ，n ，极坐标方程11cos nm C θρ=-表示的不同双曲线条数为_____.A ．6B ．9C ．12D ．1523．设有三个函数，第一个是y=ƒ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，则第三个函数是______.A ．y=−ƒ(x)；B ．y=−ƒ(−x)；C ．y=−ƒ−1(x)；D ．y=−ƒ−1(−x)； 24．设ƒ(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当x ∈[2，3]时，ƒ(x)=x ，则当x ∈[−2,0]时，ƒ(x)的解析式为_____.A ．x+4;B ．2−x;C ．3−|x+1|;D ．2+|x+1|. 25．已知α,b 为实数，满足(α+b)59=−1,( α−b)60=1,则α59+α60+b 59+b 60=_____.A ．−2B ．−1C ．0D ．1 26．设αn 是)n 的展开式中x 项的系数(n=2,3,4,…)，则极限2323222lim()nn n →∞+++ααα…=________. A ．15 B ．6 C ．17 D ．8 27．设x 1,x 2∈(0，2π)，且x 1≠x 2，不等式成立的有 (1)12(tanx 1+tanx 2)>tan 122x x +; (2) 12(tanx 1+tanx 2)<tan 122x x +; (3)12(sinx 1+sinx 2)>sin 122x x +; (4) 12(sinx 1+sinx 2)<sin 122x x + A ．(1),(3) B ．(1),(4) C ．(2),(3) D ．(2),(4)28．如图所示，半径为r 的四分之一的圆ABC 上，分别以AB 和AC 为直径作两个半圆，分别标有α的阴影部分面积和标有b 的阴影部分面积，则这两部分面积α和b 有_____.A ．α>bB ．α<bC ．α=bD ．无法确定CBAba29．设a v ,b v 是不共线的两个向量.已知PQ uuu v =2a v +k b v ，QR uuu v =a v +b v ，RS u uu v =2a v −3b v .若P ，Q ，S 三点共线，则k 的值为_____.A ．−1；B ．−3；C ．43-；D ．35-； ##Answer## 1.C 2.D 3.C 4.B 5.B6. 【简解】设BB 1=1,则,取AC 、BC 1的中点D 、O,DOC 1B 1A 1CBAOD ∥AB 1，∠BOD 即为所求；在△BOD 中，OD=OB 1=2,BD=2,∠BOD=90°。
选C 7.【简解】设运甲x 箱、乙y 箱，则,20101002111020100210x y Nx y x y x y x y ∈⎧⎪+≤⇔+≤⎨⎪+≤⇔+≤⎩，目标函数为P=8x+10y=2(4x+5y)的最大值，根据线性规划，当x=4,y=3时，P 最大=62.选C8.【简解】2222(3)(75)716150(4)(72)73080a b a b a a b b a b a b a a b b ⎧+⋅-=+⋅-=⎪⎨⎪-⋅-=-⋅+=⎩r r r r r r r r r r r r r r r r⇒||||a b b ==⋅r r r cos(a r ,b r )=||||a b a b ⋅r rr r =12,(a r ,b r )=3π。
选B9.A10.【简解】由已知sin cos sin cos t tαααα+=⎧⎨=⎩故2t -2t-1=0，解得又33sin cos αα+=22(sin cos )(sin sin cos cos )αααααα+-+=t(1-t)=t-2t =t-(1+2t)=-1-t=-。
选C11.【简解】设z 1=x+yi(x,y ∈R)，则z 2=x-yi,|z 1-z 2122z z =32222223(3x )()x xy y yi x y -+-+∈R,(3x 2-y 2)y=0,|x|=2。
|z 1。
选A 12.【简解】,选D13.k ≥21201k =∈，选C 14.【简解】22n a +=2448n n n a a S ++= ①；2111448n n n a a S +++++= ② ②-①得到：22111448n n n n n a a a a a +++-+-=⇒111()()4()n n n n n n a a a a a a +++-+=+14n n a a +-=，数列{}n a 是公差为4的等差数列，易求得1a =2，故n a =4n-2limnn a n→∞=4,选B15.【简解】△≥0解得-4≤α≤-43，2212x x +=21212()2x x x x +-=2(2)α--2(2α+3α+5) =-210αα--6在[-4,-43]单调减，故α=-4时取得最大值18，选A 16.B 17.D 18.B 19.C 20.B 21.A22.【简解】e=nm C >1有2,3,4,5,6,10六个不同的值，选A 23.B 24.C25.【简解】两式相乘得到59591b b αα-+-=-=6060b bαα-+，故5959b α-与6060b α-互为相反数，故原式=0，选C 26.【简解】n α=2222(1)n n nC---=n(n-1)22n -,2kkα=8(1)k k -=8(111k k--)12knk kα=∑=8(1-1n),原式=8，选D 27.B 28.A 29.C。