2010复旦 高校自主招生数学试题及解答

A. 97/8
B. 195/16
C. 49/4
5.设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看到的图形分别为：
D. 25/2
外围均为棱长为 1 的正方形
则该多面体的体积为______________
A. 2/3
B. 3/4
C. 4/5
D. 5/6
6.在一个底面半径为 1/2，高为 1 的圆柱内放入一个直径为 1 的实心球后，在圆柱内空余的地方放入
8.在直角坐标系 xOy 中已知点 A1(1,0)，A2(1/2, 3 /2)，A3(-1/2, 3 /2),A4(−1,0)，A5(−1/2,−
A6(1/2, − 3 /2).问在向量 Ai Aj (i,j=1,2,3,4,5,6，i≠j)中，不同向量的个数有_____.
3 /2)和
A.9 个；
A． ;
B．a>0,a≠1;
C．0<a≤2, a≠1 D．1<a≤2
18.设集合 X 是实数集 R 的子集，如果点 x0∈R 满足：对任意 a>0，都存在 x∈X 使得 0<|x−x0|<a，
n 则称 x0 为集合 X 的聚点.用 Z 表示整数集，则在下列集合：(1){ n 1 |n∈Z, n≥0}；(2)
9.【简解】n=1 时，两个；n=2 时，4 个；n=3 时，8 个；归纳选 C 10.A
11.【简解】z =sin(α+β)cos(α-β)-icos(α+β)=
3 2
,
sin( cos(
) cos( ) 0
] ，且满足 sin
cos
sin
cos
1，则 sin
sin
的取值范围是_______.
22
A. [− 2 , 2 ]; B. [−1, 2 ];
C.[0, 2 ]; D.[1, 2 ].
4.设实数 x, y 0 ，且满足 2x y 5 ，则函数 f (x, y) x2 xy 2x 2 y 的最大值是_______.
2010 复旦 一、选择题 1 .设函数 y=f(x)=ex+1，则反函数 y= f −1(x)在 xOy 坐标系中的大致图像是_________.
A
B
C
D
2.设 f(x)是区间[a，b]上的函数，如果对任意满足 a≤x＜y≤b 的 x，y 都有 f(x)<f(y)，则称 f(x)是[a,b]上
的递增函数，那么 f(x)是[a,b]上的非递增函数应满足_________
n≤
180O 23.95O
≈7.5,
最多为 7；故整个最多可放 28 个小球。选 C
7.【简解】设 OA =(1,1),
OB
=(
1
3 ，1
3 ),易求得 cos∠AOB= 1 ,选 C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
2
8. 【简解】六边形 A1A2A3A4A5A6 为正六边形，| Ai Aj |=1 或 3 或 2，每种对应的有 6 个向量，选 C
则称 P、P*关于圆周 C 对称．那么，双曲线 x2 y2 =1 上的点 P(x,y)关于单位圆周 C':x2＋y2=1 的对称
点 P*所满足的方程是
(A) x2 y2 x4 y4
(B) x2 y2 x2 y2 2
(C) x2 y2 2 x4 y4
(D) x2 y2 2 x2 y2 2
A．存在满足 x<y 的 x,y∈[a,b]，使得 f(x)>f(y)；
B．不存在 x,y∈[a,b]满足 x<y 且 f(x)≤f(y);
C．对任意满足 x<y 的 x,y∈[a,b]都有 f(x)>f(y);
D．存在满足 x<y 的 x,y∈[a,b]，使得 f(x)≥f(y)
3.设 ,
[
,
D．5 种
24.设非零向量
a
a1 ,
a2
,
a3
,
b
b1, b2
, b3
,
c
c1 ,
c2
,
c3
为共面向量，x
( x1 ,
xx
,
x3
)
是未知向
量，则满足
a
x
0, b
x
0, c
x
0 的向量
x
的个数为_____
A．1 个
B．无穷多个
C．0 个
D．不能确定
25.在
Oxy
坐标平面上给定点
A(1,2),
B.15 个；
C.18 个；
D.30 个
9.对函数 f:[0,1]→[0,1]，定义 f1(x)=f(x)，……，fn(x) =f(fn−1(x))，n=1,2,3,…….满足 fn(x)=x 的点 x∈[0,1]
称为
f
的一个
n−周期点.现设
f
(x)
2x,0 2 2x,
x
1 2
1, 2 x
14.将同时满足不等式 x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0 (k>0)的点(x,y)组成集合 D 称为可行域，将
函数(y+1)/x 称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点(x,y)使目标函数达到在可行域上的
最小值.如果这个规划问题有无穷多个解(x,y)，则 k 的取值为_____.
1
P1,P2,…,Pn。如图 1 是其中一个小球的竖直切面，则 +r=
2 ( 1 -r) r= 3 2
2 ≈0.086；
2
2
2
如图
2，是小球与 O1 的水平切面图，设过
O1 与每个小球相切的切线夹角为β，则
sin
2
=
1
r
r
≈
2
0.207729 cosβ=1-2
sin2
2
≈0.913697 β≈23.95°；每个角可容纳球的个数
B． k (k Z ) ，为椭圆 26
D． k (k Z ) ，为双曲线 26
31.设 k, m, n 是整数，不定方程 mx+ny=k 有整数解的必要条件是____________
A. m,n 都整除 k;
B. m,n 的最大公因子整除 k;
C. m,n,k 两两互素;
D. m,n,k 除 1 外没有其它共因数
A.如果 D B 或 D C ，则 D∩A≠ ；
B.如果 D A ，则 ðX (D B) ， ðX (D C) ；
C.如果 D A ，则 ðX (D B) ， ðX (D C) ；
D.上述各项都不正确.
27.已知数列 an
满足 a1
2
且
an n
是公比为
30.经过坐标变换
x'
y'
x cos y sin x sin y cos
将二次曲线 3x 2
2
3xy 5 y 2 6 0 转化为形如
x'2 a2
y'2 b2
1 的标准方程，求 的取值并判断二次曲线的类型_______
A． k (k Z ) ，为椭圆 6
C． k (k Z ) ，为双曲线 6
arccos
x
3 2
1 6
D．
1 2
arcsin
x
3 2
1 6
21.设 l1 ， l2 是两条异面直线，则直线 l 和 l1 ， l2 都垂直的必要不充分条件是______
A． l 是过点 P1 l1 和点 P2 l2 的直线，这里 P1P2 等于直线 l1 和 l2 间的距离
B． l 上的每一点到 l1 和 l2 的距离都相等
和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是___________.
A. 32 个；
B. 30 个； C.28 个； D.26 个
7.给定平面向量(1,1)，那么，平面向量( 1 3 ， 1 3 )是将向量(1,1)经过________.
2
2
A．顺时针旋转 60°所得； B．顺时针旋转 120°所得； C．逆时针旋转 60°所得； D．逆时针旋转 120°所得；
2
的等比数列，则
n k 1
ak
______
A． n2n1 2
B． (n 1)2n1 2 C． n2n 2(n 1) D． (n 1)2n 2n
z 1 28.复平面上圆周 z 1 i
2
的圆心是_______
2
A．3+ i
B．3− i
C．1+ i
D．1− i
29.已知 C 是以 O 为圆心、r 为半径的圆周，两点 P、P*在以 O 为起点的射线上，且满足|OP|∙|OP*|=r2，
16.对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是________.
A. 逆命题为“周期函数不是单调函数”；B. 否命题为“单调函数是周期函数”；
C. 逆否命题为“周期函数是单调函数”；D. 以上三者都不正确
17.设集合 A={(x,y)|logax+logay>0}，B={(x,y)|y+x<a}．如果 A∩B= ，则 a 的取值范围是_______
23.在一个球面上画一组三个互不相交的圆，成为球面上的一个三圆组.如果可以在球面上通过移动和
缩放将一个三圆组移动到另外一个三圆组，并且在移动过程中三个圆保持互不相交，则称这两个三
圆组有相同的位置关系，否则就称有不同的位置关系.那么，球面上具有不同的位置关系的三圆组有
______
A．2 种
B．3 种
C．4 种
A.k≥1;
B.k≤2