勾股定理全章知识点典型例习题.doc

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如

3,4,5；

6,8,10； 5,12,13；

8,15,17

等

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北师大版八年级数学上 第1章《勾股定理》试卷（D ）

【全章知识点分析及典型例习题】

一、基础知识点:

1.. 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两直角边分别为。，b,斜边为c,那么a 2

+b 2

=c 2

2..

勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 %1 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 %1 根据同…种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

3. 勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角

形, 对于锐角三角形和饨角三角形的三边就不具有这一特征。

4. 勾股定理的应用 解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题①已知直 角三角形的任意两边长，求第三边。②可运用勾股定理解决一些实际问题

5 .勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判定一•个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 6.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2

+b 2

=c 2

中，。，b, c •为正

整数时，称a, b, c 为一组勾股数

%1 用含字母的代数式表示〃组勾股数: 〃2—1,2〃,疽+1 （〃22, 〃为正整数）;

2n +1,2〃2 + 2〃,2〃2 + 2〃 +1 （■为正整数）m 2 —n 2,2mn,m 2 +n 2

（ m > n, m , n 为正整数）

二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例题 1 在 A4BC 中，ZC = 90° . ⑴已知AC = 6, BC = 8.求他的长

⑵已知AB = 17, AC = 15,求BC 的长分析：直接应用勾股定理a 2

+b 2

=c 2

己知等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边长为. 题型二：利用勾股定理测量长度

例题2如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 例题3如图，水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5

题型三：勾股定理和逆定理并用

例题4如图3,正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，旦FB = -AB 那么ADEF 是直角三角

A

图3

4形吗？为什么？

变式1

例题8、如图，AABC 是直角三角形，BC 是斜边，将AABP

绕点A 逆时针旋转后，能与△ ACI”重合，若 AP=3,求PP'的长。

变式2

例题5变式 题型四：利用勾股定理求线段长度

例题5如图4,己知长方形ABCD 中AB 二8cn 】,BC 二10cm,在边CD 上取一点E,将AADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F,求CE 的长.(本题接下来还可以求折痕的长度和重叠部分的面积。) 如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识⑴求AABC 的面积 (2)判断AABC 是什么形状？并说明理由. 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直

例题6如图5,王师傅想要检测桌了的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm, AB=60cm, BD= 100cm, AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直?

例题7有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4. 5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就白

动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开?

变式1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2, PB=2V3,PC=4,求Z\ABC 的边长.

分析：利用旋转变换，将ABPA 绕点B 逆时针选择60° ,将三条线段集中到同一个三角形中, 根据它们的数圾关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

变式2、如图，Z\ABC 为等腰直角三角形，/BAC =90° , E 、F 是BC 上的点，且ZEAF=45° , 试探究CF\ EE?间的关系，并说明理由.

题型七：关于翻折问题

例题9、如图，知形纸片ABCD 的边AB=10cm, BC=6cm, E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰 好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.

变式：如图，AD 是ZXABC 的中线，ZADC=45° ,把ZiADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ，的位凯BC=4,求

图4

圈

5

A

图

6

题型六：旋转问题: 例8图

例题

9

图 例题

10

例题11、如图1 — 19,壁虎在一座底面半径为2米, 罐上边缘的B 处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫,

为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐, 例题

11

变式

题型八：关于勾股定理在实际中的应用：

例题10、如图，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP=160米，点A 到公路MN 的距离 为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时， 学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的 时间为多少？

题型九：关于最短性问题

高为4米的油罐的下底边沿A 处，它发现在自己的正上方油

沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要 爬行多少路程才能捕到害虫？（只取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）

变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所和Hi 都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假 设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点，最少要花几秒钟？

三、课后训练： （一）、填空题

1. 如图（1）,在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米.

2. 种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里，杯口外面至少要露出

4.6 cm,问吸管要做 cm 。

3. 已知：如图，AABC 中，ZC = 90°,点O 为Z\ABC 的三条角平分线的交点，OD_LBC, OE±AC, OF_LAB, 点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm, CA = 6cm,则点O 到三边AB ,AC 和BC 的距离分别等于 cm

4. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直 接跃到A 处，

距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 ___________________ 米。

5. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、 二 2。

2dm, A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B

F

点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶而爬到B 点最短路程是 __________ . / （二）、选择题

「

1. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（

）

A 、25

B 、14

C 、7

D 、7 或 25

2. Rt △一直角边的长为11,另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121

B 、120

C 、132

D 、不能确定

3. 如果Rt △两直角边的比为5： 12,则斜边上的高与斜边的比为（

）

第3题图