生灭过程及排队论
5-2特例(—)----生灭过程
0
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卢
由生灭矩阵可以写出K－F前进方程：
d p00 (t ) d t 0 p00 (t ) 1 p01 (t ) d p0 n (t ) n 1 p0 n1 (t ) (n n ) p0 n (t ) n1 p0 n 1 (t ) n 1 dt d pi 0 (t ) p (t ) p (t ) 0 i0 1 i1 dt d p (t ) in n 1 pi n1 (t ) (n n ) pi n (t ) n 1 pi n1 (t ) n 1 dt
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绝对概率满足Fokker-Planck方程：
p(t ) 0 p0 (t ) 1 p1 (t ) p j (t ) j 1 p j 1 (t ) ( j j ) p j (t ) j 1 p j 1
给定起始状态 初始条件为
X (0) i S
1 , n i pin (0) 0 , n i
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卢
解 Q 0 e 1
0 1 0 Q 0 0
0 0 0 (1 1 ) 1 0 2 ( 2 2 ) 2
则称此链为生灭过程。
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卢
Q矩阵为
0 1 0 Q 0 0
0 0 0 (1 1 ) 1 0 2 ( 2 2 ) 2
0 0
0 0 0 0 0 0 n (n n ) n 0
0 0
0 0 0 0 0 0 n (n n ) n 0
排队论模型专业知识课件
(队长)=等待服务旳顾客数+正被服务旳顾客数，所以
越大，
；排队长度则仅指在队列中
. 系统中旳顾客数
阐明服务效率越低。
(2)等待时间:是指从顾客到达时间算起到他开始接受
顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要旳时间，
逗留时间=等待时间+服务时间 (3)忙期:是指服务台连续繁忙旳时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲时止旳这段时间。这是服务台最关心数量指标，它直接关系到服务员工作强度，与忙期相相应旳是闲期，这是指服务台连续保持空闲旳时间长度；显然，在排队系统中忙期与闲期，是交替出现旳。
从而在生灭过程中取
(9.5)
记 ，称为服务强度 当 时，模型不稳( 时达不到统计) 当 ＜1时，模型稳定，有稳定解 (3)X(t)旳分布律 由(9.12)，(1.15)式得此模型旳微分差分方程组 (9.6) 当 时，稳态解满足
1.生灭过程旳定义 设有一种系统，具有有限个状态，其状态集s={0，1，2…k}或有可数个状态，状态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在时刻t所处旳状态，若在某一时刻t系统旳状态数为n，假如对△t>0有。 (1)到达(生):在(t，t+△t)内系统出现一种新旳到达旳概率为
服务时止旳这段时间，其期望值记
；逗留时间则指从
即是顾客在系统中所花费旳总时间，其期望值记
。
排队系统除了上述三个主要数量指标外，另外服务台旳利用率(即服务员忙碌旳时间在总时间中所占百分比)在排队论旳研究中也是很主要旳指标。
（二）排队模型旳符号表达与几种主要排队模型 1.排队模型旳符号一般表达法 一般表达法 A/B/C/D/E/F A:顾客来到时间间隔旳分布类型 B:服务时间旳分布类型 C:服务员个数 D:系统容量 E:顾客源个数 F:服务规则 先来先服务旳等待排队模型主要由三参数法即A/B/C例“M/M/1/k/
运筹学课件第十章排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
(完整)排队论
5。
2 排队论排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。
如图5。
5所示。
图5.5 排队系统结构5.2.1 排队论概述1. 排队论研究的基本问题随机性是排队系统的共同特性，顾客的到达间隔时间与顾客所需的服务时间中,至少有一个具有随机性.排队论研究的首要问题是系统的主要数量指标（如：系统的队长（系统中的顾客数）、顾客的等待时间和逗留时间等）的概率特性，然后进一步研究系统优化问题。
与这两个问题相关联的还有系统的统计推断问题。
1) 性态问题（即数量指标的研究）研究排队系统的性态问题就是通过研究系统的主要数量指标的瞬时性质或统计平衡下的性态来研究排队系统的基本特征.2) 最优化问题排队系统的最优化问题涉及排队系统的设计、控制以及系统有效性的度量，包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制(动态最优），前者是在服务系统设置之前,对未来运行的情况有所估计，确定系统的参数，使设计人员有所依据；后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略。
其内容很多，有最小费用问题，服务率的控制问题等。
3) 统计推断问题排队系统的统计推断是通过对正在运行的排队系统多次观测、搜集数据，用数理统计的方法对得到的资料进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律,建立适当的排队模型。
2. 排队系统的基本组成及特征实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统进程的因素看，它由3个基本部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。
由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性,可以形成各种各样的排队模型，因此在研究一个排队系统之前，有必要弄清楚这3部分的具体内容和结构。
1） 输入过程输入过程是说明顾客来源及顾客是按怎样的规律到达系统.它包括3方面内容:①顾客总体（顾客源）数：它可能是有限的，也可能是无限的。
运筹学排队论2
换为 t ,得到
pn
(t)
(t)n
n!
et
,
t
0,
n
0,1,2,.
表示长为t的时间区间内到达n个顾客的概率为 pn (t) ,且服从泊松分布.这称为泊松流或泊松过 程或简单流. 设t时间内到达的顾客数为随机变量N(t),则有
E[N(t)] t, D[N(t)] t.
服务台
2.C个服务台,一个公共队伍
服务台1 服务台2 服务台C
3.C个服务台,C个队伍
服务台1 服务台2 服务台C
二.排队系统的三个组成部分
1.输入过程:指顾客按怎样的规律到达. ⑴顾客的总体数或顾客源:指可能到达服务机
构的顾客总数.顾客总体数可以是有限的,也可 以是无限的; ⑵顾客到达的类型:顾客是单个到达还是成批 到达; ⑶顾客相继到达时间间隔的分布,如按泊松 分布,定长分布还是负指数分布.
排队论的创始人是丹麦哥本哈根市电话局的 工程师爱尔朗(A.K.Erlang),他早期研究电话 理论,特别是电话的占线问题,就是早期排队 论的内容.
§2 排队论的基本概念
一.排队现象的共同特征:为了获得某种服务而 到达的顾客,如不能立即得到服务而又允许排 队等候,则加入等待的队伍,获得服务后离开.我 们把包含这些特征的系统称为排队系统. 排队系统的几种情况: 1.单服务台排队系统
例9.1 某仓库全天都可以进行发料业务，假设 顾客到达的时间间隔服从均值为1的负指数分 布现在有一位顾客正好中午12：00到达领料， 试求：
（1）下一个顾客将在下午1：00前到达的概率； （2）在下午1：00与2：00之间到达的概率： （3）在下午2：00以后到达的概率。
运筹学 第8章 排队论
第八章 排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。
在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。
由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。
对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。
若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。
因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。
排队论是优化理论的重要分支。
排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。
第一节 排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。
1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。
包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源） 指可能到达服务机构的顾客总数。
顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。
如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。
（2）顾客到达的类型 指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布 即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。
（1）即时制（损失制） 当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。
这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。
（2）等待制 当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。
在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统 图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。
14排队论
例（p310 (321)） 某储蓄所只有一个服务窗口。根据 统计分析，顾客的到达过程服从泊松分布，平均每 小时到达顾客 36人；储蓄所的服务时间服从负指数 分布，平均每小时能处理 48 位顾客的业务。试求这 个排队系统的数量指标。 解 ：已知 平均到达率 = 36/60 = 0.6， 平均服务率 = 48/60 = 0.8。
时间控制在一定的限度内，在服务质量的提高和成本 的降低之间取得平衡，找到最适当的解。 排队论就是解决这类问题的一门科学，它被广泛 地应用于解决诸如电话局的占线问题，车站、码头、
机场等交通枢纽的堵塞与疏导，故障机器的停机待修，
水库的存贮调节等有形无形的排队现象的问题。
5
排队论模型是由一些数学公式和它们相应 之间的关系所组成，这些数学公式使我们可以
13
顾客到达过程：顾客的到达时间是随机的。
本教材主要考虑顾客的到达服从泊松分布的排队问题。 例 这个储蓄所根据统计分析得知顾客的到达过程 服从泊松分布，并且平均每小时到达顾客 36人，即平 均每分钟到达的顾客人数为 36/ 60 = 0.6。若把时间单
位定为分钟，则平均到达率 = 0.6 ，每分钟有 x 个
第十四章 排队论(Queuing Theory)
1. 排队过程的组成部分 2. 单服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 3. 多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 4. 排队系统的经济分析
5. 单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型
6. 单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型
1
7. 多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制 排队模型 8. 顾客来源有限制排队模型 9. 单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型 10.多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容 量有限制的排队模型 11. 生灭过程及生灭过程排队系统
运筹学第十章 排队论
一类非常重要其广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。 生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学 中有广泛的应用。
定义1 设{N(t)，t≥0 }为一个随机过程。 如N(t)的概率分布具有以下性质：
（1）假设N(t)= n，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时 间服从参数为λn 的负指数分布，n=0，1，2，…。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
到 (7)无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， (8)这类系统又称为等待制排队系统。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
《运筹学实用教程》PPT课件
7
服务系统的运行指标
队长（Ls）指系统中顾客数的数学期望值。 排队长（Lq）指系统内排队顾客数的数学期
望值。 很显然，Ls ＝Lq＋正在被服务顾客数的期望
值。 逗留时间（Ｗs）指一个顾客在系统中停留时
间的数学期望值。 等待时间（Wq）指一个顾客在系统中排队等
待时间的数学期望值。 很显然，Ｗs＝［等待时间］＋［服务时间］ 忙期 指服务员忙于服务的时间。与此相反
泊松过程是马尔科夫过程 本章主要考虑马尔科夫过程，即泊松流。
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17
二、生灭过程的假设条件
系统状态N(t)得分布具有下列性质时，称 其为一个生灭过程：
当N(t)=n时，顾客到达的时间间隔服从参数
为 的负指数分布
当N(t)=n时，服务时间间隔服从参数为 的
负指数分布
在一个无限短的时间间隔里，最多只有一个 顾客到达或离去
ekt
E (T ) 1
1
D[T ] k 2
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12
服务系统模型的符号表示法
为了使用上的方便，肯达（Kendal）在1953年归纳了一种服务 系统的符号表示法。它用[A/B/C]表示一个服务系统的特征。
其中 A处填写顾客到达的规律；
B处填写服务时间的分布规律；
C处填写服务通道的数目。
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18
三、生灭过程的状态转移图
生灭过程的瞬时状态一般很难求得，但 可求得稳定状态分布
对于稳定的生灭状态，从平均意义上说 有：“流入=流出”
稳定的生灭过程可以用状态转移图表示
ppt课件
19
一般状态转移图示例
0 1
2
01
2
1 2 3
n2
n 1
生灭过程理论及其应用
生灭过程理论及其应用摘要：综述生灭过程的相关理论，如生灭过程几个重要的数字特征及其概率意义、生灭过程的构造及分类以及生灭过程的遍历性与0-1律．当过程中断时，构造出全部过程，证明全体生灭过程与全体特征数列间存在一一对应。
在理论的基础上应用实例研究生灭过程在排队论、生物学中的应用。
关键词：生灭过程：数字特征：构造与分类：遍历性：0-1律；应用一、生灭过程的相关理论1、阐述Q 一矩阵的数字特征的概率意义定义1 取值于E={0，1，2，⋯}的齐次马氏链(){,0}X x t t =≥为生灭过程．如果其转移概率()(){},,ij P t p t i j E =∈满足条件：当0t →时有()()()()()()()11,,1,ii i ii i ii i i p t bt o t p t a t o t p t a b t o t +-⎧=+⎪=+⎨⎪=-++⎩ （1）其中，00,0,0,0i i a a b i =>>≥。
令i i i c a b =+，称001110...00 (00)0...........................000..............................n n n c b a c b Q a c b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2）为过程X 的密度矩阵或Q 一矩阵．引进Q 的几个重要数字特征001m b =， ()11011...10...i i i i ki k i i i i k i k a a a m i b bb b b ---=----=+≥∑；()1011...10...i i i ki k i i i i k i k bb b e i a a a a a ∞++=++++=+>∑，0i i R m ∞==∑，1i i S e ∞==∑；00Z =，101Z b =，()1121012...11...n kn k ka a a Z nb b b b -==+>∑，lim n n Z Z →∞=.假设X 是典范链，因而它有强马氏性，而且在第一个飞跃点前样本函数是右连续的。
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1
0 0
λ 0w0 μ 1w1 λn1wn1 (λn
μ
n)wn
μn1 wn1
2 稳态的“概率流”平衡：
μn1wn1 λnwn
解得
wn
λ n1L λ 1λ 0 μ nL μ 2μ 1
排队系统中普适性的定律，统计量服从的公式 对到达过程、服务时间分布、服务规则无特殊要求 描述长时间平稳后的系统
W 形式为：L = λ·W
L ： 系统中的平均顾客数 λ： 平均(有效)到达率 W： 顾客在系统中所消耗的平均时间
M/M/1 或 M/M/1/∞排队模型
λ
λ
λ
λ
λ
0
1
2
3
4
μ
μ
μ
μ
μ
到达系统的顾客数服从泊松分布，参数 λ
负载因子ρ= λ/μ<1 的条件下，具有稳态分布：
wn
λ n1L λ 的概率
λ μ
n
wn
w0 (1
ρn
ρ)ρn
w0
1
λ μ
λ μ
n
系统平均用户数：
L n wn
n0
1ρ
ρd
ρn
dρ n0 ρ λ
μ
用户数的方差：
一定间隔内到达的顾客数服从泊松分布，到达率 λ 到达的时间间隔服从负指数分布，平均到达时间 1 / λ
排队系统的服务时间
缓冲区
服务者
服务时间
服务时间：服务器处理每个顾客业务所需的时间
是与服务器对具体业务的处理能力有关的随机量 一般用处理业务所需的时间的分布来表征 典型的服务时间：负指数分布
服务时间服从负指数分布，平均服务时间 1 / μ 顾客离开率： μ
生灭过程
任何时刻，状态最多只能转移到临近状态
若处于0状态，则只能转移到状态1。
若在 t 时刻处于n状态，在(t,t+Δt)间隔内
转移到状态（n+1）的概率为 λn(t)Δt+o(Δt)
转移到状态（n-1）的概率为 μn(t)Δt+o(Δt)
转移到其他状态的概率为 o(Δt)
λn(t)Δt+o(Δt)
主要内容
生灭过程
特点 稳态分析
排队论基础
排队过程的基本参数和问题 排队问题的分析方法 排队问题的Little定律
排队问题举例
例1 M/M/1/∞、例2 M/M/1/N 例3 顾客成批到达的排队问题 例4 电话交换问题（M/M/N/N） 例5 M/M/s/∞排队系统、例6 M/M/s/k 例7 机器维修问题
每个元件的正常工作时间服从负指数分布 若t时刻有n个元件失效，则在(t,t+Δt)时间间隔内产生一个
新的失效元件的概率是λnΔt+o(Δt)，修复一个元件的概率是 μnΔt+o(Δt) 在(t,t+Δt)间隔内多个元件失效或修复的概率是o(Δt) 系统正常工作至少要有k个元件正常工作——当（M-k+1） 元件失效时系统就停止工作，等待修复
1
M/M/S/∞
μ 2μ
λλλ
S
S+1
sμ sμ sμ
稳定状态时，各状态的概率
0 λ0 1 λ1 2 λ2 3 λ3 μ1 μ2 μ3 μ4
Q
λ0 μ1
λ0 (μ 1 λ1 )
0 λ1
0 L
0
L
解 写出Q，列稳态分布方程 法 w’= wQ=0
0
μ2
(μ 2 λ2 )
λ2
L
L
L
L
L L
λλλλ
0
1
2
3
M/M/1/N
μμμμ
λ
N
μ
Mλ (M-1)λ (M-2)λ (M-3)λ
M元件1维修工人 0 μ 1 μ 2 μ 3 μ
λ
N
μ
批量发生
MX/M/1/∞ 0
λ μ
1
λ μ
2
λ μ
3
λ μ
4
λ μ
每次三个
电话接入
λλ
0
1
M/M/N/N
μ 2μ
λλ
N-1
N
(N-1)μ Nμ
S个侍者
λλ
0
平稳的条件：0≤λn≤μn
平衡方程
μn
wn+λn
λ0w0=μ1w1 wn=μn1 wn1+λn1
wn1
局部平衡方程
μn1μw1 wn11
λ0w0 λnwn
与Σwn=1联立，得
wn
λ n1L λ 1λ 0 μ nL μ 2μ 1
w0
生灭过程：实例
例 排队问题(排队论分析)
例 可靠性问题(可靠性分析)： M个元件组成的系统中失效元件数
λ2
L
L
L
L
L L
0 0
λ 0w0 μ 1w1 λn1wn1 (λn
μ
n)wn
μn1 wn1
与Σwn=1联立，可解
wn
λ n1L λ 1λ 0 μ nL μ 2μ 1
w0
平稳的条件：0≤λn≤μn
生灭过程：稳态分析
0
1
λn(t)Δt+o(Δt)
x
n-1
n
n+1
μn(t)Δt+o(Δt)
ρ
μλ
1 ρ2 μ λ2
ρ
λ
1ρ μλ
平均延迟：根据little公式 D = L / λ
1
μλ
轻负载情况下：λ « μ，延迟近似为平均服务时间 业务极度繁忙情况下：λ≈μ，几乎无限延迟
典型排队问题：
最普通情形
λλλλλλ
M/M/1/∞ 0 μ 1 μ 2 μ 3 μ 4 μ 5 μ
队列有限
服务时间服从负指数分布，平均服务时间是1/μ
只有一个服务器
若服务器正忙，则加入排队行列（不限长）
服务器空闲时间到达的顾客立刻得到服务
服务时间与到达过程独立
顾客数组成一个生灭过程
顾客到达和离开对应于生灭过程的生和灭
任意时刻和状态，到达率和离开率均为相同常数
λn=λ，μn=μ
M/M/1 排队模型：应用生灭过程的结论
排队系统的基本模型
缓冲区
服务者
到达
排队
服务中 离开
A/R/S/N/D：常见为 A/R/S，或A/R/S/N
A：到达类型
R：服务时间分布 S：服务者个数 N：系统容量（含服务中用户数），默认无限大 D：排队规则，FIFO
排队系统的到达过程
缓冲区
服务者
到达
到达过程：到达的业务/顾客流构成的随机过程
可以用一定间隔内到达的顾客数的分布来表征 也可以用顾客到达的时间间隔的分布来表征 典型的到达过程：泊松过程
排队系统的基本问题
缓冲区
服务者
概率分布特征:
系统中顾客数的概率分布（及 平均值L） 在排队等候的平均顾客数 LQ
用户在系统中花费时间的概率分布（及 平均值W或D） 顾客排队等候的平均用时 WQ 或 DQ
服务器忙或空闲的概率 服务器处于工作状态的持续时间的分布 用户因为队列满而离开的概率
排队问题的Little定律
0
1
x
n-1
n
n+1
μn(t)Δt+o(Δt)
Q
λ0 μ1
λ0 (μ 1 λ1 )
0 λ1
0 L
0
L
0
μ2
(μ 2 λ2 )
λ2
L
L
L
L
L L
生灭过程：稳态分析
稳态方程 wk(t) qkn 0 k
Q
λ0 μ1
λ0 (μ 1 λ1 )
0 λ1
0 L
0
L
0
μ2
(μ 2 λ2 )