第三章poisson过程与更新过程
第三章泊松(Poisson)过程.

4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程,Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
(每小时)的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额(元)为独立同分布的随机变量 Yn:
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额,求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
第三章Poisson_过程

{(t) 0,t 0}的非齐次Poisson过程,如果
(1) N(0)=0; (2)过程是独立增量过程;
(3)P(N(t+h)-N(t)=1) (t)h o(h),
P(N(t+h)-N(t) 2) o(h).
注意, 非齐次Poisson过程不具备平稳增量性. 非齐次Poisson过程可以描述机器的故障次数,昆虫的 产卵数.
再由数学归纳法得
例 3.3
Pn(t)=(nt!)n e-t.
事件A的发生形成了强度为的Poisson过程
{N(t), t 0}.如果每次事件发生时被记录下
来的概率为p,并用M(t)是一个强度为p的
Piosson过程.
解答:
因为每次事件发生时,对它记录还是没记录与其 他事件的记录与否独立,而且事件发生形成了 Poisson过程,所以M(t)也具有平稳独立增量
定义 3.2
计数过程{N(t),t 0}称为参数为( 0)的Poisson过程,
如果
(1) N(0)=0;
(2)该过程是独立增量过程;
(3)对任意的s,t 0,
P(N(t+s)-N(s)=n)
e
(t t)n
n!
,
n
0,1,
2,....
注释
(1).由定义3.2(3)知 Poisson过程具有平稳增量性.
2. Poisson过程在保险理论的应用
Poisson过程{N(t),t 0}可表示某公路交叉口、煤 矿、工厂等在(0,t]时间内发生事故的次数.同时 保险公司会接到索赔请求,假设一次事故只导致 一次索赔,那么保险公司所接受的索赔数目可用 Poisson过程表示.
应用随机过程第三章Poisson_过程

(u)du的Poisson分布,即
n [m(t+s)-m(t)] P(N(t+s)-N(t)=n)= exp{[ m(t+s)-m(t)]} n!
例 3.7
见黑板
3.3.2 复合Poisson过程
设{Yi,i 1,2, ...}是一列独立且同分布的随机变量, {N(t),t 0}是Poisson过程,且N(t),t 0}与{Yi, i 1,2, ...}独立.记 X(t)= Yi ,
这定理说明,由于Poisson过程具有平稳独立增量 性,从而在已知[0,t]内事件A发生一次的条件下, 事件发生时刻T1在[0,t]上是“等可能性的”,即T1 的条件分布是[0,t]上的均匀分布.
问题:自然地,我们会问
这个性质是否可推广到 N(t)=n, n 1的情形?
定理 3.4
设{N(t),t 0}是Poisson过程,则时间相继发 生时刻T1,T2,...,Tn在已知N(t)=n下的条件 概率密度为 n! f(t1,t2 ,..., tn )= n , t 0 t1 t2 ... tn .
i 1 N(t)
我们就称{X(t),t 0}为复合Poisson过程.
注:复合Poisson过程未必是计数过程;但当Y i = c(常数),i= 1, 2,...,可化为Poisson过程.
例:考虑一保险公司:它接到索赔次数服从Poisson 过程{N(t)},每次的索赔额Yi是独立同分布的,且与 其发生时刻无关,那么该公司在[0,t]内的总索赔额 X(t)= Yi
注意 定理3.2的逆命题亦为真,且该逆命题也给出了 Poisson过程的另一个定价定义(即定义3.3),希 望同学们务必记住.
第三章 泊松过程

第一节、泊松过程的基本概念
证明: (1) 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 (2)由N(t)的独立增量性可得,N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程; (3)记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程(Poisson process)最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ,若满足条件: (1)是一计数过程,且N(0)=0; (零初值性) (2)任取 0 t1 t2 tn , (独立增量过程) N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立; (3)s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] (增量平稳性) (4)对任意 t 0 和充分小的 t 0 ,有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义: 一计数过程N (t ), t 0 ,若满足条件: (1)N(0)=0; (2)N(t)是独立增量过程; (3)对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ,即
012第三章 Poission过程(Poission信号流)3

第三章 Poission 过程(Poission 信号流)九、更新过程(1) 概念及基本性质定义:设}1,{≥k X k 是独立同分布,取值非负的随机变量,分布函数为)(x F ,且1)0(<F 。
令∑====nk k n X S X S S 1110,,0,对0≥∀t ,记:}:sup{)(t S n t N n ≤=则称}0),({≥t t N 为更新过程。
更新过程是一计数过程,并有:}{})({t S n t N n ≤=≥}{}{}{})({11t S t S S t S n t N n n n n ≤-≤=<≤==++记:)(s F n 为n S 的分布函数,由∑==nk k n X S 1,易知:)()(1x F x F =)2()()()(01≥-=⎰-n x F d u x F x F xn n证明:由全概率公式有:)()()(}{)(}{)(}{}{}{)(01010111x F d u x F x F d u x S P x F d u x S P ud u f u X u x S P x X S P x S P x F x n xn n X n n n n n n n⎰⎰⎰⎰-=-≤=-≤==-≤=≤+=≤=--∞-∞∞---即)(x F n 是)(x F 的n 重卷积,记作:F F F n n *=-1。
另外,记:)}({)(t N E t m =称)(t m 为更新函数。
关于更新函数,有以下重要的定理。
定理:对于0≥∀t ,有:∑∞==1)()(n n t F t m证明:根据以上的关系式,计算得:∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=∞==∞=∞=≤=≥=≥=========11111110}{})({})({})({})({})({})({)(n n n k k kn n n k n n t S P n t N P k t N P n t N P n t N P n t N P n n t N P n t m即有:∑∞==1)()(n n t F t m推论:若对0≥∀t ,1)(<t F ,则有:1))(1)(()(--≤t F t F t m下面是重要的更新方程。
第三章poisson过程与更新过程(4-16更新)

练习:
用定理3.2.3 解例数{N(t),t0}是参数为 λ的泊松过程,第i 次受冲击的损失为Di. 设{Di, i1} 独立同分布, 且与{N(t),t0}独立, 且损失随时间按负 指数衰减, 即t=0时损失为D, 在t时损失为 Det , , 0 设损失是可加的,那么到系统在[0,t]内受到冲击的损 失之和为
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
其中 o(t ) 为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过程 的强度系数,表示单位时间内事件发生的次数。
4
定理3.1.1
定理3.2.3 设{N(t), t≥0}为参数(或强度)λ的泊松过 程,若已知在[0,t)内有n个事件相继发生,则n个发生 时刻 T1 T2 ... Tn的联合分布和n个[0,t)上独立同均 匀分布的随机变量的顺序统计量 U1 U2 ... Un 的 联合分布相同.
n m t (n m)! m ( t ) e n p (1 p) (n m)! n 0 n !m!
e
t
t
m!
m
m
p
m
n 0
(1 p)t
n!
n
e
t
t
m!
p
m
e
(1 p ) t
e
pt
pt
1) {M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0 ;
2) 每次事件发生时,对它的记录与对其它事件的 记录独立,故{M(t),t0}具有独立增量性; 只需验证 3) s, t 0, M (s t ) M ( s) ~ P( p t )
应用随机过程(第三章)PPT课件

ptk
k!
ept
例3.1.5
• 天空中的星体数服从Poisson分布,其参数 为λV,V为被观测区域的体积。若每个星球 上有生命存在的概率为p,则在体积为V的 宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度 为λpV的Poisson 分布。
与Poisson过程相联系 若干分布
Nt
3
2
1
0 X1X2X3
t
T0
0t1t2tn
例3.2.3
• 乘客按强度为λ的Poisson过程来火车站, 火车在t 时刻启程,计算(0,t]内到达的乘 客等车时间总和的数学期望。
P A 发生s之 在(s 前 ,时 t]内 A 没 , 刻有 发
P N t 1
P N S 1 P P N N t t1 N s 0
sesteetts
s t
定理3.2.3
在已知N(t)=n的条件下,事件发生的n 个时 刻T1,T2,…,Tn的联合密度函数为
ft1,
t2,
,
tn
tn n!
T1
T2
T3
X n 与 T n 的分布
T n 表示第n次事件发生的时间; n1,2, , 规定 T0 0 ,
X n 表示第n次与第n-1次事件发生的时间 间隔, n1,2, ,
定理3.2.1 X n n 1 ,2 ,
服从参数为λ的指数分布,且相互独立。
X 1 t N t 0
P X 1 t P N t 0 e t
定义3.1.2
计数过程N t,t0称为参数为λ的
Poisson过程,如果:
(1) N00;
(2)过程有独立增量;
(3)在任一长度为t的时间区间中事件发生 的次数服从均值为λt的Poisson分布,即对 一切 s0,t0,有:
第三章poisson过程与更新过程

定理3.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统 计检验的理论基础与方法,只需产生n个同指数分布的 随机数, 将其作为Ti, i=1,… 即可得到Poisson过程的一 条样本轨道.
17
要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验 相邻两次跳跃间隔时间{Tn= tn –tn-1, n1}是否为指数分 布总体的i.i.d 样本.
2 2 N
2
泊松过程的自相关函数 2 RN t1 , t2 E N t N t min t , t t1t2 2 1 2 1 泊松过程的自协方差函数
CN t1 , t2 min t1, t2
例 3.1.1 (Poisson过程在排队论中的应用)设某火车 站售票从早上8:00开始,此售票处连续售票,乘客以 10人/小时的速率到达,求以下(1)9:00-10:00间最多 有5名乘客来此购票的概率(2)10:00-11:00没有人来 买票的概率(3)若已知8:00-11:00有10个人来买票, 则9:00-10:00间有5名乘客买票的概率。 例 3.1.2(事故发生次数及保险公司接到的索赔数)设 保险公司接到的索赔请求为以Poisson过程{N(t)},又假 设每次的赔付都是1,每月平均接到索赔要求为4次, 则一年中保险公司要支付的金额平均是多少?
(4) 普通性 : 在非常短的时间区段Δt 内的理赔次数 几乎不可能超过 1 次 , 且发生 1 次理赔的概率近似与 Δt成正比.(稀有事件)
3
定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流),如果 1)N(0)=0 ; 2)具有独立增量性; 3)满足增量平稳性; 4)对于任意t>0和充分小的 t 0,有
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练 习 设有 n 位顾客在 0 时刻排队进入仅有一个服务员的系
统 . 假定每位顾客的服务时间独立 , 均服从参数为λ 的指数分布 . 以 N(t) 表示到 t 时刻为止已被服务过的 顾客人数.求 (1)E[N(t)];
(2)第n位顾客等候服务时间的数学期望;
(3)第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.
n m t (n m)! m ( t ) e n p (1 p) (n m)! n 0 n !m!
e
t
t
m!
m
m
p
m
n 0
(1 p)t
n!
n
e
t
t
m!
p
m
e
(1 p ) t
e
pt
pt
Hale Waihona Puke 设观察到某记数过程{N(t),t0}的一段样本轨道τ1 ,…, τ50的取值如下,检验{N(t),t0}是否为Poisson过程. 0.03 , 0.76 , 1.01 , 1.37 , 1.43 , 1.56 , 1.95 , 3.95 , 4.05 , 4.45 , 4.70 , 4.81 , 4.85 , 5.00 , 5.87 , 6.32 , 6.36 , 6.40 , 6.85 , 6.90 , 8.33 , 8.85 , 8.95 , 11.26 , 12.25 , 13.04 , 13.85 , 14.11 , 14.76 , 15.56 , 17.65 , 17.80 , 18.20 , 18.24 , 18.62 , 19.06 , 19.14 , 19.46 , 20.26 , 20.46 , 20.55 , 22.51 , 22.70 , 23.19 , 23.28 , 23.63 , 23.80 , 24.22 , 24.81 , 25.65 18
m!
m
#
10
例 3.1.4 若每条蚕的产卵数服从Poisson分布,强度为λ, 而每个卵变成为成虫的概率为p,且每条卵是否变为 成虫彼此之间没有关系,求在时间[0,t]内每条蚕养活 k只小蚕的概率。 例 3.1.5 观察资料表明,天空中星体数服从Poisson分 布,其参数为λV,这里V是被观察区域的体积。若每个 星球上有生命体存在的概率为p,则在体积为V的宇宙 空间中有生命体存在的星球数的分布是怎样的?
第三章 泊松过程与更新过程
教师 徐凤 xdiao_3@
1
第二章 Poission过程及更新过程
3.0 计数过程 定义 称一个随机过程 {N (t ), t 0} 是一个计数过程 (point process),若N(t) 满足: 1) N(t)取非负整数值; 2)若s<t,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t] 中 “事件”发生的次数.
t
k!
k
20
3.2.2 到达时刻的条件分布 本节讨论在给定N(t)=n 的条件下, 的条件分布及其有关性质。 定理3.2.4 设 {N (t ), t 0} 是泊松过程,则对
0 s t 有
s P ( 1 s N (t ) 1) t
这个定理说明,由于泊松过程具有平稳独立增量性,从而在 已知[0,t] 上有1个事件发生的条件下,事件发生的时间 τ1应该服从[0,t]上的均匀分布。对此我们自然要问: (1)这个性质是否可推广到的 N (t ) n, n 1 情形? (2)这个性质是否是泊松过程特有的?换言之,其逆命题是 否成立?
13
参数λ的极大似然估计: 一般地, 若从0时刻开始, 观察到Poisson过程{N(t),t0} 的一段样本轨道:τ1,…, τn的取值: t1<t2<,…,<tn , 由于, τ1 , τ2- τ1,…, τ n- τn-1独立同指数分布, 于是似 然函数为
Lt1 ,...tn ne
提示: n,
k n 1 x 1 e x 的分布函数是 F ( x) k! k 0
, x 0
19
解:(1)由定理3.2.3, {N(t),t≥0}为强度λ的possion 过 程,故 E[N(t)]=λt ; (2)记第n位顾客完成服务的时间为 n ,根据定理 3.2.2,第n位顾客等候服务时间为 n1 n 1,
定理3.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统 计检验的理论基础与方法,只需产生n个同指数分布的 随机数, 将其作为Ti, i=1,… 即可得到Poisson过程的一 条样本轨道.
17
要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验 相邻两次跳跃间隔时间{Tn= tn –tn-1, n1}是否为指数分 布总体的i.i.d 样本.
1) {M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0 ;
2) 每次事件发生时,对它的记录与对其它事件的 记录独立,故{M(t),t0}具有独立增量性; 只需验证 3) s, t 0, M (s t ) M ( s) ~ P( p t )
9
由全概率公式,P M s t M s m
(4) 普通性 : 在非常短的时间区段Δt 内的理赔次数 几乎不可能超过 1 次 , 且发生 1 次理赔的概率近似与 Δt成正比.(稀有事件)
3
定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流),如果 1)N(0)=0 ; 2)具有独立增量性; 3)满足增量平稳性; 4)对于任意t>0和充分小的 t 0,有
{P M s t M s m | N s t N (s) n m P N s t N s n m }
n 0
n m t ( t ) e m m n Cn m p (1 p) (n m)! n 0
E n 1 n 1
或
n1 Ti , E n 1 ETi
i 1 i 1
n 1
n 1
n 1
(3)根据定理3.2.2,
n ~ n,
P n t F n t 1 e
t
k 0
n 1
8
例 3.1.3 设N(t)表示[0,t]时段内事件A的发生次数,且 {N(t),t0} 形成强度为λ的Poisson过程. 如果每次事件 A发生时以概率p能够被记录下来, 并以M(t)表示到t时 刻记录下来的事件总数, 试证明{M(t),t0} 形成强度为 λp 的Poisson过程. 解:对照Poisson过程的定义3.1.2
若{N(t),t0}为Poission过程,则
注:泊松过程的数字特征与特征函数
泊松过程的均值函数
泊松过程的方差函数 泊松过程的均方值函数
mN t E N t t
DN t D N t t
N t E N t DN t m t t t
令
ti 1 ti
i 0
n
netn
d ln L 0 d
得λ的极大似然估计为:
n tn
14
定理3.2.2 到达时间 n 的概率密度函数为 (t )n1 t f n (t ) e , t 0. n, (n 1)!
(t ) Di e
i 1
N (t )
t i
其中τi为第i次冲击到达的时刻, 求 E t
16
定理3.2.3 若计数过程{N(t),t0}的到达时间间隔序列
{Tn , n 1} 是 相 互 独 立 同 参 数 为 λ 的 指 数 分 布 , 则 {N(t),t0}是参数为λ的泊松过程.
定理3.2.1 提供了Poisson过程的参数估计方法.
练 习 设事件的发生过程{N(t),t0}为Poisson过程. 某日从0 点开始, 记录到事件发生时刻为0:33, 1:00, 2:27, 3:05, 3:36的取值: t1<t2<,…,<tn T. 试用极大似然法估计该 过程的强度λ.
2
3.1 Poission过程的定义
背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某 类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类 过程有如下特点: (1)零初值性:N(0)=0; (2)独立增量性:在不同的时间区段内的理赔次数 彼此独立; (3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的 概率规律是一样的;
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
其中 o(t ) 为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过程 的强度系数
4
定理3.1.1
( t ) k t P( N ( s t ) N ( s ) k ) e , k N k! 此即 N (s t ) N (s) ~ P(t )
0 0
1
k inf t : t k 1 , N (t ) k , k 1
T1
1
T2
2
T3
3
4
12
先讨论到达时间间隔 的Tk分布.
Tk k k 1 , k 相互独 1, 2, 定理3.2.1 到达时间间隔序列 立同分布,且服从参数为 λ的指数分布.
2 2 N
2
泊松过程的自相关函数 2 RN t1 , t2 E N t N t min t , t t1t2 2 1 2 1 泊松过程的自协方差函数