北师大版高中数学必修二 垂直关系
高中数学《两条直线的垂直与平行》导学课件 北师大版必修2
问题3 两直线垂直的判定
(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为 y=k2x+b2,m⊥n⇔k1·k2=-1. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为 A2x+B2y+C2=0,m⊥n⇔A1A2+B1B2=0.
问题3 中心对称问题
(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点 式求出直线方程.
3
整理得 4x+3y-17=0.
对称问题 光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x 反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在直线的方程.
【解析】作出草图,如图所示.
设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A'点,D 点关于 y 轴的对称点为 D'点,则易得 A'(-2,-4),D'(1,6). 由入射角等于反射角可得 A'D'所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线方程为y-6 =x-1 ,即 10x-3y+8=0.
(2)因为所求直线垂直于直线 y=-2,所以所求直线的斜率不 存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为 x=-1.
平面几何中的平行与垂直问题
已知A(1,1),B(5,4),C(2,3).
(1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形.
(2)求△ABC中AB边上的高所在的直线方程.
【解析】设 D(m,n),由已知得 kAB=34,kAC=2,kBD=mn--45,kCD=mn--32.
问题1 在上述情境中,当m∥n时,直线n的方程为 2x-y-3=0; 当m⊥n时,直线n的方程为 x+2y+1=0 .
北师大版高一数学必修2《垂直关系的性质》
6.2 垂直关系的性质知识点一：直线和平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．知识点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．知识点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．举一反三：【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E 作EF⊥SC交SC于F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF ⊥平面ACE。
新教材高中数学第6章第2课时平面与平面垂直的判定学案含解析北师大版必修第二册
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：第2课时平面与平面垂直的判定学习任务核心素养1．掌握平面与平面垂直的判定定理．(重点) 2．掌握空间中线、面垂直关系的相互转化关系．(难点)1．通过发现平面与平面垂直的判定定理，培养学生数学抽象素养．2．通过利用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直，培养学生逻辑推理素养．在日常生活中，我们对平面与平面垂直有很多感性认识，比如墙面与地面、长方体纸箱的侧面与底面，门打开时，门面始终与地面垂直等都给我们以平面与平面垂直的形象．阅读教材，结合上述情境回答下列问题：问题1：你能举出平面与平面垂直的实例吗？问题2：如何判断两个平面垂直？知识点平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l⊂α，l⊥β⇒α⊥β1.若两个平面所成的二面角为90°，这两个平面有什么位置关系？提示：垂直2．过已知平面的垂线，有几个平面和已知平面垂直？提示：有无数多个．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．()(2)已知α，β，γ是平面，且α⊥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()(3)已知α，β，γ是平面，且α∥β，若α⊥γ，则β⊥γ. ()[提示](1)正确．(2)错误．β和γ可能平行，也可能相交．(3)正确．[答案](1)√(2)×(3)√类型1平面与平面垂直的判定【例1】(教材北师版P234例8改编)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.[证明]如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝2 2.在Rt△FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[跟进训练]1．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.[证明]∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.类型2空间垂直关系的综合应用【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面△P AD 为等边三角形．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．1.空间中线、面的垂直关系是如何转化的？[提示]转化关系如下：2.证明直线与直线垂直的方法有哪些？[提示](1)利用平面几何的知识：如勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，菱形的性质等；(2)证明一条直线垂直另一条直线所在的平面．3.(1)直线与直线垂直→直线与平面垂直→直线与直线垂直(2)利用（1）的条件AD⊥平面PGB→找到过点F的平面和平面PGB平行→确定F的位置[解](1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，如图．因为△P AD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，连接DF，EF，DE，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得AD⊥平面PGB，而AD⊂平面ABCD，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．[跟进训练]2．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . 又∵AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC .又∵EF ⊂平面BEF ，∴无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . (2)由(1)知BE ⊥EF ，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ， ∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°， ∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ， ∴AE ＝67，∴λ＝AE AC ＝67.故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD .1．直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A ．平行 B ．可能重合 C ．相交且垂直D ．相交不垂直C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]2．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂β C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥βC [A 与D 中α也可与β平行，B 中不一定α⊥β，故选C.]3．如图，BCDE 是一个正方形，AB ⊥平面BCDE ，则图中(侧面，底面)互相垂直的平面共有( )A ．4组B ．5组C ．6组D ．7组B[由AB⊥平面BCDE，可得平面ABC⊥平面BCDE，平面ABE⊥平面BCDE，又因为BCDE是一个正方形，所以BC⊥平面ABE⇒平面ABC⊥平面ABE，同理可得平面ACD⊥平面ABC，平面ADE⊥平面ABE，故共有5组，故选B.]4．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．平行[由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．]5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)垂直[如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.]回顾本节内容，自我完成以下问题：面面垂直的判定定理应用的思路是什么？[提示]平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．。
高中数学北师大版必修2《第2章11.3两条直线的位置关系》课件
A．平行
B．重合
C．相交但不垂直
D．垂直
7
D [设 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，则由题意得，k1k2＝－1，故 l1 与 l2 垂直．选 D.]
8
2．过点 A(m,1)，B(－1，m)的直线与过点 P(1,2)，Q(－5,0)的直 线垂直，则 m＝________.
－2 [由题意得，直线 AB 的斜率存在且 kAB·kPQ＝－1. 即－m1－－1m×－0－5－21＝－1，解得 m＝－2.]
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过点 Ax0，y0且与直线 Ax＋By＋C＝0 平行或垂直的直线方程的 求法有两种方法：
1先求斜率斜率存在时，再用点斜式求直线方程. 2与 Ax＋By＋C＝0 平行或垂直的直线方程设为 Ax＋By＋m＝0 或 Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点 Ax0，y0求出 m，便可得到 直线方程.
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数学北师大版 高中数学
1.3
两条直线的 位置关系
学习目标
核心素养
1.能根据斜率判定两条直线平 行或垂直．(重点) 2.能根据直线平行或垂直求直 线方程．(重点)
1.通过利用直线的斜率和截距判断 两直线 平行或垂直提升数学抽象素 养. 2.根据直线平行或垂直求直线方程 提升数学运算素养.
2
两条直线的位置关系
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[解] (1)设所求直线方程为 2x＋3y＋C1＝0，则由题意得 2×1＋ 3×(－4)＋C1＝0，解得 C1＝10，
所以所求直线方程为 2x＋3y＋10＝0. (2)设所求直线方程为 3x＋2y＋C2＝0， 由题意得 3×1＋2×(－4)＋C2＝0，解得 C2＝5， 所以所求直线方程为 3x＋2y＋5＝0.
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利用平行、垂直关系求直线方程 【例 2】 已知点 A(2,2)和直线 l：3x＋4y－20＝0. 求：(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程； (2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．
高中数学《垂直关系的性质》课件1 北师大版必修2
∴EF∥BD1
E
D
F
B1 C
B
第六页，编辑于星期五：十点 五十三分。
二、平面与平面垂直的性质
观察右图的长方体：
α
a
b
β
平面α⊥平面β,α∩β＝b,a⊥b，这时，a⊥β
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？
第七页，编辑于星期五：十点 五十三分。
第三页，编辑于星期五：十点 五十三分。
定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，
那么这两条直线平行
〔直线和平面垂直的性质定理〕
a
b
} a⊥α
b⊥α
a∥b
α
由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找
一个平面，使这两条直线同垂
直于这个平面即可
第四页，编辑于星期五：十点 五十三分。
例1、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC， 且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点 求证：DF∥平面ABC
问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？
证明：在平面α内作BC⊥MN，那么∠ABC是二面角α-MN-β
的平面角
∵平面α⊥
A
又AB⊥MN ∴AB⊥α
N
B
C
α M
第八页，编辑于星期五：十点 五十三分。
这个平面内的所有直线。
作业：完成同步达标
第十一页，编辑于星期五：十点 五十三分。
M 平 N B 1 B 1 面 C 且 M C B N C
∴MN⊥平面ABCD
又AB平面 ABCD
D1
C1
1.6.1 垂直关系的判定 课件(北师大必修2)
的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证： AN⊥平面PBM.
[自主解答]
设圆O所在的平面为α， α，
已知PA⊥α，且BM ∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM. 又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直． 故AN⊥平面PBM.
当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一
个点Q，使PQ⊥QD. 当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个 点Q，使PQ⊥QD. 当0<a<2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故
BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.
Байду номын сангаас
连接AD，SD. ∵∠ASB＝∠ASC， 且SA＝SB＝SC， ∴AS＝AB＝AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角
三角形，
∴BD＝SD. ∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2. 由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD. 又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD
平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二：同法一证得 AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS 即为 二面角 A－BC－S 的平面角． ∵∠BSC＝90° ，令 SA＝1， 2 2 则 SD＝ ，AD＝ ，∴SD2＋AD2＝SA2. 2 2 ∴∠ADS＝90° .∴平面 ABC⊥平面 BSC.
[悟一法] 常用的两个平面互相垂直的判定方法： (1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面 角；
但l不垂直于α.
3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接 触)，折痕AD与桌面垂直吗？ 提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时， AD才与桌面所在的平面垂直．
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第一章§6.1
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 直线与平面垂直的判定 例1
在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的
中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【证明】 如图所示，连接AC，BD,则O是AC和BD的交点，∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BO，∵B1B⊥平面ABCD，AC
∴BB1⊥AC. ∵E、F分别是棱AB、BC的中点， ∴AC∥EF， ∴EF⊥BO，EF⊥BB1.
平面ABCD，
又∵BO∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BB1O.
栏目 导引
第一章
立体几何初步
【名师点评】
证明直线与平面垂直时， 一定要证明直线和
平面内两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能 把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误结论．
栏目 导引
第一章
立体几何初步
又∵ AO 平面 AA1C1C， ∴ BD⊥ A1O. 在矩形 AA1C1C 中，
2 A1O＝ AA1 ＋ AO2， 2 OM＝ MC2＋ OC2， A1M＝ A1C2 ＋ C M . 1 1
设正方体的棱长为 1， 则在△ A1OM 中， A1M2＝ A1O2＋ OM2， ∴∠ A1OM＝ 90° ，即 A1O⊥ OM. 又∵ BD∩ OM＝ O， BD 平面 MBD， OM 平面 MBD， ∴ A1O⊥平面 MBD.
平面角是直角 的二面角叫作直二面角． ⑤直二面角： _____________ (2)平面与平面的垂直 直二面角 ， ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是 __________ 就说这两个平面互相垂直．
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数学北师大版高中必修2第4节垂直关系
第4节垂直关系【学习目标】1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．理解直线与平面所成角的定义、二面角及其平面角的定义，并能以几何体为载体，按找、作、证、求的逻辑顺序求角.【第1课时】一．预习案1.直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ．2.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫作二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角【基础自测】1. 若直线a 与平面α内无数条直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．相交D ．不确定2．[2012·惠州调研]设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A. 若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥αB. 若m α，n β，m ⊥n ，则n ⊥αC. 若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥αD. 若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β3．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于( )A ．4B ．6C ．8D ．9二．探究、合作、展示1、已知矩形ABCD ，过A 作SA ⊥平面AC ，再过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，过E 作EF ⊥SC 交SC 于F .(1)求证：AF ⊥SC ；(2)若平面AEF 交SD 于G ，求证：AG ⊥SD .证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质.当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直．[互动训练1] 如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2 2.(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：AC⊥平面PDB；(3)求直线BC与平面PBD所成角的正切值．2、如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．1.证明平面与平面垂直的方法主要有：(1)利用定义证明．只需判定两平面所成的二面角为直二面角即可．(2)利用判定定理．在审题时，要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论．2．关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．[互动训练2] 如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.三．当堂检测案1．下列命题中正确的是( )A．过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B．过直线外一点作此直线的垂线是唯一的C．过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的D．过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的2. 如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是( )A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE3. [2011·浙江卷]下列命题中错误的是( )A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，，α∩β＝l，那么l⊥平面γD. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．已知平面α，β和直线m，n，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m∥β；(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)5、[2011·广东]如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝2，PB＝2，E，F分别是BC，PC的中点．(1)证明：AD⊥平面DEF；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．【第2课时】一．预习案1.平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内的直线与另一个平面垂直．2.直线和平面所成的角平面的一条斜线和所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为【基础自测】1. 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面2、矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则实数a的取值范围是__________．二．探究、合作、展示1、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A－PD－C的正弦值．1.求角的大致步骤：一作图，二证明，三求解.2．线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.3．二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有：①定义法；②三垂线定理及其逆定理法；③垂面法．其中以三垂线定理及其逆定理法为最基本作法．[互动训练3] [2011·上海]已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β，求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．三．当堂检测案1．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α2. m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．下列命题中，①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ.正确的命题是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④3. [2012·海淀模拟]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成的集合是 ( )A. {2}B. {255}C. {t |2≤t ≤22}D. {t |255≤t ≤2} 4、如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别为B ，D ，若增加一个条件，就能推出BD ⊥EF .CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是______．5、[2011·全国]已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于__________．6、[2011·全国]如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．7、如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABCABCD，O是BC的中点，AO交BD于点E.(1)试探求直线PA与BD的位置关系；(2)点M为直线PA上的一点，当点M在何位置时有PA⊥平面BDM?(3)判定平面PAD与平面PAB的位置关系．。
【学考优化指导】2022-2021学年高一数学(北师大版)必修2练习：1.6.1 垂直关系的判定
§6垂直关系6.1 垂直关系的判定A 组1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与BC 1垂直的平面是( )A.平面DD 1C 1CB.平面A 1B 1CDC.平面A 1B 1C 1D 1D.平面A 1DB解析:由于易证BC 1⊥B 1C ,且CD ⊥平面BCC 1B 1,所以CD ⊥BC 1.由于B 1C ∩CD=C ,所以BC 1⊥平面A 1B 1CD. 答案:B2.下列结论正确的是( )A.若直线a ∥平面α,直线b ⊥a ,b ⫋平面β,则α⊥βB.若直线a ⊥直线b ,a ⊥平面α,b ⊥平面β,则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析:A 选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直,也可能平行或相交,故A 错;C 选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有很多个平面与已知平面垂直,故C 错;过平面外一点有很多个平面与已知平面垂直,故D 错. 答案:B3,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论中错误的个数是( )①BD ∥平面CB 1D 1; ②AC 1⊥BD ; ③AC 1⊥平面CB 1D 1.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由于BD ∥B 1D 1,所以①正确;由于BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,所以BD ⊥平面ACC 1,所以BD ⊥AC 1,故②正确;由于AC 1⊥B 1D 1,AC 1⊥B 1C ,所以AC 1⊥平面CB 1D 1,故①②③全正确. 答案:A4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则点P 到BC 的距离是( ) A.√5B.2√5C.3√5D.4√5解析:如图所示,作PD ⊥BC 于点D ,连接AD.由于PA ⊥平面ABC , 所以PA ⊥BC ,PD ∩PA=P ,所以CB ⊥平面PAD ,所以AD ⊥BC. 由于AB=AC ,所以CD=BD=3.在Rt △ACD 中,AC=5,CD=3,所以AD=4, 在Rt △PAD 中,PA=8,AD=4, 所以PD=√82+42=4√5,故选D . 答案:D5.在正四周体P-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC ∥平面PDF B.DF ⊥平面PAE C.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC解析:如图所示,∵BC ∥DF ,∴BC ∥平面PDF ,故A 正确.由题设知BC ⊥PE ,BC ⊥AE ,∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE ,故B 正确.∵BC ⊥平面PAE ,∴平面ABC ⊥平面PAE ,故D 正确.答案:C6.若直线l ⊥平面α,直线m ∥l ,则m 与α的位置关系是 . 答案:m ⊥α7.已知A 是△BCD 所在平面外一点,则△ABC ,△ABD ,△ACD ,△BCD 中,直角三角形最多有 个.解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为4个. 答案:48.如图所示,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是BC,CD的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE ,AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为H ,那么给出下面四个结论:①AH ⊥平面EFH ;②AG ⊥平面EFH ;③HF ⊥平面AEF ;④HG ⊥平面AEF.其中正确命题的序号是 .解析:在这个空间图形中,AH ⊥HF ,AH ⊥HE ,HF ∩HE=H ,所以AH ⊥平面EFH. 答案:①9.在空间四边形ABCD 中,若AB=AC ,DB=DC ,求证:BC ⊥AD.证明:取BC 的中点M ,连接AM ,MD.∵AB=AC ,DB=DC ,∴AM ⊥BC ,DM ⊥BC.又AM ∩MD=M ,∴BC ⊥平面AMD.∵AD ⫋平面AMD ,∴BC ⊥AD.10,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,DD 1=2,点P 为DD 1的中点.求证: (1)平面PAC ⊥平面BDD 1; (2)直线PB 1⊥平面PAC.证明:(1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,所以底面ABCD 是正方形,则AC ⊥BD. 又DD 1⊥平面ABCD ,所以DD 1⊥AC. 由于BD ∩DD 1=D ,所以AC ⊥平面BDD 1. 由于AC ⫋平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面BDD 1.(2)连接B 1C ,由题知PC 2=2,P B 12=3,B 1C 2=5,所以△PB 1C 是直角三角形,所以PB 1⊥PC. 同理可得PB 1⊥PA.由于PC ∩PA=P ,所以直线PB 1⊥平面PAC.B 组1.如图所示,BC 是Rt △ABC 的斜边,过A 作△ABC 所在平面α的垂线AP ,连接PB ,PC ,过A 作AD ⊥BC 于点D ,连接PD ,那么图中直角三角形的个数是 ( )A.4B.6C.7D.8解析:简洁证得PA ⊥BC ,又AD ⊥BC ,PA ∩AD=A ,所以BC ⊥平面PAD ,从而图中:△ABC ,△PAB ,△PAC ,△PAD ,△ABD ,△ACD ,△PBD ,△PCD 均为直角三角形.共有8个. 答案:D2,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1内运动,并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 在( ) A.线段B 1C 上 B.线段BC 1上C.BB 1中点与CC 1中点的连线上D.B 1C 1中点与BC 中点的连线上 解析:易知BD 1⊥平面AB 1C ,故P ∈B 1C. 答案:A3.如图所示,已知四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,则图中全部相互垂直的平面共有( ) A.8对 B.7对 C.6对D.5对解析:由PA ⊥平面ABCD 可得平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAC ⊥平面ABCD.又ABCD 为正方形,CD ⊥AD ,由于PA ⊥CD ,PA ∩AD=A ,所以CD ⊥平面PAD ,所以平面PCD ⊥平面PAD ,平面PAB ⊥平面PAD.同理可得,平面PBC ⊥平面PAB ,平面PAC⊥平面PBD.共7对. 答案:B4.已知矩形ABCD ,AB=1,BC=√2,将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( ) A.存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:若AB⊥CD,由于BC⊥CD,由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB,则有CD⊥AC,而AB=CD=1,BC=AD=√2,可得AC=1,那么存在这样的位置,使得AB⊥CD成立.答案:B5.在正四周体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论:①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:画出图形,由判定定理得①②④正确.答案:①②④6,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD.求证:(1)AB∥EF;(2)平面BCF⊥平面CDEF.证明:(1)由于四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,CD⫋平面CDEF,AB⊈平面CDEF,所以AB∥平面CDEF.又AB⫋平面ABFE,且平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF.(2)由于DE⊥平面ABCD,BC⫋平面ABCD,所以DE⊥BC.由于BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⫋平面CDEF,所以BC⊥平面CDEF.又由于BC⫋平面BCF,所以平面BCF⊥平面CDEF.7.如下图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+√3,过点A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(1)求证:BC⊥平面CDE;(2)求证:FG∥平面BCD.(1)证明:由已知得DE⊥AE,∵DE⊥EC,AE∩EC=E,∴DE⊥平面ABCE.又∵BC⫋平面ABCE,∴DE⊥BC.又BC⊥CE,DE∩CE=E,∴BC⊥平面DCE.(2)证明:取AB中点H,连接GH,FH.则GH∥BD,FH∥BC,则易得GH∥平面BCD,FH∥平面BCD.则易得平面FHG∥平面BCD,∴GF∥平面BCD.。
垂直关系课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大(2019)必修第二册
个半平面称为二面角的面.如图，以直线（）为棱、半平面，为面的二面角，记作二
面角 − − 或 − − .
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线
的夹角称为二面角的平面角，如图中的∠就是二面角 − − 的平面角.平面角是直角
⊄平面1， ⊂平面1，所以∥平面1.
高中数学
必修第二册
北师大版
二 直线与平面垂直的性质及应用
例3
如图，已知正方体 − 1111，，分别为和1上的点，且 ⊥ ， ⊥ 1.
求证：（1）∥1；（2），1，三条直线交于一点.
根据等腰三角形三线合一、菱形对角线互相垂直等得到线线垂直；③条件中给定一些数据信息，解题的
关键是从这些数据中发掘隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理.
（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线.（3）根据判定定理得出结论.
2.异面直线垂直的证明主要是通过证明其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面，然后通过线面垂直
， ⊂平面，所以⊥平面.又因为 ⊂平面，所以 ⊥ .
（2）因为∥， ⊂平面， ⊄平面，所以∥平面.又因为
∥， ⊂平面， ⊄平面，所以∥平面.又因为 ∩ ＝，
， ⊂平面，所以平面∥平面.又因为 ⊂平面，所以∥平
二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱是否垂直.
（3）当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是180°.所以二面角的平面角的范围是0°≤≤180°.
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两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作： ⊥ .
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问题引领 思考探究 A B
问题引领 思考探究 A B
问题引领 思考探究 A B
问题引领 思考探究 A B
问题引领 思考探究 A B
问题引领 思考探究 A B
问题引领 思考探究 A B
问题引领 思考探究 A B
问题引领 思考探究 A
B
B1
C
C1
定义形成 剖析概念
直线和平面垂直的定义：
ABC为直角定三义角：形 线面B
PA BC
而AB BC
线面垂直
BC
平面PAB
垂直线线 垂直
PA AB A PB 平面PAB BC PB
所以PBC也为直角三角形
所以四面体 PABC中的四个面都是直角三角形
课堂小结 画龙点睛
知识方面：
直接法
判定定理 如果一条直
线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。
条直线垂直于三角形所在的平面.(√ )
演练反馈 巩固新知
例： 求证：如果两条平行直线中的一条垂直
于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知：a∥b，a⊥．
a
b
求证：b⊥．
线面垂直
证明：(定义法）
线线垂直
m
设m是内任意一条直线.
a⊥ m
a⊥m a∥b
b⊥m
m
b⊥
线垂直 线面垂直
点评：此结论也可作为判定直线和平面垂直的间接法
定定理的证明方法. • 探究题：如何判定平面与平面垂直呢？
a a
动手实践 操作确认
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
过 ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折 后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）
A
A
B
D
C
C
D
B
思考: 1.折痕AD与桌面垂直吗?
2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面 垂直?
动手实践 操作确认
动手实验
A A
C
D
o演练反馈 巩固新知
ge思考：如图，在RtABC中，B 90， P P为ABC所在平面外一点，PA 平面ABC. 问：四面体PABC中有几个直角三角形?
解：因为PA 平面ABC,所以
PA AB, PA AC, PA BC
A
C
所以PAB, PAC为直角三角形
又因为B
判定定理：
90, 所以 线线三垂角直形
B
B
DC
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直线
与桌面所在平面 垂直．
得出定理 强化认识
直线与平面垂直的判定定理
文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
图形语言：
a
m
n
A
符号语言：
线
a⊥m
不
a⊥n m∩n＝A
在 多 a⊥ ，
m⊂
重
在
n⊂
相
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
垂足
l
P
平面 的垂线 直线 l 的垂面
直线与平面的一条边垂直
辨析讨论 强化概念
判断下列命题是否正确.
1.如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，
则直线和此平面互相垂直.
l
l
（×）
2.直线a 平面,直线b是平面内任一直线,则a b（. √ ）
直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线
线面垂直
线线垂直
回顾情境 循序渐进
如何来检验天安门广场前旗杆与地面垂直？
（1）用定义检验可行吗？ （2）能不能把验证平面内任意一条直线换成验证 平面内有限条？
如果一条直线a和一个平面内的 一无两条数条条 直线垂直， 直线a和平面互相垂直吗？
交
简记：线线垂直 线面垂直
演练反馈 巩固新知
怎么检验旗杆是否与 地面垂直呢？
辨析讨论 强化概念
判断下列命题是否正确.
(1)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，
则这条直线垂直于平行四边形所在的平面.( ×)
(2)若一条直线与一个梯形的两边垂直,则这条
直线垂直于梯形所在的平面.(×)
(3)若一条直线与一个三角形的两边垂直,则这
点线面体，勾勒大千世界。 欢迎同学们走入立体几何的世界！
复习回顾 引入新知
回顾：直线和平面有哪些位置关系?
a
α
直线在平面内
a a
A
α
α
直线与平面平行
直线与平面相交
北师大版高中数学必修2
直线与平面垂直的判定
情境创设 感受新知
A B α
问题引领 思考探究
如何定义一条直线与一个平面垂直？
问题引领 思考探究 A B
直线与平面 垂直的判定
定义法
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
此直线垂直于这个平面
思想方法： 数学思想方法：转化思想
作业巩固 课后探究
1.必做题：习题1-6 A组第1,2,5题 • 选做题：上网查阅直线与平面垂直的判