第十章多元回归和相关
第十章 多元回归与相关
《试验统计方法》
第一节 多元回归
多元回归方程的估计标准误
ˆ 由解得的b代入后得到多元回归方程，满足Q = ∑ ( y − y) 最小。 这里的Q叫做多元离回归平方和或多元回归剩余平方和， 它反映了回归估计值和实测值y之间的差异。为与两个变 数的离回归平方和Q有所区别，这里记作。由于在计算 多元回归方程时用了b1、b2、…、bm和b0等m+1个统计 数，故的v=n-(m+1)。因此，定义多元回归方程的估计标 准误为： Qy / 12Lm
多元相关系数的假设测验
总体的多元相关系数为ρ，则对多元相关系数的假设测验为H0：ρ=0，对HA： ρ≠0，可由F测验给出：
v2 R 2 F= v1(1 − R 2 )
式中的v1=m，v2=n-(m+1)，R2为 R
2 y • 12 L m
的简写 。
《试验统计方法》
第二节 多元相关和偏相关
由于在v1、v2一定时，给定显著水平a下的F值一定， 因此可获得达到显著水平a时的临界R值。
Ra = v1 F a v1 F a + v 2
因此，得到R后，只要查一下附表10，就 能确定其显著性。
二、偏 相 关
偏相关分析的重点是计算偏相关系数并测验其显著性
偏相关系数
偏相关系数和偏回归系数的意义相似。偏回归系数是在其他m-1 个自变数都保持一定时，指定的某一自变数对于依变数y的效应；偏 相关系数则表示在其它M-2个变数都保持一定时，指定的两个变数间 相关的密切程度。 《试验统计方法》
U pi F= Qy / 12Lm /[n − (m + 1)]
可测验bi来自βi=0的总体的概率
《试验统计方法》
第一节 多元回归
回归分析概念相关多元回归分析
回归分析概念相关多元回归分析回归分析是一种统计学方法，用于研究因变量和一个或多个自变量之间的关系。
它可以用来预测或解释因变量在自变量变化时的变化情况。
相关分析是回归分析的一种特殊情况，用于研究两个变量之间的关系。
它通过计算两个变量之间的相关系数来衡量它们的线性相关程度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关。
与相关分析相比，多元回归分析可以同时研究一个因变量和多个自变量之间的关系。
它通过拟合一个线性模型来预测或解释因变量的变化。
多元回归分析的最常见形式是多元线性回归，它可以用来研究因变量在多个自变量变化时的变化情况。
在多元回归分析中，每个自变量都有一个回归系数，代表它对因变量的影响程度。
多元回归分析需要满足一些假设，包括线性假设（因变量和自变量之间的关系是线性的）、独立性假设（观测之间是相互独立的）、等方差性假设（残差的方差是恒定的）和正态性假设（残差是正态分布的）。
如果这些假设不成立，可能需要采取一些特殊技术，如非线性回归或转换变量。
多元回归分析的步骤包括数据收集、模型建立、模型拟合和结果解释。
在数据收集阶段，需要收集因变量和自变量的数据。
在模型建立阶段，需要选择适当的自变量，并建立一个数学模型。
在模型拟合阶段，需要使用统计软件拟合模型，并计算回归系数和拟合优度。
在结果解释阶段，需要解释回归系数的含义，并进行模型的诊断和解释。
多元回归分析有很多应用领域，包括经济学、社会科学、医学等。
它可以用来预测销售额、分析市场需求、评估政策效果等。
通过多元回归分析，研究人员可以深入了解因变量与多个自变量之间的复杂关系，并得出有关预测和解释的结论。
总结起来，回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系。
相关分析是其特殊情况，用于研究两个变量之间的关系。
多元回归分析是同时研究一个因变量和多个自变量之间的关系。
多元回归分析的步骤包括数据收集、模型建立、模型拟合和结果解释。
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结1.F检验：F检验用于判断整个回归模型是否显著，即自变量在一起解释因变量的效果是否显著。
通过计算回归模型的F统计量，然后与F分布进行比较，进行假设检验。
若F统计量显著，则拒绝原假设，即回归模型具有显著的解释效果。
2.t检验：t检验用于判断各个自变量的系数是否显著，即自变量对因变量是否有显著影响。
通过计算各个自变量的t统计量，然后与t分布进行比较，进行假设检验。
若t统计量显著，则拒绝原假设，即该自变量具有显著影响。
3.R方检验：R方是一个衡量回归模型拟合优度的指标，表示因变量的变异能够被自变量解释的比例。
R方的取值范围为0到1，越接近1表示模型对观测数据的拟合程度越好。
可以使用R方来判断模型是否拟合良好，但需要注意过高的R方可能意味着过拟合。
4.回归系数的置信区间：对回归模型的回归系数进行置信区间估计，判断回归系数是否显著。
如果回归系数的置信区间包含零，则不能拒绝原假设，即该回归系数不显著。
相反，如果回归系数的置信区间不包含零，则拒绝原假设，即该回归系数显著。
5. Durbin-Watson检验：Durbin-Watson检验用于检验回归模型自相关性的存在。
自相关性指的是误差项之间存在相关性。
Durbin-Watson检验的统计量为DW值，其取值范围为0到4，DW值接近2表示无自相关性，DW值小于2表示存在正自相关性，DW值大于2表示存在负自相关性。
各种参数检验之间存在一些相关关系1.R方与F检验：R方是回归模型拟合程度的评估指标，而F检验用于判断整个回归模型的显著性。
R方较高时，F统计量一般也较大，说明回归模型的解释效果显著。
2.回归系数与t检验：回归模型的回归系数用于表示自变量对因变量的影响程度，t检验用于判断回归系数是否显著。
当回归系数较大时，其对应的t统计量也较大，说明这个自变量对因变量有显著影响。
3.回归系数与置信区间：回归系数的置信区间反映了回归系数的不确定性。
第十章双变量回归与相关
(9-3) (9-4)
式中 lXY 为 X 与 Y 的离均差积和:
l
XY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
(9 5)
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（9-1）中的 Yˆ 实际上 是 X 所对应 Y 的总体均数 Y|X 的一个样本估 计值，称为回归方程的预测值（predicted value）, 而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
(Y Y ) 2 (Yˆ Y ) 2 (Y Yˆ ) 2
数理统计可证明：
å (Yˆ - Y )(Y - Yˆ ) = 0
上式用符号表示为
SS总 SS回 SS残
（9-6）
式中
SS总 即 (Y Y)2 ， 为 Y 的 离 均 差 平 方
和，表示未考虑 X 与Y 的回归关系时Y 的 总变异。
离 Y Yˆ 。
➢ 求解a、b实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表
数据点分布趋势的直线。
最小二乘法(least sum of squares)原则：即保证各实 测点至直线的纵向距离的 平方和最小。
（X，Y）
b lXY lXX
( X X )(Y Y ) (X X )2
a Y bX
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 9-1）
Yˆ 1.6617 0.1392X
此直线必然通过点( , )X且与Y 纵坐标轴相交于 截距 a 。如果散点图没有过坐标系原点，可在 自变量实测范围内远端取易于读数的 X 值代入 回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点 ( , )也可X绘Y出回归直线。
多元线性相关与回归分析
多元线性相关与回归分析多元线性相关分析是通过计算若干个变量之间的协方差来衡量它们之间的相关性。
具体来说，给定两个自变量X和Y，它们之间的线性相关性可以用相关系数来衡量，其中最常用的是皮尔逊相关系数。
相关系数的取值范围在-1到1之间，取值越接近于1表示两个变量之间的正相关性越强，取值越接近于-1表示两个变量之间的负相关性越强，取值越接近于0表示两个变量之间的相关性越弱。
多元线性相关分析可以同时比较多个变量之间的关系，通过构建相关矩阵来研究这些变量之间的相关性。
而回归分析是一种更为深入的分析方法，它试图通过建立一个数学模型来描述自变量和因变量之间的关系。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与多个自变量之间存在一个线性关系，通过对样本数据进行拟合，可以得到回归方程。
回归方程的形式为Y = a + b1X1 + b2X2 + ... + bnXn，其中Y是因变量，X1, X2, ..., Xn是自变量，a是常数项，b1, b2, ..., bn是回归系数。
回归系数表示了自变量对因变量的影响程度，可以通过最小二乘法来估计回归系数的取值。
利用回归模型，我们可以进行预测和解释。
通过对自变量进行合理的选择和建模，我们可以利用回归模型对未来的因变量进行预测。
同时，回归模型还可以用于解释因变量的变化，通过检验回归系数的显著性，可以确定哪些自变量对因变量有着实际上的影响。
在实际应用中，多元线性相关与回归分析经常被用于研究一些变量之间的相关性和预测的关系。
以经济学为例，我们可以利用多元线性相关分析来研究国内生产总值（GDP）与劳动力参与率、经济增长等指标之间的相关性。
同时，利用回归分析，我们可以建立一个GDP的预测模型，通过预测未来的劳动力参与率和经济增长率，来估计未来的GDP水平。
这对决策者和研究者都具有重要的参考价值。
总之，多元线性相关与回归分析是一种重要的统计工具，可以用于研究变量之间的关系、进行预测和解释。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择适当的变量和建模方法，来得到准确的分析结果。
多元线性相关与回归分析
多元线性相关与回归分析首先，我们来介绍多元线性相关的概念。
多元线性相关是指两个或多个变量之间存在着线性关系。
具体地说，如果我们有变量X1，X2，...，Xp和Y，我们可以通过寻找最佳的线性函数Y = a + b1*X1 + b2*X2+ ... + bp*Xp来拟合这些变量之间的关系。
为了得到最佳的拟合函数，我们使用了回归分析的方法。
回归分析是一种统计学方法，用来估计两个或多个变量之间的关系，并建立相应的回归模型。
回归模型可以用来预测或解释因变量Y。
在多元线性回归分析中，我们通常使用最小二乘估计法来确定回归系数，这样可以使得估计值和实际值的差异最小化。
在回归模型中，我们通常有一个因变量Y和多个自变量X1，X2，...，Xp。
回归模型可以写成以下形式：Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βp*Xp+ε其中，β0，β1，β2，...，βp是回归系数，表示自变量对因变量的影响大小；ε表示误差项，表示不能被回归模型解释的因素。
回归分析的主要目的是通过估计回归系数来确定自变量对因变量的影响。
通过对回归系数进行显著性检验，我们可以判断自变量是否对因变量有统计显著的影响。
此外，还可以通过回归模型进行预测，例如根据给定的自变量值预测因变量的值。
然而，需要注意的是，回归分析有一些前提条件需要满足。
首先，多元线性回归模型假设因变量Y是一个连续的变量，而自变量X1，X2，...，Xp可以是任意的变量类型。
其次，回归模型假设自变量之间没有完全的多重共线性，即自变量之间的线性相关程度不是特别高。
此外，回归模型还假设误差项ε服从正态分布，并且方差是恒定的。
如果这些条件得到满足，我们可以使用各种统计方法来进行回归分析。
常见的方法包括简单线性回归、多元线性回归、逐步回归、回归诊断等。
这些方法可以帮助我们确定最佳的回归模型，并对模型进行检验和解释。
总之，多元线性相关与回归分析是一种重要的统计学方法，用来研究两个或多个变量之间的相关关系，并建立相应的回归模型。
12多元线性回归与相关分析
12多元线性回归与相关分析多元线性回归和相关分析是统计学中常用的分析方法，用于了解多个自变量与一个因变量之间的关系。
本文将从两个方面对多元线性回归和相关分析进行详细介绍。
一、多元线性回归多元线性回归是一种通过建立多个自变量与一个因变量之间的线性关系模型，来预测和解释因变量变化的方法。
它的基本模型可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε，其中Y是因变量，X1，X2到Xn是自变量，β0，β1到βn是回归系数，ε是误差项。
多元线性回归通过最小二乘法估计回归系数，即通过求解使得误差平方和最小的参数估计值。
利用这些参数，可以对新的自变量值进行预测，从而实现预测和解释因变量的目的。
多元线性回归的优点包括：1.可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，从而提供更为全面的解释和预测能力。
2.可以通过回归系数的显著性检验，判断每个自变量的重要性。
3.可以检验回归模型的整体拟合程度。
然而，多元线性回归也有一些注意事项：1.自变量之间应该是独立的，不存在多重共线性，否则会影响参数估计的准确性。
2.残差应该满足正态分布和同方差性的假设，否则会影响回归系数的显著性检验和预测的准确性。
二、相关分析相关分析是一种用于研究两个变量之间关系的统计方法。
它可以通过计算相关系数来衡量两个变量之间的线性相关程度，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个变量都是连续型变量且满足正态分布的情况，其取值范围在-1到1之间，代表着两个变量之间的相关程度。
当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性相关关系。
斯皮尔曼相关系数适用于两个变量至少其中一个是有序变量或两个变量不满足正态分布的情况。
与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数基于两个变量的秩次，而不是实际的变量值。
它可以用来研究两个变量之间的非线性关系。
相关分析的应用主要有：1.了解两个变量之间的关系：通过计算和解释相关系数，可以得出两个变量之间的相关程度以及相关的方向。
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设为H0：
=i0对HA：
பைடு நூலகம்
≠0，测验方法有两种。
i
1．t 测验
ˆb 20 V (b) ˆˆb b1 2b b0 0
ˆ b0b1
ˆ2 b1
ˆ b2b1
ˆˆˆb bb 1 0 2 b b 22 2 (X X )1s2 y/x c c c1 3 21 1 1
c12 c22 c32
具有= m；Qy/12…m与 x1、x2、…、xm的不同无关，
具有=n-(m+1)，由之构成的F 值：
FQy/1U 2my//1[n2m /(m m1)]
(10·8）
(二) 偏回归关系的假设测验
偏回归系数的假设测验，就是测验各个偏回归系数
bi(i=1，2,…，m)来自 =i 0的总体的概率，所作的假
c11 R1 (cij)MM c21
c12 c2 2
c1M c2M
cM1 cM2 cMM
令xi 和xj 的偏相关系数为rij·，解得 c后ij 即有
rij· c ij c ii c jj
（10·18）
矩阵以主对角线为轴而对称，即rij =rji。逆阵 R-1中
的元素也是以主对角线为轴而对称的 cij cji 。
一个m元线性回归方程可给定为：
y ˆ b 0 b 1 x 1 b 2 x 2 b m x m (10·3)
b0是x1、x2、…、xm 都为0时y 的点估计值；b1是 by1·23…m 的简写，它是在x2，x3，…，xm 皆保持一 定时，x1 每增加一个单位对y的效应，称为x2， x3，…，xm 不变(取常量)时x1 对y 的偏回归系数
(10·12) (10·13)
三、最优多元线性回归方程的统计选择
剔除不显著自变数的过程称为自变数的统计选择， 所得的仅包含显著自变数的多元回归方程，叫做最 优的多元线性回归方程。
逐步回归(stepwise regression)：为了获得最优方 程，回归计算就要一步一步做下去，直至所有不显 著的自变数皆被剔除为止。
c c1 23 3 s2 y/ c33
12(13 0·9)
s b i =sy/12…m c(i1)(i1)
(10·10)
t bi i
s bi
服从 n(的mt1)分布，可测验 bi 的显著性。
(10·11)
2. F 测验
U Pi
bi2 c(i1)(i1)
U Pi 就是y对xi的偏回归平方和， 1 。 FQy/12m/U[nPi(m1)]
系数记作 Ry·12…m ，读作依变数y和m个自变数的多
元相关系数。
Ry·12…m=
Uy/1 2 m 1Qy/1 2 m （10·15）
SSy
SSy
多元相关系数为多元回归平方和与总变异平方和之 比的平方根。
Ry·12…m的存在区间为[0，1]。
(二) 多元相关系数的假设测验
令总体的多元相关系数为 ，则对多元相关系数的 假设测验为H0： 0对HA： ，0
自变数统计选择的具体步骤为：
第一步：m个自变数的回归分析，一直进行到偏回
归的假设测验。
第二步：m-1个自变数的回归分析，也是一直进行到
偏回归的假设测验。
第三步：m-2个自变数的回归分析，又一直进行到偏
回归的假设测验。 ……如此重复进行，直至留下的所有自变数的偏回归
都显著，即得最优多元线性回归方程。
一、 多元相关
多元相关或复相关(multiple correlation)：在
M=m+1个变数中，m个变数的综合和1个变数的相
关。
偏相关(partial correlation)：在其余M-2个变数皆
固定时，指定的两个变数间的相关。
(一) 多元相关系数
在m个自变数和1个依变数的多元相关中，多元相关
一个m元线性回归总体的线性模型为：
Y j 0 X 0 1 X 1 j 2 X 2 j m X m j j
(10·1)
其中，
j ～N( 0，
2
)。
一个m元线性回归的样本观察值组成为：
y j b 0 b 1 x 1 j b 2 x 2 j b m x m e j j(10·2)
第十章多元回归和相关
本章主要内容有：
①确定各个自变数对依变数的各自效应和综合效应， 即建立由各个自变数描述和预测依变数反应量的多 元回归方程；
②对上述综合效应和各自效应的显著性进行测验， 并在大量自变数中选择仅对依变数有显著效应的自 变数，建立最优多元回归方程；
③评定各个自变数对依变数的相对重要性，以便研 究者抓住关键，能动地调控依变数的响应量。
测验 m 个自变数的综合对 Y 的效应是否显著。若令 回归方程中b1、b2、…、bm 的总体回归系数 为 、1 、2 … 、 ，m则这一测验所对应的假设为H0：
12 m 0 对HA： i 不全为0。
由于多元回归下 SSy 可分解为 Uy/12…m 和 Qy/12…m 两部分，Uy/12…m由 x1、x2、…、xm的不同所引起，
的偏相关系数；
若有M 个变数，则偏相关系数共有M(M-1)/2个。
偏相关系数的取值范围是[-1，1]。
偏相关系数解法是：由简单相关系数rij(i，j=1，
2，…，M )组成的相关矩阵：
r11 R(rij)MM rrM 211
r12 r22
rM2
r1M r2M
rMM
求得其逆矩阵：
(二) 偏相关系数 ij . 的假设测验
t rij· n M 1 rij2·
可测验H0： ij . = 0 对 HA： ij . ≠0。该测验的 t 具
有nM。
三、偏相关和简单相关的关系
当要排除其他变数干扰，研究两个变数间单独的关 系时采用偏相关与偏回归；
当考虑到变数间实际存在的关系而要研究某一个变 数为代表的综合效应间的相关与回归时则采用简单 相关和简单回归。
四、自变数的相对重要性
偏回归系数bi本身并不能反映自变数的相对重要性，
其原因有二：
①bi是带有具体单位的，单位不同则无从比较； ②即使单位相同，若Xi的变异度不同，也不能比较。 通径系数(path coefficient，记作pi)：即对bi进行标
准化，在分子和分母分别除以Y 和Xi的标准差，从而 消除单位和变异度不同的影响，获得一个表示Xi 对Y
(partial regression coefficient) 。
(二) 多元回归统计数的计算
(10·2) 用矩阵表示为：
y1 1
y2
yn
11
x11 x12
x1n
xm1 xm2
xmn
b0 bbm 1
e1 e2
en
即
Y=Xb+e
(10·4)
其中
b(XX)1XY
(10·5)
(三) 多元回归方程的估计标准误
Qy/12…m 称为多元离回归平方和或多元回归剩余平 方和，它反映了回归估计值和实测值y之间的差异。
Q(yyˆ)2最小
自由度： = n-(m+1)
sy/12…m
Qy/12m n (m 1)
（10·6）
二、多元回归的假设测验
(一) 多元回归关系的假设测验
F 测验 ：
F
2 R2 1(1 R2
)
（10·16）
其中的
1
=m， 2
=n-(m+1)，R2为
R
2 y·
12m
的简
写。
二、偏相关
(一) 偏相关系数
偏相关系数：表示在其它M-2个变数都保持一定时，
指定的两个变数间相关的密切程度。
偏相关系数以r 带右下标表示。如有X1、X2、X3 3个 变数，则r12·3表示X3变数保持一定时，X1和X2变数
相对重要性的统计数。
pi bi 11//SSSSxyi//((nn11))bi
S Sxi SSy
(10·14)
通径系数 pi 统计意义是：若 Xi 增加一个标准差单 位，Y 将增加(pi＞0)或减少(pi＜0)pi 个标准差单位。
第二节 多元相关和偏相关
一、多元相关 二、偏相关 三、偏相关和简单相关的关系