第十章 相关与回归分析
（二）测定现象相关关系的密切程度 相关关系是一种不严格的数量关系，统计分析的任务之一就是要确
定这种数量关系的密切程度，通常是计算相关系数或相关指数以反映相
关关系的密切程度。
（三）构建现象相关关系数学模型 依据相关的密切程度，研究确定相关变量之间数量关系的表现形 式，确立恰当的数学模型，以便对其进行回归分析。
一、相关关系的判断
进行相关关系分析，首先要判断现象之间是否存在相关关系，这是 相关分析的出发点。判断现象之间是否存在相关关系，一般是对现象进 行定性分析、编制相关表和绘制相关图等到。
（一）定性分析
对现象进行定性分析，就是根据现象质的规定性，运用理论知识、 专业知识、实际经验来进行判断和分析。例如，根据经济理论来判别居 民的货币收入与社会商品购买力是否存在相关关系；根据生物遗传理 论，来判别父辈的身高与子辈的身高是否存在相关关系等。定性分析是 进行相关分析的基础，在此基础上，根据需要通过编制相关表和绘制相 关图来进行分析。
（三）按相关变量变化的方向不同分为正相关和负相关
当一个现象的变量数值增加或减少，另一个现象的变量数值也增加 或减少，两个变量的变动方向一致，有同增或同减的关系，称为正相 关。如在一定范围内，施肥量增多，亩产量也增多；单位产品原材料消 耗量降低，单位成本也随之降低等等，都是属于正相关现象。
当一ห้องสมุดไป่ตู้现象的变量数值增加时，另一个现象的变量数值相应地减 少，即两个变量是一增一减或一减一增的关系，称为负相关。如劳动生 产率的提高，产品成本降低；商品价格降低，商品的销售量增多；总产 量增加等等，都是属于负相关现象。
四、相关分析的任务 相关分析的目的，就是要在错综复杂的客观现象中，通过大量观察 的统计资料，探讨现象之间相互依存关系的形式和相关的密切程度，并 找出合适的表达形式，为推算未知和预测未来提供数据，具体任务有以 下几方面
（一）揭示现象之间是否具有相关关系 这要从两个方面加以判断：一方面要对现象之间的联系开展理论研 究，按照经济理论，专业知识和实践经验，进行定性分析和判断；另一 方面要对大量的实际统计资料，通过编制相关表，绘制相关图等一系列 统计分析方法，对被研究的现象变量之间是否真正存在相关关系作出统 计判断。
表10.2 某公司A产品广告费与销售收入单变量分组相关表
年广告费（万元）
年数累计
年销售收入（万 元）
2
2
50
3
1
52
4
1
53
5
1
53
6
3
55
7
2
56
表10.2将年广告费进行分组，并计算相同年广告费出现的次数。年
销售收入不分组，但要计算各组年销售收入的平均数。从表10.2可以看
出，随着年广告费的增加年销售收入的平均数也增加，二者之间具有线
（二）按相关的形式不同分为直线相关和曲线相关
直线相关又称线性相关指两个变量的对应取值在坐标轴上大致呈一 条直线。曲线相关指两个变量的对应取值在坐标轴上大致呈一条曲线， 如抛物线，双曲线、指数曲线等。
相关关系表现为直线或某一种曲线，这是客观现象本身所固有的， 不是由人的主观意识所决定的。现象表现为不同形式的相关关系，就要 用不同的统计方法去研究。因此，进行相关分析时，首先要确定相关关 系的表现形式。
依据表10.1的统计资料，绘制相关散点图如下：
图10.1相关散点图 上图的横轴表示产量，纵轴表示单位成本，两变量值的坐标点显示 两个变量的相关关系，从上图可以看出，与之间的相关关系近似于一条 直线，它们属于线性正相关。 在相关图中，若相关点呈现出一定的规律性，如大致为一条直线或 一条曲线，就表明现象之间存在相关关系，且为直线相关或曲线相关。 相关点越密集，表明相关关系越密切。若相关点分布没有规律，表明现 象之间没有相关关系或存在低度相关关系。 从以上分析可以看出，用相关表和相关图均能粗略观察出现象之间 相关关系。相关图与相关表相比较，都有能用来观察相关形态的作用， 但相关图应以相关表提供的资料为依据。
（四）按相关的程度分为完全相关、不完全相关和不相关
两个变量之间，当自变量为一定量时，因变量的改变量也随之完全 确定，这两个变量之间的关系，称之为完全相关。实质上就是确定性的
函数关系，也就是说，函数关系是特殊的相关关系。两种现象的变量各 自独立，互不影响，就称为不相关。例如，苹果的脆与甜是不相关的。 两个现象之间的关系，介于完全相关与不相关之间，称为不完全相关。 一般的相关现象都属于这种不完全相关关系。这类相关现象是相关分析 的主要研究对象。
数量表现形式，又往往需要使用函数关系的近似表达式。而且当我们对 现象之间的内在联系和规律性了解得比较清楚时，相关关系又可能转化 为函数关系。
二、相关关系的种类
现象之间的相关关系可以从不同的角度进行分类，不同种类的相关 关系需要用不同的方法进行研究。
（一）按相关的因素多少分为单相关和复相关
现象之间的相关因素，只涉及到一个自变量和一个因变量之间的依 存关系，就称为单相关。如果涉及到三个以上变量之间关系时，即一个 因变量与其中两个或多个自变量的复杂依存关系，就称为复相关，或多 元相关。在实际中，像施肥量与亩产量，身高与体重，总产量与单位成 本等都是单相关。资金周转速度、流通费用、销售量、销售价格与销售 利润间的关系即为复相关。从方法上讲，单相关是复相关的基础，在实 际工作中，如果存在多个自变量因素，常常都是抓住最主要的因素研究 其相关关系。也就是说，可以把多因素的复相关，抓住主要因素化成单 相关来加以研究和测定。
（3）r =＋1或r =－1，表明两现象完全相关。 （4）r = 0，表明两变量无直线相关关系。 （5）r＞0，现象呈正相关；r＜0，现象呈负相关。实践中，一般将 现象的相关关系分为四个等级：∣r∣＜0.3表示不相关，0.3≤∣r∣＜0.5 表示低度相关；0.5≤∣r∣＜0.8表示显著相关；∣r∣≥0.8表示高度相 关。
第十章 相关与回归分析
学习目标 知识目标： 了解相关分析的概念、内容和多元线性回归分析的基本思想；掌握 相关关系测定和一元线性回归分析的计算方法。 能力目标： 能够测定客观现象间是否具有相关关系；可以熟练地进行一元线性 回归计算和分析
第一节 相关分析的概念与内容
关键词：相关关系；函数关系；相关分析
一、相关关系的概念 在自然界和人类社会中，有许多现象之间存在着数量上的相互联 系，相互制约关系，这种关系可以概括为两种类型：一种是确定性的数 量依存关系，即函数关系；另一种是不确定的数量依存关系，即相关关 系。 函数关系指的是现象之间客观存在的，在数量变化上按一定法则严 格确定的相互依存关系。在这种关系中，当某一变量（自变量）取一个 值时，另一变量（因变量）就有一个完全确定的值与之对应，可以用数 学表达式表达出来。如，正方形面积S对于边长a的函数关系是，类似 地，在社会经济领域中，如工业总产值等于产品产量乘以产品出厂价 格，等等。也都属于这种函数关系。 相关关系是指现象之间客观存在的，在数量变化上受随机因素的影 响，非确定性的相互依存关系。当一个现象发生数量变化时，另一现象 也相应地发生数量变化，对于同一自变量值往往有一组不尽相同的因变 量值与之对应，这些因变量值在一定的范围围绕其平均数上下变动。例 如，家庭消费支出与家庭收入相关，但收入相同的家庭其消费支出并不 相同，原因在于影响家庭消费支出的因素除了收入以外，还有家庭成员 构成、生活方式、生活习惯、消费观念等一系列因素。从数量上分析现 象之间相关关系的理论和方法，我们称之为相关分析法。 相关关系与函数关系彼此有所不同，相关关系的范围比函数关系的 范围更广，函数关系可以说是相关关系的一个特例。但它们之间也是有 联系的，并没有严格的界限。一方面，有些现象从理论上说存在着函数 关系，可是在进行多次观察和测量时，由于存在测量误差等原因，实际 得到的数据往往也是非确定性的，这时就表现为相关关系。另一方面， 有些变量之间尽管没有确定性的函数关系，但为了找到相关关系的一般
（二）测定相关关系的表现形态和密切程度 相关关系是一种数量上不严格的相互依存关系。只有当变量间确实 存在高度密切的相关关系时，才可能进行相关分析，对现象进行预测、 推算和决策。因此，判定现象间存在相关关系后，需要进一步测定相关 关系的表现形态和密切程度。统计上，一般是通过编制相关表、绘制相 关图和计算相关系数来做出判断。
表10.1 某公司A产品广告费与销售收入相关表
年份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年广告费 （万元）
2 23
4
5
6 6677
年销售收入 50 51 52 53 53 54 55 56 56 57
（万元）
表中资料表明，销售收入随着广告费的增加而增长，二者之间存在
着较明显的正依存关系。
根据对自变量是否分组，相关表分为简单相关表和分组相关表。表
三、相关分析的内容 相关分析是对客观经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种 统计方法。其目的在于对现象间所存在的依存关系以及所表现出的规律 性进行数量上的推断和认识，以便作出预测和决策。相关分析的内容包 括两个方面：
（一）判别现象间有无相关关系 现象间有无相关关系，这是相关分析的出发点。只有现象间确实存 在相关关系，才可能进行相关分析。所以进行相关分析时，首先要通过 定性分析，借助相关表和相关图来判别现象间是否确实存在相关关系， 否则就会产生认识上的偏差，得出错误的分析结论。
性相关关系。
表10.3 某公司A产品广告费与销售收入双变量分组相关表
年广告
年销售收入（万元）
合计
费（万 50～ 51～ 52～ 53～ 54～ 55～ 56～
元）
51 52 53 54 55 56 57
7
2
2
6 5
12 1 1
3 1
4
1
1
3
2
1
2
2
合计 2
1
1
1
定这种数量关系的密切程度，通常是计算相关系数或相关指数以反映相
关关系的密切程度。
（三）构建现象相关关系数学模型 依据相关的密切程度，研究确定相关变量之间数量关系的表现形 式，确立恰当的数学模型，以便对其进行回归分析。
一、相关关系的判断
进行相关关系分析，首先要判断现象之间是否存在相关关系，这是 相关分析的出发点。判断现象之间是否存在相关关系，一般是对现象进 行定性分析、编制相关表和绘制相关图等到。
（一）定性分析
对现象进行定性分析，就是根据现象质的规定性，运用理论知识、 专业知识、实际经验来进行判断和分析。例如，根据经济理论来判别居 民的货币收入与社会商品购买力是否存在相关关系；根据生物遗传理 论，来判别父辈的身高与子辈的身高是否存在相关关系等。定性分析是 进行相关分析的基础，在此基础上，根据需要通过编制相关表和绘制相 关图来进行分析。
（三）按相关变量变化的方向不同分为正相关和负相关
当一个现象的变量数值增加或减少，另一个现象的变量数值也增加 或减少，两个变量的变动方向一致，有同增或同减的关系，称为正相 关。如在一定范围内，施肥量增多，亩产量也增多；单位产品原材料消 耗量降低，单位成本也随之降低等等，都是属于正相关现象。
当一ห้องสมุดไป่ตู้现象的变量数值增加时，另一个现象的变量数值相应地减 少，即两个变量是一增一减或一减一增的关系，称为负相关。如劳动生 产率的提高，产品成本降低；商品价格降低，商品的销售量增多；总产 量增加等等，都是属于负相关现象。
四、相关分析的任务 相关分析的目的，就是要在错综复杂的客观现象中，通过大量观察 的统计资料，探讨现象之间相互依存关系的形式和相关的密切程度，并 找出合适的表达形式，为推算未知和预测未来提供数据，具体任务有以 下几方面
（一）揭示现象之间是否具有相关关系 这要从两个方面加以判断：一方面要对现象之间的联系开展理论研 究，按照经济理论，专业知识和实践经验，进行定性分析和判断；另一 方面要对大量的实际统计资料，通过编制相关表，绘制相关图等一系列 统计分析方法，对被研究的现象变量之间是否真正存在相关关系作出统 计判断。
表10.2 某公司A产品广告费与销售收入单变量分组相关表
年广告费（万元）
年数累计
年销售收入（万 元）
2
2
50
3
1
52
4
1
53
5
1
53
6
3
55
7
2
56
表10.2将年广告费进行分组，并计算相同年广告费出现的次数。年
销售收入不分组，但要计算各组年销售收入的平均数。从表10.2可以看
出，随着年广告费的增加年销售收入的平均数也增加，二者之间具有线
（二）按相关的形式不同分为直线相关和曲线相关
直线相关又称线性相关指两个变量的对应取值在坐标轴上大致呈一 条直线。曲线相关指两个变量的对应取值在坐标轴上大致呈一条曲线， 如抛物线，双曲线、指数曲线等。
相关关系表现为直线或某一种曲线，这是客观现象本身所固有的， 不是由人的主观意识所决定的。现象表现为不同形式的相关关系，就要 用不同的统计方法去研究。因此，进行相关分析时，首先要确定相关关 系的表现形式。
依据表10.1的统计资料，绘制相关散点图如下：
图10.1相关散点图 上图的横轴表示产量，纵轴表示单位成本，两变量值的坐标点显示 两个变量的相关关系，从上图可以看出，与之间的相关关系近似于一条 直线，它们属于线性正相关。 在相关图中，若相关点呈现出一定的规律性，如大致为一条直线或 一条曲线，就表明现象之间存在相关关系，且为直线相关或曲线相关。 相关点越密集，表明相关关系越密切。若相关点分布没有规律，表明现 象之间没有相关关系或存在低度相关关系。 从以上分析可以看出，用相关表和相关图均能粗略观察出现象之间 相关关系。相关图与相关表相比较，都有能用来观察相关形态的作用， 但相关图应以相关表提供的资料为依据。
（四）按相关的程度分为完全相关、不完全相关和不相关
两个变量之间，当自变量为一定量时，因变量的改变量也随之完全 确定，这两个变量之间的关系，称之为完全相关。实质上就是确定性的
函数关系，也就是说，函数关系是特殊的相关关系。两种现象的变量各 自独立，互不影响，就称为不相关。例如，苹果的脆与甜是不相关的。 两个现象之间的关系，介于完全相关与不相关之间，称为不完全相关。 一般的相关现象都属于这种不完全相关关系。这类相关现象是相关分析 的主要研究对象。
数量表现形式，又往往需要使用函数关系的近似表达式。而且当我们对 现象之间的内在联系和规律性了解得比较清楚时，相关关系又可能转化 为函数关系。
二、相关关系的种类
现象之间的相关关系可以从不同的角度进行分类，不同种类的相关 关系需要用不同的方法进行研究。
（一）按相关的因素多少分为单相关和复相关
现象之间的相关因素，只涉及到一个自变量和一个因变量之间的依 存关系，就称为单相关。如果涉及到三个以上变量之间关系时，即一个 因变量与其中两个或多个自变量的复杂依存关系，就称为复相关，或多 元相关。在实际中，像施肥量与亩产量，身高与体重，总产量与单位成 本等都是单相关。资金周转速度、流通费用、销售量、销售价格与销售 利润间的关系即为复相关。从方法上讲，单相关是复相关的基础，在实 际工作中，如果存在多个自变量因素，常常都是抓住最主要的因素研究 其相关关系。也就是说，可以把多因素的复相关，抓住主要因素化成单 相关来加以研究和测定。
（3）r =＋1或r =－1，表明两现象完全相关。 （4）r = 0，表明两变量无直线相关关系。 （5）r＞0，现象呈正相关；r＜0，现象呈负相关。实践中，一般将 现象的相关关系分为四个等级：∣r∣＜0.3表示不相关，0.3≤∣r∣＜0.5 表示低度相关；0.5≤∣r∣＜0.8表示显著相关；∣r∣≥0.8表示高度相 关。
第十章 相关与回归分析
学习目标 知识目标： 了解相关分析的概念、内容和多元线性回归分析的基本思想；掌握 相关关系测定和一元线性回归分析的计算方法。 能力目标： 能够测定客观现象间是否具有相关关系；可以熟练地进行一元线性 回归计算和分析
第一节 相关分析的概念与内容
关键词：相关关系；函数关系；相关分析
一、相关关系的概念 在自然界和人类社会中，有许多现象之间存在着数量上的相互联 系，相互制约关系，这种关系可以概括为两种类型：一种是确定性的数 量依存关系，即函数关系；另一种是不确定的数量依存关系，即相关关 系。 函数关系指的是现象之间客观存在的，在数量变化上按一定法则严 格确定的相互依存关系。在这种关系中，当某一变量（自变量）取一个 值时，另一变量（因变量）就有一个完全确定的值与之对应，可以用数 学表达式表达出来。如，正方形面积S对于边长a的函数关系是，类似 地，在社会经济领域中，如工业总产值等于产品产量乘以产品出厂价 格，等等。也都属于这种函数关系。 相关关系是指现象之间客观存在的，在数量变化上受随机因素的影 响，非确定性的相互依存关系。当一个现象发生数量变化时，另一现象 也相应地发生数量变化，对于同一自变量值往往有一组不尽相同的因变 量值与之对应，这些因变量值在一定的范围围绕其平均数上下变动。例 如，家庭消费支出与家庭收入相关，但收入相同的家庭其消费支出并不 相同，原因在于影响家庭消费支出的因素除了收入以外，还有家庭成员 构成、生活方式、生活习惯、消费观念等一系列因素。从数量上分析现 象之间相关关系的理论和方法，我们称之为相关分析法。 相关关系与函数关系彼此有所不同，相关关系的范围比函数关系的 范围更广，函数关系可以说是相关关系的一个特例。但它们之间也是有 联系的，并没有严格的界限。一方面，有些现象从理论上说存在着函数 关系，可是在进行多次观察和测量时，由于存在测量误差等原因，实际 得到的数据往往也是非确定性的，这时就表现为相关关系。另一方面， 有些变量之间尽管没有确定性的函数关系，但为了找到相关关系的一般
（二）测定相关关系的表现形态和密切程度 相关关系是一种数量上不严格的相互依存关系。只有当变量间确实 存在高度密切的相关关系时，才可能进行相关分析，对现象进行预测、 推算和决策。因此，判定现象间存在相关关系后，需要进一步测定相关 关系的表现形态和密切程度。统计上，一般是通过编制相关表、绘制相 关图和计算相关系数来做出判断。
表10.1 某公司A产品广告费与销售收入相关表
年份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年广告费 （万元）
2 23
4
5
6 6677
年销售收入 50 51 52 53 53 54 55 56 56 57
（万元）
表中资料表明，销售收入随着广告费的增加而增长，二者之间存在
着较明显的正依存关系。
根据对自变量是否分组，相关表分为简单相关表和分组相关表。表
三、相关分析的内容 相关分析是对客观经济现象间存在的相关关系进行分析研究的一种 统计方法。其目的在于对现象间所存在的依存关系以及所表现出的规律 性进行数量上的推断和认识，以便作出预测和决策。相关分析的内容包 括两个方面：
（一）判别现象间有无相关关系 现象间有无相关关系，这是相关分析的出发点。只有现象间确实存 在相关关系，才可能进行相关分析。所以进行相关分析时，首先要通过 定性分析，借助相关表和相关图来判别现象间是否确实存在相关关系， 否则就会产生认识上的偏差，得出错误的分析结论。
性相关关系。
表10.3 某公司A产品广告费与销售收入双变量分组相关表
年广告
年销售收入（万元）
合计
费（万 50～ 51～ 52～ 53～ 54～ 55～ 56～
元）
51 52 53 54 55 56 57
7
2
2
6 5
12 1 1
3 1
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合计 2
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统计学(回归分析)习题
统计学第三次作业（第十章相关与回归分析）计算题1. 为研究年收入水平Y （单位：万元）与受教育程度X （单位：年）之间的关系，现抽取一个包括20个人的随机样本，得到：22239, 72.61, ()422.95()34.83, ()()106.74ttttttX Y X X Y Y X X Y Y ==-=-=--=∑∑∑∑∑试根据以上数据：(1) 计算年收入水平与受教育程度的样本相关系数；(2) 拟合简单线性回归方程，并对回归系数的经济意义作解释； (3) 预测受教育年限为16年时，平均年收入是多少？2. 为研究零食中脂肪含量X （单位：克）与热量Y （单位：卡路里）之间的关系，随机抽查了16种点心食品，得到的数据如下：22189, 3461, 2799907717, 49526, 16tt t tt t X Y X YX Y n ======∑∑∑∑∑试根据以上数据：（1）计算热量与脂肪含量的样本相关系数；（2）拟合热量与脂肪含量的简单线性回归方程，并计算回归方程的决定系数以反映拟合效果；（3）若某糖果条包装上标明含有3克脂肪，预测其含有的热量。
3. 有8个同类企业的生产性固定资产年均价值和工业增加值的资料如下：要求：（计算必须有公式和过程）（1）计算相关系数，说明两变量相关的方向和程度；（2）建立以工业增加值为因变量的直线回归方程，说明方程参数的经济意义；（3）在0.05的显著性水平下，用F检验检验线性回归效果是否显著？（0.05(1,6) 5.987F=）（4）确定生产性固定资产为1100万元时，工业增加值的估计值。
4. 根据甲企业2004年每月的产品销售额Y与广告费支出X数据（单位：元），计算出其估计的回归方程为ŷ=31.98+1.68X，估计结果中R2＝0.923，F＝230.78，自变量系数的t检验值为3.587；另有一企业乙也进行了同样情况的分析，已知∑X=50, ∑Y=110.8, ∑X2=294, ∑Y2=1465.0, ∑XY=654.9,要求：(1)确定乙企业产品销售额Y与广告费支出X的线性回归方程，并说明βˆ1的含义；(2)若已知乙企业的回归结果中R2＝0.847，F＝302.5，自变量系数的t检验值为1.7689，试根据所学知识对甲、乙两企业所建立的线性回归方程的优劣进行综合分析。
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
相关分析与回归分析
客观现象的相互联系，可以通过一定的数量关系反映出来。
（2）回归分析是相关分析的深入和继续。
一、表格法（相关表法）
（一）简单相关表
n x y x y 编制方法：先将自变量的值按照从小到大的顺序排列出来，然后将因变量的值对应列上而排列成表格。
以x为自变量，y为因变量建立直线回归方程，并说明回归系数的经济意义。
※●很显复示 相明x关和：显y自事变：正量相两r关的个还以是取上负。相值关；为正或为负取决于分子。
1、协方差 的作用 3=1、0+两2个x 变量完全r相=0关. 时，则相2 关系数为（
）
6、下列回归方程中，肯定错xy 误的是（
）
A．x的数值增大时，y值也随之增大
显示x和y事正相关还是负相关； （5※、2）产回品归单分位析成是本相与关产分品析产的量深之入间和的继关续系。一般来说是（ ） 第※※三绝显节 对值示回在归0x分. 析和与一y元相线性关回归程度的大小； 1一2x、、相关相关r=系关0.的概系念和数种类计算的简便公式
第二节 相关关系的判断
（二）相关系数的计算
rxy2
(xx)(yy) n
xy
(xx)2
(yy)2
n
n
n :资料项数
x
(xx)2 表示 x变量的标准差 n
y
(yy)2 表示 y变量的标准差 n
2 xy
(xx)(yy)表示 x、y两个变量数列的协方 n
第二节 相关关系的判断
r (xx)(yy) (xx)2 (yy)2
第一节 相关分析的意义和种类
3、根据相关的形式不同划分，分为线性相关和非线性相关。 ●线性相关：即直线相关。 ●非线性相关：即曲线相关。 4、根据相关的程度分为不相关、完全相关（函数关系）和不完全 相关。 三、相关分析的主要内容 1、确定现象之间有无关系。 2、确定相关关系的表现形式。 3、测定相关关系的密切程度和方向。
相关分析与回归分析 PPT
距离相关分析通过计算广义距离 度量样品或变量间得相似程度。
2022/9/20
26
距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
2022/9/20
45
处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
2022/9/20
31
例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
2022/9/20
26
距离相关分析一般不单独使用, 而就是作为聚类分析、因子分析等得 预处理过程。
距离相关分析根据统计量得不同, 分为不相似性测度和相似性测度。对 于不相似性测度,通过计算距离来表 示,距离越大,相似性越弱;对于相似性 测度,通过计算 Pearson 相关系
数据得采集也就是建立回归模型 得重要一环。
大多数建模竞赛题目会提供相关 数据,但这些数据可能包含了一些无 用得信息,个别数据缺失甚至失真。
在建模前,需要对数据进行适当
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处理。比如标准化,剔除个别过大或 过小得“野值”,用插值方法补齐空 缺数据等。 (3) 回归模型形式得确定
收集、处理好数据后,首先要确 定适当得数学模型来描述这些变量间 得统计关系。
显然,样品间得相关系数都接近
于1,很难辨别出其相似程度。
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例4 5名考官给10名应聘者得面
试分数如下,请问各考官评分得一致
性如何？哪位考官得可信度较小？各
应聘者分数得差异就是否明显？
解 若第1问改为:请问不同考官
对应聘者面试分数得影响就是否显著,
则勉强可用方差分析。因为考官给10
相关分析与回归分析
一、引 言
2022/9/20
2
在很多研究领域中,往往需要研
究事物间得关系。如收入与受教育程
度,子女身高与父母身高,商品销售额
与广告费用支出,农作物产量与施肥
量,上述两者间有关系吗？如果有关
系,又就是怎么样得关系呢？如何来
度量这种关系得强弱？
解决上述问题得统计方法就是相
第十章双变量回归与相关
(9-3) (9-4)
式中 lXY 为 X 与 Y 的离均差积和:
l
XY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
(9 5)
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（9-1）中的 Yˆ 实际上 是 X 所对应 Y 的总体均数 Y|X 的一个样本估 计值，称为回归方程的预测值（predicted value）, 而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
(Y Y ) 2 (Yˆ Y ) 2 (Y Yˆ ) 2
数理统计可证明：
å (Yˆ - Y )(Y - Yˆ ) = 0
上式用符号表示为
SS总 SS回 SS残
（9-6）
式中
SS总 即 (Y Y)2 ， 为 Y 的 离 均 差 平 方
和，表示未考虑 X 与Y 的回归关系时Y 的 总变异。
离 Y Yˆ 。
➢ 求解a、b实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表
数据点分布趋势的直线。
最小二乘法(least sum of squares)原则：即保证各实 测点至直线的纵向距离的 平方和最小。
（X，Y）
b lXY lXX
( X X )(Y Y ) (X X )2
a Y bX
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 9-1）
Yˆ 1.6617 0.1392X
此直线必然通过点( , )X且与Y 纵坐标轴相交于 截距 a 。如果散点图没有过坐标系原点，可在 自变量实测范围内远端取易于读数的 X 值代入 回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点 ( , )也可X绘Y出回归直线。
回归及相关分析PPT课件
或实际场景中。
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
回归及相关分析ppt课件
目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
回归及相关分析ppt课件
目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
相关与回归分析课件
直线回归
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
2
4
11
16
121
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400
1156
680
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22
33
484
1089
726
合计
132
246
2024
第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
04
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
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合计
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第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
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变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
第10章 回归分析
7
解： 依题意，实验次数n＝5，y～x为一元线性关系y=a+bx。根据最小二乘 法原理，有：
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 8 9 28
yi 2.01 2.98 3.50 5.02 5.07 18.58
x i2 4 16 25 64 81 190
yi2 4.04 8.88 12.25 25.20 25.70 76.07
xiyi 4.02 11.92 17.50 40.16 45.63 119.23
解得a＝1.155，b＝0.4573。 因此关系式为：y＝1.155+0.4573x。
如果用简化算法，则有：
故关系式为：y=1.155+0.4573x，即两种计算方法结果是一致的。 可见，根据实验数据建立回归方程，可采用最小二乘法，基本步骤为： ① 根据实验数据画出散点图； ② 确定经验公式的函数类型； ③ 通过最小二乘法得到正规方程组； ④ 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。 其实①②两点正是第9章建立数学模型的过程，所以建立数学模型是回 归分析的前提。
13
[例10-2] 试用相关系数检验法对例10-l中得到的经验公式进行显著性检验 （α＝0.05）。 解：
当α＝0.05，n＝5时，查得相关系数临界值 r0.05，3＝0.8783。所以r＞r, f， 所得的经验公式有意义。
14
应当指出的是，相关系数r有一个明显的缺点：即它接近于1的程度与实 验数据组数n有关。当n较小时，｜r｜容易接近于1；当n较大时，｜r｜ 容易偏小。特别是当n＝2时，因两点确定一条直线，｜r｜总等于1。所 以，只有当实验次数n较多时，才能得出真正有实际意义的回归方程。
2
回归分析的主要内容: 确定回归方程，检验回归方程的可信性 10.2 一元线性回归分析 10.2.1 一元线性回归方程的建立 一元线性回归分析又称直线拟合，是处理两个变量x和y之间关系的方法。 所谓一元是指只有一个自变量x，因变量y在某种程度上是随x变化的。 设有一组实验数据，实验值为 (xi, yi) (i=1，2，…，n)。若x，y符合线性关 系，或已知经验公式为直线形式，就可拟合为直线方程，即：
第10章 直线回归与相关分析
是α+βxi的估计值
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小； Q = ∑( y − y)2 = 最小；
ˆ ∑( y − y) = 0
； 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
二、直线回归的显著性检验
回归关系的假设测验： 回归关系的假设测验： 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概 直线回归关系总体的概率大小。 率小于0.05或0.01时，我们才能冒较小的危 或 率小于 时 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 这就是回归关系的假设测验 。 回归关系的假设测验有两种方法： 测验或F 回归关系的假设测验有两种方法：t测验或F测验
由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， 由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， [31.7 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x的区间 =48.5 于预测时 为[31.7，44.2]；如要在x＜31.7或＞44.2的 [31.7，44.2]；如要在x 31.7或 44.2的 区间外延，则必须有新的依据。 区间外延，则必须有新的依据。
整理后可得： 整理后可得：
na + ( ∑ xi )b = ∑ yi ( ∑ xi ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i
2
上式叫做a与b的正规方程组 正规方程组。 正规方程组
回归方程的基本条件（性质）： 回归方程的基本条件（性质）： 性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
ˆ 最小； Q = ∑( y − y)2 = 最小；
ˆ ∑( y − y) = 0
； 。
回 归 直 线 通 过 点 (x, y)
2
ˆ Q = ∑( yi − yi ) = ∑[ yi − (a + bxi )]
二、直线回归的显著性检验
回归关系的假设测验： 回归关系的假设测验： 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 对于样本的回归方程，必须测定其来自无 直线回归关系总体的概率大小。只有当这种概 直线回归关系总体的概率大小。 率小于0.05或0.01时，我们才能冒较小的危 或 率小于 时 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 险确认其所代表的总体存在着直线回归关系。 这就是回归关系的假设测验 。 回归关系的假设测验有两种方法： 测验或F 回归关系的假设测验有两种方法：t测验或F测验
由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， 由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]， [31.7 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x 在应用=48.5-1.1x于预测时，需限定x的区间 =48.5 于预测时 为[31.7，44.2]；如要在x＜31.7或＞44.2的 [31.7，44.2]；如要在x 31.7或 44.2的 区间外延，则必须有新的依据。 区间外延，则必须有新的依据。
整理后可得： 整理后可得：
na + ( ∑ xi )b = ∑ yi ( ∑ xi ) a + ( ∑ x i ) b = ∑ x i y i
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上式叫做a与b的正规方程组 正规方程组。 正规方程组