第十章线性相关与回归-68页精选文档
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线性相关与回归
a Y bX
建立直线回归方程旳环节
1．用实测数据绘制散点图 2．计算回归系数b与截距a，
下面以例9-1资料阐明建立直线回归 方程旳详细环节：
lxx 24.9040, lXY 5.9396, X 13.44, Y 5.7266 b lXY 5.9396 0.2385
lXX 24.9040 a Y bX 5.7266 0.2385 13.44 2.5212 Yˆ 2.5212 0.2385X 取X 12, Yˆ 2.5121 0.2385 12 5.3832 取X 15, Yˆ 2.5212 0.2385 15 6.0990
等级有关
等级有关
第一节简介旳积差有关系数合用于 双变量正态分布旳资料，但有时其中一 种甚至两个变量都不服从正态分布，这 时需用非参数有关分析措施。
本节简介由spearman提出旳秩有 关分析措施。本措施合用于下列情况：
①不服从双变量正态分布而不宜作 积差有关分析旳资料；
②总体分布类型未知旳资料；
（6） 1 0 .5 24.0 21.0 14.0 42.5 51.0 24.5 28.0 31.5 35.0 115.5 42.0 ΣRXRY =439.5
d
d2
（7） -9.5 -10.0 -4.0 +0.5 -3.5 -2.5 +3.5 +4.5 +5.5 +6.5 +0.5 +8.5
（8） 90.25 100.00 16.00 0.25 12.25 6.25 12.25 20.25 30.25 42.25 0.25 72.25 Σd2=402.50
总体中抽取样本，因为存在抽样误差， 其b不一定等于0。所以，得到b≠0后，
必须检验b是否来自β=0旳总体，以鉴
建立直线回归方程旳环节
1．用实测数据绘制散点图 2．计算回归系数b与截距a，
下面以例9-1资料阐明建立直线回归 方程旳详细环节：
lxx 24.9040, lXY 5.9396, X 13.44, Y 5.7266 b lXY 5.9396 0.2385
lXX 24.9040 a Y bX 5.7266 0.2385 13.44 2.5212 Yˆ 2.5212 0.2385X 取X 12, Yˆ 2.5121 0.2385 12 5.3832 取X 15, Yˆ 2.5212 0.2385 15 6.0990
等级有关
等级有关
第一节简介旳积差有关系数合用于 双变量正态分布旳资料，但有时其中一 种甚至两个变量都不服从正态分布，这 时需用非参数有关分析措施。
本节简介由spearman提出旳秩有 关分析措施。本措施合用于下列情况：
①不服从双变量正态分布而不宜作 积差有关分析旳资料；
②总体分布类型未知旳资料；
（6） 1 0 .5 24.0 21.0 14.0 42.5 51.0 24.5 28.0 31.5 35.0 115.5 42.0 ΣRXRY =439.5
d
d2
（7） -9.5 -10.0 -4.0 +0.5 -3.5 -2.5 +3.5 +4.5 +5.5 +6.5 +0.5 +8.5
（8） 90.25 100.00 16.00 0.25 12.25 6.25 12.25 20.25 30.25 42.25 0.25 72.25 Σd2=402.50
总体中抽取样本，因为存在抽样误差， 其b不一定等于0。所以，得到b≠0后，
必须检验b是否来自β=0旳总体，以鉴
第十章线性相关与回归-文档资料
他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身
高、臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最大 长度）做了测量，并做成散点图。
发现：
2019/3/9 4
儿子身高（ Y ，英寸）与父亲身高（ X ，英寸）
存在线性关系：
ˆ Y 3 3 . 7 30 . 5 1 6 X
即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来
秩和检验
试问：为何说是单变量？ 因为每种类型只牵涉一个变量。
2019/3/9 2
医学上，许多现象之间（即变量之间）都有相互联系， 例如：身高与体重、父亲身高与儿子身高、体温与脉搏、 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。
在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也 各不相同。比如：
乙肝病毒感Hale Waihona Puke 是前因，得了乙肝是后果，乙肝病毒和乙
2019/3/9
14
线性相关的类型
X和Y伴随同时上升或伴随下降称为线性正相关 (Linear Positive Correlation) X与Y的反方向伴随直线变化趋势称为线性负相关 (linear negative correlation） X和Y无任何直线伴随变化趋势，则称为零相关 (零线性相关) 。
2019/3/9
10
第一节 线性相关
2019/3/9
11
线性相关的掌握要点
线性相关描述了什么问题？ 线性相关分析的具体步骤是什么？ 线性相关分析对资料有什么要求？
如何对这些要求进行检查或检验？
仅用样本线性相关系数能否说明相关程度？
总体相关系数非常接近1，能否说明Y=X？
2019/3/9
12
例：考察身高与体重的伴随关系
线性相关关系回归方程
1.某公司的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)
之间有下列对应数据:
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
资料显示y对x呈线性相关关系.
根据上表提供的数据得到回归方程 y bx a 中的 b =6.5,预测
销售额为115万元时约需 万元广告费.
【解析】1.
2＋4＋5＋6＋8 ＝5， x＝ 5
学科网
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
4.下列两变量间具有相关关系的是( A.角度和它的余弦值
D
)
B.正方形的边长和面积
C.汽车的行驶速度与路程
D.汽车的重量和百公里耗油量.
二、两个变量的线性相关 1.散点图 将n个数据点(xi,yi)(i=1,2,„,n)描在平面直角坐 相关关系 标系中,以表示具有_________的两个变量的图形叫做散点图. 2.两类特殊的相关关系 右上角 左下角 (1)正相关:散点图中的点散布的位置是从_______到_______ 左上角到 的区域.(2)负相关:散点图中的点散布的位置是从_______ 右下角 _______的区域. 3.散点图的作用是什么? 提示:判断两个变量是否相关.
1.一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高,建立了儿子身高
ˆ =7.19x+73.93,用这个方程 (单位:cm)与年龄的回归方程为 y
预测儿子10岁时的身高,则下面的叙述正确的是
( C ) (A)她儿子10岁时的身高一定是145.83 cm
(B)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以上
(C)她儿子10岁时的身高在145.83 cm左右 (D)她儿子10岁时的身高在145.83 cm以下
06.线性相关与回归
6 12 . 5 8 8 1
2
0 . 85
查等级相关系数界值表， s 8 ( 0 .05 ) 0 . 738 , P 0 . 05 按0.05检验水 r 准拒绝H0，接受H1，认为饮水中氟含量与氟骨症患病率之间
存在正相关关系。
本章小结
conclusion
(intercept，constant)
截距a
几何意义
a >0: 回归线与纵轴交点在原点上方。
a <0: 回归线与纵轴交点在原点下方。 a =0: 回归线通过原点。 统计学意义 a 表示自变量X取值为0时相应Y的估计值。
回归系数b的几何意义
ˆ Y a bX b 0
Y
ˆ Y a bX b 0
0 . 8342
表示体重与身高呈现正的相关关系
线形相关系数的假设检验
查表法
n 12 , r 0 . 8342 , n 2 12 2 10
r0 .001 10 0 . 823 0 . 8342 , P 0 . 001 .
按检验水准0.05拒绝H0，可以认为女大学生身高与体重之间存在正相关性。
等级相关
Rank correlation
资料要求： 1. 变量不服从正态分布；
2. 变量是等级资料
等级相关系数：Spearman 等级相关系数
rs 1
n n 1
2
6 d
2
例10.4 某医生做一种研究，欲了解人群中氟骨症患病率（%）与饮水中氟
含量（mg/L)之间的关系。
rs 1
均值越远，所受到回归的压力也越大。“回归”这个词
就由此而来。
第十章 线性相关与回归
相关与回归
28
直线回归就是用来研究两个连续性变量x 直线回归就是用来研究两个连续性变量 之间的数量依存关系。 和y之间的数量依存关系。其中 为自变 之间的数量依存关系 其中x为自变 y为因变量 它依赖于x。 为因变量， 量，y为因变量，它依赖于x。 直线回归适用于单变量正态分布资料， 直线回归适用于单变量正态分布资料，即 y为随机正态变量，x为可以精确测量的 为随机正态变量， 为可以精确测量的 为随机正态变量 值。
31
根据上例的数据，求男青年身高与前臂长之间的回归 方程。 从相关系数的计算中，已经求得：
• • • • • • ∑X=1891 ∑Y=500 ∑ X2=89599 ∑ Y2=22810 ∑XY=86185 N=11
相关与回归 12
例 10.1
• 从男青年总体中随机抽取11名男青年的身 高和前臂长，身高和前臂长均以cm为单位， 测量结果如表10-1所示，试计算身高与前 臂长之间的相关系数？是正相关还是负相 关？
相关与回归
13
表10-1 11例男青年身高与前臂长的测量结果 例男青年身高与前臂长的测量结果
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 身高（cm） 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165 166 前臂长（cm） 47 42 44 41 47 50 47 46 46 43 44
X、Y 变化趋势相同---变化趋势相同---完全正相关; 完全正相关; 反向变化----完全负相关。 反向变化----完全负相关。 ----完全负相关
图12-3 12相关系数示意图
相关与回归
9
X、Y 变化互不影响----零 变化互不影响-------零
相关(zero 相关(zero correlation)
统计学课件之线性相关与回归
➢ 线性关系是否存在、关系的密切程度 以及方向性
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
0.24
0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
0.25
0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
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5
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0.28
6
0.09
0.10
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8
0.06
0.09
9
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0.24
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0.33
0.30
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0.15
0.16
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0.04
0.05
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0.20
0.20
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0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
线性相关与回归
)
12
12
0.7495
检验步骤
例1：根据样本相关系数，对总体相关系数
ρ=0进行假设检验
(1) 建立假设，确定检验水准α H0: ρ=0（变量间不存在线性相关关系） H1: ρ≠0（变量间有线性相关关系）
α=0.05
检验步骤
（2）计算检验统计量t
本例n=12，r=0.7495，
t r
0 .7 4 9 5
1.000 0.980 0.934 0.882 0.833
… 0.612 0.592 0.574 0.558
0.005 0.01
1.000 0.990 0.959 0.917 0.875
… 0.661 0.641 0.623 0.606
0.001 0.002
1.000 0.998 0.986 0.963 0.935
173 170 170 176 178 174 173 178 176 180
lXY ( X X )(Y Y ) 1059.4 lXX ( X X )2 1859.2 lYY (Y Y )2 698.55
l
r
xy
1059.4
0.9296
ll xx yy
( X )( Y )
XY
r
n
(
X
2
(
X )2
)( Y 2
( Y )2 )
n
n
∑X=592、∑Y= 34.83、∑X2=29512、
∑Y2=102.9833、∑XY=1736.32
592 34.83 17.3632
r
12
5922
34.832
(29512
第10章 线性相关与回归
r = rXY =
∑( X X)(Y Y) ∑( X X) ∑(Y Y)
2 i i
=
LXY LXX.LYY
2
相关系数r没有测量单位,其数值为-1≤≤+1 没有测量单位,其数值为-
相关系数的计算方法
计算时分别可用下面公式带入相关系数r 计算时分别可用下面公式带入相关系数r的 计算公式中
∑ (X ∑ (Y ∑ (X
四,进行线性相关分析的注意事项
⒊ 依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系
数,它是总体相关系数的一个估计值,与总体 它是总体相关系数的一个估计值, 相关系数之间存在着抽样误差,要判断两个事 相关系数之间存在着抽样误差, 物之间有无相关及相关的密切程度, 物之间有无相关及相关的密切程度,必须作假 设检验. 设检验.
蛙蛙蛙 蛙蛙蛙
20
10
0 0 10 20 30
温度
2.计算回归系数与常数项 2.计算回归系数与常数项
在本例中:
∑ X = 132
∑ Y = 246
∑X ∑Y
2
= 2024
= 6610
X = 12
2
Y = 22.363
∑ XY = 3622
l b = XY = l XX
∑
XY
∑
( ∑ X )( ∑ Y ) (132)(246) 3622 670 n 11 = = = 1.523 2 2 (∑ X ) 132 440 2 2024 X 11 n
X2
4 16 36 64 100 144 196 256 324 400 484 2024
Y2
25 121 121 196 484 529 1024 841 1024 1156 1089 6610
∑( X X)(Y Y) ∑( X X) ∑(Y Y)
2 i i
=
LXY LXX.LYY
2
相关系数r没有测量单位,其数值为-1≤≤+1 没有测量单位,其数值为-
相关系数的计算方法
计算时分别可用下面公式带入相关系数r 计算时分别可用下面公式带入相关系数r的 计算公式中
∑ (X ∑ (Y ∑ (X
四,进行线性相关分析的注意事项
⒊ 依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系
数,它是总体相关系数的一个估计值,与总体 它是总体相关系数的一个估计值, 相关系数之间存在着抽样误差,要判断两个事 相关系数之间存在着抽样误差, 物之间有无相关及相关的密切程度, 物之间有无相关及相关的密切程度,必须作假 设检验. 设检验.
蛙蛙蛙 蛙蛙蛙
20
10
0 0 10 20 30
温度
2.计算回归系数与常数项 2.计算回归系数与常数项
在本例中:
∑ X = 132
∑ Y = 246
∑X ∑Y
2
= 2024
= 6610
X = 12
2
Y = 22.363
∑ XY = 3622
l b = XY = l XX
∑
XY
∑
( ∑ X )( ∑ Y ) (132)(246) 3622 670 n 11 = = = 1.523 2 2 (∑ X ) 132 440 2 2024 X 11 n
X2
4 16 36 64 100 144 196 256 324 400 484 2024
Y2
25 121 121 196 484 529 1024 841 1024 1156 1089 6610
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• 分析问题：总体-样本、 目的、变量、关系
30.03.2020
19
表10-1 11名男青年身高与前臂长的测量结果(cm)
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 合计
身高（cm） (X) 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165 166 1891
前臂长（cm） (Y) 47 42 44 41 47 50 47 46 49 43 44 500
试问：为何说是单变量？ 因为每种类型只牵涉一个变量。
30.03.2020
1
医学上，许多现象之间（即变量之间）都有相互联系，
例如：身高与体重、父亲身高与儿子身高、体温与脉搏、 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。 在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也 各不相同。比如：
➢ 乙肝病毒感
发现：
30.03.2020
3
儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸） 存在线性关系：
Yˆ33.730.516X
即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子 父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其 父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定的现象 称之“回归”。
➢ 第一节 线性相关 ➢ 第二节 线性回归 ➢ 第三节 相关与回归的关系 ➢ 第四节 等级相关 （自学）
30.03.2020
9
第一节 线性相关
30.03.2020
10
线性相关的掌握要点
线性相关描述了什么问题？ 线性相关分析的具体步骤是什么？ 线性相关分析对资料有什么要求？ 如何对这些要求进行检查或检验？ 仅用样本线性相关系数能否说明相关程度？ 总体相关系数非常接近1，能否说明Y=X？
第2、第3、第5和第9章介绍了计量资料单变量的 统计描述与统计推断。比如：
计算140名成年男子红细胞数的平均指标与变异指 标。 ( X , S )
比较药物+饮食疗法(试验组)与仅药物疗法(对照组) 降低糖尿病人的空腹血糖值有无差别。 t 检验
研究白血病时，比较四组鼠脾DNA含量有无差别。
秩和检验
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4
Regression 释义
210=1024
30.03.2020
5
30.03.2020
6
小插曲——F.Galton
Galton（1822-1911）是一位人类学家，著名生物 学家达尔文的表兄弟，早年学医，曾在剑桥大学念书。 尽管他的数学不是很好，但在人类学和优生学研究中 萌发的统计学思想，对生物统计的发展产生了深远影 响，如“回归”、 “双变量正态分布”的概念等。 他没有子女，但一生写了9部书，发表了近200篇论文。 1860年当选英国皇家学会会员，1909年被封为爵士， 1910年获得英国皇家学会Copley奖。
实例分析
• 健康调查发现男青年身高与他的前臂长有关； • 于是设想，通过测量男青年的身高，可以预测其
前臂长，以便更好对男青年的发育情况进行评价。 因此随机抽取了11名男青年组成样本，分别测量 每个人的身高和前臂长。见表10-1 • 问男青年的身高与前臂长之间的相关系数是多少？ 是正相关还是负相关？
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★ 正相关 ★负相关 ★称零相关
★ 完全正相关 ★完全负相关
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15
线性相关系数
线性相关系数 (linear correlation coeffiecient) ， 简称相关系数。或 Pearson相关系数
相关系数是描述两个变量之间线性相关的程度 和相关方向的统计指标。样本相关系数用 r 表示， 总体相关系数用ρ表示。
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Karl Pearson (英,1857～1936)是 Francis Galton 的得 意门生，他开创了统 计方法学。他对统计 学的主要贡献：变异 数据的处理、分布曲 线的选配、卡方检验 的提出、回归与相关 的发展。
30.03.2020
Karl Pearson
8
基本内容
➢ 有的现象之间因果不清，只是伴随关系，例如哥哥的身 高和弟弟的身高之间，就不能说有因果关系。
相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相互关系的。
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2
历史背景：
十九世纪英国人类学家 F.Galton首次在《自然 遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关 系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后， 他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身 高、臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最大 长度）做了测量，并做成散点图。
30.03.2020
11
例：考察身高与体重的伴随关系
体重
散点图
身高
问题：通过散点图可以得出什么结论？
30.03.2020
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线性相关的概念
图中不是每个身材较高的对象必有较重的体 重，但大多数对象的体重Y与其身高X的变化呈 一种伴随增大或减小的直线变化趋势，这种现象 称为直线相关 。
刻画两个随机变量之间线性相关程度称为 线性相关（linear correlation）
30.03.2020
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相关系数的特点：
－1 ≤ r ≤ 1 r＞0为正相关 r＜0为负相关 r＝0为零相关或无相关
|r| < 0.4 为低度线性相关； 0.4≤ |r| ＜0.7为中度线性相关； 0.7≤|r| ＜1.0为高度线性相关。
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相关系数的计算公式
lxx （x 的离均差平方和 ） lyy （y 的离均差平方和 ） lxy （x和y的离均差乘积和，简称乘积和）
r (XX)(YY) lXY (XX)2(YY)2 lXXlYY
lXXX2
(X)2 n
lYY
Y2
(Y)2 n
( X) (Y)
lXY XY
n
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线性相关的类型
X和Y伴随同时上升或伴随下降称为线性正相关 (Linear Positive Correlation)
X与Y的反方向伴随直线变化趋势称为线性负相关 (linear negative correlation）
X和Y无任何直线伴随变化趋势，则称为零相关 (零线性相关) 。
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表10-1 11名男青年身高与前臂长的测量结果(cm)
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 合计
身高（cm） (X) 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165 166 1891
前臂长（cm） (Y) 47 42 44 41 47 50 47 46 49 43 44 500
试问：为何说是单变量？ 因为每种类型只牵涉一个变量。
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医学上，许多现象之间（即变量之间）都有相互联系，
例如：身高与体重、父亲身高与儿子身高、体温与脉搏、 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。 在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也 各不相同。比如：
➢ 乙肝病毒感
发现：
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儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸） 存在线性关系：
Yˆ33.730.516X
即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子 父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其 父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定的现象 称之“回归”。
➢ 第一节 线性相关 ➢ 第二节 线性回归 ➢ 第三节 相关与回归的关系 ➢ 第四节 等级相关 （自学）
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第一节 线性相关
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线性相关的掌握要点
线性相关描述了什么问题？ 线性相关分析的具体步骤是什么？ 线性相关分析对资料有什么要求？ 如何对这些要求进行检查或检验？ 仅用样本线性相关系数能否说明相关程度？ 总体相关系数非常接近1，能否说明Y=X？
第2、第3、第5和第9章介绍了计量资料单变量的 统计描述与统计推断。比如：
计算140名成年男子红细胞数的平均指标与变异指 标。 ( X , S )
比较药物+饮食疗法(试验组)与仅药物疗法(对照组) 降低糖尿病人的空腹血糖值有无差别。 t 检验
研究白血病时，比较四组鼠脾DNA含量有无差别。
秩和检验
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Regression 释义
210=1024
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小插曲——F.Galton
Galton（1822-1911）是一位人类学家，著名生物 学家达尔文的表兄弟，早年学医，曾在剑桥大学念书。 尽管他的数学不是很好，但在人类学和优生学研究中 萌发的统计学思想，对生物统计的发展产生了深远影 响，如“回归”、 “双变量正态分布”的概念等。 他没有子女，但一生写了9部书，发表了近200篇论文。 1860年当选英国皇家学会会员，1909年被封为爵士， 1910年获得英国皇家学会Copley奖。
实例分析
• 健康调查发现男青年身高与他的前臂长有关； • 于是设想，通过测量男青年的身高，可以预测其
前臂长，以便更好对男青年的发育情况进行评价。 因此随机抽取了11名男青年组成样本，分别测量 每个人的身高和前臂长。见表10-1 • 问男青年的身高与前臂长之间的相关系数是多少？ 是正相关还是负相关？
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★ 正相关 ★负相关 ★称零相关
★ 完全正相关 ★完全负相关
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线性相关系数
线性相关系数 (linear correlation coeffiecient) ， 简称相关系数。或 Pearson相关系数
相关系数是描述两个变量之间线性相关的程度 和相关方向的统计指标。样本相关系数用 r 表示， 总体相关系数用ρ表示。
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Karl Pearson (英,1857～1936)是 Francis Galton 的得 意门生，他开创了统 计方法学。他对统计 学的主要贡献：变异 数据的处理、分布曲 线的选配、卡方检验 的提出、回归与相关 的发展。
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Karl Pearson
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基本内容
➢ 有的现象之间因果不清，只是伴随关系，例如哥哥的身 高和弟弟的身高之间，就不能说有因果关系。
相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相互关系的。
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历史背景：
十九世纪英国人类学家 F.Galton首次在《自然 遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关 系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后， 他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身 高、臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最大 长度）做了测量，并做成散点图。
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例：考察身高与体重的伴随关系
体重
散点图
身高
问题：通过散点图可以得出什么结论？
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线性相关的概念
图中不是每个身材较高的对象必有较重的体 重，但大多数对象的体重Y与其身高X的变化呈 一种伴随增大或减小的直线变化趋势，这种现象 称为直线相关 。
刻画两个随机变量之间线性相关程度称为 线性相关（linear correlation）
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相关系数的特点：
－1 ≤ r ≤ 1 r＞0为正相关 r＜0为负相关 r＝0为零相关或无相关
|r| < 0.4 为低度线性相关； 0.4≤ |r| ＜0.7为中度线性相关； 0.7≤|r| ＜1.0为高度线性相关。
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相关系数的计算公式
lxx （x 的离均差平方和 ） lyy （y 的离均差平方和 ） lxy （x和y的离均差乘积和，简称乘积和）
r (XX)(YY) lXY (XX)2(YY)2 lXXlYY
lXXX2
(X)2 n
lYY
Y2
(Y)2 n
( X) (Y)
lXY XY
n
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线性相关的类型
X和Y伴随同时上升或伴随下降称为线性正相关 (Linear Positive Correlation)
X与Y的反方向伴随直线变化趋势称为线性负相关 (linear negative correlation）
X和Y无任何直线伴随变化趋势，则称为零相关 (零线性相关) 。