多项式逼近定理的含参积分证法
魏尔施特拉斯逼近定理
魏尔施特拉斯逼近定理魏尔施特拉斯逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）是数学中的一个重要定理，它说明了任意连续函数在闭区间上都可以被多项式函数逼近。
这个定理在数学分析和近似理论中有着广泛的应用和重要意义。
魏尔施特拉斯逼近定理最早由德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出，并且在20世纪得到了进一步的推广和完善。
该定理的表述为：对于任意给定的连续函数f(x)，以及任意小的正实数ε，存在一个多项式函数P(x)，使得在闭区间[a, b]上，对于任意的x∈[a, b]，都有|f(x) - P(x)| < ε成立。
换句话说，魏尔施特拉斯逼近定理保证了在闭区间上的任意连续函数都可以用多项式函数来无限逼近。
这个定理的证明相对复杂，需要运用泰勒级数展开和三角函数等工具，但其基本思想可以用直观的方式来理解。
我们可以想象一个闭区间上的连续函数f(x)如同一条连续的曲线。
魏尔施特拉斯逼近定理告诉我们，无论这条曲线有多么复杂，我们总可以找到一条多项式函数P(x)，使得它在闭区间上与曲线的误差不超过给定的ε。
换句话说，我们可以用一条平滑的多项式函数来近似表示任意连续函数。
这个定理的直接应用之一就是数值计算中的函数逼近问题。
在实际计算中，我们常常需要用简单的函数来近似复杂的函数，例如在数值积分、数值微分和函数插值等问题中。
魏尔施特拉斯逼近定理保证了我们可以用多项式函数来进行逼近，从而简化计算和分析的复杂度。
除了在数值计算中的应用，魏尔施特拉斯逼近定理还有广泛的数学理论和实际应用价值。
它不仅为函数逼近问题提供了一种有效的方法，也为分析学和拓扑学等领域的研究提供了有力的工具。
在实际应用中，例如信号处理、图像处理和数据拟合等领域，魏尔施特拉斯逼近定理也发挥着重要的作用。
魏尔施特拉斯逼近定理是数学中一个重要而有用的定理，它给出了任意连续函数在闭区间上的多项式逼近解决方案。
10.连续函数的多项式一致逼近
附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。
通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。
Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。
也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得)(x P ε<−)()(x f x P对一切∈x [a , b ]成立。
Weierstrass 第一逼近定理的证明证 不失一般性，设[a , b ]为[0, 1]。
设X 是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的集合，定义映射)(t f n B : X Y→ )(t f 6k n k k n n k n x x C n k f x f B −=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑)1(),(0，得到{}，表示),(x f B n ),(x f B n X f ∈在映射作用下的像，它是以n B x 为变量的次多项式，称为的n 次Bernstein 多项式。
n f关于映射，有下述基本性质与基本关系式：n B (1)线性性：对于任意及X g f ∈,∈βα,R ，成立),(),(),(x g B x f B x g f B n n n βαβα+=+；(2)单调性：若（)()(t g t f ≥∈t [a , b ]），则 ),(),(x g B x f B n n ≥ （∈x [a , b ]）；(3)； 1)1(),1(0=−=−=∑k n k k n n k n x x C x B x x x C n k x t B k n k k n n k n =−=−=∑)1(),(0； =−=−=∑k n k k n n k n x x C n k x t B )1(),(0222nx x x 22−+。
第六章 正交多项式和最佳一致逼近
§1 正交多项式 一、正交函数系的概念
考虑函数系
1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ] 上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。
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计算方法与数值计算
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f (x)，要求在另 一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）
中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。
最常用的度量标准为：一致逼近、 平方逼近
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计算方法与数值计算
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 若定义 4中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x) 为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上
(4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
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计算方法与数值计算
3．正交
定义3 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
带权 (x)的n次正交多项式。
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第三章 参数多项式的插值与逼近
第三章 参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节 几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的 选择，或者说在旋转与平移变化下不变 的性质。
2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中： 为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时） 的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件 也称权性。
这种表示下，曲线 （面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。
其中 一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。
（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。
4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性， 其余两种只具有几何不变性。
5、几何不变性的意义： （1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。
2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。
• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。
• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。
• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。
闭区间上有界可测函数的逼近定理(用多项式逼近)
闭区间上有界可测函数的逼近定理(用多项式逼近)
微积分中，特殊函数曲线是研究各种问题的重要内容，常有这样的需求：给定一个闭区间上有界可测函数 f(x)，需要找出它的逼近函数 g(x)，使得g(x)的误差最小。
通过把这个问题化形，我们就会得到一个多项式逼近定理。
多项式逼近定理是实变函数逼近法的重要一环，其核心思想是用多项式 Pn(x) 最佳逼近在 [a,b] 上一连续函数 f(x)，即|f(x)-Pn(x)| < ε，则称 Pn(x) 为多项式逼近
f(x)，ε 为误差限。
多项式逼近定理的具体内容可以用下面的公式来表示：
Pn(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n
其中x ∈ [a,b], ai 是经验系数，确定 ai 的方法有很多，此处以高斯–拉普拉斯求积法为例：
ai = (1/bi)*[f(x) + ∑ (λj-1 * Pj(x))]
其中 bi 为常数， Pj(x) 为 j 阶多项式，公式中最右边的积分项由如下公式求得：∫(a,b) {f(x)*Pj(x)dx}
公式中的 aj 积分数值可以用下面的矩阵方式表示：
{ P0(x) P1(x) P2(x) P3(x)... Pn(x)}
B(x) = {... ... ... ... ... ...}
其中 B(x) 为系数矩阵，f(x) 为被逼近函数， ai 为一维向量。
多项式逼近定理主要用来估计闭区间上有界可测函数的值，其误差与精度直接相关系数矩阵 B(x) 的范畴，因此针对不同的问题，需要根据情况有不同的求解方案。
此外，多项式逼近定理还具有可行性，能够得到快速准确的解，因此被广泛应用于技术计算中。
weierstrass 定理
Weierstrass定理Weierstrass定理，又称Weierstrass逼近定理，是数学分析中非常重要的一个定理。
它的作用是告诉我们，在实数范围内，我们可以用多项式函数来逼近任何连续函数，而这个多项式可以无限次可微，并且逼近可以任意精确。
本文将对Weierstrass定理进行解释和说明，让读者更好地理解这个定理所涉及的数学概念。
1.什么是Weierstrass定理？Weierstrass定理是指，对于任何实数区间[a, b]和任何连续函数f(x)，都可以用一列多项式函数pn(x)来逼近f(x)，并且这个多项式可以无限次可微。
而且，这个逼近是可以任意精确的，即在[a, b]区间内，pn(x)可以无限接近于f(x)。
简而言之，Weierstrass定理告诉我们，任何连续函数都可以用无限可微的多项式函数来逼近。
2.Weierstrass定理的证明Weierstrass定理非常重要，其证明也比较复杂。
下面给出一些证明思路：•首先，我们将要逼近的函数f(x)进行泰勒级数展开，然后令Tn(x)表示其n阶截断，即Tn(x) = Σ[f(k)(0)/k!]*x^k，其中f(k)(0)表示在x = 0处的k阶导数。
•接着，考虑如何利用Tn(x)来逼近f(x)。
我们可以找到一个连续函数g(x)，使得对于任何x，|f(x) - g(x)| < ε/2，其中ε是一个小的正数。
•然后，我们将g(x)进行泰勒级数展开，令Sn(x)表示其n阶截断。
由于对于任何x，|g(x) - Sn(x)| < ε/2，因此对于任何x，|f(x) -Sn(x)| < |f(x) - g(x)| + |g(x) - Sn(x)| < ε。
•最后，我们将Sn(x)转换成多项式函数格式。
我们可以选取一个合适的多项式基函数，如Chebyshev多项式，将其进行线性组合，即Sn(x) = ΣajTj(x)，其中aj为待定系数，通过逐步减小ε，可以逐步求得这些系数的值，使得逼近精度可以任意地提高。
3 逼近定理
设 f ( x) 是 [a, b] 上的连续函数,一般来说,虽然它不一 定能够展开成一个幂函数,然而,总可以找到一个多项 式 p( x ) ,使得对一切 x ∈ [a, b] , f ( x ) 与 p( x ) 之差比预先 给定的任意正数都小.换句话说,可以用一个多项式 p( x ) 来逼近连续函数 f ( x ) ,其逼近程度(即误差)可以比预先 给定的任意正数小. 定理(魏尔斯特拉斯定理 定理 魏尔斯特拉斯定理) 设 f ( x ) 是 [a, b] 上的连续 魏尔斯特拉斯定理 函数,那么对任意给定的 ε > 0 ,总存在多项式 p( x ) , 使得 max f ( x ) − p( x ) < ε 这个多项式 p( x )就是由伯恩斯坦构造的多项式.它的表 示如下 不妨设 [a, b] = [0,1] .
n → ∞ 时多项式序列 {Bn ( x )} 在 [a, b] 上一致收敛于 f ( x ) .
k C k x k (1 − x )n−k f n n
x∈[ a ,b ]
(u + v ) = ∑ Cnk u k v n−k 中,令 u = x v,= 1 − x 在二项式展开 n k =0 n−k k k 得 ∑ Cn x (1 − x ) = 1 ,作多项式
n k =0
n
Bn ( x ) = ∑
k =0
n
称 Bn ( x ) 是 f ( x ) 的 n 阶伯恩斯坦多项式 阶伯恩斯坦多项式.可以证明,当
高妙热点透析—— 多项式函数最佳逼近
讲解：设 sinθ = x ∈[−1,1]，则 ax − 4x3 ≤ 1恒成立.代入公式有1 = I ≥ 21−2×3 × 4× 23 = 1，
2
恰好取得等号.于是 ax − 4x3 = −T3 (x) ，所以 a = 3.
2、设 f (x) = x + a x + b ， f (x) 在[0, 4] 上的最大值为 M ，求 M 的最小值.
f
(x)
的最大值为
1 2
，则
4a
+
3b
=
_____.
【例 2】设 f (x) = x3 + ax2 + bx + c， f (x) 在 [−1,1]上的最大值为 M ，求 M 的最小值.
【例
3】
f (x) = ax2 + bx + c,当 0 ≤ x ≤
1
时，
f (x) ∈[2, 4]，则 a 的最大值为
高妙热点透析—— 多项式函数最佳逼近
一．内容介绍 1 第一类 Chebyshev 多项式简介
第一类 Chebyshev 多项式定义为：Tn(x) = cos(narccos x) (其中 n ∈N ，x ∈R
且 | x |≤ 1 ).特别地，前 5 个 Chebyshev 多项式分别为：T0 (x) = 1， T1(x) = x ，
f (x) = −x3 − 3x2 + (1+ a)x + b (a < 0, b ∈R) .若 g(x) =| f (x) | ，设 M (a,b) 为 g(x) 在 [−2, 0] 上的最大值，求 M (a,b) 的最小值.
解析：令 t = x + 1 (t ∈[−1,1]) ，则有 h(t) =| −(t − 1)3 − 3(t − 1)2 + (1+ a)(t − 1) + b |，
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2298 计算
*20ln cos cos 2,()x nxdx n N π
⋅∈⎰. 解 利用分部积分得
20
ln cos cos 2I x nxdx π=⋅⎰ 220011sin 2sin ln cos sin 222cos nx x x nx dx n n x
ππ⋅=⋅+⎰ 201cos(21)cos(21)04cos n x n x dx n x
π--+=+⎰ 22001cos(21)1cos(21)4cos 4cos n x n x dx dx n x n x
ππ-+=-⎰⎰ 2122001sin(21)1sin(21)(1)(1)4sin 4sin x y n n n y n y dy dy n y n y π
ππ=---+=---⎰⎰， 由 sin(21)12cos 2...2cos 2(1)sin n y y n y y
-=+++-, sin(21)12cos 2...2cos 2sin n y y ny y
+=+++, 得 2
0s i n (21)s i n 2
n y dy y ππ-=⎰, 20sin(21)sin 2
n y dy y ππ+=⎰; 故2
0ln cos cos 2I x nxdx π=⋅⎰1(1)4n n π-=- 。
Weierstrass 逼近定理的含参变量积分证法
按照下列步骤给出Weierstrass 逼近定理的另一个证明：
（1）1
211((1))n n C x dx --=-⎰,
证明：n C <
（2）设f 是[0,1]上的连续函数，并且(0)(1)0f f ==，当[0,1]x ∉时，定义()0f x =，
记2()(1)n n n Q x C x =- .
证明：1
1()()()n n P x f x t Q t dt -=+⎰是一个多项式,
而且lim ()()n n P x f x →∞
=在[0,1]上一致地成立； （3）当(0)(1)0f f ==的条件不成立时，证明 Weierstrass 逼近定理。
提示：（1）从不等式22(1)1n x nx -≥-,即可证得n C ≤
（2）在1
1()()()n n P x f x t Q t dt -=+⎰中作变量代换x t u +=，
并注意到f 在[0,1]外等于0，即知()n P x 是x 的多项式，利用f 在[0,1]上的一致连续性和（1）,即可证得lim ()()n n P x f x →∞=.
（3）在(0)(1)0f f ==的条件不成立时，考虑函数
()()(0)((1)(0))g x f x f f f x =---，(01)x ≤≤. 证明
因为1
12210(1)2(1)n n x dx x dx --=-⎰⎰202)n x dx ≥-
2
02)nx dx ≥-=>，
所以1211(
(1))n n C x dx --=-≤⎰ 由11()()()n n P x f x t Q t dt -=+⎰11()()x
n x f u Q u x du +-+=-⎰1
1()()n f u Q u x du -=-⎰， 可知()n P x 是x 的多项式；
由于1
1()()[()()]()n n P x f x f x t f x Q t dt --=+-⎰， 设()f x M ≤，所以 ()()n P x f x -
1()()()()()()n n f x t f x Q t dt f x t f x Q t dt δ
δδ---≤+-++-⎰⎰
1()()()n f x t f x Q t dt δ++-⎰ 112()()()()2()n n n M Q t dt f x t f x Q t dt M Q t dt δδδδ
---≤++-+⎰⎰⎰ 24(1)(1)()()()n n n MC f x t f x Q t dt δ
δδδ-≤--++-⎰，
再由()f x 在[2,2]-上一致连续，对任意0ε>，在01δ<<，
当12,[2,2]x x ∈-,且12x x δ-<时，便有12()()f x f x ε-<,
从而对任意[0,1]x ∈，当t δ<时，有[2,2]x t +∈-，
()()f x t f x ε+-<, 于是()()n
P x f x -24(1)(1)n n MC δδε≤--+， 对上述0ε>及选定的δ，存在正整数N ，当n N >时，有
224(1)(1)4)n n n MC δδδε--≤-<, 故有()()2n P x f x ε-<, 即得{()}n P
x 在[0,1]上一致收敛于()f x . （3）设()[0,1]f x C ∈,
考虑函数()()(0)((1)(0))g x f x f f f x =---， 利用（2）中的结果，存在多项式序列{()}n g x ,使得{()}n g x 在[0,1]上一致收敛于()g x ; 取()()(0)((1)(0))n n P x g x f f f x =++-， 则有多项式序列{()}n P x 在[0,1]上一致收敛于()f x .。