二项式定理和多项式定理
二项式定理展开次数小于一的多项式
二项式定理是代数中一个非常重要的定理，它可以用来展开任意次数的多项式。
在二项式定理中，当展开次数小于等于1时，我们可以通过简单的代数运算来得到展开式。
本文将会针对展开次数小于1的多项式进行讨论，并给出相应的例子和证明。
1. 二项式定理的基本形式我们先来回顾一下二项式定理的基本形式。
对于任意实数a和b以及自然数n，二项式定理的公式如下：\[ (a+b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1}b^1 + C_n^2a^{n-2}b^2 + ... + C_n^{n-1}a^1b^{n-1} + C_n^na^0b^n \]其中C表示组合数，其值为\( C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} \)。
这个公式可以用来展开任意幂次的二项式。
2. 展开次数小于1的多项式当我们试图展开一个多项式时，如果其展开次数小于1，那么实际上就是一个常数项，即展开式为多项式中的常数项。
举个简单的例子，如果我们要展开多项式\( (2+3)^0 \)，根据二项式定理，展开式就是1，因为\( (2+3)^0 = 1 \)。
3. 证明为了证明展开次数小于1的多项式的展开式为1，我们可以使用归纳法进行证明。
对于任意的自然数n，我们假设展开次数小于等于\( n-1 \)的多项式的展开式为1，即\( (a+b)^{n-1} = 1 \)。
那么当展开次数为n时，根据二项式定理，展开式为：\[ (a+b)^n = C_n^0a^n b^0 = 1 \]我们证明了展开次数小于1的多项式的展开式为1。
4. 例子以下我们来举几个具体的例子来验证我们的结论。
首先是\( (2+3)^0 \)，根据前面的讨论，展开式为1。
接下来是\( (4+5)^{-1} \)，同样根据前面的讨论，展开式也为1。
再来是\( (1+2)^{-2} \)，同样展开式为1。
我们可以通过这些例子来验证我们的结论。
5. 总结通过以上的讨论，我们可以得出结论：展开次数小于1的多项式的展开式为1。
利用二项式定理解决多项式问题
利用二项式定理解决多项式问题多项式问题一直是数学中的重要内容，而二项式定理则是解决这类问题的重要工具之一。
通过利用二项式定理，我们可以简化多项式的展开和计算过程，使得解决多项式问题变得更加高效和方便。
本文将介绍二项式定理的基本概念和应用，并通过具体例子来展示如何利用二项式定理解决多项式问题。
一、二项式定理的基本概念二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的幂在展开后的形式。
该定理可以表示为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n + C(n,1) * a^(n-1)b + C(n,2) * a^(n-2)b^2 + ...+ C(n,n-1) * ab^(n-1) + C(n,n) * b^n其中，a和b是任意实数或复数，n是非负整数，C(n,k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的方案数。
二、二项式定理的应用1. 多项式展开利用二项式定理，我们可以将一个多项式展开成一系列项的形式。
例如，对于一个三次多项式(x + y)^3，通过应用二项式定理，我们可以得到展开式：(x + y)^3 = C(3,0) * x^3 + C(3,1) * x^2y + C(3,2) * xy^2 + C(3,3) * y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3通过展开多项式，我们可以更好地理解多项式的结构和性质，进而解决与多项式相关的问题。
2. 计算组合数在二项式定理中，组合数C(n,k)表示了从n个不同元素中取出k个元素的方案数。
通过计算组合数，我们可以解决一些实际问题。
例如，假设有10个人参加一场比赛，需要从中选出3个人组成一支队伍，那么选取不同人数的方案数可以通过组合数来计算。
具体地，方案数可以表示为C(10,3) = 120。
3. 确定多项式系数当我们知道一个多项式在展开后的形式，并且已知其中的某些项的系数时，可以通过二项式定理来确定其他项的系数。
例如，假设我们有一个五次多项式(x + 2y)^5，在展开后的形式中，已知其中的一项为120x^3y^2，我们可以利用二项式定理来确定其他项的系数，进而还原整个多项式的表达式。
3-二项式定理
2 =2
50
2+3×16
16 16 r 16 16 = 4 ⋅ 8 = 4(1 + 7) = 41 + ∑ r 7 r =1
显然再过 10 是星期二.
100
2.4 牛顿二项式定理
定理 令 α 是一个实数。则对于所有满足 0 ≤ x < y 的x和y 其中
n
再令 x = 1, 即得结论.
2.2 若干等式及其组合意义
n k = n(n + 1)2n−2. 10 设 n为自然数,则有 ∑ k k=1 n n k−1 n−1 证明: 在n(1 + x) = ∑k x 两端乘 x ,得 k=1 k
n 2
(x
1
+ x2 + L+ xt ) = ∑
n
t i i =1
n n n x1 x2 Lxtn n n Ln t ∑n =n 1 2
1 2
t
定理: 定理 ( x1 + x2 + L+ xt )n 展开式的项数等于
n + t −1 ,而这些项系数之和为 t n . n
即(x+y)n=
∑
n n -k k x y k k=0
n
其组合意义是：将n个相异的球放入两个不同的盒子中， 其中要求x盒放入n-k个求，y盒放入k个球，且同盒的球 不分次序，其方案数为：
n! k!(n − k)!
2.1 二项式定理
二项式定理的几个其它形式: 二项式定理的几个其它形式 (1) (x+y)n=
∞
2.4 牛顿二项式定理
设
如何利用二项式定理处理多项式问题
如何利用二项式定理处理多项式问题二项式定理是一个适用于处理多项式问题的重要数学工具。
它描述了如何将一个二元多项式的n次方展开成一个和式，可用于求解各种复杂的数学问题，如求多项式的系数、计算多项式的值、证明恒等式等。
本文将详细介绍如何利用二项式定理处理多项式问题。
一、二项式定理的表述二项式定理又称为牛顿-莱布尼兹公式，表述为：$$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n C_n^ix^i y^{n-i}$$其中，$C_n^i$表示从n个不同元素中选取i个元素的组合数，也即是二项式系数，它满足以下等式：$$C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}$$二、求解多项式系数二项式定理最广泛的应用之一就是用于求解多项式的系数。
多项式系数是指多项式中每一项的系数，如4x^3+3x^2-2x+1中的系数分别为4、3、-2和1。
通过利用二项式定理展开多项式，可以轻松地求得多项式中每一项的系数。
假设我们要展开的多项式为：$$(x+y)^4$$那么，我们可以使用二项式定理展开它：$$(x+y)^4=C_4^0x^4y^0+C_4^1x^3y^1+C_4^2x^2y^2+C_4^3x^1y^3+ C_4^4x^0y^4$$然后，我们就可以直接提取出多项式每一项的系数：$$C_4^0=1$$$$C_4^1=4$$$$C_4^2=6$$$$C_4^3=4$$$$C_4^4=1$$因此，我们可以将展开后的多项式写成：$$(x+y)^4=1x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+1y^4$$这样，我们就成功地求出了多项式中每一项的系数。
三、利用二项式定理计算多项式的值除了可以求解多项式的系数之外，二项式定理还可以用于计算多项式在某个特定点的值，这在数学分析和离散数学中都是非常常见的问题。
计算多项式的值需要我们将多项式的每一项均按照指数次幂排序，然后用目标点代入每一项中的变量并相加，即可得到多项式在目标点的值。
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理是数学中非常重要的概念，它们被用于解决
各种数学问题，如有解和无解等等。
二元齐次对称多项式是一种可以用来区分开学术问题的多项式，它由两个变量
组成，一个是可变的完全多项式，另一个是不变的实因式。
它的形式为ax^2+bx+c，其中，a、b、c分别是常数项、二阶项和一阶项。
由此可见，二元齐次对称多项式
可以用来表示学术问题中的复杂变化，以及计算多项式值的结果。
二项式定理是以莱布尼茨多项式（莱布尼茨级数）为基础的定理，指的是在满
足条件的情况下，将多项式的幂改写成递推形式，从而解决多项式分解式或其它问题。
它通常以二元齐次多项式的形式表示，写作ax^2+bx+c，其中的a、b、c分别
是常数项、二阶项和一阶项。
二项式定理提供了一种快速有效的分解式，能够使用该定理快速地求出高次多项式求解的结果，使得高次多项式在数学研究中显得更加便利。
综上所述，二元齐次对称多项式与二项式定理是数学中重要的概念，在了解和
解决学术问题方面都有着重要作用。
二元齐次对称多项式和二项式定理用于表示复杂变化以及计算多项式值的结果，以及更快地求出高次多项式求解的结果，从而使得学术问题得以更快有效地解决。
二项式定理复习理
a 的指数由 n 逐项减少到 0，b 的指数由 0 逐项增加到 n， 简称“一降二升”；
(3)注意区分“项”、“项数”、“系数”、“二项式系数”等概念 的区别．
2．二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一
性质直接由公式 Ckn＝Cnn－k 得到．
(2)增减性 ∵Ckn＝n－kk＋1Ckn－1，
n＋1 ∴当 k＜ 2 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知
后半部分是逐渐减小的．
(3)最大值
当 n 为偶数时，中间一项(第 n2＋1 n
项)的二项式系数最
大，最大值为
C
2 n
.
当 n 为奇数时，中间两项(第
n－2 1＋1
【点评】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设 第 r＋1 项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列 出不等式组并解此不等式组求得．
变式题
[2009·全国卷Ⅰ]
x－y
10
的展开式中，x7y3
的系数与 x3y7 的系数之和等于________．
【思路】根据二项展开式的通项公式分别找到所求 两项的系数即可．
例 3 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1) a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)a0＋a1＋a2＋…＋a7.
【思路】利用赋值法可求得．
【解答】令 x＝1 则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7 ＝－1，①
【解答】 B 对于 Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－1xr ＝(－1)rC5rx10－3r，对于 10－3r＝4， ∴r＝2，则 x4 的项的系数是 C25(－1)2＝10.
二项式定理与多项式展开
二项式定理与多项式展开二项式定理和多项式展开是高中数学中的重要概念，它们在代数学习中扮演着极为重要的角色。
二项式定理是指将一个二项式的幂展开成一系列项的和的规律，而多项式展开则是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。
本文将详细介绍二项式定理和多项式展开的概念、公式及应用。
一、二项式定理的概念与公式二项式是指由两个项构成的代数式，常写成(a+b)^n的形式，其中a和b为实数，n为非负整数。
二项式定理是指将(a+b)^n展开成一系列项的和的规律。
根据二项式定理，当n为非负整数时，展开的式子将由多个组合而成的项组成，而每个组合项的系数则和展开式中的位置有关。
二项式定理可以表示为以下公式：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ … + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)在展开式中，每一项的次数和系数满足以下规律：- 当k为偶数时，系数为正整数。
- 当k为奇数时，系数为负整数。
二项式定理可以用于求解二项式的幂及其性质，例如二次方、三次方等。
二、多项式展开的概念与公式多项式是指由多个项构成的代数式，其中每个项包含变量的幂和系数。
多项式展开是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。
多项式展开涉及到各种计算方法，比如乘法法则、分配率等。
下面以一个简单的示例来说明多项式展开。
假设我们有一个多项式表达式为(a+b)^3，按照展开的规则，我们可以将其展开为：(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3在展开的过程中，我们需要运用乘法法则和分配率，逐步计算得到每个项的系数。
多项式展开不仅可以用于简化多项式的形式，还能帮助我们解决实际问题。
利用二项式定理展开多项式的方法和技巧
利用二项式定理展开多项式的方法和技巧在数学中，二项式定理是一种非常有用的工具。
它可以用于展开任意次数的多项式，从而简化复杂的计算过程。
本文将介绍利用二项式定理展开多项式的方法和技巧。
一、二项式定理的表达式和理解二项式定理的一般表达式如下：$$(a + b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2}b^2 + ... + C_n^r a^{n-r} b^r + ... + C_n^n a^0 b^n$$其中，$$C_n^r$$是组合数，表示从n个元素中选取r个元素的组合数。
理解二项式定理的关键是明确其中的模式。
在定理的展开式中，每一项都有两个分量：一个是$$a^{n-r}$$，另一个是$$b^r$$。
这两个分量的幂次之和一定为n，且随着r的增大而交替变化，从而产生类似于二项式的形式。
二、利用二项式定理展开多项式的方法和技巧1. 确定多项式的次数要利用二项式定理展开一个多项式，首先需要确定该多项式的次数n。
这个次数决定了展开式中的项数。
2. 确定各项的系数展开后的每一项都有一个系数，这个系数可以通过组合数$$C_n^r$$来确定。
3. 识别多项式中的各项分解给定的多项式，并识别每一项的形式。
例如，对于$$ (2x +3)^3$$，可以识别出三项为$$2x^3$$，$$3^3$$和$$3 * 2x^2$$。
4. 利用二项式定理展开多项式根据二项式定理展开式的形式，将识别出的各项分别展开，并相加得到最终的展开式。
例如，上述的$$ (2x + 3)^3$$可以展开为：$$C_3^0 (2x)^3 3^0 + C_3^1 (2x)^2 3^1 + C_3^2 (2x)^1 3^2 + C_3^3 (2x)^0 3^3$$以上就是利用二项式定理展开多项式的方法和技巧。
通过理解二项式定理的表达式和模式，并运用展开式中各项的系数和形式，我们可以简化多项式的计算过程，从而更高效地进行数学运算。
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二项式定理和多项式定理
1．固定分组问题
例1 将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种：
（1）4位学生每人3本；
（2）甲、乙各得4本，丙、丁各得2本；
（3）甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本．
解 （1）先从12本书中选取3本分给甲，有3
12C 种方法；当甲分得3本书后，
从剩下的9本书中选取3本分给乙，有3
9C 种方法；类似可得,丙、丁的分法分别
有36C 、33C 种,由乘法原理得所求分法共有312C 39C 36C 33
C =4
)!3(!
12=369600种； （2）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为
484
12C C 2224
C C =!
2!2!4!4!
12⋅⋅⋅=207900；
（3）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为
47512C C 1
1
23C C =!
1!2!4!5!
12⋅⋅⋅=83160．
在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的本数，我们称之为固定分组问题．我们将这个问题总结成如下一般定理：
定理1 将n 个不同的元素分成带有编号从1，2，…，r 的r 个组：1A ，，， 2A r A ，使得1A 有n 1个元素，2A 有2n 个元素，…，r A 有r n 个元素，n n n n r =+++ 21，则不同的分组方法共有
!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ 种．
证明 先从n 个不同的元素中选取n 1个分给1A ，这一步有1
n n C 种方法；再从
剩下的1n n -个元素中选取2n 个分给2A ，这一步有2
1n n n C -种方法；如此继续下去，最后剩下的r n 个元素分给r A ，有r r
n n C 种方法，由乘法原理得这样的固定分组方法共有1n n C 21n n n C -…r r n n C =
!
!!!
21r n n n n 种．证毕．
我们将定理1的分配问题简称为（r n n n n ，，，； 21）固定分组问题．
2．不尽相异元素的全排列 多项式定理
固定分组数!
!!!21r n n n n ⋅⋅⋅ 有多种组合学意义，除了表示固定分组的方法数
外，它还有以下两种表示意义：
（1）不尽相异元素的全排列种数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅
有r 类元素，其中第k 类元素有k n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，不同类元素互不相同，n n n n r =+++ 21。
则这r 类n 个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数
!
!!!
21r n n n n 。
．
例2 （江苏卷（理））今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）．
解 9个球排成一列要占9个位置，从9个位置中选取2个放红球，有29C 种
方法；再从其余7个位置中选取3个放黄球，有37C 种方法；最后在剩下的4个位置上全放白球，有44C 种方法，由乘法原理得所求的排列方法共有
29
C 37
C 44
C =
!
4!3!2!
9⋅⋅=1260种． 评注：对于固定分组数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ ，除了表示固定分组的方法数外，它
还表示r 类共n 个（不尽相异）元素的全排列数，其中第k 类元素有k n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，
n n n n r =+++ 21．
（2）多项式定理的系数!
!!!21r n n n n ⋅⋅⋅
在n
r x x x ）（+++ 21的展开式中，项r n
r n n x x x 2121的系数等于固定分组数
!
!!!21r n n n n 。
例如在n
b a ）（+的展开式中，项m n m b a -的系数为
)!
(!!m n m n -=m
n C ，这正是我们所熟悉的二项式系数。
有如下的多项式定理：
多项式定理 设n 是正整数，则对一切实数 x 1 ，x 2，……，x r 有
!
!!!
212121r n n n n n
r n n n n x x x r ∑=+++=
+++）（r n r n n x x x 2
121 （*）
其中求和是对满足方程 n 1+n 2+……n r = n 的一切非负整数n 1，n 2，……，n t 来求。
因为r 元方程n 1+n 2+……n r = n 的非负整数共有n
r n C 1-+组，所以在
n
r x x x ）（+++ 21的展开式中共有n
r n C 1-+个不同的项。
多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令r = 2 就得到了二项式定理 。
例 3 写出
10
)
(w z y x +++的展开式中项
w
z y x 234与项
2233w z y x 的系数．
解 先求项w z y x 2
34的系数．10)(w z y x +++是10个括号的连乘积，
将这10个括号看成10个元素，从中先取出4个括号作为第一组，在每个括号中都取x ；再从剩下的6个括号中取出3个作为第二组，在每个括号中都取y ；再从剩下的3个括号中取出2个作为第三组，在每个括号中都取z ；最后的剩下的1个括号作为第四组，从中取w ．这样取出的4个x ，3个y ，2个z ，1个w 的连乘积就是项w z y x
234
，由定理1知，上述取法就是（10；4，3，2，1）固定
分组问题，于是在展开10个括号的连乘积时，项w z y x 2
3
4
有!
1!2!3!4!
10⋅⋅⋅=12600
个同类项，所以此项的系数是
12600．同理可得项
2233w z y x 的系数是!
2!2!3!3!
10⋅⋅⋅=25200．
例4 有甲、乙、丙三项不同的任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选取4人担任这三项工作，有多少种不同的分配方法？
解：从10人中选取4人，有种方法，4
10C 对于取定的4人，让他们担任这三项工作，为（4；2，1，1）固定分组问题，故所求分配方法共有2520!
1!1!2!
44
10
=⋅⋅⨯C 种．
注：一般地，设有1A 、2A 、…，r A 共r 项不同的工作，工作i A 需i n 个人承担（), ,2 ,1r i =，n n n n r =+++ 21，现从m 个人中选取n 个人做这r 项工
作（n m ≥），则不同的分配工作方法共有!
!!!
21r n
m n n n n C ⨯
种．
例5 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
（A ）40种 （B ）60种 （C ）100种 （D ）
120种
解 从5人中选取4人，有种方法；
4
5C 对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，为（4；2，1，1）固定分组问题，由定理1及乘法原理得所求选派
方法共有601
1122445=C C C C 种．故选B ．
例6 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种
解 放球方法即分组方法．满足条件的放球方法可分成两类：①（4；1，3）固定分组问题；②（4；2，2）固定分组问题，它们分别有!3!1!4⋅，!
2!2!4⋅种放球方法，故所求放球方法共有
!3!1!4⋅+!
2!2!
4⋅=4+6=10种．故选A ． 评注：对于类似例3这样的不能直接按固定分组解决的问题，如果能够按各个组（盒子）允许放的元素（球数）将问题分成互不相交的若干类，使得每一类都是固定分组问题，则可按固定分组分别计算这些类再相加即可．
例7 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
（A ）36 种 （B ）48 种 （C ）96 种 （D ）192种
解 因每人都是从4门课程中选课，故甲、乙、丙3人的选课方法分别有
343424C C C 、、种，由乘法原理得所求选修方案共有3
43424C C C =96种．故选C.
例8将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A.540
B.300
C.180
D.150 解：用“捆绑法”可得所求结果为
！！ 32
1 32
3253
5C C C
=60+90=150 选D 。