二项式定理与多项式定理
利用二项式定理解决多项式问题
利用二项式定理解决多项式问题多项式问题一直是数学中的重要内容，而二项式定理则是解决这类问题的重要工具之一。
通过利用二项式定理，我们可以简化多项式的展开和计算过程，使得解决多项式问题变得更加高效和方便。
本文将介绍二项式定理的基本概念和应用，并通过具体例子来展示如何利用二项式定理解决多项式问题。
一、二项式定理的基本概念二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的幂在展开后的形式。
该定理可以表示为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n + C(n,1) * a^(n-1)b + C(n,2) * a^(n-2)b^2 + ...+ C(n,n-1) * ab^(n-1) + C(n,n) * b^n其中，a和b是任意实数或复数，n是非负整数，C(n,k)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的方案数。
二、二项式定理的应用1. 多项式展开利用二项式定理，我们可以将一个多项式展开成一系列项的形式。
例如，对于一个三次多项式(x + y)^3，通过应用二项式定理，我们可以得到展开式：(x + y)^3 = C(3,0) * x^3 + C(3,1) * x^2y + C(3,2) * xy^2 + C(3,3) * y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3通过展开多项式，我们可以更好地理解多项式的结构和性质，进而解决与多项式相关的问题。
2. 计算组合数在二项式定理中，组合数C(n,k)表示了从n个不同元素中取出k个元素的方案数。
通过计算组合数，我们可以解决一些实际问题。
例如，假设有10个人参加一场比赛，需要从中选出3个人组成一支队伍，那么选取不同人数的方案数可以通过组合数来计算。
具体地，方案数可以表示为C(10,3) = 120。
3. 确定多项式系数当我们知道一个多项式在展开后的形式，并且已知其中的某些项的系数时，可以通过二项式定理来确定其他项的系数。
例如，假设我们有一个五次多项式(x + 2y)^5，在展开后的形式中，已知其中的一项为120x^3y^2，我们可以利用二项式定理来确定其他项的系数，进而还原整个多项式的表达式。
如何用二项式定理解决多项式展开问题
如何用二项式定理解决多项式展开问题多项式展开问题是高中数学中的一个常见问题，它要求我们将一个多项式展开成为某一指数次幂的形式。
而在解决这类问题时，二项式定理是一个非常有用的工具。
二项式定理表述了如下的公式：对任意的实数a、b和正整数n，有以下等式成立：$(a + b)^n = C_n^0 \cdot a^n \cdot b^0 + C_n^1 \cdot a^{n - 1} \cdotb^1 + C_n^2 \cdot a^{n - 2} \cdot b^2 + \ldots + C_n^{n - 1} \cdot a^1 \cdot b^{n - 1} + C_n^n \cdot a^0 \cdot b^n$这个公式可以帮助我们将一个多项式展开成各个项的形式，从而更方便地进行计算。
以下是如何用二项式定理解决多项式展开问题的详细步骤：步骤一：确定给定的多项式首先，我们需要确定给定的多项式，并将其写成二项式的形式。
例如，假设我们需要将 $(a + b)^3$ 展开，那么我们可以将其表示为$C_3^0 \cdot a^3 \cdot b^0 + C_3^1 \cdot a^2 \cdot b^1 + C_3^2 \cdot a^1 \cdot b^2 + C_3^3 \cdot a^0 \cdot b^3$。
步骤二：确定展开的指数次数接下来，我们需要确定展开后的多项式的指数次数。
根据二项式定理，展开后的多项式的指数次数将会是原多项式的次数加一。
在本例中，展开后的多项式将是一个三次多项式。
步骤三：确定每一项的系数利用组合数的计算公式，我们可以确定每一项的系数。
在二项式定理中，每一项的系数可以通过组合数 $C_n^k$ 来计算，其中n是二项式的指数次数，k是当前项的指数。
例如，对于 $(a + b)^3$ 的展开式，系数可以通过计算组合数 $C_3^0$、$C_3^1$、$C_3^2$和$C_3^3$ 来确定。
如何利用二项式定理处理多项式问题
如何利用二项式定理处理多项式问题二项式定理是一个适用于处理多项式问题的重要数学工具。
它描述了如何将一个二元多项式的n次方展开成一个和式，可用于求解各种复杂的数学问题，如求多项式的系数、计算多项式的值、证明恒等式等。
本文将详细介绍如何利用二项式定理处理多项式问题。
一、二项式定理的表述二项式定理又称为牛顿-莱布尼兹公式，表述为：$$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n C_n^ix^i y^{n-i}$$其中，$C_n^i$表示从n个不同元素中选取i个元素的组合数，也即是二项式系数，它满足以下等式：$$C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}$$二、求解多项式系数二项式定理最广泛的应用之一就是用于求解多项式的系数。
多项式系数是指多项式中每一项的系数，如4x^3+3x^2-2x+1中的系数分别为4、3、-2和1。
通过利用二项式定理展开多项式，可以轻松地求得多项式中每一项的系数。
假设我们要展开的多项式为：$$(x+y)^4$$那么，我们可以使用二项式定理展开它：$$(x+y)^4=C_4^0x^4y^0+C_4^1x^3y^1+C_4^2x^2y^2+C_4^3x^1y^3+ C_4^4x^0y^4$$然后，我们就可以直接提取出多项式每一项的系数：$$C_4^0=1$$$$C_4^1=4$$$$C_4^2=6$$$$C_4^3=4$$$$C_4^4=1$$因此，我们可以将展开后的多项式写成：$$(x+y)^4=1x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+1y^4$$这样，我们就成功地求出了多项式中每一项的系数。
三、利用二项式定理计算多项式的值除了可以求解多项式的系数之外，二项式定理还可以用于计算多项式在某个特定点的值，这在数学分析和离散数学中都是非常常见的问题。
计算多项式的值需要我们将多项式的每一项均按照指数次幂排序，然后用目标点代入每一项中的变量并相加，即可得到多项式在目标点的值。
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理
二元齐次对称多项式与二项式定理是数学中非常重要的概念，它们被用于解决
各种数学问题，如有解和无解等等。
二元齐次对称多项式是一种可以用来区分开学术问题的多项式，它由两个变量
组成，一个是可变的完全多项式，另一个是不变的实因式。
它的形式为ax^2+bx+c，其中，a、b、c分别是常数项、二阶项和一阶项。
由此可见，二元齐次对称多项式
可以用来表示学术问题中的复杂变化，以及计算多项式值的结果。
二项式定理是以莱布尼茨多项式（莱布尼茨级数）为基础的定理，指的是在满
足条件的情况下，将多项式的幂改写成递推形式，从而解决多项式分解式或其它问题。
它通常以二元齐次多项式的形式表示，写作ax^2+bx+c，其中的a、b、c分别
是常数项、二阶项和一阶项。
二项式定理提供了一种快速有效的分解式，能够使用该定理快速地求出高次多项式求解的结果，使得高次多项式在数学研究中显得更加便利。
综上所述，二元齐次对称多项式与二项式定理是数学中重要的概念，在了解和
解决学术问题方面都有着重要作用。
二元齐次对称多项式和二项式定理用于表示复杂变化以及计算多项式值的结果，以及更快地求出高次多项式求解的结果，从而使得学术问题得以更快有效地解决。
二项式定理与多项式展开
二项式定理与多项式展开二项式定理和多项式展开是高中数学中的重要概念，它们在代数学习中扮演着极为重要的角色。
二项式定理是指将一个二项式的幂展开成一系列项的和的规律，而多项式展开则是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。
本文将详细介绍二项式定理和多项式展开的概念、公式及应用。
一、二项式定理的概念与公式二项式是指由两个项构成的代数式，常写成(a+b)^n的形式，其中a和b为实数，n为非负整数。
二项式定理是指将(a+b)^n展开成一系列项的和的规律。
根据二项式定理，当n为非负整数时，展开的式子将由多个组合而成的项组成，而每个组合项的系数则和展开式中的位置有关。
二项式定理可以表示为以下公式：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2+ … + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)在展开式中，每一项的次数和系数满足以下规律：- 当k为偶数时，系数为正整数。
- 当k为奇数时，系数为负整数。
二项式定理可以用于求解二项式的幂及其性质，例如二次方、三次方等。
二、多项式展开的概念与公式多项式是指由多个项构成的代数式，其中每个项包含变量的幂和系数。
多项式展开是将一个多项式进行拆解和合并，以求得更简化的形式。
多项式展开涉及到各种计算方法，比如乘法法则、分配率等。
下面以一个简单的示例来说明多项式展开。
假设我们有一个多项式表达式为(a+b)^3，按照展开的规则，我们可以将其展开为：(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3在展开的过程中，我们需要运用乘法法则和分配率，逐步计算得到每个项的系数。
多项式展开不仅可以用于简化多项式的形式，还能帮助我们解决实际问题。
利用二项式定理展开和简化多项式表达式
利用二项式定理展开和简化多项式表达式多项式是代数学中常见的数学表达式，可由数、未知数以及各种运算符号组成。
在处理多项式时，利用二项式定理可以帮助我们展开和简化表达式。
本文将以二项式定理为基础，介绍如何利用该定理来展开和简化多项式表达式。
一、二项式定理的基本概念二项式定理是代数学中重要的定理之一，它描述了如何展开一个二项式的幂。
具体而言，对于任意实数a和b以及非负整数n，二项式定理可以表示为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n其中C(n, k)表示组合数，即从n个不同对象中选择k个对象的组合数。
它可以通过以下公式计算：C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)其中n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1。
二、展开多项式表达式利用二项式定理，我们可以展开一个多项式表达式，将其转化为一系列项的和。
展开的过程中，我们需要按照幂次的降序排列各项，并计算每一项的系数。
例如，考虑将表达式(x + y)^3展开：(x + y)^3 = C(3, 0)x^3 y^0 + C(3, 1)x^2 y^1 + C(3, 2)x^1 y^2 + C(3,3)x^0 y^3= x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3可以看出，展开后的多项式表达式共有4项，每一项由不同的幂次组成，并且每一项的系数都可以通过组合数计算得出。
三、简化多项式表达式在展开多项式表达式后，我们有时需要对其进行简化，即将各项合并，去除冗余的项，并化简各项的系数。
例如，考虑将表达式(x + 2)^4展开后进行简化：(x + 2)^4 = x^4 + 4x^3 2 + 6x^2 (2^2) + 4x(2^3) + 2^4= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16可以看出，通过合并同类项，并根据幂次和系数的关系，我们可以将展开后的多项式表达式简化为一个简洁的形式。
利用二项式定理解决多项式系数问题
利用二项式定理解决多项式系数问题在代数学中，二项式定理是一个基本的公式，描述了将两个项相加的幂的展开式。
但是它也可以用于解决多项式系数问题，因为多项式系数可以表示成二项式系数的和。
本文将详细讨论如何利用二项式定理解决多项式系数问题。
首先，我们来回顾一下二项式定理。
二项式定理表示：$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$其中，$\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个元素中选出 $k$ 个元素的组合数，公式为：$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$现在考虑一个多项式$(x+y)^n$，我们想要求出其中某一项的系数。
假设这一项是 $ax^by^c$，其中 $a,b,c$ 都是整数。
根据二项式定理，我们可以展开 $(x+y)^n$ 并且找到具有这个项（$ax^by^c$）的项：$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$$现在，我们来考虑如何找到具有 $ax^by^c$ 这一项的系数 $a$。
我们需要找到哪些 $k$ 可以使得 $x^{n-k} y^k$ 的指数分别为 $b$ 和 $c$。
我们可以得到下面这个方程：$$n-k = b, k = c$$解这个方程可以得到：$$k = c, n-k = b \Rightarrow k = c, n-b = k \Rightarrow k = c, n-b = c$$因此，我们可以计算出 $k$ 的值，而这个值正是 $x^{n-b} y^c$ 的系数，即：$$\binom{n}{c}$$因此，系数 $a$ 的值就是 $\binom{n}{c}$。
举个例子，假设我们要求解 $(x+y)^5$ 中 $x^2 y^3$ 的系数。
根据上面的方法，我们可以得到：$$\binom{5}{3} = \frac{5\times4\times3}{3\times2\times1} = 10$$因此，$x^2 y^3$ 的系数是 $10$，即 $(x+y)^5$ 中 $x^2 y^3$ 的系数为 $10$。
由二项式定理到多项式定理的推广研究
由二项式定理到多项式定理的推广研究滕旭【摘要】多项武定理是应用广泛的一个内容,文献资料研究并不多见.在由二项式定理推广研究三项式定理或者四项式定理的现有文献研究结果的基础上,从定理证明,通项公式,展开式系数性质等方面对多项式定理作了研究与总结.【期刊名称】《曲靖师范学院学报》【年(卷),期】2017(036)006【总页数】5页(P1-5)【关键词】多项式定理;通项公式;展开式系数【作者】滕旭【作者单位】云南大学旅游文化学院信息科学与技术系,云南丽江674100【正文语种】中文【中图分类】O122.4二项式定理是中学阶段重要的学习内容，在中学阶段通过组合数学的知识研究了展开式通项公式及展开式系数的性质．然而二项式定理仅仅提供了组合数学的应用方法，更具应用价值的是多项式定理，因此许多学者在二项式定理的基础上研究了三项式，四项式定理的相关问题，有的学者还专门就二项式系数(即“杨辉三角”)进行了详细的研究．孙幸荣，曹学锋将二项式定理推广，给出了多项式定理，并将实数二项式定理推广为可交换矩阵的二项式定理来求矩阵的幂[1]．毛研，孟迪，谷峰研究了三项、四项展开式系数的性质，并利用系数的性质得到了一组组合数恒等式[2,3]．赵生筱，余智敏，何春玲 ,刘辉，邓海云，吴宇，徐文洁等学者研究了杨辉三角的推广，本质上是从不同角度将二项式的系数性质推广到三项式和四项式[4-7]．张青娟，潘东海，张艺萍，杨凡则重点研究了二项式系数的计算方法，对本文研究任意多项式的系数问题提供了有益的启示[8]．上面文献的研究多局限于三项式，四项式的某个方面进行专门的研究，对任意多项式的系统研究尚不多见，本文以二项式定理为线索，逐步推广至任意多项式进行研究分析．定理1 二项式定理推广，可改写为：(a1+a2 )n=∑n1+n2=nn1≥0,n2≥0a1n1a2n2.证明根据多项式乘法，(a+b)n的展开式每一项是n个(a+b)中取a或b相乘得到，设取k个b,则取n-k个a，从而得到项bk an-k，由于不确定那个(a+b)取b，项bk an-k共有个，合并后为称作二项展开式的通项公式，记作这里取b的个数0≤k≤n，因此共有n+1项．由通项公式可知成立．设k=n2,n-k=n1，则即可改写为(a1+a2 )n=∑n1+n2=nn1≥0,n2≥0a1n1a2n2.定理2 (多项式定理)(a1+a2+…+am )n=∑n1+n2+…+nm=nn1≥0,n2≥0,…,nm≥0a1n1a2n2…am nm.证明同上面证明二项式定理的方法，先得到多项式展开式的通项公式：T(n1,n2,…,nm)=.将组合数公式代入并化简得：T(n1 ,n2,…,nm)=a1n1a2n2amnm.由通项公式知：(a1+a2+…+am)n=∑n1+n2+…+nm=nn1≥0,n2≥0,…,nm≥0a1n1a2n2…amnm成立．多项式展开式的系数称为多项式系数，m=2时即为我们熟知的二项式系数为了研究系数的对称性，我们应当先考虑系数的总数(展开式中的项数)．显然，m=2时，二项展开式共有n+1项，下面讨论任意多项式展开式的项数．m=3时，将a2+a3作为一项，先按二项式展开，代入通项公式为因此三项展开式的项数为：1+2+3+…+n+(n+1)=由此猜想：对任意的m项展开式的项数是下面用数学归纳法证明：(为了方便，项数记作Nm)前面已经验证m=2时结论成立．假设m=p时结论成立m=p+1时，将a2+…+ap+1作为一项，先按二项式展开，代入通项公式为每项中含有一个p项式，利用归纳假设，因此p+1项展开式的项数为从而，对任意的m=2时，讨论二项式系数的对称性与最大值：如图1所示，二项式系数与图中线段上的实点对应，根据计算公式，二项式系数关于线段中心对称，并且在中心处或中心附近取得最大值．线段的方程为n1+n2=n，线段的中点为因此若n=2k,k∈Z时，当 n1=n2==k时，二项式系数取最大值；若n=2k+1,k∈Z时，当 n1==k或n1==k+1时，二项式系数取最大值．m=3时，讨论三项式系数的对称性与最大值：如图2所示，三角形内的实点个数为其结果与前文中项的个数相吻合．三项式系数与图中三角形及区域内的实点对应，根据计算公式，三项式系数关于三角形中心对称，并且在中心处或中心附近取得最大值．三角形平面的方程为n1+n2+n2=n，三角形的中心为因此n=3k,k∈Z时，当n1=n2=n3==k时，三项式系取最大值；若n=3k+1,k∈Z时，当 n1,n2,n3其中两个取k，另一个取k+1时，三项式系数取最大值；若n=3k+2,k∈Z时，当 n1,n2,n3其中一个取k，另两个取k+1时，三项式系取最大值．由以上两种情形，猜想：多项式系数关于向量空间的中心点对称，且在中心点处或中心点最近的点处取最大值．因此，记n=mk+r,k∈Z,r∈Z,0≤r≤m-1，当n1,n2,…,nm其中m-r个取k，另r个取k+1时，多项式系数取最大值，显然共有个最大值．(注：对n1,n2,…,nm，若仅取其中三个为变量即可转化为上述情形二，对情形二，若仅取其中两个为变量即可转化为情形一)．证明要证原结论成立，只须证明n1 !n2 !…nm !相同条件下取得最小值即可．不妨设n1≤n2≤…≤nm且k=q1=q2=…=qm-r<k+1=qm-r+1=qm-r+2=…=qm，此时若ni>qi,nj<qj 则i≥j．当任意(n1,n2,…,nm)≠(q1,q2,…,qm)时：对于= .由于i≥j，上式分子中各个因数均大于分母中的各个因数，而分子、分母中的因数个数之差是∑ni>qi(ni-qi)-∑nj<qj(qj-nj) =∑ni≥qi(ni-qi) +∑nj≤qj(nj-qj )=∑1≤i≤m(ni-qi ) =∑1≤i≤mni -∑1≤i≤mqi =0，即分子与分母中因数的个数相同．显然总有=>1即n1 !n2 !…nm !>q1 !q2 !…qm !成立．综上所述：当(n1,n2,…,nm)=(q1,q2,…,qm)时，n1 !n2 !…nm !取得最小值，多项式系数取得最大值，问题得证[9-11]．m=2时，讨论二项式系数的递推公式，如图3所示，将每个实点对应的二项式系数计算出来即为著名的杨辉三角，体现了二项式系数的递推关系为或=+ .m=3时，讨论三项式系数的递推公式，如图4所示，依次取n=1,2…,k得到一系列三角形区域，每个三角形区域内的整数点对应于三项式系数．由这一系列三角形依次排列就可以构成一个三棱锥，此三棱锥的三个侧面(nk=0,k=1,2,3)分别就是上面的杨辉三角，而此三棱锥就是文献[4]中的三项式系数塔，下一层的角形区域内系数等于上一层中与之最近的三个系数之和．设n1=k,n2=m,n3=n-k-m则由此体现的递推关系为：.将组合数公式代入得到另一种形式为：=++ .由此猜想：=++…+ .证明(a1+a2+…+am )n=(a1+a2+…+am )n-1 (a1+a2+…+am )记(a1+a2+…+am )n-1的通项为则：(a1+a2+…+am )n的通项为：.=++…+成立[12]．m=2时，讨论二项式系数的和：(1)总和(2)奇数项系数之和等于偶数项系数之和m=3时，讨论三项式系数的和：(1)总和若n1为常量，记p=n2+n3则：.同理：若n2,n2为常量有类似的结论．(2) n1分别取偶数和奇数时的和：同理：对n2或n3，若分别取奇数和偶数有类似的结论．由此猜想：对任意的m，多项式系数的和有如下结论：(1)总和若n1, n2,…,nm部分为常量，不妨设n1, n2,…, nr为常量，记p=nr+1+nr+2…nm则：==(m-r)p .(2)若n1,n2,…, nm中某个变量分别取为奇数和偶数的和(不妨设nr分别为奇数和偶数)：=,k∈Z;,k∈Z.证明对(a1+a2+…+am )n=∑n1+n2+…+nm=nn1≥0,n2≥0,…,nm≥0a1n1a2n2…amnm中取a1=a2=…=am=1即可得结论(1)成立．设.对a1, a2,…, am，取ar=-1，其它的取1得：S1-S2=(m-2)n，由结论(1)知：S1+S2=mn，两式联立即可得结论(2)成立．【相关文献】[1] 孙幸荣，曹学锋.二项式定理的推广及应用[J].广西教育学院学报，2004，19(5)：53-54.[2] 毛妍，谷峰.三项式展开式的性质及应用[J].杭州师范大学学报：自然科学版，2014，13(3)：262-267.[3] 孟迪，谷峰.四项式展开式的性质及应用[J].杭州师范大学学报：自然科学自版，2015，14(3)：645-651.[4] 赵生筱.三项式定理及其三项式系数塔[J].数学通报，2001，66(9)：32-33.[5] 余智敏，何春玲.“杨辉三角”的拓展探究[J].高中数理化，2016，20(16)：4-6.[6] 刘辉，邓海云.对杨辉三角形的进一步认识[J].洛阳师范学院学报，2013，32(2)：37-39.[7] 吴宇，徐文洁.杨辉三角的推广[J].宜宾学院学报，2004，26(3)：133-134.[8] 张青娟，潘东海，张艺萍，等.略论二项式(a+b)n的系数计算[J].天津职业院校联合学报，2015，17(2)：89-92.[9] 朱海珊，杨连平.一个关于多项式系数与 stirling数的结果[J].科技信息，2008，26(32)：76.[10] 邓继林.多项式系数的几条性质[J].西昌师范高等专科学校学报，2004，16(1)：69.[11] 马伊丽.多项展开式项数的计算[J].数学教学研究，2006(4)：42-43.[12] 伍启期.多项式定理的新证明及其展开[J].佛山科学技术学院学报：自然科学技术版，2012，30(6)：24-32.。
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《高中数学研究性学习案例》
分组问题 二项式定理 多项式定理
1．固定分组问题
例1 将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种： （1）4位学生每人3本；
（2）甲、乙各得4本，丙、丁各得2本； （3）甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本．
解 （1）先从12本书中选取3本分给甲，有3
12C 种方法；当甲分
得3本书后，从剩下的9本书中选取3本分给乙，有39C 种方法；类似可得,丙、丁的分法分别有36C 、33C 种,由乘法原理得所求分法共有
3
12
C 39C 36C 33C =4
)!3(!
12=369600种； （2）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为
48412C C 2224C C =
!
2!2!4!4!
12⋅⋅⋅=207900； （3）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为
47512C C 1123C C =
!
1!2!4!5!
12⋅⋅⋅=83160． 在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的
本数，我们称之为固定分组问题．我们将这个问题总结成如下一般定理：
定理1 将n 个不同的元素分成带有编号从1，2，…，r 的r 个
组：1A ，，，
2A r A ，使得1A 有n 1个元素，2A 有2n 个元素，…，r A 有r n 个元素，n n n n r =+++ 21，则不同的分组方法共有
!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ 种．
证明 先从n 个不同的元素中选取n 1个分给1A ，这一步有1
n n C 种方
法；再从剩下的1n n -个元素中选取2n 个分给2A ，这一步有21
n n n C -种方法；
如此继续下去，最后剩下的r n 个元素分给r A ，有r r
n n C 种方法，由乘法
原理得这样的固定分组方法共有1
n n C 21n n n C -…r
r
n n C =
!
!!!
21r n n n n 种．证毕．
我们将定理1的分配问题简称为（r n n n n ，，
，； 21）固定分组问题．
2．不尽相异元素的全排列 多项式定理
固定分组数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ 有多种组合学意义，除了表示固定分组的
方法数外，它还有以下两种表示意义：
（1）不尽相异元素的全排列种数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅
有r 类元素，其中第k 类元素有k n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，不同类元素互不相同，n n n n r =+++ 21。
则这r 类n 个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数
!
!!!
21r n n n n 。
．
例2 （06年高考江苏卷（理））今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）．
解 9个球排成一列要占9个位置，从9个位置中选取2个放红球，有29C 种方法；再从其余7个位置中选取3个放黄球，有37C 种方法；最后在剩下的4个位置上全放白球，有44C 种方法，由乘法原理得所
求的排列方法共有29
C 37
C 44
C =!
4!3!2!9⋅⋅=1260种．
评注：对于固定分组数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ ，除了表示固定分组的方法数
外，它还表示r 类共n 个（不尽相异）元素的全排列数，其中第k 类元素有
k
n 个（k =1，2，…，r ），同类元素不加区分，
n n n n r =+++ 21．
（2）多项式定理的系数!
!!!
21r n n n n ⋅⋅⋅ 在n r x x x ）（+++ 21的展开式中，项r n
r n n x x x 2121的系数等于固定
分组数!
!!!21r n n n n 。
例如在
n
b a ）（+的展开式中，项m n m b a -的系数
为
)!
(!!
m n m n -=m n C ，这正是我们所熟悉的二项式系数。
有如下的多项式
定理：
多项式定理 设n 是正整数，则对一切实数 x 1 ，x 2，……，x r 有
!
!!!
212121r n n n n n
r n n n n x x x r ∑=+++=
+++）（r
n r n n x x x 2
121 （*）
其中求和是对满足方程 n 1+n 2+……n r = n 的一切非负整数n 1，
n 2，……，n t 来求。
因为r 元方程n 1+n 2+……n r = n 的非负整数共有
n r n C 1-+组，所以在n
r
x x x ）（+++ 21的展开式中共有n r n C 1-+个不同的项。
多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令r = 2 就得到了二项式定理 。
例3 写出10
)
(w z y x +++的展开式中项
w z y x 2
34与项
2233w z y x 的系数．
解 先求项w z y x 2
34的系数．10)(w z y x +++是10个括号的连
乘积，将这10个括号看成10个元素，从中先取出4个括号作为第一组，在每个括号中都取x ；再从剩下的6个括号中取出3个作为第二组，在每个括号中都取y ；再从剩下的3个括号中取出2个作为第三组，在每个括号中都取z ；最后的剩下的1个括号作为第四组，从中
取w ．这样取出的4个x ，3个y ，2个z ，1个w 的连乘积就是项w z y x 2
34，
由定理1知，上述取法就是（10；4，3，2，1）固定分组问题，于是
在展开10个括号的连乘积时，项w z y x 2
3
4
有!
1!2!3!4!10⋅⋅⋅=12600个同类
项，所以此项的系数是
12600．同理可得项
2233w z y x 的系数是!
2!2!3!3!
10⋅⋅⋅=25200．
例4 （94年全国高考题）有甲、乙、丙三项不同的任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选取4人担任这三项工作，有多少种不同的分配方法
解：从10人中选取4人，有种方法，4
10C 对于取定的4人，让他们
担任这三项工作，为（4；2，1，1）固定分组问题，故所求分配方法
共有2520!
1!1!2!
44
10=⋅⋅⨯
C 种． 注：一般地，设有1A 、2A 、…，r A 共r 项不同的工作，工作i A 需
i n 个人承担（), ,2 ,1r i =，n n n n r =+++ 21，现从m 个人中选取n 个
人做这r 项工作（n m ≥），则不同的分配工作方法共有!
!!!21r n m
n n n n C ⨯种．
例5 （07年全国高考理2（必修+选修Ⅱ））从5位同学中选派4
位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
（A ）40种 （B ）60种 （C ）100种 （D ）120种
解 从5人中选取4人，有种方法；45C 对于选定的4人，让他们参加这3天的公益活动，为（4；2，1，1）固定分组问题，由定理1及
乘法原理得所求选派方法共有601
112
2445=C C C C 种．故选B ． 例6 （06年高考天津卷（理））将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种
解 放球方法即分组方法．满足条件的放球方法可分成两类：①（4；1，3）固定分组问题；②（4；2，2）固定分组问题，它们分别有
!
3!1!
4⋅，!2!2!4⋅种放球方法，故所求放球方法共有!3!1!4⋅+!
2!2!4⋅=4+6=10种．故选A ． 评注：对于类似例3这样的不能直接按固定分组解决的问题，如果能够按各个组（盒子）允许放的元素（球数）将问题分成互不相交的若干类，使得每一类都是固定分组问题，则可按固定分组分别计算这些类再相加即可．
例7 （07年全国高考1（文））甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
（A ）36 种 （B ）48 种 （C ）96 种 （D ）192种
解 因每人都是从4门课程中选课，故甲、乙、丙3人的选课方法分别有343424C C C 、、种，由乘法原理得所求选修方案共有343424C C C =96种．故选C.
例8（08年湖北理6题）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
.300 C 解：用“捆绑法”可得所求结果为
！！ 32
1 3232535
C C C =60+90=150
选D 。