(完整word版)简易方程的解法(归纳),推荐文档
(完整word版)齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的构造（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】r ()=r<n, 若AX=0（A为m n矩阵）的一组解为ξ1,ξ2,L ,ξn r, 且知足：A(1)ξ1,ξ2,L, ξn r线性没关 ;(2)AX=0的) 任一解都可由这组解线性表示 .则称ξ,ξ,L ,ξ为 AX=0的基础解系 .12n r称 X k1ξ1k2ξ2L k n rξn r为 AX = 0的通解。
此中 k1, k2, , k n-r为随意常数).齐次线性方程组的重点问题就是求通解，而求通解的重点问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组AX=0有解，则(1)若齐次线性方程组AX=0（ A 为m n 矩阵）知足 r ( A)n ，则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是 r ( A) n .（注：当 m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A 0.）注： 1、基础解系不独一，可是它们所含解向量的个数同样，且基础解系所含解向量的个数等于n r ( A) .2、非齐次线性方程组AX B 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O 所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若 m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， n 是未知量的个数，则有：（ 1）当 m n 时， r ( A) m n ，此时齐次线性方程组必定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就必定有非零解；（ 2）当m n 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数队列式 A0 ；（ 3）当m n 且 r ( A) n 时，若系数矩阵的队列式 A 0 ，则齐次线性方程组只有零解；（ 4）当m n 时，若 r ( A)n ，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若 r ( A)n ，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0 （ A 为m n矩阵）通解的三步骤（1）A行 C （行最简形）;写出同解方程组CX =0.(2)求出 CX =0的基础解系ξ1,ξ2,L,ξn r;(3)写出通解X k1ξ1k2ξ2 L k n rξn r此中 k1, k2, , k n-r为随意常数.2x 1 3x 2 x 3 5x 4 0, 3x 1 x 2 2x 3 x 4 0,【例题 1】 解线性方程组x 2 3x 3 6x 4 0,4x 1 x 12x 24x 37x 40.解法一： 将系数矩阵 A 化为阶梯形矩阵明显有 r ( A)4 n ，则方程组仅有零解，即x 1 x 2 x 3 x 4 0 .解法二： 因为方程组的个数等于未知量的个数（即 mn ）（注意： 方程组的个数不等于未知量的个数 （即m n ），不能够用队列式的方法来判断） ，进而可计算系数矩阵 A 的队列式：2 3 1 5 3 1 2 1 A1 3 327 0 ，知方程组仅有零解，即 x 1 x2 x3 x4 0 .4 6 1247注： 此法仅对 n 较小时方便x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 0, 3x 12x 2 x 3 x 4 3x 5 0,【例题 2】 解线性方程组x 2 2 x 3 2x 4 6x 5 0,5x 1 4x 23x 33x 4x 50.解： 将系数矩阵 A 化为简化阶梯形矩阵可得 r ( A) 2n ，则方程组有无量多解，其同解方程组 为x 1 x 3x 4 5x 5 ,（此中 x 3 ， x 4 ， x 5 为自由未知量）x 22x 3 2 x 46x 5.令 x 3 1 ， x 4 0 ， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 3 0 ， x 4 1， x 5 0 ，得 x 1 1, x 2 2 ； 令 x 30 ， x 4 0 ， x 51，得 x 1 5, x 26 ，于是获得原方程组的一个 基础解系 为1 1 5 22611，20，30.0 1 01所以，原方程组的 通解 为Xk 1 1 k 2 2 k 3 3 （ k 1 ， k 2 ， k 3 R ） .二、非齐次线性方程组的解法求 AX = b 的解（ A m n, r ( A)r ）用初等行变换求解，不如设前r 列线性没关c 11 c12L c1 rL c1n d1 c22 L c2r L c2 n d2 O M M M行c rr L crn d r此中 c ii0(i 1,2,L , r ), 所以知( AMb)dr 1 0 M 0(1) d r 10 时,原方程组无解.(2)d r 1 0, r n 时,原方程组有独一解.(3) d r 10, r < n 时,原方程组有无量多解.其通解为 X0k1ξ1 k2ξ2 L kn rξn r， k1 , k2,L , k n r为随意常数。
(完整word版)五年级解方程分类大全,推荐文档
14－6X＝8 15＋6X＝27 5－8X＝4 7X＋8＝15 9－2X＝1X－30＝12 6X－21＝21 X－0.8X＝6 12X＋8X＝4.8 7(X－2)＝494×8＋2X＝36 (X－2)÷3＝7 X÷5＋9＝21 (200－X)÷5＝30 48－27＋5X＝3181÷3X＝9 7.5×2X＝15 18(X－2)＝270 (X－140)÷70＝4 23X－14X＝14二、列方程解方程1、一个数的3倍加上这个数的2倍等于1.5,求这个数。
2、一个数乘0.75等于6个2.4相加的和,这个数是多少?3、两个相邻自然数的和是97,这两个自然分别是多少?1、食堂买了8千克黄瓜，付出15元，找回1.4元，每千克黄瓜是多少钱？2、买4枝钢笔比买5枝圆珠笔要多花2.2元,每枝圆珠笔的价钱是0.6元,每枝钢笔是多少元?“谁是谁的几倍多（少）几”（形如ax±b=c的方程）问题：1、有甲、乙两个书架.已知甲书架有540本书,比乙书架的3倍少30本.乙书多少本书?2、某玩具厂九月份的产量比八月份产量的2.5倍还多500个.已知九月份的产量是3500个,八月份的产量是多少?形如ax±bx=c的方程问题：1、育新小学共有108人参加学校科技小组，其中男生人数是女生人数的1.4倍。
参加科技小组的男、女生各有多少人？2、体育比赛中参加跳绳的人数是踢毽子人数的3倍，已知踢毽子的人数比跳绳的人数少20人，跳绳、踢毽子各有多少人？鸡兔同笼问题：鸡头＋兔头＝总头数鸡脚＋兔脚＝总脚数1、鸡和兔共有20个头，兔脚比鸡脚多14只，问鸡和兔各有多少只？2、今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡腿和兔腿共94只。
问：鸡、兔各有多少只？行程问题：路程＝速度×时间速度＝路程÷时间时间＝路程÷速度1、甲、乙两辆汽车同时从南京开往上海，经过4小时后，甲车落后在乙车后面28千米。
(word完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版
(word 完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版二元一次方程的基本概念1。
含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程。
判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”;③含有未知数的项的次数为1——“一次”。
2。
二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3。
二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。
【例1】 下列各式是二元一次方程的是( ）A 。
30x y z -+=B 。
30xy y x -+=C 。
12023x y -= D 。
210y x+-=【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）A.31x xy -= B 。
2430x x += C.23y += D.3x y =【答案】D ．【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值.【答案】由定义知：321m -=,11n -=，所以：1m =，2n =.【巩固】已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。
【答案】根据题意可得：20m -≠,11n -=，11m -=，所以2n =，0m =.二元一次方程组的概念和解法同步练习知识讲解(word 完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版【例3】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值。
【答案】由定义知：321m -=，11n -=，所以:1m =，2n =。
【巩固】已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程,求m 、n 的值。
(word完整版)二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程,就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少,逐一简化的思想方法,叫做消元思想。
即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数)的方程。
2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
(2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法,简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值;（5)把求出的未知数的值写成的形式。
6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1,a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解;（2）当时，这个方程组无解;（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解,二元一次方程组的解法,运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、(1）下列方程中是二元一次方程的有( ）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2)在方程(k2－4）x2＋(2－k)x＋（k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件:①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件,∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2)∵方程(k2－4）x2＋(2－k）x＋（k＋1)y＋3k=0是二元一次方程,∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中,如果是它的一个解,那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中,解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解,∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c 的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2,那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答:都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.(1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值。
人教版五年级上册数学-简易方程(解基本数学算式)
人教版五年级上册数学-简易方程(解基本数学算式)简介本文档旨在帮助五年级学生研究和解决基本的数学算式问题，特别是关于简易方程的解法。
通过本文档的研究，学生将能够掌握解决简单数学方程的方法和技巧。
基本数学算式在研究简易方程之前，我们先来回顾一下基本的数学算式。
在数学中，我们经常会遇到加法、减法、乘法和除法等基本运算。
了解和掌握这些基本运算对理解和解决方程问题非常重要。
1. 加法：加法是将两个或多个数相加的运算。
例如：3 + 4 = 7。
2. 减法：减法是从一个数中减去另一个数的运算。
例如：8 - 5 = 3。
3. 乘法：乘法是将两个或多个数相乘的运算。
例如：2 × 5 = 10。
4. 除法：除法是将一个数分成若干等份的运算。
例如：10 ÷ 2 = 5。
简易方程的解法简易方程是指只有一个未知数的方程。
解决简易方程的方法分为以下几步：1. 观察方程式：首先，我们需要仔细观察给定的方程式，找出方程中的未知数和已知数。
2. 写出方程：将观察到的已知数和未知数按照数学运算的规则写成一个方程。
3. 运用逆运算：根据方程中的运算符号，利用逆运算的原则来求解未知数。
4. 检验答案：将求得的未知数代入原始的方程式中，验证是否满足等式关系。
示例下面是一个简单的方程示例：问题：某个数加上5等于13，求这个数是多少？解法：1. 观察方程式，未知数为某个数，已知数为5和13。
2. 根据已知数和未知数，写出方程式：未知数 + 5 = 13。
3. 运用逆运算，将已知数5减去方程式中的5，得到未知数：未知数 = 13 - 5 = 8。
4. 检验答案，将未知数8代入原始方程式：8 + 5 = 13，满足等式关系。
结论通过本文档的学习，我们了解了解决简单数学方程的基本步骤和方法。
通过观察方程、写出方程、运用逆运算和检验答案，我们可以解决各种简单的数学方程。
这将帮助五年级学生提升数学解题的能力和技巧，为他们在学习数学中打下坚实的基础。
(完整word版)线性方程组的平方根解法
浅析线性方程组的平方根解法在求解线性方程组时,直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯约当消元法、消元形式的追赶法、LU 分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时，我们就要用到平方根法(对称LLT 分解法)来求解，为了熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面对运用平方根法求解线性方程组进行解析。
一、运用平方根法求解线性方程组涉及到的定理及定义我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是否是对称正定矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：1、由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：1) 正定矩阵A 是非奇异的2) 正定矩阵A 的任一主子矩阵也必为正定矩阵 3) 正定矩阵A 的主对角元素均为正数 4) 正定矩阵 A 的特征值均大于零 5) 正定矩阵A 的行列式必为正数定义一 线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 是对称正定矩阵，那么Ax=b 是对称正定线性方程组。
定义二 如果方阵A 满足A=AT ，那么A 是对称阵。
2.1.4 平方根法和改进的平方根法如果A 是n 阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：定理2 若A 为n 阶对称矩阵，且A 的各阶顺序主子式都不为零，则A 可惟一分解为：A ＝LDLT ，其中L 为单位下三角阵，D 为对角阵。
证明 因为A 的各阶顺序主子式都不为零，所以A 可惟一分解为：A ＝LU 因为 ，所以可将 U 分解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn u u u U 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11122211112 u u u u u u n nn n 1DU =其中 D 为对角矩阵，U1为单位上三角阵．于是：A ＝LDU1＝L(DU1)因为A 为对称矩阵，所以，A ＝AT ＝U1TDTLT ＝U1T(DLT)，由 A 的 LU 分解的惟一性即得：L ＝U1T ，即U1＝LT ，故A ＝LDLT 。
人教版小学数学五年级上册第五单元 简易方程 2.解简易方程 《解方程》教学课件
2 解简易方程 第4课时 方程的解
人教版五年级数学上册
一 情境导入
一条长面包重 400 g ，吃了 250 g ，还剩多 少克？这道题目很简单：
400 − 250 = 150 (g )
但是你会用方程来解吗？一起来试试吧！
二 新课探究
例1 (教科书第67页例1)
9个
你能根据上 图写出方程吗？
人教版五年级数学上册
一 复习导入
解方程，说一说你的答题思路。
（1）5.2+x=8.2
（2）x−2.85=0.15
解：5.2 + x − 5.2 = 8.2 − 5.2 解：x − 2.85 + 2.85 = 0.15 + 2.85
x=3
x=3
等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，左右两 边仍然相等。
x−3=6
x÷8 = 1.3
x=9
x=10.4
5.不计算，把下列每组方程中代表数值最大的字母 圈出来。
x + 2 = 12 y + 3 = 12 z + 4 = 12
x − 2 = 12 y − 3 = 12 z − 4 = 12
2 x = 12 3 y = 12 4 z = 12
x÷2 = 12 y÷3 = 12 z÷4 = 12
9 x = 18 x=2
每杯 75 g
x÷4 = 75 x=300
4.用方程表示下面的等量关系，并求出方程的解。
（1）x 加上 35 等于 91 。 （2）x 的 3 倍等于 57 。
x+35=91
3 x = 57
x=56
(完整word版)微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法
四川师范大学本科毕业论文微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法学生姓名XXX院系名称数学与软件科学学院专业名称信息与计算科学班级2006级4 班学号20060640XX指导教师Xxx四川师范大学教务处二○一○年五月微分方程常用的两种数值解法：欧拉方法与龙格—库塔法学生姓名：xxx 指导教师：xx【内容摘要】微分方程是最有生命力的数学分支，在自然科学的许多领域中,都会遇到常微分方程的求解问题。
当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具,利用计算机解微分方程主要使用数值方法，欧拉方法和龙格——库塔方法是求解微分方程最典型常用的数值方法。
本文详细研究了这两类数值计算方法的构造过程,分析了它们的优缺点，以及它们的收敛性,相容性，及稳定性。
讨论了步长的变化对数值方法的影响和系数不同的同阶龙格-库塔方法的差别。
通过编制C程序在计算机上实现这两类方法及对一些典型算例的结果分析比较，能更深切体会它们的功能，优缺点及适用场合,从而在实际应用中能对不同类型和不同要求的常微分方程会选取适当的求解方法。
关键词：显式单步法欧拉（Euler)方法龙格—库塔（Runge—Kutta)方法截断误差收敛性Two commonly used numerical solution of differentialequations：Euler method and Runge - Kutta methodStudent Name: Xiong Shiying Tutor：Zhang Li【Abstract】The differential equation is the most vitality branch in mathematics。
In many domains of natural science, we can meet the ordinary differential equation solution question. Currently, the development of computer has provided the extremely powerful tool for the ordinary differential equation application and the fundamental research，the computer solving differential equation mainly uses value method. The Euler method and the Runge-Kutta method are the most typical commonly value method to solve the differential equation。
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1、解形如X±a=b的方程
X+a=b X-a=b 解：X+a-a=b-a 解：X-a+a=b+a X=b-a X=b+a
2、解形如a-X=b的方程※
a-X=b
解：a-x+x=b+x
a=b+x
a-b=b-b+x
x=a-b
3、解形如ax=b的方程
aX=b
解; ax÷a=b÷a
X=b÷a
4、解形如a÷x=b的方程※
a÷X=b
解：a÷X×X=b×X
a=b×X
a÷b=b÷b×X
X=a÷b
5、解形如x÷a=b的方程※
X÷a=b
解：X÷a×a=b×a
X=b×a 6、解形如ax±b=c(a≠0)的方程
aX-b=c(a≠0)把“ax”看作一个整体
解：ax-b+b=c+b
ax=c+b
ax÷a=(c+b) ÷a
x=(c+b) ÷a
aX+b=c(a≠0)
解：ax+b-b=c-b 把“ax”看作一个整体方程的两边同时减去b ax=c-b
ax÷a=(c-b)÷a
x=(c-b)÷a
7、解形如ax±ab=c(a≠0)的方程
可以转化为：a(x±b)=c 再解
8、解形如a(x+b)=c (a≠0)的方程
把“x+b”看作一个整体,方程的两边同时除以a
书写格式
例如 80-X=60
解：80-X+X=60+X 检验：x=20代入原方程
80=60+X 方程左边=80-X
80-60=60-60+X =80-20
X=20 =60
=方程的右边
所以x=20是方程的解
定律、公式
1、加法交换律：a+b=b+a
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
2、乘法交换律：a ×b=b ×a
乘法结合律：(a ×b)×c=a ×(b ×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a ×c+b ×c
或 (a-b)×c=a ×c-b ×c
3、减法性质：a-b-c=a-(b+c)
a-b-c=a-c-b
4、除法性质：
a ÷
b ÷c=a ÷(b ×c) a ÷b ÷c=a ÷
c ÷b
5、去括号： a+(b-c)=a+b-c a-(b-c)=a-b+c
a ÷
b ×c= a ÷(b ÷c)
6、长方形：
a
长方形周长=(长
+宽)×2 字母公式：C=(a+b)×2 长方形面积=长×宽 字母公式：S=ab 7、正方形：
正方形周长=边长×4 字母公式：C=4a 正方形面积=S=a ×a 8、平行四边形
字母公式：S=ah 9、三角形
a
三角形的面积=底×高÷2 字母公式：S=ah ÷2 三角形的 底=面积×2÷高；
三角形的 高=面积×2÷底） 10、梯形 上底a
下底b
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 母字公式： S=（a+b）h÷2 上底=面积×2÷高－下底
下底=面积×2÷高-上底
高=面积×2÷（上底+下底）。