小波理论算法与滤波器组(范延滨,潘振宽,王正彦编著)PPT模板
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小波分析第四讲_小波与滤波器组
设数字滤波器信号dwt的三级分解算法树型结构小波变换的时频分析小波与滤波器组信号dwt的三级分解算法等效的简化结构小波变换与滤波器组小波变换的时频分析小波与滤波器组的频率特性分解算法中滤波器组的频域分析小波与滤波器组信号dwt的分布小波与滤波器组信号时域表达的时频分辨率信号频域表达的时频分辨率小波变换与滤波器组小波与滤波器组信号stft的时频分辨率信号dwt的时频分辨率小波变换的时频分析小波与滤波器组小波基函数具有非唯一性这使得小波分的信号采用不同的小波基信号从而使得变换后的小波系数更稀散更加易于信号分析和处理
∑
k
c j [k] ⋅ 2 ϕ(2 j t − k) +
小波与滤波器组
∑
k
d j [k] ⋅ 2 j / 2ψ (2 j t − k)
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
c j [ k ] = x (t ), ϕ j ,k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2 ϕ ( 2 j t − k )dt
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
H0(z) H0(z) H0 (z) c+1[k] J H1(z) ↓2 ↓2 H1 (z) ↓2 ↓2 H1(z) ↓2 d −2[k] [k J d −1[k] J d [k] J ↓2 c −2[k] J
信号DWT的三级分解算法树型结构 的三级分解算法树型结构 信号
d j [ k ] = x (t ),ψ j , k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2ψ ( 2 j t − k )dt
c j [ k ] = ∑ h[i − 2k ] ⋅ ∫ x(t ) ⋅ 2 ( j +1) / 2 ϕ ( 2 j +1 t − i )dt
∑
k
c j [k] ⋅ 2 ϕ(2 j t − k) +
小波与滤波器组
∑
k
d j [k] ⋅ 2 j / 2ψ (2 j t − k)
小波变换与滤波器组
离散小波变换的分解算法
c j [ k ] = x (t ), ϕ j ,k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2 ϕ ( 2 j t − k )dt
小波与滤波器组
小波变换与滤波器组
小波变换的时频分析
H0(z) H0(z) H0 (z) c+1[k] J H1(z) ↓2 ↓2 H1 (z) ↓2 ↓2 H1(z) ↓2 d −2[k] [k J d −1[k] J d [k] J ↓2 c −2[k] J
信号DWT的三级分解算法树型结构 的三级分解算法树型结构 信号
d j [ k ] = x (t ),ψ j , k (t ) = ∫ x (t ) ⋅ 2 j / 2ψ ( 2 j t − k )dt
c j [ k ] = ∑ h[i − 2k ] ⋅ ∫ x(t ) ⋅ 2 ( j +1) / 2 ϕ ( 2 j +1 t − i )dt
第六章小波分析基础ppt课件
1、多分辨分析(MRA)的概念[5]
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
小波与滤波器组：Wavelets and Filter Banks(PPT-15)
0 1
12
Then, x–1 = [1 -1 1 -1]
a b = [1 -1 1 -1] A–1 c d
x0 x1 x2 x3
PDE
f(x) = ∑ ckφ(x – k)
k p-1 i=0
Assume f(x) has polynomial behavior near boundaries ∑ αixi = f(x) = ∑ ckφ(x – k)
Symmetric extension of finite-length signal X(ω) = B(ω)e-iωβ
10
The output: Y(ω) = H(ω)X(ω) W W H H W H H W W H W H
W = whole-point symmetry H = half-point symmetry
n
x[n]e-i N n Want real-valued results.
14
2πk
complex-valued
0
N-1 n=0
1 m
2N-1
N-1
N
m
2N-1
2N
DFT of this extended signal: ∑ x[n]e
2πk –i 2N n
+ ∑
N-1
LOOMOON
n=N
2πk
k
{φ ( - k)} orthonormal ∑ αi ∫ φ(x – k)xidx = ck
i=0 p-1
LOMON
ik
13
0 1 m p-1 0 0 0 0 1 o 1 2 1 1 m
α0 α1 o αp-1 =
c0 c1 o cp-1
【小波与滤波器组讲义-英文版】精品讲义-Wavelets and Filter Banks7
模型参数的快速估计
小波域HMT模型参数的快速 估计及其在图像降噪中的应用（六）
小波域HMT模型参数的快速估计
小波系数的分类
模型参数的快速估计
模型参数的快速估计
• 节点的状态概率 • 节点的状态转移概率 • 节点的方差
小波域HMT模型参数的快速 估计及其在图像降噪中的应用（七）
Gibbs效应的消除
小波域HMT模型参数的快速 估计及其在图像降噪中的应用（十一）
实验结果（PSNR：20.0107 28.2667）
小波域HMT模型参数的快速 估计及其在图像降噪中的应用（十二）
实验结果分析（PSNR：19.9862 25.3904）
小波域HMT模型参数的快速 估计及其在图像降噪中的应用（十三）
基于HMT模型的降噪算法
wˆ ( yi ) E wi yi , θ
m
P(Si
m
yi
,
θ
)
2 i,m
y
i
2 n
2 i,m
2 n
i,m
小波域HMT模型参数的快速 估计及其在图像降噪中的应用（六）
小波域HMT模型参数的快速估计
小波系数的分类
模型参数的快速估计
• 阈值选取
小波系数的分类
• 阈值分类
Wavelet domain method
y xn take wavelet transform both sides: Y X N, where Y , X , and N denote the wavelet transform of y, x, n respectively. Generally, people assume that the elements in Y and X are independent. Yi Xi Ni , where index i is the position of coefficient. coefficients of y, x, and n respectively. Bayesian framework in wavelet domain:
小波理论及小波滤波去噪方法
要点二
详细描述
小波硬阈值去噪法是小波阈值去噪法的一种，通过对小波 系数应用硬阈值函数进行处理，能够有效地去除噪声。硬 阈值函数的特点是在阈值处将小波系数分为两部分，保留 大于阈值的系数，置小于阈值的系数为零，具有简单易行 的优点。然而，硬阈值函数在处理过程中存在不连续性， 可能会引入新的噪声或信号失真。
通过软阈值函数处理小波系数，实现去噪的小波去噪方法。
详细描述
小波软阈值去噪法是在小波阈值去噪法的基础上发展而来的，通过对小波系数应用软阈值函数进行处理，能够更 好地保留信号的细节信息，提高去噪效果。软阈值函数的特点是在阈值处平滑过渡，避免了硬阈值函数的不连续 性。
小波硬阈值去噪法
要点一
总结词
通过硬阈值函数处理小波系数，实现去噪的小波去噪方法 。
03
小波滤波去噪的优缺点
优点
多尺度分析
小波变换能够同时提供信号在 时间和频率域的信息，允许在
多个尺度上分析信号。
去噪效果好
小波变换具有很好的局部化特 性，能够有效地将信号和噪声 在不同尺度上分离，从而实现 去噪。
自适应性
小波变换能够根据信号的特性 自适应地选择合适的小波基和 分解尺度，以更好地适应信号 的特性。
小波理论及小波滤波去噪 方法
• 小波理论概述 • 小波滤波去噪方法 • 小波滤波去噪的优缺点 • 小波滤波去噪的改进方法 • 小波滤波去噪的实例分析
01
小波理论概述
小波的定义与特性
小波是一种特殊的函数，具有局部性和波动性， 能够在时间和频率两个维度上进行分析。
小波具有可伸缩性，能够适应不同的频率分析需 求。
实例一：图像去噪
总结词
图像去噪是小波滤波去噪方法的重要应用之一，通过小波变换对图像进行多尺度分析， 有效去除噪声，提高图像质量。
小波变换理论与方法ppt课件
R
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
其中 g,t (t) g(t )eit g(t )eit ，窗口函数g(t)起着时
限作用，eit 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
10
短时傅里叶变换示意图
11
cos(440 t) x(t) cos(660 t)
傅里叶变换傅里叶变换小波变换小波变换小波变换的一些应用小波变换的一些应用1822年法国数学家傅里叶jfourier发表的研究热传导理论的热的力学分析提出每一个周期函数都可以表示成三角函数之和奠定了傅里叶级数的理论基础
1
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
2
一 傅里叶变换
E(|Wn(j,t)|2)=0
D(|Wn(j,t)|2)= Ψ t 2
j
26
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
Gabor变换的基本思想为：取时间函数 g(t) 1/ e4 t2/2 作为窗口函 数，然后用 g(t ) 通待分析函数相乘，τ是时间延迟，是窗函数 g(t)的中心，窗函数根据τ进行时移，然后再进行傅里叶变换：
Gf (, ) f (t)g(t )eitdt f (t), g,t (t)
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
27
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： Es si2 logsi2
小波分析简述(第五章)PPT课件
六、多分辨率分析（Multi-resolution Analysis ，MRA），又称为多尺度分析
若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺 度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由 远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应远 镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概 貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标， 可观测到目标的细微部分。因此，随着尺度由 大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观 察目标，这就是多尺度（即多分辨率）的思想。
小波变换（Wavelet Transform）
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
2
主要内容
一、小波的发展历史 二、小波定义 三、连续小波变换 四、小波变换的特点 五、离散小波变换 六、多分辨率分析 七、Mallat算法 八、小波的应用 九、小波的进展
傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波， 因此正弦波是傅立叶变换的基函数。同样，小波分析是 把一个信号分解成由原始小波经过移位和缩放后的一系 列小波，因此小波是小波变换的基函数，即小波可用作 表示一些函数的基函数。
8
• 小波变换的反演公式
xtc1 0 a d2a W xa T ,a,td
26
小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )
db小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
• 小波基必须满足的条件—允许条件
ˆ2
c d
ˆ00
tdt0
9
四、小波变换的特点
小波与滤波器组：Wavelets and Filter Banks(PPT-4)
Example: Product filter of degree 6 P0(z) = P0(z) 1 16
(-1 + 9z-2 + 16z-3 + 9z-4 - z-6)
P0(- z) = 2z-3
Expect perfect reconstruction with a 3 sample delay Centered form: P(z) = z3P0(z) = P(z) + P(- z) = 2
i(ω h[n] linear phase A( ω)e–i(ω α + θ)
real
delays all frequencies by α samples
0 if symmetric π if antisymmetric 2
Linear phase may not necessarily be the best choice for audio applications due to preringing effects.
4 n 0 2 y[n] 4 n 0 2
16
x[n]
ii. Linear phase factorization e.g. 2/6, 5/3 Symmetric (or antisymmetric) filters are desirable for many applications, such as image processing. All frequencies in the signal are delayed by the same amount i.e. there is no phase distortion.
2nd order -1 2-√3
2nd order -1 2 + √3
(-1 + 9z-2 + 16z-3 + 9z-4 - z-6)
P0(- z) = 2z-3
Expect perfect reconstruction with a 3 sample delay Centered form: P(z) = z3P0(z) = P(z) + P(- z) = 2
i(ω h[n] linear phase A( ω)e–i(ω α + θ)
real
delays all frequencies by α samples
0 if symmetric π if antisymmetric 2
Linear phase may not necessarily be the best choice for audio applications due to preringing effects.
4 n 0 2 y[n] 4 n 0 2
16
x[n]
ii. Linear phase factorization e.g. 2/6, 5/3 Symmetric (or antisymmetric) filters are desirable for many applications, such as image processing. All frequencies in the signal are delayed by the same amount i.e. there is no phase distortion.
2nd order -1 2-√3
2nd order -1 2 + √3
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量分解
离空间
03 1.1.3 赋范空间与巴 04 1.1.4内积空间与希
拿赫空间
尔伯特空间
05 1.1.5 线性算子与线 06 1.1.6内积空间的信
性算子空间
号分解
第1章信号变换与框架原理
1.1信号分解
01
1.1.7l<sup>2</sup> （r）空间与 l<sup>2</sup>（z） 空间
4.5信号的正交分解与重 构
01
4.5.1马拉特 算法
02
4.5.2马拉特 算法中信号的
初始化
03
4.5.3马拉特 算法中信号的
边界延拓044.5.4Fra bibliotek拉特 算法的图形显
示算法
第4章空间分解与多分辨率分析
4.6二维可分离多分辨率分析
4.6.1二维可分 离多分辨率的基
本概念
4.6.2二维可分 离多分辨率的基
4.1.2理想滤波器组
4.1.3函数空间的剖 分
第4章空间分解与多分辨率分析
4.2尺度空间多分辨率分析
a
4.2.1尺度 空间多分 辨率分析
的概念
b
4.2.2尺度 函数与尺 度滤波器
c
4.2.3尺度 空间的信
号分析
d
4.2.4尺度 多分辨率 系统的构
造
第4章空间分解与多分辨率分析
4.3小波空间多分辨率分析
第3章小波 与小波变换
3.1连续小波与连续小波变 换
0 1
3.1.1连续小波
0 2
3.1.2连续小波
实例
0 3
3.1.3连续小波
变换
0 4
3.1.4连续小波
逆变换
0 5
3.1.5连续小波
变换的性质
0 6
3.1.6连续小波
变换的计算
第3章小波 与小波变换
3.2离散小波与离散小波变 换
01 3 . 2 . 1 离散小波 03 3 . 2 . 3 离散小波 变换
02 3 . 2 . 2 小波框架
04 3 . 2 . 4 离散小波 逆变
换
05 3 . 2 . 5 离散小波 变换
重建核方程
第3章小波 与小波变换
3.3二进小波与二进小波变 换
3.3.1二进小波与二 进小波变换的概念
3.3.3二进小波的性 质
01
03
02
3.3.2二进小波框架 与二进小波逆变换
第3章小波 与小波变换
5.1.2小波消失矩与零 点阶
5.1.4小波正则性与零 点阶
5.1.6结论与总结
第5章正交小波与正交滤波器组
5.2正交小波基的构造
01 02
5.2.1由尺度函数φ（t）构造小波函数ψ （t）
3.4二维小波与二维小波变 换
3.4.1二维小波与二 维小波变换的定义
01
02
3.4.3不可分离二维 小波与二维小波变
换
03
3.4.2可分离二维小 波与二维小波变换
04
第4章空间分解与多分辨率分析
第4章空间分解与多分辨率分析
单击此处添加标题
单击此处添加文本具体内容， 简明扼要的阐述您的观点。根 据需要可酌情增减文字，以便 观者准确的理解您传达的思想。
造
06 5 . 6 巴 得尔 勒马里
小波的构造
第5章正交小波与 正交滤波器组
5.7由尺度滤波器构造紧支撑正 交小波的一般方法 5.8正交滤波器组下信号的分解 与重构
第5章正交小波与正交滤波器组
5.1好小波基
5.1.1函数正则性与衰 减性
5.1.3小波支集长度与 支集区间
5.1.5小波支集长度与 消失矩
1.2框架原理
1.2.7对偶框架的构造
02
第2章多抽样系统与滤波器组
第2章多抽样系统 与滤波器组
2.1多抽样系统 2.2滤波器组 2.3二维抽样系统与滤波器组
第2章多抽样系统与滤波器组
2.1多抽样系统
2.1.1基本关 系
2.1.2引申关 系
2.1.3滤波器 的多相表示
第2章多抽样系统与滤波器组
4.6二维可 分离多分辨
率分析
4.4多分辨 率分析
4.5信号的 正交分解与
重构
4.1多分辨 率分析的概
念
4.2尺度空 间多分辨率
分析
4.3小波空 间多分辨率
分析
第4章空间分解与 多分辨率分析
4.7多分辨率分析滤波器与滤波 器组的关系
第4章空间分解与多分辨率分析
4.1多分辨率分析的概念
4.1.1多分辨率的含 义
a
4.3.1小波 空间多分 辨率分析
的概念
b
4.3.2小波 函数与小 波滤波器
c
4.3.3小波 空间的信
号分析
d
4.3.4小波 多分辨率 系统的构
造
第4章空间分解与多分辨率分析
4.4多分辨率分析
4.4.1多分辨 率分析的概念
4.4.2双尺度 方程
4.4.3mra的 性质
第4章空间分解 与多分辨率分析
2.2滤波器组
01 2.2.1 滤波器组的概 02 2.2.2半带滤波器
念
03 2.2.3 双通道滤波器 04 2.2.4双通道基本正
组完全重构条件
交镜像滤波器组
05 2.2.5 双通道共轭正 06 2.2.6双通道滤波器
交镜像滤波器组
组中的制约关系
第2章多抽样系 统与滤波器组
2.3二维抽样系统与滤波器 组
01 2 .3 .1 可分离二 维系
统抽样与滤波器组
02
2.3.2五株型抽样系
统
03 2 .3 .3 五株型滤 波器
组
04 2 . 3 . 4 五株型滤 波器
05 2 .3 .5 五株型滤 波器
组的完全重构条件
组的设计
03
第3章小波与小波变换
第3章小 波与小波 变换
3.1连续小波与连续小波变换 3.2离散小波与离散小波变换 3.3二进小波与二进小波变换 3.4二维小波与二维小波变换
本性质
4.6.3马拉特 算法
05
第5章正交小波与正交滤波器组
正第
交 滤 波 器 组
章 正 交 小 波
与
5
01 5 . 1 好 小波 基
03 5 . 3 多 伯奇 斯小波
的构造
05 5 . 5 科 伊夫 小波的
构造
02 5 . 2 正 交小 波基的
构造
04 5 . 4 西 姆小 波的构
02
1.1.8内积空间的 逼近
03
1.1.9信号双正交 分解
第1章信号变换 与框架原理
1.2框架原理
1.2.1框架 的概念
1.2.6里茨
01
1.2.2框架
基 框 架 06
算子
02
1.2.5框
05
架下的信
号分解与
重构
04
1.2.4框架 下的采样
03 1 . 2 . 3 对 偶框架概 念
第1章信号变换与框架原理
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202x
小波理论算法与滤波器组(范延滨， 潘振宽，王正彦编著)
演讲人 202x-11-11
01
第1章信号变换与框架原理
第1章信 号变换与 框架原理
1.1信号分解 1.2框架原理 1.3现代数值分析的总框架
第1章信号变换与框架原理
1.1信号分解
01 1.1.1 矢量空间与矢 02 1.1.2线性空间与距