数学数表从杨辉三角谈起讲义

+ 数表—从杨辉三角谈起 2

下面是按规律排列的杨辉三角：

图(1) 图(2)

(1)杨辉三角第8行第2个数是_________;

(2)观察图(2)中的线，你会发现左斜线的数之和等于下一行右面的数．如：1+2+3=6，照此规律，第8行的第3个数是_____．

(3)杨辉三角第1行的所有数之和为1，第2行的所有数之和为2，第3行为4，第4行为8，…，那么，第n 行的所有数之和是________.

(4)杨辉三角中，第101行中左起第三个数是 ．

(5) 5050可能是杨辉三角中第几行的第几个数?

[杨辉三角]★★

【分析】 ⑴根据题意：每一行第2个数是1n -；所以第8行第2个数是7.

(2) 1+2+3+L +6=21．老师可拓展到第n 行的第3个数．

(3)第n 行的和是12n -，所以第10行所有数的和是1012512-=.

(4)考查学生对杨辉三角形特性的认识． ………………………...

(110511051)

61441

3131

121

11

------------------------------------------------------------------------------------------- 例1

第三行左起第三个数是11=；

第四行左起第三个数是312=+；

第五行左起第三个数是6123=++；

第六行左起第三个数是101234=+++；

……

归纳可知，第101行左起第三个数是

991001239949502

⨯++++==L . 或者是杨辉三角的每一行的第三个数都满足21n C -，所以第

101行的第三个数是2210111001009949502C

C -⨯===. (5)杨辉三角第m 行第n 个数实际就是1

1n m C --． 1

1(1)!5050()!(1)!n m m C m n n ---==--，而，101是质数，因此m -1≥101，0

2m -≥n >3时，存在

122111015050n m m C C C --->>=.不会再出现5050.因此5050在左侧只能出现在第5051行第2个数和第102行第3个数．由对称可知，第5051行第5051个数和第102行第100个数也是5050.

杨辉三角中，55可能是杨辉三角中第几行的第几个数?

[杨辉三角]★★

------------------------------------------------------------------------------------------- 练一练

【分析】 第56行第2个和第55个；第13行第3个和第11个．

(1)如图所示的三角形数表中，满足：

①第一行的数为1；

②第n 行首尾两数均为n ，其余的数都是等于它肩上的两个数相加；则第50行第2个数是_________.

1

22

343

4774

51114115

6162525166

L L L (2) 下图是按规律排列的三角形数表：

1

111

12321

1367631

①在方格中填上第五行的各个数．

②求第10行各数的和．

[杨辉三角]★★☆ 【解析】

(1)每一行的第二个数是22223(1)2

n n n -+++++-=L ，代入50n =后，得第50行第2个数是1226.

------------------------------------------------------------------------------------------- 例2

(2)由数表可以得到如下的规律，

(a )两边的数以中间的数为轴对称分布，两边分别包1，其他的数等于上一行对应的数和相邻数的和；

(b )每一行数的和分别是：1，3，9，27…，即第n 行数的和是3n -1，由此解决．

①1+0=1，1+3=4，1+3+6=10，3+6+7=16，6+7+6=19，后面的数就是16、10、4、1；

故答案为：1、4、10、16、19、16、10、4、1；

②93=19683；

如图所示三角形数表叫“莱布尼茨调和三角形”，有111=+122、

111=+236、111=+3412

、……、则第11行第2个数（从左往右数）为________。

1

1

1

12

21

113

631

1114

121241

11115

2030205L L L L L L

[杨辉三角]★

【解析】 “莱布尼兹调和三角形”数阵中所示的规律，可得每1行的第1个数均为行数的倒数，且每一个数等于下------------------------------------------------------------------------------------------- 例3

一行中“脚踩”的两个数的和，第10行第1个数是110.第11行第1个数是111，则第11行第2个数是1111011110-=。 如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：

(1)第10行左起第5个数是多少?

(2)100在第几行?100是这一行左起第几个数?

(3)前10行的数的和是多少?

1

23

456

78910

L L

[三角形数表]★★

【解析】 （1）第9行的最后一个数为：()199452

+⨯=，所以第10行左起第5个数为45+5=50.

（2） 根据题意：1231391++++=L ，第13行的最后一个数是91，所以100在第14行，是这一行中的第100919-=个数．

（3）前10行一共1231055++++=L 个数，()15555

15402+⨯=

------------------------------------------------------------------------------------------- 例4