春高三第二轮复习专题三解析几何A(教师)
高三数学二轮复习专题突破课件：解析几何
A．[1，＋∞) B．[－1，－ )
3
C．( ，1]
4
4
D．(－∞，－1]
答案：B
解析：∵y＝kx＋4＋2k＝k(x＋2)＋4，所以直线过定点(－2，4)，曲线y＝
4 − x 2 变形为x2＋y2＝4(y≥0)，表示圆的上半部分，当直线与半圆相切时直线斜
3
率为k＝－ ，当直线过点(2，0)时斜率为－1，结合图象可知实数k的取值范围是
a=2
所以 ሺ2 − 3 − ሻ2 + 2 = 2 ，解得 b = 1 .
r=2
2 + ሺ1 − ሻ2 = 2
所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
4．[2023·广东深圳二模]过点(1，1)且被圆x2 ＋y2 －4x－4y＋4＝0所
x＋y－2＝0
截得的弦长为2 2的直线的方程为___________．
－2)的距离为 2 − 0 2 + 0 + 2 2 ＝2 2，由于圆心
α
2
5
＝
2 2 2 2
α
αபைடு நூலகம்
α ＝ 2sin cos ＝
2
2
与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ＝
10
α
6
， 所 以 cos ＝ ， 所 以 sin
4
2
4
10
6
15
2×
× ＝ .故选B.
4
4
4
r
＝
(2)[2023·河南郑州二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2
解析：圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(2，2)，半径r＝2，
春季08-高三数学培优版-三轮复习专题：解析几何解答题分析2-教师版
教师姓名 学生姓名年 级高三上课时间学 科数学课题名称专题：解析几何解答题分析2一．知识梳理：解析几何在解答题中研究在基础问题的处理上常会研究曲线的方程求法、几何性质以及一些几何形式的应用（距离、角、面积、弦等），在提升拔高上常会研究变量的参与使得产生动态问题，随着动态的变化研究相应的范围、最值、定点、定值等一系列问题 1.范围、最值问题 2.定值问题、存在性问题； 3.过定点、定直线等问题 二、例题讲解：例1.（2017届奉贤二模21）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，左焦点是1F .（1）若左焦点1F 与椭圆E 的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3Q 在椭圆E 上.求椭圆E 的方程；（2）过原点且斜率为()0t t >的直线1l 与（1）中的椭圆E 交于不同的两点,G H ，专题：解析几何解答题分析2AB CM k k ⋅2CM k ∴=16(k ∴∆=4r ==23k ∴=∉综上所述，直线(3)([)0,24,5r ∈时，共时，共4条；1与双曲线22a b-=220F A F B +=．将直线右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线作一条射线，分别交(,)M M M x y (点M 在第一象限1F P .）求2W 的方程）证明:x 斜率之间的关系; ）设直线MF 220F A F B +=知，F 且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称，2(1,)2A ，2(1,2B -a 1F P =(x p +1,1F M =(x M +1,1)p x +，即p p mx m my +-分别在曲线1W 上，有现2931A B y y m =-, 21231A Bmy y m +=--, 代入上式, 得1812(2)0m t m --=对一切33m ≠±都成立. 即182412t =-, 12t =. 此时交点的横坐标为()B A A By x t x t y y --=+-2()(2)(2)11125222224A B BB A A B A B ty y t y my t t y y y y y -+--+--=+=+=+=---. 综上, t 存在, 12t =, 此时两直线的交点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭. 21. [2019届普陀二模21]设曲线2:2y px Γ=（0p >），D 是直线:2l x p =-上的任意一点，过D 作Γ的切线，切点分别为A 、B ，记O 为坐标原点. （1）设(4,2)D -，求△DAB 的面积；（2）设D 、A 、B 的纵坐标依次为0y 、1y 、2y ，求证：1202y y y +=；（3）设点M 满足OM OA OB =+，是否存在这样的点D ，使得M 关于直线AB 的对称点N 在Γ上？若存在，求出D 的坐标，若不存在，请说明理由. 21.（1）205；（2）略；（3）(2,0)p -例5.（2018届虹口区年二模20题）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；(2,d n =1(1MF =-2(1)MF n =--，记d 与1MF 的夹角d 与2MF 的夹角分114d MF d MF ⋅=224d MF d MF ⋅=cos αβ=，有届杨浦区年二模12KF KF ⋅的范围；能否为平行四边形？ ，设),(y x K的坐标；如果不存在，请说明理由；2OP OQ OM +=，当b 33， 2c b =， ………………221PF ，即2224c PF +=所以，椭圆Γ上不存在这样的点E ，使得1F E 、关于直线l 成轴对称. ……10分（3）由3a b =，得椭圆Γ方程为222330x y b +-=，且2c b =，2F 的坐标为(2,0)b ，所以可设直线l 的方程为2(cot )x m y b m α=+=，代入222330x y b +-=得：()2223220my bmy b ++-=因为点M 满足2OP OQ OM +=，所以点M 是线段PQ 的中点设M 的坐标为(),x y ''，则y '=122223y y bmm +=-+ ………………12分 因为直线1:6l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=所以2263bm y m '=-=+，且0m <，所以333236b m m ⎛⎫=-+≥⋅= ⎪-⎝⎭，当且仅当3m m-=-，即3m =-时取等号. ………………14分所以当cot 3m α==-时，min 6b =，此时直线l 的倾斜角56πα=. …………16分8.（2018届长嘉二模20）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的焦距为32，点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点在椭圆Γ上． （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆Γ交于两个不同的点C 、D （点C 在点D 的上方），试求△COD 面积的最大值；（3）若直线m 经过点)0,1(M ，且与椭圆Γ交于两个不同的点A 、B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中20>x ），使得A 、B 到直线0l 的距离A d 、B d 满足||||MB MA d d B A =恒成立？若存在 ，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）点)2,0(P 关于直线x y -=的对称点为)0,2(-， ……………………………（1分） 因为)0,2(-在椭圆Γ上，所以2=a ，又322=c ，故3=c ， ………………（3分）MO xy l P CD·则212120222210)1(||)1(||||||y x x x y x x x MA d MB d B A +-⋅--+-⋅-=⋅-⋅2122022210)1)(1(||)1)(1(||-+⋅---+⋅-=x k x x x k x x |]1||||1||[|11202102-⋅---⋅-⋅+=x x x x x x k )]1)(()1)([(11202102-----⋅+=x x x x x x k[]02))(1(212121002=+++-⋅+=x x x x x x k ，所以，02))(1(2212100=+++-x x x x x x ， ………………………………（4分）即014)1(814)1(82222200=+-+++-k k k k x x ，解得40=x ． …………………………（5分） 综上，存在满足条件的直线4=x ，使得||||MB MA d d B A =恒成立． ………………（6分）9.（2018届徐汇二模20）如图，,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k .(1)求23k k ⋅的值； (2)若直线MN 过点2,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求证：1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 答案：(1)设00(,)N x y ，由于(2,0),(2,0)A B -，所以200232000222y y y k k x x x ⋅=⋅=--+，因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是220012x y +=，即220022x y -=-，所以222122122211222(2)()(2)(2)(2)222(2)(2)(2)(2)2t mt m t y m t t m y m m t m t t m y m t y m -⋅++---+-++++==--+-+⋅+-+ 2121(2)(2)222(2)(2)2m t m y t t t m t m y t-+-+++=⋅=-+++-， 于是2xt =，所以2x t =，即直线AM 与直线BN 的交点Q 落在定直线2x t=上．16分 10.（2017届黄浦二模20）设椭圆M :22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A 、中心为O ，若椭圆M 过点11(,)22P -，且AP PO ⊥． （1）求椭圆M 的方程；（2）若△APQ 的顶点Q 也在椭圆M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点A 作两条斜率分别为12,k k 的直线交椭圆M 于,D E 两点，且121k k =，求证：直线DE 恒过一个定点．答案：（1）由 AP OP ⊥，可知1AP OP k k ⋅=-，又A 点坐标为(,0),a -故1122111+22a ⋅=---，可得1a =，因为椭圆M 过P 点，故211+144b =，可得213b =， 所以椭圆M 的方程为22113yx +=． （2）AP 的方程为01110122y x -+=--+，即10x y -+=， 由于Q 是椭圆M 上的点，故可设3(cos ,sin )3Q θθ，所以3cos sin 1312222APQ S θθ∆-+=⨯⨯123cos()1436πθ=++ 当2()6k k πθπ+=∈Z ，即2()6k k πθπ=-∈Z 时，APQ S ∆取最大值．故APQ S ∆的最大值为3164+． xy。
2023年高考数学三轮复习解析几何(解析版)
查补易混易错点06解析几何1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错．2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为xa ＋ya＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合．4致错解．5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ>0”下进1．（2023·吉林·统考三模）已知圆C：线l的距离为（）123．（2023·甘肃兰州则a 的取值范围是（A ．[12,12]-+C ．[2,12)+【答案】B【解析】2y =-即曲线2y x =--作出曲线2y =-4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设()4,0B ，若AF BF =，则AB A ．2B ．22A．2B 【答案】DPQ=【解析】因为24A ．22194y x -=B ．22124y x -【答案】B【解析】双曲线(222104y x a a -=>以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆的方程为A ．23B 【答案】D【解析】以A 为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，由题意知：NQ a c =+，则直线:134xy PR -+=，即设()(),03Q n n <-，则M ∴点M 到直线PR 的距离71322QR ∴=-+=，即a -设直线(:4PN y kx k =+>∴点M 到直线PN 的距离又直线PN PR k k <，15k ∴=令0y =，解得：152x =-715422NQ ∴=-+=，即将()MAy k x a =+与by x a =-联立，解得将()MA y k x a =+与by x a =联立，解得因为线段MA 被两条渐近线三等分，所以212y y =，即MA MAk abb ak=-对于B ：设()00,M x y ，则15．（多选题）（2023·广东左、右焦点分别为1F ，2F ，A ．若()2,1P ，且2PF x ⊥B ．若C 的一条渐近线方程是C ．若点P 在C 的右支上，D ．若12sin sin PF F e PF ∠=⋅∠【答案】AD【解析】对于A ，若(2,1P 所以()221221PF PF -=+221x y -=，故A 正确；对于B ，若C 的一条渐近线方程是确；对于C ，若C 的离心率为等腰三角形，则1PO OF =18．（2023·山东聊城·统考模拟预测）已知双曲线2F ，且124F F =，(3,2)P 是(1)求C 的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l 轴于点D ，若||||2|AM AN ⋅=【解析】（1）设C 的焦距为由双曲线的定义，得2a PF =即3a =，所以22b c a =-=故C 的方程为2213x y -=；（2）设(),0A s ，()11,M x y ，联立2213x ty s x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得(2t -由题意，得222230Δ44(3)(t s t t ⎧-≠⎨=--⎩则12223st y y t -+=-，212233s y y t -=-()(1AM AN AM AN x s ⋅=⋅=-由OA OB ⊥得直线OB 方程为：由24y kx y x =⎧⎨=⎩，解得244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭。
高三数学第二轮复习教案——解析几何
2020年高三数学第二轮复习教案——解析几何（4课时）一、考试内容回顾2009年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为26.9分，占17．9％；近几年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。
其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。
选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。
解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平面几何知识和向量的方法．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化二、高考大纲要求(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程。
(二)圆锥曲线方程1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
4．了解圆锥曲线的初步应用。
三、复习目标1.能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.四、基础知识再现(一)直线的方程1.点斜式：)(11x x k y y -=-；2. 截距式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--；4. 截距式：1=+bya x ；5.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.(二)两条直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b =2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(三)线性规划问题1．线性规划问题涉及如下概念：⑴存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.⑵都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.⑶求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ⑷满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解. ⑸所有可行解组成的集合，叫做可行域.⑹使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. 2．线性规划问题有以下基本定理：⑴ 一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ⑵ 凸多边形的顶点个数是有限的.⑶ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. 3.线性规划问题一般用图解法. (四)圆的有关问题 1.圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+. 2.圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）； 当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形. (四)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(五)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即ca y 2±=.(六)椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan ab=； ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. (七)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. (八)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和ca x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件. (九)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
2021-2022年高三数学第二轮专题复习解析几何问题的题型与方法人教版
2021年高三数学第二轮专题复习解析几何问题的题型与方法人教版一．复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.二．考试要求：(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
【专题复习】高三数学第二轮复习专题之《解析几何》
高三数学专题复习《解析几何》解题思路与方法：高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有1~2个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题：（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键。
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍。
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)。
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。
高三二轮复习解析几何课件
2
24
它与
y
轴的交点为
ห้องสมุดไป่ตู้
F
0,
x02 4
由于 2
x0
2, 因此 1
x0 2
1
①当 1 t
0 时， 1
t
1 2
1 ，存在 2
x0
(2, 2), 使得
x0 2
t
1 ， 2
即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意
相交，交点分别为 D,E，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在， 求 t 的值；若不存在，说明理由.
解：（1）由 MA 2 x,1 y, MB 2 x,1 y
MA MB 2x2 2 2 y2 ,OM OA OB = x, y0,2 2y ，
（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动
点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的 等量关系式.
（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关 系，可用所求动点坐标（x , y）表示出已知动点的 坐标，然后代入已知的曲线方程.
（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的
引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消 去参数得坐标的直接关系便是普通方程.
（2）圆锥曲线
主要考查圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥 曲线的位置关系等，考查方式大致有以下三类：考 查圆锥曲线的概念与性质；求圆锥曲线的方程和求 轨迹；关于直线与圆锥曲线的位置关系。
考查的主要问题：
（1）几何特征问题； （2）运用圆锥曲线定义解决的问题； （3）求曲线方程问题； （4）最值范围问题； （5）探索性问题.
高考二轮复习 解析几何(教师版)
高三零模冲刺讲义C 级考点讲解与训练之四解析几何C 级考点回顾：直线的方程、圆的方程 一、课本回顾与拓展1.（P85练习3）已知两点A （3,2），B (8，12)，若点C （-2，a ）在直线AB 上，则实数a =_________.2.（P88习题9）直线l 经过点)1,3(-，且与两条坐标轴的截距相等，则直线l 的方程为____________________.3. （P88习题15）已知两条直线0111=++y b x a 和0122=++y b x a 都过点A(1，2)，则过两点),(),,(222111b a P b a P 的直线的方程为_______________.4.（P92例5改编）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤） （1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．5. （P96习题9）已知三条直线082,01=+-=++y x y x 和053=-+y ax 共有三个不同的交点，则实CBAD数a 的取值范围是______________.6.（P105练习3）直线0546=+-y x 与直线x y 23=的距离为__________. 7.（P105习题4）已知B A ,两点都在直线1-=x y 上，且B A ,两点的横坐标之差为2，则B A ,两点之间的距离为___________.8.（P106习题14）过点)0,3(P 作直线l ，使它被两条相交直线022=--y x 和03=++y x 所截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 的方程为____________.9.（P106习题16）已知光线通过点A(2，3)，经直线01=++y x 反射，其反射光线通过点B(1,1),则反射光线所在直线的方程为___________.10.（P112习题12）已知点(,)M x y 与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标满足的关系为_____________.11.（P116例2）过点)6,0(A 且与圆01010:22=+++y x y x C 切于原点的圆的方程为______________. 12.（P116练习2）若圆m y x =+22与圆0118622=--++y x y x 相交，则实数m 的取值范围是_______. 13.（P28习题12）圆044422=++-+y x y x 被直线5-=x y 所截得的弦的长度为____________.14.（P117习题8）已知一个圆经过直线042=++y x l ：与圆014222=+-++y x y x C ：的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为_____________.15.（P128习题2）如果0,0><BC AC ，那么直线0=++C By Ax 不经过第_____象限. 16.（P128习题19）已知点)1,3(),1,4(--B A ，若直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则实数k 的取值范围是____________.17.（P129习题29）已知圆0442:22=-+-+y x y x C ，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.18.（P33习题7）已知圆1)1(:221=++y x F ，圆9)1(:222=+-y x F ，若动圆C 与圆1F 外切，且与圆2F 内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为_____________________. 19.（P33习题8）设动点P 到点）0,1(F 的距离是到直线9=x 距离的31，则点P 的轨迹方程为___________. 20.（P37习题10）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为21,F F ，短轴的一个端点为P .（1）若21PF F ∠为直角，则椭圆的离心率为_______；（2）若21PF F ∠为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是____________.思考：已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ），21,F F 是椭圆的左、右焦点，试问在椭圆上存在几个点P ，使得21PF PF ⊥？21.（P37习题6）已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为______. 22.（P53练习1）抛物线y x =22的焦点坐标为_________，准线方程为__________.23.（P74习题14）已知定点)2,7(Q ，抛物线x y 22=上的动点P 到焦点的距离为d ，则PQ d +的最小值为__________.24. （P74习题15）若抛物线y x 22=的顶点是抛物线上到点),0(a A 的距离最近的点，则实数a 的取值范围是__________.25.若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P （),310y ，求m , b 的值分别为______________.26. 已知ABC ∆的一条内角平分线CD 的方程为012=-+y x ，两个顶点为A (1，2),B (-1，-1)，则第三个顶点C 的坐标为____________.二、典例剖析例1.（对称问题）（P106习题18）已知直线,33+=x y l ：求：（1）直线l 关于点M （3,2）对称的直线的方程；（2）直线02=--y x 关于l 对称的直线的方程.变1：（P106习题21）已知),26(),31(，，N M -点P 在x 轴上，且使PM +PN 取最小值，则点P 的坐标为________. 变2：（P129习题23）已知点），，（），（2-53,1N M 在x 轴上取一点P ，使得||PN PM -最大，则P点的坐标为_____________.变3：已知点P 为椭圆2212516x y +=上的动点，F 1为椭圆的左焦点，定点M （6，4），则PM +PF 1的最大值为 ． 15变4：自)3,3(-A 发出的光线被x 轴反射后射到圆074-4-22=++y x y x 上，则光线走过的最短距离为_________. 1-25变5：在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于___________．解答：43．设P （t ，0），点P 关于直线AC 的对称点为E ，点P 关于直线BC 的对称点为F ，则E （- t ，0），F （4，4 - t ），直线QR 即直线EF 为()44t y x t t -=++，又△ABC 的重心为（43，43），代入直线EF 的方程，得AP = t =43．例2.（和圆有关的八类轨迹问题） （1）已知在ABC ∆中，ABC S b B ∆==∠,2,3π的最大值为__________3（2）如果圆4)2()22=-+-m y m x （上总存在两点到原点的距离为1，则实数m 的取值范围为___________.变1：在平面直角坐标系xOy 中，若满足)()(y k y k x x -≤-的点),(y x 都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是________ [2,2- 两圆内含和内切变2：若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 斜率的取值范围是___________.[323-2+，（3）平面内到A(0，-3)的距离为1，到点B （4,0）的距离为2的直线有______条.变：在平面直角坐标系xOy 中，若与点)2,2(A 的距离为1且与点)0,(m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为__________.()322,2)2,322(+- 考察圆与圆的位置关系，研究公切线的条数 （4）写出以),(11y x P ，),(22y x Q ,为直径的圆的方程________________. 变：若点G 为ABC ∆的重心，且AG ⊥BG ，则C sin 的最大值为（5）点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 . π12单位圆变：如图，线段EF 的长度为1，端点F E ,在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当F E ,沿正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则S l -的最大值为 ．（6）已知点A (-2 , 0)，B (4 , 0)，圆()22:416C x y ++=，P 是圆C 上任意一点，问是否存在常数λ，使得PAPB λ=？若存在，求出常数λ；若不存在，请说明理由．变1：已知点A (-2 , 0)，圆()22:416C x y ++=，P 是圆C 上任意一点，问：在平面上是否存在点B ，使得1PA PB =？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．变2：已知点A (-2 , 0)，B (4 , 0)，圆()()22:416C x y b +++=，P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b的值为___________．变3：设圆22:(4)16C x y ++=，动圆22:22(8)4220 M x y ax a y a +---++=，平面内是否存在定点P ，过点P 作圆C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆M 的一条切线，切点为2T ，使无穷多个圆M ，满足1212PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.变4：在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2D C BD =，::AB AD AC 3::1k =，则实数k 的取值范围为 . 解：建立如图1所示平面直角坐标系，令(),A x y ，由3ABAC=得到：3=，即有228838350x y x +-+=，那么点(),A x y 的轨迹为圆，并且得到其标准方程为：22199()88x y -+=.又由题意知，ADk AC =k =， 2222244x y k x x y +=-++38353816+63663x x x --==--； 易知()2k x 为关于x 的增函数；并且，圆上点的横坐标的范围为57(,)42x ∈，代入得到：22549(,)99k ∈，即57(,)33k ∈. （7）已知圆M ：,1)sin ()cos 22=-++θθy x （直线l :y =kx ,给出下列四个命题： ① 对任意实数k 和θ,直线l 与圆M 相切； ② 对任意实数k 和θ,直线l 与圆M 有公共点；③ 对任意实数θ,必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切；④ 对任意实数k ，必存在实数θ,使得直线l 与圆M 相切. 其中正确命题的序号为_____________. 思考1：圆心的运动轨迹是什么？思考2：圆扫过的面积是多少？π4变1：已知1l 和2l 是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是A ，动点C B ,分别在1l 和2l 上，且23=BC ，过C B A ,,三点的动圆所形成的区域的面积为__________解答：π18；C B A ,,三点的动圆在以BC 为直径的圆上，以AB 的中点M 为圆心，M 点的轨迹是以A 为圆心，223为半径的圆，所以动圆所形成的区域是是以A 为圆心，23为半径的圆 变2：已知点P 在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上运动，点F 为椭圆的右焦点，以P 为圆心，PF 为半径做圆，当P 在椭圆上扫过一周时，形成的轨迹图象的面积为_______ （8）在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 与圆1:221=+y x C 和圆49)25()25(:222=-+-y x C 都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为________ . 7 通过对图形进行割补可得到最终结果。
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2015春高三第二轮复习专题三 解析几何A （教）一、选择题1．过双曲线的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于两点，若线段的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】又．考点：双曲线的标准方程及其几何性质（离心率的求法）．2、设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为()A.B.C.D.解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝＝.答案 C3．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，过点,λμ作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ⋅=，则双曲线的离心率为()A ．33B ．355C ．322D ．98【解析】【答案】A试题分析：直线l 的方程为x c =，与双曲线渐近线b y x a =±的交点为(,),(,)bc bcA cB c a a-，与双曲线在第一象限的交点为2(,)b P c a ，所以2(,)b OP c a =，(,),(,)bc bcOA c OB c a a==-，由(,)OP OA OB R λμλμ=+∈得2316c c c bbc bc aa a λμλμλμ⎧=+⎪⎪⎪=⋅-⋅⎨⎪⎪=⎪⎩，解之得2,c b =，所以a =，e =，故选A. 考点：双曲线几何性质、向量运算.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且13AM =，点P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）CBA ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 【解析】【答案】B试题分析：根据题意，过点P 作11A D 的垂线，垂足为N ,在平面1A D 内，过N 过AD 的垂线，垂足为P ',所以在Rt PNP '中，222PN NP PP ''=+,且1NP '=所以，由题意知221PN PM -=,即22221NP PP PM PP '''+-=+21PM -=,即22PP PM '=，且点P 为底面AC 的动点，M 为AB 上的定点，根据抛物线的定义知：动点P 到定点M 的距离和到定直线AD 的距离相等，所以,动点P 的轨迹为抛物线，答案为B. 考点：1.勾股定理；2.抛物线的定义.5.已知P 是以F 1，F 2PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos αsin(α+β D ）A43 B 33 C 42 6．(2013·高考重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A ．52－4 B.17－1C ．6－2 2 D.17解析：选A.设P(x ,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.而|PM|＝|PC 1|－1，|PN|＝|PC 2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.7．(2013·高考江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33B ．－33C ．±33D ．－ 3 解析：选B.由于y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1(y ≥0)，直线l 与x 2＋y 2＝1(y ≥0)交于A ，B 两点，如图所示，S △AOB ＝12·s in ∠AOB ≤12，且当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取得最大值，此时AB ＝2，点O 到直线l 的距离为22，则∠OCB ＝30°，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为－33.8、已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y23＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( ) A.34B.1C.2D.4 解析：圆M 的方程可化为(x ＋m)2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m<0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0).由题意知直线l 的方程为x ＝－c ， 又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.答案 C 9、如图，抛物线C 1：y 2＝2px和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( B ) A.p 2B.p 24C.p 22D.p 23解析：设抛物线的焦点为F ，A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)， 则|AB|＝|AF|－|BF|＝x 1＋p 2－p2＝x 1，同理|CD|＝x 2.又AB →·CD →＝|AB||CD|＝x 1·x 2＝p 24.10.（2013·新课标Ⅱ理）（12）已知点A （-1，0）；B （1，0），C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1） (B)（1-，12） ( C)（1-，1]3(D)[13,12）11. 【2014重庆高考理第8题】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（）34 B.35 C.49D.312、如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·PA →的最大值和最小值.( ) 解析：设P 点坐标为(x 0，y 0).由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F(－1,0)，A(2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF →·PA →取得最小值0，当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.二、填空题13．(2013·高考福建卷)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c)过点F 1，且斜率为3，∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°.∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.14．(2013·高考江西卷)抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：由于x 2＝2py(p>0)的准线为y ＝－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p 2，x 2－y 2＝3，解得准线与双曲线x2－y 2＝3的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋14p 2，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋14p 2，－p 2，所以AB ＝23＋14p 2.由△ABF 为等边三角形，得32AB ＝p ，解得p ＝6.答案：6 15．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为． 【解析】【答案】53. 试题分析：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53.考点：双曲线的定义，余弦定理，三角函数的最值.16.（2013·广东理）13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______ 条不同的直线.17. 【2014辽宁高考理第15题】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=.【答案】1218．我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若，则该双曲线是黄金双曲线；③若为左右焦点，为左右顶点，（0，），（0，﹣）且，则该双曲线是黄金双曲线；④若经过右焦点且，，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为 _________ ．【答案】①②③④【解析】对于①，，则，，，所以双曲线是黄金双曲线；对于②，，整理得解得，所以双曲线是黄金双曲线；对于③，由勾股定理得，整理得由②可知所以双曲线是黄金双曲线；对于④由于，把代入双曲线方程得，解得，，由对称关系知为等腰直角三角形，，即，由①可知所以双曲线是黄金双曲线.三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）（2）详见解析（3）【解析】（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，①又点在椭圆上，所以，②联立①②，解得所以所求圆的方程为．（2）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得，同理，所以是方程的两个不相等的实数根，因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即．（3）是定值，定值为36，理由如下：法一：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得所以，同理，得，由，所以（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：．法二：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,,因为，所以,即，因为在椭圆C上，所以，，所以，整理得，所以，所以．（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：．20．如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点，（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点C、D，求面积的最大值。