2020-2021深圳市南山中英文学校高三数学上期中试卷(附答案)

2020-2021深圳市南山中英文学校高三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1002．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．3 5．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．366．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．83237．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣8．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．59．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=，4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 411．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.14．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）15．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 16．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．17．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .19．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为________．20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{nS n}的前10项和． 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.23．设数列{}n a 满足113,23nn n a a a +=-=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．24．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=． （1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．26．已知数列{}n a 满足：1=1a ，()*11,2,n n n a n a n N a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数设21n n b a -=． （1）证明：数列{}2n b +为等比数列； （2）求数列3+2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.2．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.3．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ,所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.5．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C6．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，3534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．7．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.8．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ．本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．9．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q ，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.10．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.11．B【解析】【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12．A解析：A【解析】【分析】分析题意，取3x y+倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。