圆周运动动力学问题(答案)

圆周运动动力学问题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】AD
【解析】三物体都未滑动时，角速度相同，设角速度为ω，根据向心加速度公式a ＝ω2r ，知C 的向心加速度最大．故A 正确；三个物体受到的静摩擦力分别为：F f A ＝(2m )ω2R ，F f B ＝mω2R ，F f C ＝mω2(2R )．所以物体B 受到的摩擦力最小．故B 错误；根据μmg ＝mrω2得：ω＝ μg r ，因为C 物体的临界角速度最小，增加转速，可知C 先达到最大静摩擦力，所以C 先滑动．A 、B 的临界角速度相等，可知A 、B 一起滑动．故C 错误，D
正确．
2． 【答案】C
【解析】由于合力提供向心力，依据向心力表达式F ＝mr ω2，已知两球质量、运动半径和角速度都相同，可知向心力相同，即合力相同，故A 错误；小球A 受到重力和弹力的合力不可能垂直指向OO ′轴，故一定存在摩擦力，而B 球的重力和弹力的合力可能垂直指向OO ′轴，故B 球摩擦力可能为零，故B 错误，C 正确；由于不知道B 球是否受到摩擦力，故而无法判定圆形框架以更大的角速度转动，小球B 受到的摩擦力的变化情况，保持在桌面上静止
4． 【答案】 B
【解析】 先对小球受力分析，如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G 和支持力F N 的合力，建立如图所示的坐标系，则有：
F N sin θ＝mg ①
F N cos θ＝mrω2②
由①得F N ＝mg sin θ
，小球A 和B 受到的支持力F N 相等，选项D 错误．由于支持力F N 相等，结合②式知，A 球运动
的半径大于B 球运动的半径，A 球的角速度小于B 球的角速度，选项A 错误．A 球的运动周期大于B 球的运
动周期，选项C 错误．又根据F N cos θ＝m v 2r
可知：A 球的线速度大于B 球的线速度，选项B 正确． 5． 【答案】 AD
【解析】 小物块在竖直方向上受力平衡，所以摩擦力始终与重力平衡，即摩擦力大小不变，选项A 正确，B 错误；小物块做圆周运动时，圆筒壁的弹力提供向心力，根据向心力公式F 向＝mω2r 可知，当角速度加倍时，向心力变为原来的4倍，所以弹力大小变为4F ，选项C 错误，D 正确．
6． 【答案】BC
7． 【答案】BC
【解析】两物块A 和B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F ＝mω2r ，B 的半径比A 的半径大，所以B 所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B 的静摩擦力方向指向圆心，A 的静摩擦力方向指向圆外，根据牛顿第二定律得：T －μmg ＝mω2r ，T ＋μmg ＝mω2·2r ，解得：T ＝3μmg ，ω＝ 2μg r
，故A 错误，B 、C 正确；此时烧断绳子，A 的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A 做离心运动，故D 错误。

二、计算题
8． 【答案】 (1)52 2 rad/s (2)53
6 rad/s (3)见解析
【解析】
(1)细线AB 上张力恰为零时有：
mg tan 37°＝m ω12l sin 37°
解得：ω1＝g l cos 37°＝52 2 rad/s 。

(2)细线AB 恰好竖直，但张力为零时，由几何关系得：
cos θ′＝35
，θ′＝53° mg tan θ′＝mω22l sin θ′
此时ω2＝53
6 rad/s 。

(3)ω≤ω1＝52
2 rad/s 时，细线AB 水平，细线AC 上张力的竖直分量等于小球的重力 F T cos θ＝mg ，F T ＝mg cos θ
＝12.5 N ω1≤ω≤ω2时细线AB 松弛
细线AC 上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力
F T sin α＝m ω2l sin α
F T ＝mω2l
ω＞ω2时，细线AB 在竖直方向绷直，仍然由细线AC 上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力。

F T sin θ′＝mω2l sin θ′，F T ＝mω2l
综上所述ω≤ω1＝52
2 rad/s 时，F T ＝12.5 N 不变， ω>ω1时，F T ＝mω2l ＝ω2(N)
F T -ω2关系图像如图所示。

[
9． 【答案】 (1)ω0＝2g R (2)当ω＝(1＋k )ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向下，大小为Ff ＝3k (2＋k )2
mg 当ω＝(1－k )ω0时，摩擦力方向沿罐壁切线向上，大小为Ff ＝
3k (2－k )2
mg 反思总结 圆周运动问题的解题步骤：
【解析】 (1)当ω＝ω0时，小物块只受重力和支持力作用，如图所示，其合力提供向心力，F 合＝mg tan θ① F 向＝m ω20r ②
而r ＝R sin θ，F 合＝F 向③
由①②③得ω0＝2g R
④
(2)当ω＝(1＋k )ω0，且0<k ≪1时，所需要的向心力大于ω＝ω0时的向心力，故摩擦力方向沿罐壁的切线方向向下．建立如图所示坐标系．
在水平方向上：F N sin θ＋Ff cos θ＝m ω2r ⑤
在竖直方向上：F N cos θ－Ff sin θ－mg ＝0⑥
由几何关系知r＝R sin θ⑦
联立⑤⑥⑦式，解得Ff＝3k(2＋k)
2mg⑧
图丙
当ω＝(1－k)ω0时，摩擦力的方向沿罐壁的切线方向向上．建立如图丙所示的坐标．在水平方向上：
F N sin θ－Ff cos θ＝mω2r⑨
在竖直方向上：F N cos θ＋Ff sin θ－mg＝0⑩
由几何关系知r＝R sin θ⑪
联立⑨⑩⑪式，解得Ff＝3k(2－k)
2mg.
10．【答案】（1）小球释放瞬间的加速度大小a是gsinθ，小球速度最大时弹簧的压缩量△l1是．（2）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为△l2，匀速转动的角速度ω为．
【解析】（1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律求解加速度，小球速度最大时其加速度为零，根据合力为零和胡克定律求解△l1；
（2）设弹簧伸长△l2时，对小球受力分析，根据向心力公式列式求解．
【解答】解：（1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律有：mgsinθ=ma
解得：a=gsinθ
小球速度最大时其加速度为零，则有：k△l1=mgsinθ
则△l1=
（2）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为△l2时小球圆周运动的半径为r=（l0+△l2）cosθ
弹簧伸长△l2时，球受力如图所示，根据牛顿第二定律有：
水平方向上有
竖直方向上有F N cosθ=k△l2sinθ+mg
联立解得ω=。