匀速圆周运动动力学问题分析
曲线运动精讲精练：11.圆周运动的动力学问题
圆周运动的动力学问题一、向心力1．作用效果：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．2．大小：F＝m v2r＝mω2r＝m4π2rT2＝mωv＝4π2mf2r3．方向：总是沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．4．来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．二、圆周运动、向心运动和离心运动1．匀速圆周运动与非匀速圆周运动两种运动具体比较见下表：2.(1)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．(2)受力特点(如图所示)①当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；③当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．④当F＞mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动．三、圆周运动动力学分析思路1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)先确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)再分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．3．解决动力学问题要注意三个方面的分析(1)几何关系的分析，目的是确定圆周运动的圆心、半径等．(2)运动分析，目的是表示出物体做圆周运动所需要的向心力．(3)受力分析，目的是利用力的合成与分解知识，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力．4.几种常见的向心力来源(1)飞机在水平面内的圆周运动，如图1所示；(2)火车转弯，如图2所示；(3)圆锥摆，如图3所示；。
圆周运动的实例分析
物体沿圆的内轨道运动
A
mg
N
N
N
【例题5】质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为（ ） 0 mg 3mg 5mg
C
2、轻杆模型
五、竖直平面内圆周运动
质点被一轻杆拉着在竖直面内做圆周运动
质点在竖直放置的光滑细管内做圆周运动
过最高点的最小速度是多大?
V=0
Ｌ
R
【例题6】用一轻杆栓着质量为m的物体,在竖直平面内做圆周运动,则下列说法正确的是（ ） A.小球过最高点时,杆的张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零 C.小球刚好过最高点是的速度是 D.小球过最高点时,杆对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
BD
【例题4】如图所示，火车道转弯处的半径为r，火车质量为m，两铁轨的高度差为h（外轨略高于内轨），两轨间距为L(L>>h)，求： 火车以多大的速率υ转弯时，两铁轨不会给车轮沿转弯半径方向的侧压力？ υ是多大时外轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？ υ是多大时内轨对车轮有沿转弯半径方向的侧压力？
四、汽车过拱形桥
T
mg
T
mg
过最高点的最小速度是多大?
O
【例题1】如图所示,一质量为m的小球用长为L的细绳悬于O点,使之在竖直平面内做圆周运动,小球通过最低点时速率为v,则小球在最低点时细绳的张力大小为多少? O mg T
【例题2】用细绳栓着质量为m的物体,在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R。则下列说法正确的是 A.小球过最高点时,绳子的张力可以为零 B.小球过最高点时的最小速度为零 C.小球刚好过最高点是的速度是 D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
圆周运动的动力学问题
尖子生补充19 圆周运动1．某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球。
如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投人球筐(图中箭头指向表示投篮方向)（ ）2．关于互成角度的两个分运动和它们的合运动的性质，下列说法中正确的是（ ） A ．两个匀速直线运动的合运动的轨迹必是直线B ．两个匀变速直线运动的合运动的轨迹可能是曲线，也可能是直线。
C ．一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹一定是直线D ．两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹一定是直线3．如图所示，一个质量为m 的质点以速度A v 从A 点水平射出，以速度B v 经过B 点，不计空气阻力，则下列正确的说法是（ ）A ．若质点以速度-B v 从B 点射出，它将刚好以速度-A v 经过A 点． B ．若质点以大于B v 的速度从B 点射出，它也有可能经过A 点．C ．若质点以小于B v 的速度从B 点射出，它也有可能经过A 点．D ．若质点以速度-A v 从B 点射出时还受到竖直向上大小为2 mg 的恒力，则它将刚好以速度-B v 经过A 点．4．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，细杆长0.5m ，小球质量为3.0kg ，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a 处的速度为v a＝4m/s ，通过轨道最高点b 处的速度为v b ＝1m/s ，g 取10m/s 2，则杆对小球作用力的情况（ ）A ．最高点b 处为拉力，大小为24NB ．最高点b 处为支持力，大小为24NC ．最低点a 处为压力，大小为126ND ．最低点a 处为拉力，大小为126N 5．（2012年2月济南检测）如图所示，两个3/4竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R 相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑。
力学中的圆周运动问题解析
力学中的圆周运动问题解析圆周运动是力学中的一个重要概念，涉及到物体在固定半径上做匀速或变速运动的情况。
本文将对圆周运动的基本原理、运动学和动力学等方面进行深入解析。
一、圆周运动的基本原理圆周运动是一种约束性运动，其基本原理可由以下两个关键要点来概括：1. 物体在圆周运动过程中会受到向心力的作用，向心力的大小与物体的质量和半径有关，表示为F = mω²r，其中m为物体的质量，ω为角速度，r为半径。
2. 物体在圆周运动过程中会产生向心加速度，向心加速度的大小与角速度的平方和半径有关，表示为a = ω²r。
二、圆周运动的运动学分析圆周运动的运动学分析主要包括角度、速度和加速度等方面的研究：1. 角度：圆周运动可以用角度来描述，物体在单位时间内所经过的角度称为角速度。
角速度的单位通常为弧度/秒，记作rad/s。
2. 速度：圆周运动的速度分为线速度和角速度。
线速度v表示物体在圆周轨道上的实际移动速度，其大小为v = ωr，其中r为圆周的半径。
角速度ω表示单位时间内物体角度的变化速率。
3. 加速度：圆周运动的加速度分为线加速度和角加速度。
线加速度a表示物体在圆周轨道上的实际加速度，其大小为a = ω²r。
角加速度α表示单位时间内角速度的变化速率。
三、圆周运动的动力学分析圆周运动的动力学分析主要涉及到向心力和转动惯量等方面的研究：1. 向心力：圆周运动身体所受的向心力与质量和半径的乘积成正比。
向心力的方向指向圆心，使物体沿着圆周轨道做匀速运动。
向心力的大小可通过F = mω²r来计算。
2. 转动惯量：圆周运动的物体具有转动惯量，其大小与物体的质量分布和转动轴的位置有关。
转动惯量的计算可通过I = mR²来求解，其中m为物体的质量，R为转动轴到物体质心的距离。
四、圆周运动的应用举例圆周运动在物理学和工程学等领域有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1. 机械振动：许多机械装置中都存在圆周运动，如发动机的曲轴、风力发电机的叶片等。
高中物理：匀速圆周运动问题知识点总结及解题技巧
一、匀速圆周运动的基本概念：1、匀速圆周运动的定义质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
2、描述匀速圆周运动快慢的物理量（1）线速度v①物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
②定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度。
③大小：，单位：④方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。
由于质点做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
（2）角速度①物理意义：描述质点转过圆心角的快慢。
②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比值，就是质点运动的角速度。
③大小：单位：。
④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
（3）周期T和频率f①物理意义：周期和频率都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。
②定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
用T表示，单位：s。
做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。
用f表示，单位：Hz。
在国际单位制中是，在一些实际问题中常用的是每分钟多少转，用n表示，转速的单位为转每秒，即。
3、线速度、角速度、周期之间的关系（1）线速度和角速度间的关系如果物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在时间t 内通过的弧长是s，半径转过的角度是，由数学知识知，于是有，即。
上式表明：①当半径相同时，线速度大的角速度也大，角速度大的线速度也大，且成正比。
如图（a）所示。
②当角速度相同时，半径大的线速度大，且成正比。
如图（b）所示。
③当线速度相同时，半径大的角速度小，半径小的角速度大，且成反比。
如图（c）、（d）所示。
（2）线速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为，所以有。
上式表明，只有当半径相同时，周期小的线速度大；当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。
（3）角速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为，则有。
圆周运动的动力学问题
课题：圆周运动的动力学问题教学目1。
理解掌握向心力的来源及圆周运动的动力学问题是牛顿定律的具体应用2•掌握圆周运动的动力学问题处理方法。
重点、难点：圆周运动的动力学问题的处理方法教学方法：讲练结合 教学过程一、描述匀速圆周运动线速度方向改变快慢的物理量 42r方向：总是指向圆心，时刻在变化（a 是一个变加速度）注意：a 与r 是成正比还是反比，要看前提条件，若3相同，a 与r 成正比；若 v 相同，a 与r 成反比。
二、质点做匀速圆周运动的条件：质点具有初速度，并且始终受到跟线速度方 向垂直，时刻指向圆心，大小恒定的合外力（即向心力）的作用。
广2大小：F mJ m 2r mar向心力 方向：总是指向圆心，时刻在变化（F 是一个变力）-作用：产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小，因 此向心力对做圆周运动的物体不做功。
注意：（1）由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向 心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。
（2） 一个物体不论在哪个平面内做匀速圆周运动，其合外力在任何时刻必指 向圆心，且大小不变。
（3） 向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的在分析做圆周运动的质点受力情况时， 切不可在物体的相互作用力 （重力、弹力摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力。
二、一般的圆周运动（非匀速圆周运动）速度的大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化，禾I 」用公式求圆周 上某一点或某一时刻的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度 值。
重点分析：1、力的合力或分力都可以作为向心力，如下表所示：向心力不是一种特殊的 力，重力（引力）、弹力、摩擦力等每种力以及这些匀速圆周运动实例 T向心力厂 2y 大小：a — 2r 4 2] r向心加速度l2、Fn=man仅是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的应用，也就是说，匀速圆周运动同样遵循牛顿运动定律，匀速圆周运动的瞬时特性可以与一个匀加速直线运动相对应，如下表所示：【例1】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同，A的质量为2m，B、C各为m， A、B离转轴均为r、c为2r，贝UA、若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B、若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B把受的摩擦力最小(2)C 、 当转台转速增加时，C 最先发生滑动D 、 当转台转速继续增加时，A 比B 先滑动【解析】A 、B 、C 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速 度，设为3,根据向心加速度的公式a 2r 已知r A =r B <r c ，把以三物体向心加 速度的大小关系为a A =a B <s c ， A 错。
【高考物理】圆周运动的动力学临界问题
圆周运动的动力学临界问题圆周运动动力学的临界问题——比如小球过竖直平面内圆周轨道最高点、物块随水平桌面转动而不外滑等，很多同学在最初接触这个问题时，都感觉很难理解，各种情形下的结论也常常混淆，究其根本，问题还是出在对圆周运动的径向动力学的理解不深入，对圆周运动动力学临界问题的类型和分析技巧不熟悉。
一、圆周运动的动力学之供需关系问题圆周运动的临界问题的正确分析，需要从供需匹配角度深入理解圆周运动的径向动力学——供需匹配，物体就做圆周运动，供需不匹配，物体就要离开圆周轨道做离心、近心运动。
我们以一个具体的例子来说明这个问题。
如图2-12-1所示，光滑水平桌面上，用一根细绳拴着一个小球绕O 点做圆周运动，则由圆周运动动力学可知，小球所受径向合力，即绳中拉力满足rv m F 2=。
现若将绳从O 点完全松开，绳中张力变为0，即0=F ，则小球将由于惯性而沿原圆周轨道切线方向做直线运动离开圆周轨道；若并不是完全放松，而只是适当的减小一些绳中拉力，即rv m F 2<，则绳中拉力虽然没能够将小球拉回原来的圆周轨道，但也将小球的轨迹拉弯了——夹在沿切线的直线和原圆周轨道之间，做离心运动；若不仅没松开绳，而且还用更大的力拉绳，即rv m F 2>，则小球将被绳拉到原圆周轨道内侧来，做近心运动。
圆周运动径向动力学的供需匹配问题，可以从上述例子中总结出来：1、径向合力为零：0n =F ，物体沿切线方向做直线运动。
2、径向合力不为零：0n ≠F ，物体偏离切线方向向径向合力一侧做曲线运动。
（1）径向合力小于所需的向心力：r m rv m F 22n ω=<，物体相对原圆周轨道做离心运动；（2）径向合力等于所需的向心力：r m rv m F 22n ω==，物体沿原圆周轨道继续做圆周运动；（3）径向合力大于所需的向心力：r m rv m F 22n ω=>，物体相对原圆周轨道做近心运动。
进一步可以这样理解：物体由于惯性，总有沿着切线做离心运动的趋势；物体转动的线速度、角速度越大，离心运动的趋势越大，越有可能做离心运动；线速度、角速度越小，离心运动的趋势越小，越有可能被径向合力拉近圆心而做近心运动；只有径向合力正好等于所需向心力大小时，径向合力刚好抵消物体的离心运动趋势，物体才能沿固定半径轨道做圆周运动。
用相对速度解决圆心是动点的圆周运动的动力学问题
用相对速度解决圆心是动点的圆周运动的动力学问题
圆周运动是一种常见的运动，其显著的特点是物体沿着一定速度外发指向一个圆弧形路径旋转。
针对圆心是动点的圆周运动的动力学问题，可以采用相对速度的方法来解决。
首先，需要确定相对于重力中心的速度，也就是物体的两个运动状态：直线运动和圆心运动。
需要分析两个运动状态的不同来确定相对于重力中心的速度关系，而这可以采用力学推导确定，即利用它们之间的受力修正值来解决。
接下来，利用受力修正值对圆心运动进行改正，由此得出该系统的“重力中心差分”，即相对于重力中心的相对速度差异。
通过改变重力中心差分值，可以得出与其它物体的相对速度，最后得出圆心是动点的圆周运动的动力学解。
上述说明的方法是解决圆周运动的一种较为常见的方法，即采用相对速度的方法。
这种方法可以确定物体圆心运动的速度，使该运动的普遍性和可操作性得到了进一步的改善和提高，为解决圆周运动的动力学问题提供了一种新的方法。
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第8课时 匀速圆周运动动力学问题分析
一．知识内容：
1. 匀速圆周运动的动力学描述：
（1）向心力：ma F n =；方向沿半径指向圆心；根据效果命名；产生向心加速度； 由合力提供向心力。
（2）动力学方程：ωπωmv T
mr mr r v m ma F n =====22
224； 2. 做匀速圆周运动的条件：
（1）具有一定初速度v ； （2）合力与v 垂直（沿半径指向圆心）； （3）r v m F 2
=； 大小不变；
3. 动力学问题分析方法：（圆心、半径、轨迹、向心力）
（1）确定做匀速圆周运动的物体作为研究对象。
（2）明确运动情况。
包括搞清运动速率υ、轨迹半径R 及轨迹圆心O 的位置等，只有明 确了上述几点后，才能知道运动物体在运动过程中所需的向心力大小（R m /2υ）和 向心力方向（指向圆心）。
（3）分析受力情况，对物体实际受力情况作出正确的分析，画出受力图，确定指向圆心 的合外力F （即提供的向心力）。
（4）代入公式r
v m F 2
=，求解结果。
二．应用分析：
1. 向心力来源分析：
【例1】分析下列几种情形做匀速圆周运动的物体的受力情况并确定其向心力的来源。
图1， 圆盘匀速圆周运动，物体与圆盘保持相对静止；图2，转筒匀速圆周运动，物体与转筒保持相对静止；图3，细绳栓一小球使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动；图4，用悬线将小球系在天花板上，小球在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）；图5，小球套在光滑圆环上，与圆环保持相对静止，圆环绕竖直方向对称轴匀速转动；图6，小球沿光滑固定漏斗内壁做水平面上的匀速圆周运动；图7，火车以规定速度转弯。
2. 临界问题分析：
【例2】长为l 的细线上端固定在顶角为θ=30°的固定圆锥体的顶部,下端与质 量为m 的小球(可看做质点)相连,如图.让小球绕圆锥体的中心轴以ω在 水平面内做匀速圆周运动。
(1)当l g 321=
ω时,绳对小球的拉力是多大? (2)当 l g 22=
ω 时,绳对小球的拉力是多大? （3）画出T--ω2图像。
O
θ
三．课堂练习：
1. 如图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为
μ，Ａ的质量为2m ，Ｂ、Ｃ质量均为m ，Ａ、Ｂ离轴Ｒ，Ｃ离轴2
Ｒ，则当圆台旋转时（设Ａ、Ｂ、Ｃ都没有滑动），Ａ、Ｂ、Ｃ三者
的滑动摩擦力认为等于最大静摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A. Ｃ物的向心加速度最大；
B. Ｂ物的静摩擦力最小；
C. 当圆台转速增加时，Ｃ比Ａ先滑动；
D. 当圆台转速增加时，Ｂ比Ａ先滑动。
2. 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，
物体相对桶壁静止．则（ ）
A 、物体受到4个力的作用．
B 、物体所受向心力是物体所受的重力提供的．
C 、物体所受向心力是物体所受的弹力提供的．
D 、物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的．
3. 铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还与火车在弯道上的行驶速率v 有关．下列说法正确的是
( )
A ．v 一定时，r 越小则要求h 越大
B ．v 一定时，r 越大则要求h 越大
C ．r 一定时，v 越小则要求h 越大
D ．r 一定时，v 越大则要求h 越大
4. 质量为m 的飞机，以速度v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，空气对飞机作用 力的大小等于( )
A ．m g 2＋(v 2
R )2 B ．m v 2R C ．m (v 2R )2－g 2 D ．mg
5. m=0.1kg 小球用A 、B 两绳相连，两绳固定在直杆上A 、B 两点，L AC =2m ，当
两绳拉直时与杆夹角θ1=300，θ2=450，g 取10m/s 2,求：（1）球绕杆转动
ω满足什么条件，A 、B 绳拉紧？（2）当ω=3rad/s 时，A 、B 两绳拉力？
6. 沿半径为R 的半球型碗底的光滑内表面，质量为m 的小球正以角速度ω，在一水平面内 作匀速圆周运动，试求此时小球离碗底的高度。
7. A 、B 两球质量分别为m 1与m 2，用一劲度系数为K 的弹簧相连，
一长为l 1的细线与m 1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端
拴在竖直轴OO`上，如图所示，当m 1与m 2均以角速度ω绕OO`
做匀速圆周运动时，弹簧长度为l 2。
求：（1）此时弹簧伸长量多大？绳子张力多大？
（2）将线突然烧断瞬间两球加速度各多大？
R h
第8课时 匀速圆周运动动力学问题分析
参考答案
【例2】解答：
（1）小球将要离开锥面时的l g 3320=ω；ω1<ω0，锥体有支持力， 绳的拉力T 1=1.033mg ；
（2）ω2>ω0;小球离开锥体，绳的拉力T 2=2mg ；
（3）ω<ω0, 绳的拉力24
1
23ωml mg T +=；
0ωω>时，绳的拉力2ωml T =; 做出2ω-T 图像；
课堂练习：
1、ABC;
2、C ；
3、AD;
4、A; 5.
6、2ωg
R h -=；
7、（1）2212)(1
ωl l m k x +=∆； 2212211)(ωωl l m l m T ++=；
（2）221121)(ωl l m m a +=；2212)(ωl l a +=；。