高中竞赛数学讲义第63讲极限

极限及其运算相关知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么5 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ,B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim , )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=,nx x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用6 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.7.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. 8 函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数.9 最大值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1). 10 最小值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2). 11.最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 .A 类例题例1 （1）nn aa )1(lim -∞→等于( ) A.－1B.0C.1D.不能确定分析 因为当|a a -1|＜1即a ＜21时，n n a a )1(lim -∞→=0， 当|aa -1|＞1时，nn a a )1(lim -∞→不存在. 当a a -1=1即a =21时，n n a a )1(lim -∞→=1 当aa -1=－1时，nn a a )1(lim -∞→也不存在. 答案 D.例2 已知|a |＞|b |，且n nn n n n n n ab a a b a +<++∞→-∞→11lim lim (n ∈N *)，那么a 的取值范围是( ) A.a ＜－1B.－1＜a ＜0C.a ＞1D.a ＞1或－1＜a ＜0分析 左边=aa b a a b a n n n n n n 1])(1[lim lim 1=+=+∞→-∞→右边=a ab a a b a nn n n n n =+=+∞→+∞→])([lim lim 1 ∵|a |＞|b |，∴|ab |＜1. ∴∞→n lim (a b)n =0∴不等式变为a1＜a ，解不等式得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：D.说明 在数列极限中，极限∞→n lim q n =0要注意这里|q |＜1.这个极限很重要.例3 (1)24lim 22--→x x x . (2)201213lim 2+--∞→x x x x(1)分析 先因式分解法，然后约分代入即得结果。

解：4)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x . (2)分析 分子、分母同除x 的最高次幂.解：02012113lim 201213lim 222=+--=+--∞→∞→xx x x x x x x x 例44228lim24---→x x x .分析 进行分子有理化. 解：)228)(4()22(8lim 4228lim222424+----=---→→x x x x x x x .=22284442284lim)228)(4()4)(4(lim22424=+-+=+-+=+---+→→x x x x x x x x链接有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x 的最高次幂；④分子有理化法.情景再现1 已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim 111(）= （ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 2 2lim 232-++→x b ax x x =8，试确定a ，b 的值. B 类习题例5 已知下列极限，求a 与b .(1)0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x (2)0)1(lim 2=--+-∞→b ax x x x(3)11lim2=-++∞→x ba x x 分析 此题属于已知x 趋向于x 0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x =x 0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x 不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将x =1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a ，b 的值.解 (1)1)1()()1(lim )11(lim 22+-++--=--++∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x1° 如果1－a ≠0， ∵01lim ,01lim=-=∞→∞→xbx x x ∴xx bb a x a x 111)()1(lim+-++--∞→不存在.2° 如果 1－a =0，∵010)(111)()1(lim+++-=+-++--∞→b a xx bb a x a x=－(a +b )=0 即a +b =0∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a解：(2))1(lim 2b ax x x x --+-∞→要使极限存在1－a 2=0.∴01)21(1111)21()1(lim222=++-=+++--++--∞→a ab xba x x xb ab x a x 即1+2ab =0，a +1≠0.∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+=+=-21101021012b a a ab a解：(3)))(1())((lim 1lim2121b a x x b a x b a x x b a x x x -+--+++=-++→→ 当x →1时))(1)(1(2b a x x x b a x -+-+-+极限存在，则分子、分母必有公因式x －1. ∴a －b 2=－1 ∴原式=1)1(21))(1(1lim1=-+=-++→b a b a x x x∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-4116151)1(2112b a b a b a 链接我们求极限的一种方法是分子、分母同除x 的最高次幂，但像第(1)题，因为分子的次数低于分母的次数，如果分子除以x 2，则分子极限为0，不符合，所以通分后，应除以分子分母中x 的较低次幂.并且x 的次数比分子x 的最高次幂大的项的系数应该等于0，这样极限才存在.例6已知 f (x )=⎩⎨⎧>+≤-2323222x a x x x 求a ，使2lim →x f (x )存在.解：要使2lim →x f (x )存在，则-→2lim x f (x )与+→2lim x f (x )要存在且相等.-→2lim x f (x )= -→2lim x (2x 2－3)=2·22－3=5.+→2lim x f (x )= +→2lim x (3x 2+a )=3·22+a =12+a .∴5=12+a .∴a =－7例7设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>+)0( )11()0()0( 12x x xbx a x x ，在x =0处连续，求a ，b 的值. 分析：要使f (x )在x =0处连续，就要使f (x )在x =0处的左、右极限存在，并且相等，等于f (x )在x =0处的值a . 解：-→0lim x f (x )=xbx -→0lim ·(x +1－1) +→0lim x f (x )=+→0lim x (2x +1)=2·0+1=1∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2112b a a a b链接这类连续的题目，关键是求在一点处的左、右极限存在并都等于在这点的函数值，与函数在这点的极限存在的方法是相同的情景再现3 求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+<⎩4 求1122lim +-→++n n n n n aa C 类习题例8 设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n无关的常数，且b ≠－1(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n解 (1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b=－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2)解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 说明 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力 解答本题的关键点是分析透题目中的条件间的相互关系 技巧与方法是 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律例9 已知数列｛a n ｝满足条件：a 1=1，a 2=r （r ＞0）且｛a n ·a n +1｝是公比为q （q ＞0）的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n （n =1，2，…）（Ⅰ）求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +2（n ∈N *）成立的q 的取值范围；（Ⅱ）求b n 和nn S 1lim∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；（Ⅲ）设r =219．2－1，q =21，求数列｛nn b b 212log log +｝的最大项和最小项的值. 解：（Ⅰ）由题意得rq n －1+rq n ＞rq n +1由题设r ＞0，q ＞0，故上式q 2－q －1＜0所以251251+<<-q ， 由于q ＞0，故0＜q ＜251+ （Ⅱ）因为q a a a a a a nn n n n n ==++++2121所以nn n n n n n n n n a a qa q a a a a ab b 21221221222121++=++=---+++=q ≠0 b 1=1+r ≠0，所以｛b n ｝是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =（1+r ）q n －1 当q =1时，S n =n （1+r ）当0＜q ＜1时，S n =q q r n --+1)1)(1(当q ＞1时，S n =1)1)(1(--+q q r n 01lim =∞→nn S综上所述 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+-=∞→)1( 0)10( 111lim q q rqS n n （Ⅲ）由（Ⅱ）知b n =（1+r ）q n －1从上式可知当n －20.2＞0时n ≥21（n ∈N ）时，c n 随n 的增大而减小，故 1＜c n ＜c 21=1+8.0112.20211+=-=2.25①当n －20.2＜0，即n ≤20（n ∈N ）时，c n 也随着n 的增大而减小，故 1＞c n ＞c 20=1+42.0112.20201-=-=-②综合①、②两式知对任意的自然数n 有c 20≤c n ≤c 21故｛c n ｝的最大项c 21=2.25，最小项c 20＝－4．例10 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象的顶点坐标是2)3(),41,23(=-f 且 （Ⅰ）求)(x f y =的表达式，并求出f （1）、f （2）的值；（Ⅱ）数列{a n }，{b n }，若对任意的实数x 都满足*1,)()(N n x b x a x f x g n n n ∈=++⋅+，其中)(x g 是定义在实数R 上的一个函数，求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅲ）设圆222)()(:n n n n r b y a x C =-+-，若圆C n 与圆C n+1外切，{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 是前n 个圆的面积之和，求),lim2*∞→∈N n r S nn n （. 解：（I ）由已知得241)233()3(,0,41)23()(22=--=∴≠--=a f a x a x f 1=∴a（II ）11)1()1(1=+=++⋅+n n n n n b a b a f g 即 ① 112222)2()2(++=+=++⋅n n n n n n b a b a f g 即 ②由①②得,22,1211++-=-=n n n n b a（III ）1221212122)22()22(||++++++⋅=-+-=n n n n n n n C C ，设数列{r n }的公比为q ，则111122)1(22||)1(++++⋅=+⋅==+=+n n n n n n n n q r C C q r r r 即情景再现5在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n6 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *) (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n本章习题1．已知数列)(lim ,131}{242n n n n n a a a a S a +++-=∞→ 那么满足的值为（ ）A ．21B ．32 C ．1D ．－22．设数列{}{}n n b a 和的通项公式为nn nn b a ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2131和()*∈N n ,它们的前n 项和依次为n n B A 和,则=∞→nn n B Alim ( )3 )(lim x x x x n -+++∞→ =_________4 若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________5．])21()31[(lim 320+-+→xx x x 6．36221)1(lim+++∞→n n n n7．xx m nx sin sin lim 0→ (m ，n 为自然数)8．求3924lim-+-+→x x x9.计算xxx r r +-∞→11lim (r ＞0)10． 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 、n S 等差中项为1． （1）写出1a 、2a 、3a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；（3）设n n S S S T +++= 21，求nT nn 3lim ∞→的值．11． 设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值 (a 为非零常数)12．已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值参考答案情景再现答案1解 由题意得：d 2log log log 2222242++=,求得d=1, 则n n a n =-+=-1)1(1)1(log 2又由n n n n n a a 21221111=-=-++所以n n n a a a a a a 212121111212312+⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅+-+-+=n n 211211)211(21-=--⋅所以.1)211(lim )111(lim 12312=-=-+⋅⋅⋅+-+-∞→+∞→n n n n n a a a a a a 故选C 。