作业3-多变量回归模型与假设检验知识讲解
作业3-多变量回归模型与假设检验
作业3：多变量线性回归模型与假设检验
姓名：_____万瑜_______；学号：______1157120_________
12根据美国1965年第一季度到1983年第四季度的数据（n=76），詹姆斯和埃斯马尔得到下面的回归方程，用以解释美国的个人消费支出
Y ̂t =-10.36+0.93X 2t -2.09X 3t
t=（-3.33）（249.06）（-3.06）R 2=0.9996
F=83753.7
其中，Y ——个人消费支出（10亿美元）；X 2——(税后)可支配收入（10亿美元）；X 3——银行支付利率（%）。
A ． 求边际消费倾向（MPC ）——每额外增加1美元个人可支配收入所增加的消费支出。
解：每额外增加一美元个人可支配收入所增加的消费支出为：0.93美元。
即：MPC=0.93
B ． MP
C 显著不为1吗？给出检验过程（给定显著性水平为5％，且t 0。
05(73）＝2；t 0。
025(73）＝2.385。
• 提示：在回归参数的t 检验中原假设与备择假设分别为：H 0：βi =0 H 1：βi ≠0 。
构造的统计量为：
给定显著性水平α时，拒绝原假设H 0 的条件为 |t|> t α/2(n-k-1)
我们计算当H 0成立时的t 值，再与t α/2(n-k-1)比较，可得t 检验是否通过。
而此题中，因为MPC 实际上是X 2的系数，故我们只需要将原假设写为：H 0：
βi =1，再计算此时的t 值（需要考虑ˆi
S β怎么计算出来，这也是F 小问的问题），与显
著性水平下的t α/2(n-k-1)比较就行。
解：先由上原假设：0:10=βH 的已知t 值和1ˆβ，又因为01
=β，所以由上式得：06
.24993
.0ˆ1ˆ1
=
=
t
S ββ
再由上问题假设：
1:10='
βH
7465
.1806
.24993
.01
93.0ˆ1
ˆ
11-=-=-=
'βββS t
.
因为给定显著性水平5％：385.2)73(7465.18025.0=>=t t .所以拒绝H0原假设MPC=1.
C ． 模型中包括主要利率变量的理论基础是什么？先验地预期这个变量的符号为负吗？
解：购买物品时有时需要贷款及信用卡消费，很多是分期付款的，所以利率变量也有可能成为影响消费的因素之一；当银行利率升高时，人们的消费欲望就会降低，比较愿意把钱存在银行中吃利息。
D ． b 3显著不为0吗？
解：同B 题解法：t=(-2.09)/(-2.09/-3.06)=-3.06. 385.2)73(06.3025.0=>=t t .所以拒绝H0。
在0.05的置信水平上是显著的
E ． 检验假设R 2=0.
解：⇒=02R 0:210==ββH 。
相当于F 检验的联合假设假设。
总体显著性的检验：=F 83753.7.选取显著性水平为5％,)73,3(025.0F =
3.12210293
因为 3.122102937.837530=>=F F .所以拒绝0H
F ． 计算每个系数的标准误。
解：1111.333.336.100ˆ=-=
βS ;003734.006
.24993.01ˆ==βS ;6830.006.309
.21
ˆ=--=βS
14.表4-7给出了64个国家婴儿死亡率（CM ）、女性文盲率（FLR ）、人均GNP （PGNP ）和总生育率（TFR ）的数据。
设：CM=y , FLR=x1,PGNP=x2,TFR=x3
A ．先验地从经济意义上预期CM 和各个变量之间的关系。
解：婴儿的死亡率（CM ）应与女性文盲率 （FLR ）和 人均GNP （PGNP ）成负相关 ，与总生育率（TRF ）成正相关。
B ．做CM 对FLR 的回归。
回归方程为：
y=263.8635-2.390496x1
C. 做CM对FLR和PGNP的回归。
回归方程为：
y=263.6416-2.231586x1-0.005647x2
D. 做CM对FLR，PGNP和TFR的回归，并给出ANOVA表
回归方程为：
y=168.3067-1.768029x1-0.005511x2+12.86864x3;
E. 根据各种回归结果，选择哪个模型？为什么？
解：用三个变量的模型更好，所有的系数的正负都与问题A 中的预测相同，每个变量的t 检验的p 值都很小，所以回归系数都是显著的，而且根据D 问中的
三个表观察到调整2
R 的值随着自变量的增加而变大。
F. 如果回归模型（d ）是正确的模型，但却估计了（a ）或（b ）或（c ），会有什么后果？
解：模型中漏了某个相关变量造成模型的估计量不一致。
G. 假定做回归（b ），如何决定增加变量PGNP 和TFR ？使用了哪种检验？给出必要的计算结果。
解：回归变量的增加使得2R 变大，说明加入的变量对y 值有显著影响，决定增
H0：受限模型的约束是有效的。
无约束条件下（非受限模型）回归的可决系数为747372.02
=r R ，（受限模型）有约束条件下的回归系数为66959.02
=ur R ，约束条件的个数(所增加变量的个数，原来为FLR ，现在多了PGNP 和TFR)为m=2 （PGNP 和TFR ）得：
2399.9)
464/()747372.01(2
/)66959.0747372.0()
/()1(/)(2
2
2
=---=
---=k n R m R R F ur r ur
而
150411.3)60,2(2399.9025.0=>=F F 拒绝原假设，F 统计量在统计上是显著的，PGNP 和TFR 对CM 有显著影响应保留在模型中。
统计学中的线性回归模型与假设检验
统计学中的线性回归模型与假设检验统计学作为一门研究数据收集、分析和解释的学科，扮演着重要的角色。
其中，线性回归模型和假设检验是统计学中常用的方法。
本文将介绍线性回归模型的基本概念和应用，以及假设检验的原理和实际意义。
一、线性回归模型线性回归模型是一种用于描述两个或多个变量之间关系的统计模型。
它假设自变量和因变量之间存在线性关系，并通过最小化因变量与预测值之间的差异来估计回归系数。
在线性回归模型中，自变量通常表示为X，因变量表示为Y。
模型的基本形式可以表示为Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的随机变动。
线性回归模型的应用非常广泛。
例如，在经济学中，可以使用线性回归模型来研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，可以使用线性回归模型来分析药物剂量与治疗效果之间的关系。
通过对数据进行拟合和分析，线性回归模型可以帮助我们理解变量之间的关系，并进行预测和决策。
二、假设检验假设检验是一种统计推断方法，用于判断样本数据与某个假设之间是否存在显著差异。
在假设检验中，我们首先提出一个原假设（H0）和一个备择假设（H1），然后根据样本数据进行统计推断，判断是否拒绝原假设。
在假设检验中，我们通常使用一个统计量来衡量样本数据与原假设之间的差异。
常见的统计量包括t值、F值和卡方值等。
通过计算统计量的概率值（p值），我们可以判断样本数据是否支持原假设。
假设检验在科学研究和实际应用中具有重要意义。
例如，在药物研发中，可以使用假设检验来判断新药物是否比现有药物更有效；在市场营销中，可以使用假设检验来评估不同广告策略的效果。
通过假设检验，我们可以基于数据进行科学决策，提高研究和实践的可靠性。
三、线性回归模型与假设检验的关系线性回归模型和假设检验是统计学中紧密相关的方法。
在线性回归分析中，我们可以使用假设检验来评估回归系数的显著性。
在线性回归模型中，我们通常对回归系数进行假设检验，以确定自变量对因变量的影响是否显著。
计量经济学-第4章 多元回归：估计与假设检验
Q Q Q 4-13Q
b1 0 b2 0 b3 0 bk 0
Q
n
ei2
i 1
n
ˆ (Yi Yi ) 2
i 1
n
(Yi (b1 b2 X 2i b3 X 3i bk X ki ))2
方程表示：各变量X值固定时Y的平均响应。
Bt 被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情 况下，Xt 每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化；或者说 给出了Xt的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他 4-7 变量）影响。
4.1 三变量线性回归模型
样本回归函数：用来估计总体回归函数
4-23
d . f . 30
4.5 古董钟拍卖价格一例
4-24
4.5 古董钟拍卖价格一例
ˆ Pr icei 1336.049 12.74138 Age 85.76407 Bidder se (175.2725)(0.912356)(8.801995) t (7.622698)(13.96537)(9.743708) R 2 0.890614 F 118.0585 p值 0.0000)(0.0000) d . f . 29 （
4-6
4.1 三变量线性回归模型
Yi B1 B2 X 2t B3 X 3t Bk X kt ut t 1, 2 n
也被称为总体回归函数的随机表达形式。
它的非随机表达式为：
E(Yt / X 2t , X 3t , X kt ) B1 B2 X 2t B3 X3t Bk X kt
t检验
设计原假设与备择假设：
经济计量学第三讲双变量回归模型的区间估计及其假设检验
决策准则:
5. 如果 t > tc 或 -t < - tc , 则拒绝 Ho
or | t | > | tc |
接受域
拒绝 H0 区域
( ) bˆ 2 -
t
c
a
* Se
2, n-2
bˆ 2
b2
东北财经大学数量经济系
拒绝 H0 区域
( ) bˆ 2
+
tc a 2,
*
n-2
Se
bˆ 2
第三节 双变量回归的假设检验（4）
t = 0.5091 - 0.3 = 0.2091 = 5.857 0.0357 0.0357
东北财经大学数量经济系
第三节 双变量回归的假设检验（7）
One-Tailed t-test (cont.)
2. 查表得知
tc 0.05, 8
where
tc 0.05 ,
8
=1.860
a = 0.05
3. 比较 t 和临界值 t
sˆ 2
Pr[(n - 2)
s 2 (n - 2)
sˆ 2
] =1-a
2 a/2
2 1-a / 2
东北财经大学数量经济系
第三节 双变量回归的假设检验（1） 第三节 双变量回归的假设检验
一、假设检验的基本问题 1.假设检验的基本思想 2.基本概念
二、假设检验的置信区间方法
东北财经大学数量经济系
一、正态性假定 1.正态性假定的含义 2.随机干扰项做正态假定的理由
二、在正态假定下OLS估计量的性质
东北财经大学数量经济系
第一节 正态性假定：经典正态线性回归模型（2）
三、最大似然法 1.双变量回归模型的最大似然估计 — 似然函数 — 最大似然法的基本思想 — 回归系数和随机干扰项的ML估计量
回归模型的参数估计与假设检验
回归模型的参数估计与假设检验回归模型的参数估计主要包括最小二乘估计和极大似然估计两种方法。
最小二乘估计是以最小化残差平方和为目标，通过对样本数据进行拟合，求得最优的回归系数。
极大似然估计则是基于对数据样本概率分布的假设，利用最大化似然函数来估计回归模型的参数。
最小二乘估计是最常用的参数估计方法之一、它的基本思想是通过最小化实际观测值与模型预测值之间的差异，来估计回归模型的参数。
具体而言，对于简单线性回归模型（y=β0+β1x+ε），最小二乘估计通过最小化残差平方和来求解β0和β1的估计值。
最小二乘估计方法具有许多优点，如解析解存在、估计结果具有线性无偏性、效率性好等。
在最小二乘估计的基础上，还可以进行各种统计检验，用于检验回归系数的显著性。
常见的假设检验方法包括t检验和F检验。
t检验用于测试回归系数是否与零有显著差异。
在回归模型中，t统计量的计算公式为：t=估计值/标准误差其中，估计值是通过最小二乘法得到的回归系数估计值，标准误差则是估计标准误差的估计值。
t统计量的值越大，说明回归系数与零的差异越显著。
F检验用于测试回归模型整体的显著性。
F统计量的计算公式为：F=（回归平方和/自由度）/（残差平方和/自由度）其中，回归平方和表示回归模型能够解释的样本数据方差之和，残差平方和表示回归模型无法解释的样本数据方差之和。
自由度则表示相关统计量中所用到的自由参数个数。
通过计算F统计量的值，可以得到一个关于回归模型整体显著性的p 值。
p值小于给定的显著性水平（通常为0.05或0.01），则拒绝“回归模型无效”的原假设，即认为回归模型整体显著。
回归模型的参数估计和假设检验是回归分析的核心步骤，可以帮助研究者理解因变量和自变量之间的关系，并通过假设检验来进行推断和判断。
这些方法不仅在社会科学和经济学领域有广泛应用，也在相关学科的研究中具有重要意义。
回归模型的参数估计与假设检验讲解
回归模型的参数估计与假设检验讲解回归模型是统计学中常用的一种分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
参数估计和假设检验是回归模型中重要的概念和方法，用于推断变量之间的关系是否显著。
在回归模型中，参数估计是利用样本数据来推断回归方程中的参数值，从而描述和预测变量之间的关系。
具体来说，对于简单线性回归模型，我们可以通过最小二乘法来估计回归方程的参数，即使得模型的误差平方和最小。
最小二乘法的计算方法可以简洁地表达为：$\min \sum{(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2}$其中，$y_i$表示观测到的因变量的值，$x_i$表示观测到的自变量的值，$\beta_0$和$\beta_1$分别是截距和斜率的估计值。
通过求解这个最小化问题，我们可以得到最佳的参数估计。
而假设检验则是用来评估回归模型中参数估计的显著性。
在假设检验中，我们对参数的假设提出一个原假设和一个备择假设。
原假设通常是参数等于一个特定的值，而备择假设则是参数不等于该值。
假设检验的步骤包括计算检验统计量、确定临界值、进行推断。
常用的假设检验方法有t检验和F检验。
在简单线性回归模型中，假设检验通常用于评估斜率参数$\beta_1$的显著性。
例如，我们可以设定原假设为斜率等于零，备择假设为斜率不等于零。
然后，通过计算t统计量和查表得到拒绝或接受原假设的结论。
在多元回归模型中，假设检验可以用于评估各个自变量的显著性，或者评估整个模型的显著性。
对于自变量的显著性评估，常用的方法是利用t检验确定各个参数的置信区间，判断参数是否显著不为零。
对于整个模型的显著性评估，常用的方法是利用F检验检验回归方程的整体显著性，即检验自变量对因变量的解释程度是否显著。
除了参数估计和假设检验，回归模型还可以进行模型诊断和模型选择。
模型诊断用于检验回归模型的合理性和假设的满足情况，主要包括检验误差项的正态性、异方差性和自相关性等。
模型选择则是在多个可能的模型之间选择一个最佳的模型，常用的标准包括最小二乘法、最大似然法和贝叶斯信息准则。
多元回归模型估计与假设检验
•
F
(Ru2r Rr2 ) / m (1 Ru2r ) /(n k)
~
Fm,nk
•F (0.8906 0) / 2 117.414
(1 0.8906) /(32 3)
• 拒绝原假设，受限模型(1)的约束无效，钟表年 代和竞标人数对拍卖价格有显著影响。
• 注意：受限与非受限模型的应变量必须相同！
R ˆ2 yi x2i ˆ3 yi x3i 0 yi2
1-10 2021/4/4
10
例子：古董钟拍卖价格
精要、表6-14：
1-11 2021/4/4
11
例子：古董钟拍卖价格
多元回归结果：
1-12 2021/4/4
12
第五节 多元回归的假设检验
OLS估计量的抽样分布：
注意前提： 当不可观测
1-28 2021/4/4
28
表 8-4
古董钟拍卖价格的四个回归模型及估计结果
1-29 2021/4/4
29
第九节 受限最小二乘
• 受限模型(restricted model)：例如，模型(1) • 非受限模型(unrestricted model) ：例如，模型(4) • 受限最小二乘法(restricted least squares, RLS) • 非受限最小二乘法(unrestricted least squares, URLS)
检验联合假设(joint hypothesis)
•
等价于假定：
• R2 0
• 多元回归的总体显著性检验
1-15 2021/4/4
15
多元回归的总体显著性检验(F检验)
每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的方 程的总体线性关系显著
第四章 多元回归：估计与假设检验
X1 X 2 X 3
§4.2 多元线性回归模型的参数估计
一、普通最小二乘估计
二、参数估计量的性质 三、参数估计中的样本容量问题
20
一、普通最小二乘估计
结构参数；分布参数
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
Q 0 ˆ 0 Q0 ˆ 1 ˆ Q0 2 Q0 ˆ k
标量符号 1、解释变量 X 1 , X 2 ,, X k 是非随机的或固定的；而且各 X 之 间互不相关（无多重共线性(no multicollinearity)） 矩阵符号 1、
n ( k 1)
矩阵 X 是非随机的；且 X 的秩
(X ) k 1
，此时
XTX
也是满秩的
二、多元线性回归模型的基本假定
标量符号 3、解释变量与随机项不相关
Cov ( X ji , i ) 0
i 1, 2, , n
矩阵符号 3、
E( X T N ) 0
，即
i E ( i ) X 1i i X 1i E ( i ) E 0 X X E ( ) Ki i Ki i
标量符号 3、解释变量与随机项不相关
Cov ( X ji , i ) 0
i 1, 2, , n
矩阵符号 3、
E( X T N ) 0
，即
i E ( i ) X 1i i X 1i E ( i ) E 0 X X E ( ) Ki i Ki i
第4章 多元回归：估计与假设检验
例如：
E(Yt ) 15 1.2 X 2t 0.8 X 3t
多元回归模型
包含多个解释变量的回归模型称为多元回归模型。 多元是指由多种因素对应变量有影响。本章将以三变 量线性回归模型为例来讲解多元回归模型。一旦掌握 了三变量模型，就很容易将结论扩展到更多元的线性 回归模型。 多元线性回归模型的若干假定 (1)回归模型是参数线性的 (2)回归模型是正确设定的。 (3)解释变量与随机误差项不相关。 (4)随机误差项均值为零
• F与 R 之间的重要关系 可以证明，判定系数 R 2 与F值之间有如下重要关系：
2
其中，n为观察值的个数，k为包括截距在内的解释变量的个数。 • 因此，可以说，前面讨论过的F检验也可用于检验 的显著性。鉴于 此，对于总体回归方程的显著性的F检验可以采用 R 2的形式。方差分 析表也可以等价地表示为下表： R2
ut
～
N (0, 2 )
二、三变量线性回归模型的OLS估计量
1.三变量线性回归模型的OLS估计量
设某三变量线性回归模型，其随机样本回归函数为：
其中，b1 、b2、b3 分别是 B1、B2、B3的估计量 et 为残差。确定样本回归函数为：
ˆ b b X b X Y t 1 2 2t 3 3t
F ～ F (k 1, n k ) F ～ F (2, n 3)
• F检验的理论原理是：如果Y由回归解释的部分（即由X2和 X3解释的部分）比未被回归解释的部分大，则F值将大于1 。因此，随着解释变量对应变量Y变异的解释比例逐渐增大 ，F值也将逐渐增大。因此，F值越大，则拒绝零假设的理 由越充分。 • 例如：古董钟拍卖价格一例（见课本第77页） 回归结果如下： 从结果来看，获得F值的概率几乎为0，所以，能够拒绝零 假设：钟表年代和竞标人数联合对古董竞标价格没有影响 。
作业3-多变量回归模型与假设检验
截距
FLR
PGNP
TFR
F
CM
141.5000
(14.89904)
_
_
_
0.00
0.00
0
CM
263.8635
(12.22499)
-2.390496
(-11.20917)
_
_
0.669590
0.664261
125.6455
CM
157.4244
(15.98935)
_
-0.011364
(-3.515661)
用三个变量的模型更好所有的系数的正负都与问题a中的预测相同每个变量的t检验的p值都很小所以回归系数都是显著的而且根据d问中的三个表观察到调整2的值随着自变量的增加而变大
作业
姓名：_____万瑜_______；学号：______1157120_________
12根据美国1965年第一季度到1983年第四季度的数据（n=76），詹姆斯和埃斯马尔得到下面的回归方程，用以解释美国的个人消费支出
F.如果回归模型（d）是正确的模型，但却估计了（a）或（b）或（c），会有什么后果？
解：模型中漏了某个相关变量造成模型的估计量不一致。
G.假定做回归（b），如何决定增加变量PGNP和TFR？使用了哪种检验？给出必要的计算结果。
解：回归变量的增加使得 变大，说明加入的变量对y值有显著影响，决定增加变量PGNP和TFR。
无约束条件下（非受限模型）回归的可决系数为 ，（受限模型）有约束条件下的回归系数为 ，约束条件的个数(所增加变量的个数，原来为FLR，现在多了PGNP和TFR)为m=2（PGNP和TFR）得：
而
拒绝原假设，F统计量在统计上是显著的，PGNP和TFR对CM有显著影响应保留在模型中。
多元回归：估计与假设检验
学习目标
多元回归模型的估计问题 多元回归模型的假设检验问题 多元回归模型区别于双变量模型的特性
如何决定多元回归模型中解释变量的个数
8.1 多元线性回归模 型及其假定
多元线性回归模型
多元线性回归模型：表现在线性回归模型中的解 释变量有多个。 一般表现形式：
Yi B0 B1 X1i B2 X 2i
多元线性回归模型的基本假定
假设4：解释变量之间不存在完全共线性， 即两个解释变量之间无确切的线性关系。
在存在完全共线性的情况下，不能估计偏
回归系数，即不能估计各解释变量各自对 应变量Y的影响。
实际问题中，很少会遇到完全共线性的情
况，但却面临高度共线性或近似完全共线 性的情况。这将第三部分说明。
Bj也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保 持不变的情况下，X j每变化1个单位时，Y的均 值E(Y)的变化; 或者说Bj给出了X j的单位变化对Y均值的“直接” 或“净”（不含其他变量）影响。
用来估Y i 0 1 1i 2 2i
Bk X ki ui
i=1,2…,n
其中:k为解释变量的数目，Bj称为回归参数 （regression coefficient）。
确定 成分
习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数， 该虚变量的样本观测值始终取1。于是： 模型中解释变量的数目为（k+1）
Yi B0 B1 X1i B2 X 2i
2 2
ˆ2
2 e i
n3
e
2 i
ˆ Yi Y i
2
yi2 b1 yi x1i b2 yi x2i
3.多元回归OLS参数估计量的性质