矩阵求逆方法大全1
矩阵求逆方法大全
矩阵求逆方法大全
矩阵的逆是一个重要的数学概念，它在很多领域中都得到了广泛的应用，如线性代数、微积分、概率论等。
求解矩阵的逆可以用于解线性方程组、计算行列式、计算特征值和特征向量等。
本文将介绍几种常见的矩阵求逆方法，包括伴随矩阵法、高斯消元法、LU分解法和特征值分解法。
1.伴随矩阵法：
伴随矩阵法是求解逆矩阵最常用的方法之一、首先，计算出矩阵的伴
随矩阵，然后将其除以矩阵的行列式即可得到逆矩阵。
2.高斯消元法：
高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，也可以用来求解矩阵
的逆。
通过将待求逆矩阵与单位矩阵连接起来，然后进行初等行变换，直
至左边的矩阵变为单位矩阵，右边的矩阵即为所求逆矩阵。
3.LU分解法：
LU分解法将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，然后
通过求解两个三角矩阵的逆矩阵，进而求得原矩阵的逆。
LU分解法是一
种常用的数值计算方法，应用广泛。
4.特征值分解法：
特征值分解法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来求解矩阵的逆的
方法。
首先，根据特征值定理求解矩阵的特征值和特征向量，然后利用这
些特征值和特征向量构建一个对角矩阵，最后通过对角矩阵求逆得到原矩
阵的逆。
除了上述方法外，还有其他一些方法可以用来求解矩阵的逆，如迭代法、SVD分解法等。
这些方法在不同的应用场景下有不同的优势。
总之，求解矩阵的逆是一个重要的数学问题，在实际应用中有着广泛的应用。
以上介绍的几种方法是常用的求解逆矩阵的方法，读者可以根据自己的需求选择合适的方法进行求解。
矩阵求逆方法大全
矩阵求逆方法大全矩阵的逆在线性代数中是一个非常重要且常用的概念。
逆矩阵存在的前提是矩阵必须是方阵且可逆。
逆矩阵的定义可以简单地表述为：对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1下面将介绍几种求解矩阵逆的方法。
1.初等变换法：初等变换法是一种最常用的求解矩阵逆的方法。
基本思想是通过一系列初等行变换将原矩阵A转化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，得到A的逆矩阵。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)通过初等行变换将增广矩阵[A，I]变换为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
这种方法比较直观，但计算量较大，特别是对于大型矩阵很不方便。
2.列主元消去法：列主元消去法是一种改进的初等变换法，其目的是选取主元的位置，使得计算量减少。
具体步骤为：(1)将原矩阵A与单位矩阵I进行横向拼接，形成增广矩阵[A，I]；(2)选取增广矩阵中当前列中绝对值最大的元素作为主元，通过交换行使主元出现在当前处理行的位置；(3)用主元所在行将其他行消元，使得主元所在列的其他元素都为0；(4)重复以上步骤，直到增广矩阵[A，I]经过一系列的行变换变为[I，B]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
列主元消去法相对于初等变换法来说，计算量会更小，但仍然对于大型矩阵的操作不够高效。
3.公式法：对于一个二阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式求得：A^-1 = (1/，A，) * adj(A)，其中，A，为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
对于更高阶的矩阵，也可以通过类似的公式求解，但行列式和伴随矩阵的计算相对较为复杂，不太适用于实际操作。
4.LU分解法：LU分解也是一种常用的矩阵求解方法，其将原矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
逆矩阵的计算可以通过LU分解来完成。
具体步骤为：(1)对原矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；(2)分别求解方程LY=I和UX=Y，其中Y为未知矩阵；(3)得到Y后，再将方程UX=Y带入，求解方程UX=I，得到逆矩阵X。
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
矩阵的逆求解技巧
矩阵的逆求解技巧矩阵逆的求解是线性代数中非常重要的一部分，它在科学计算、工程应用和数学理论等领域都有广泛应用。
本文将介绍矩阵逆的求解技巧，包括高斯-约当消元法、伴随矩阵法和基于特征值的方法。
1. 高斯-约当消元法高斯-约当消元法是求解矩阵逆的一种经典方法。
该方法的基本思想是将待求逆矩阵与单位矩阵联合成一个增广矩阵，然后通过一系列行变换将增广矩阵转化为单位矩阵和逆矩阵。
具体步骤如下：1) 将待求逆矩阵A与单位矩阵I联合成增广矩阵[A|I]。
2) 通过行变换，使得增广矩阵的左半部分变为单位阵。
具体步骤是将第i列的主元素调整为1，同时将位于它下方的元素调整为0。
重复这一过程，直到所有列的主元素都变为1。
3) 在增广矩阵的左半部分变为单位阵后，其右半部分将变为矩阵A的逆矩阵。
这种方法的优点是简单易懂，适用于各种规模的矩阵。
但是，当矩阵的维数较大时，计算量非常庞大。
2. 伴随矩阵法伴随矩阵法是求解矩阵逆的另一种常用方法。
该方法的基本思想是利用伴随矩阵来求解逆矩阵。
伴随矩阵是由原矩阵的代数余子式按一定规律排列而成的一个矩阵。
具体步骤如下：1) 计算原矩阵A的代数余子式。
2) 将代数余子式按照一定规律排列成伴随矩阵。
3) 利用伴随矩阵和原矩阵的行列式之积进行矩阵逆的计算。
具体计算逆矩阵的公式是：A^(-1) = adj(A)/|A|，其中adj(A)表示A的伴随矩阵，|A|表示A的行列式。
伴随矩阵法的优点是计算量相对较小，适用于中等规模的矩阵。
但是，当原矩阵的维数较大时，计算伴随矩阵和行列式都会带来较大的计算压力。
3. 基于特征值的方法基于特征值的方法是求解矩阵逆的一种常用方法。
该方法的基本思想是将矩阵A分解为特征值和特征向量的形式，然后通过特征值和特征向量的计算求解逆矩阵。
具体步骤如下：1) 计算矩阵A的特征值和特征向量。
2) 将矩阵A的特征值构成一个对角矩阵Λ，特征向量构成一个列向量矩阵P。
3) 计算原矩阵A的逆矩阵。
矩阵运算 求逆
矩阵求逆是线性代数中的一个重要概念，通常指的是对于一个给定的方阵，找到一个同样大小的矩阵，使得两者相乘得到单位矩阵。
以下是几种常见的求逆矩阵的方法：
1. 高斯消元法：这是一种通过行变换将矩阵转换为行阶梯形矩阵，然后通过回代求解未知数的方法。
如果矩阵可逆，最终可以通过回代得到其逆矩阵。
2. LU分解法：这种方法将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
如果这样的分解存在，那么矩阵的逆可以表示为U的逆和L的逆的乘积。
3. SVD分解法：奇异值分解（SVD）是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法。
如果矩阵是可逆的，那么它的逆可以通过对分解得到的矩阵进行相应的逆运算得到。
4. QR分解法：这种方法将矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
如果矩阵可逆，那么其逆可以表示为R的逆和Q的转置的乘积。
5. 伴随矩阵法：这是通过计算矩阵的伴随矩阵和行列式的倒数来求逆的方法。
适用于小矩阵或者行列式容易计算的情况。
6. 初等变换法：通过对矩阵进行一系列的初等行变换或列变换，将其转换为单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的变换，最终得到的就是原矩阵的逆。
矩阵求逆方法大全-1
求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
求逆矩阵的三种方法
求逆矩阵的三种方法求逆矩阵的三种方法1.待定系数法待定系数法顾名思义是一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
对于这个题来说，左边是题目中的矩阵，右边是假设的三阶矩阵[1 -4 -3] | [a b c][1 -5 -3] | [d e f][-1 6 4] | [g h i]接下来该说说矩阵的乘法，两个矩阵相乘，内部决定可乘与否，外部决定新形状形如A[3*1]与B[2*3]不可乘，A[3*3]与B[3*1]可乘A*B=C3*1（三行一列的矩阵）其核心是第一个矩阵第一行的每个数字，各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字，然后乘积相加就可以得到，换句话说，结果矩阵的第M行与第N列交叉的位置的那个值等于第一个矩阵的第M行与第二个矩阵第N列对应位置的每个数字的乘积之和。
过程如下[a-4d-3g b-4e-3h c-4f-3i ] | [1 0 0][a-5d-3g b-5e-3h c-5f-3i ] | [0 1 0][-a+6d+4g -b+6d+4g -c+6c+4i ] | [0 0 1]九个未知数九个方程a-4d-3g=1 a=2b-4e-3h=0 b=2c-4f-3i=0 c=3a-5d-3g=0 >>> d=1b-5e-3h=1 >>> e=-1c-5f-3i=0 >>> f=0-a+6d+4g=0 g=-1-b+6d+4g=0 h=2-c+6c+4i=1 i=1以上就是待定系数法的全部内容，这种方法方法并不难，主要考察的是细心。
2.伴随矩阵法用这个方法之前，必须先搞清什么是余子式和代数余子式！设矩阵，将矩阵的元素所在的第i行第j列元素划去后，剩余的，各元素按原来的排列顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式称为元素的余子式，记为，称谓元素的代数余子式。
矩阵求逆方法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵时，常采用如下一些方法．
方法1 伴随矩阵法：．
注1对于阶数较低(一般不超过3阶)或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵．注意元素的位置及符号．特别对于2阶方阵
，其伴随矩阵，即伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律．
注2 对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵．
方法2 初等变换法：
注对于阶数较高()的矩阵，采用初等变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便．在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换．
方法3分块对角矩阵求逆：对于分块对角(或次对角)矩阵求逆可套用公式
其中均为可逆矩阵．
例1已知，求．解将分块如下：
其中，
而
，
从而
例2已知，且，试求．解由题设条件得
例3 设4阶矩阵
且矩阵满足关系式，试将所给关系式化简，并求出矩阵．解由所给的矩阵关系式得到
，即
故．利用初等变换法求．由于
故
例4 设，则_________.
应填：.
分析在遇到的有关计算时，一般不直接由定义去求，而是利用的
重要公式.如此题，由得，而，于是
=
例5 已知，试求和．
分析因为，所以求的关键是求．又由
知，可见求得和后即可得到．
解对两边取行列式得，于是
即，故
又因为，其中，又，可求得
，
故由得
例6 设，其中（），则____.
应填：.
分析法1.，其中，.
从而.又，，代入即得的逆矩阵.
法2. 用初等变换法求逆矩阵.
=
故。
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求逆矩阵的若干方法和举例苏红杏广西民院计信学院00数本（二）班[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的读者参考。
[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。
但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。
为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。
定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B方法 一. 初等变换法（加边法）我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。
即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使E A Q Q Q m m =-11 （1）则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。
例 1 . 设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。
解：由（3）式初等行变换逐步得到： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012001210010411 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123100124010112001于是1-A = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21123124112说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。
同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。
方法 二. 伴随矩阵法定理：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化，而1-A =d1*A ，（d=A ≠0） (4)我们用（4）式来求一个矩阵的逆矩阵。
例 2. 求矩阵A 的逆矩阵1-A ：已知A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛343122321解：d=A =9+6+24-18-12-4=2≠011A =2 12A =-3 13A =221A =6 22A =-6 23A =2 31A =-4 32A =5 33A =-2用伴随矩阵法，得1-A =d 1*A =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11125323231 说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。
方法 三. 矩阵分块求逆法 在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。
引出公式： 设T 的分块矩阵为：T= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛D C B A , 其中T 为可逆矩阵，则1-T = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------+-------------1111111111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A , （5） 说明：关于这个公式的推倒从略。
例 3. 求下列矩阵的逆矩阵，已知 W=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5243210040103001 解：将矩阵W 分成四块，设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001, B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛243, C=()243, D=()5,于是 ),24()(1-=--B CA D 即11)(---B CA D =)241(-B A 1-=B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛243, 1-CA =C=()243，利用公式（5），得1-W =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------12432208648812361215241 方法 四. 因式分解法若0=k A ，即（E-A ）可逆，且有1)(--A E =12-++++K A A A E ， （6） 我们通过上式（6），求出1-A 例 4.求下面矩阵的逆矩阵，已知：A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1000011000211003211043211, 解：因为存在一个K 0，使K A E )(-=0，把这里的（E-A ）替换（6）式中的“A ”，得 1-A =12)()()(--++-+-+K A E A E A E E通过计算得 4)(A E -=41000011000211003211043211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=0，即K=4所以 1-A =32)()()(A E A E A E E -+-+-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000001000001000001000001+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000010000210003210043210 +=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000011000111000111010111 方法 五.多项式法我们知道，矩阵A 可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。
例 5.已知矩阵A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3312，且A 满足多项式f(x)=0352=+-E X X ，即0352=+-E A A 试证明A 是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。
证：由0352=+-E A A ，可得E E A A =+-)3531(从而可知A 为可逆矩阵，并且⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=-32131110013533123135311EA A方法 六. 解方程组法在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式E AA =-1两端对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。
例 6.求A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛343122321的逆矩阵解：求可逆矩阵A 的逆矩阵X ，则它满足AX=E ，设),,(321X X X X =，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AX ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102AX ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1003AX利用消元解法求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i i i x x x X 321 （i=1,2,3）解得：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-1110253232311X A方法 七. 准对角矩阵的求逆方法定义：形如 ii nn A A A A A ,0000002211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 是矩阵 n i ,2,1= 。
A 称为准对角矩阵。
其求逆的方法：可以证明：如果nn A A A ,,,2211 都可逆，则准对角矩阵也可逆，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11221111221100000000000nn nn A A A A A A例 7. 已知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=500051002300004A ，求1-A 。
解：设11A =4 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=512322A 533-=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33221100000A A A A求得：,41111=-A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3125171122A 51133-=-A所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----51000173171001721750000410000001331221111A A A A方法八.恒等变形法有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。
而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
例 8.已知E A =6 ， 求11A ， 其中⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21232321A ， 解：对已知矩阵等式E A =6进行恒等变形，得 E A A A A A E A =•=•=•=116666于是，111-=A A ，又因为A 是正交矩阵，T A A =-1，所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===-21232321111T A A A方法九.公式法利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。
１） 二阶矩阵求逆公式（两调一除）：若 Ａ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a ， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-a c b d A A 11２） 初等矩阵求逆公式：ij ij E E =-1)1()(1kE k E i i =-)()(1k E k E ij ij -=-３） 对角线及其上方元素全为１的上三角矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011101111A 的逆矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-100001100000110000111 A４） 正交矩阵的求逆公式： 若A 为正交矩阵，则T A A =-15）其他常用的求逆公式： 111)(---=A B AB T T A A )()(11--= A A A A 111)*(*)(---==S A A A A ,,,,321 可逆 ，则11121121)(----=A A A A A A SS 例 9. 已知：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100110111B ，求1)(-AB 。
解：由于A 是初等矩阵，由公式得：A A =-1而B 为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1001100111B ，再由公式得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-010110101110100001100110011)(1AB到此为止，我已介绍了9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于其方法不是很简便，在此略。
这些方法各有所长，读者可根据实际情况进行选择。
当然，除此之外还有其它方法。
希望能和大家在今后的学习中，共同研究出更方便，更有效的矩阵求逆方法。
参考文献：[1] 高等代数/北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编。
[2] 高等代数一题多解200例/ 魏献祝 编 福建人民出版社。
[3] 线性代数学习指导/ 戴宗儒编科学技术出版社。
[4] 线性代数解题方法技巧归纳/ 毛纲源编华中理工大学出版社。
[5] 数学手册/ 《数学手册》编写组编。