高二数学教案：抛物线教案人教版
高中抛物线教学设计人教版
通过相互交流，相互解决问题，增强合作意识，发挥团队精神，真正促进学生的思维发展。
再次体现在求解曲线的方程时建系的重要性。
类比的学习方法
形成四种方程间的对比，加深对知识的理解，形成完善的知识结构体系。
培养学生观察、分析、类比、抽象概括的能力。
巩固练习
例1
例2
2、通过几何画板，观察、发现和认识抛物线。
师生利用课件，结合教具共同作与一个定点的距离等于它到定直线的距离的动点的轨迹（图形）——抛物线，培养探索、实验精神。
四、教学策略选择与设计
以多媒体课件为依托，课件可增强课堂教学的直观性、趣味性，促进学生积极思维，能够在动态演示过程中化解教学难点，突出教学重点。教学中采用实验探索、类比法、图表法。
人教版抛物线及其标准方程教学设计
科目：数学
教学对象：高二年级
课时：1课时
提供者：
单位：四中分校
一、教学内容分析：
解析几何是通过建立直角坐标系，用代数方法解决几何问题的学科。它主要研究两个问题：(1)已知曲线求方程；(2)根据方程研究曲线的性质。而椭圆、双曲线、抛物线是重要的圆锥曲线，是学生掌握解析几何的关键，是领会解析法的重要途径，是数形结合的重要知识点。
（3）不仅是一个头脑清晰的讲授者，还是一个反应敏捷的倾听者，让学生有说话权利，重视学生的内心世界，使学生敢于表达自己的见解。
（4）尊重学生在学习活动中的主体地位，引导启发学生的思维参与到有效的学习中。
八、板书设计
一．概念形成三．巩固练习
抛物线的定义
点F不在直线l上四．本节小结
二．抛物线的标准方程五。作业教材P73习题2.4A组1,3
抛物线的定义
高二数学抛物线及其标准方程教案 人教版 教案
高二数学抛物线及其标准方程教案教学目标：(一)教学知识点1、掌握抛物线的定义。
2、抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。
3、能根据已知条件熟练地求出抛物线的标准方程。
（二）能力训练1、训练学生化简方程的运算能力2、培养学生数形结合，分类讨论的思想（三）德育渗透目标1、根据圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。
２、通过本节课的学习，使同学们再次感受到数学与生活的美妙结合，进一步体会大自然的奥秘。
教学重点1、抛物线的定义、焦点和准线的求法。
2、抛物线的四种标准方程形式以及p的几何意义。
教学难点1、抛物线的画法。
2、抛物线的四种图形下标准方程及焦点和准线的求法。
教学方法：启发引导式教学过程：１课题引入：通过抛掷苹果的实验启发学生回忆起对抛物线的了解．板书题目抛物线及其标准方程回忆：椭圆，双曲线的第二定义与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0< e <1时是椭圆，当e > 1时是双曲线，那么当e = 1时是什么曲线呢？讲授新课一、 1、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线想一想: 定义中的定点与定直线有何位置关系?点F 不在直线L 上,即设|FK|=P 则P>02、复习求曲线方程一般步骤：（1）、建系、设点 （2）、写出适合条件P 的点M 的集合（3）、列方程 （4）、化简 （5）、（证明）3、求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴设︱KF ︱= p 则F （0,2p ），l ：x = -2p 。
设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 |MF|=|MN| 即：2)2(22p x y P x +=+-化简得y 2 = 2px （p ＞0） 二、标准方程把方程y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程其中F （2P ，0）， l ：x = - 2P 而p 的几何意义是: 焦 点 到 准 线 的 距 离|FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.1．四种抛物线的标准方程对比2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来？ 顶点在原点对称轴为x 轴 对称轴为y 轴标准方程为 标准方程为y2=+ 2pxx2=+ 2py(p>0)(p>0)开口与x 轴 开口与x 轴 开口与y 轴 开口与y 轴同向 反向: 同向 反向:y2=+2pxy2=-2pxx2=+2pyx2=-2py(p>0) (p>0)(p>0) (p>0))0(22>=p pxy ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -= )0(22>-=p pxy ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p pyx ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p 2py -=)0(22>-=p pyx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p 2py =例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y 2=6x （2）y x 212=（3）2x 2+5y =0 解：（1）因为2p=6，p=3，所以焦点坐标是（23，0） 准线方程是x=-23 （2）因为2p=21，p=41，所以焦点坐标是（0，81）， 准线方程是Y=-81 （3）抛物线方程是2x 2+5y=0 , 即x 2=-25y, 2p=25 则焦点坐标是F （0，-85）, 准线方程是y=85 例2根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F （0，-2）(2)焦点在直线3x -4y -12=0上(3)抛物线过点A （-3，2）。
高中数学选修2抛物线教案
高中数学选修2 抛物线教案一、教学内容本节课选自高中数学选修2第三章《圆锥曲线与方程》中的抛物线部分。
具体内容包括：抛物线的定义、标准方程、图形及性质；抛物线焦点、准线、对称轴等相关概念；抛物线在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、标准方程及图形性质。
2. 学会利用抛物线的性质解决实际问题。
3. 培养学生的几何想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、标准方程及图形性质。
难点：抛物线焦点、准线、对称轴等概念的理解及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、直尺、圆规。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中的抛物线实例，如篮球投篮、卫星通信等，引导学生发现抛物线的特点。
2. 知识讲解（10分钟）（1）抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）的距离等于到一条直线（准线）的距离的点的轨迹。
（2）抛物线的标准方程：y^2=2px、x^2=2py。
（3）抛物线的图形性质：开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线等。
3. 例题讲解（15分钟）（1）求解抛物线y^2=8x的焦点和准线。
（2）已知抛物线x^2=12y，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。
4. 随堂练习（5分钟）（1）求抛物线y^2=4x的焦点和准线。
（2）已知抛物线x^2=6y，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。
5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 定义：平面上到一个定点（焦点）的距离等于到一条直线（准线）的距离的点的轨迹。
2. 标准方程：y^2=2px、x^2=2py。
3. 图形性质：开口方向、对称轴、顶点、焦点、准线。
4. 例题及解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线x^2=16y的焦点和准线。
（2）已知抛物线y^2=10x，求顶点坐标、对称轴及焦点坐标。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习等方式，使学生掌握了抛物线的定义、标准方程、图形性质等基本概念。
人教版高中数学抛物线教案
人教版高中数学抛物线教案
主题：抛物线
教材版本：人教版高中数学
教学内容：抛物线的基本概念和性质
教学目标：
1. 了解抛物线的定义和基本特征；
2. 熟练掌握抛物线的标准方程；
3. 能够解决与抛物线相关的问题。
教学重点和难点：
重点：抛物线的标准方程和性质。
难点：能够灵活运用抛物线的性质解决问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师介绍抛物线的概念，引出本课要学习的内容。
二、讲解（15分钟）
1. 抛物线的定义和形状；
2. 抛物线的标准方程；
3. 抛物线的焦点、准线和顶点。
三、练习（20分钟）
1. 让学生在纸上绘制抛物线，并编写标准方程；
2. 给学生一些练习题，让他们独立解决问题。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的要点，强调抛物线的重要性和应用。
五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题作业，鼓励学生在家里复习和巩固所学知识。
※教学结束※
教学反思：
本节课通过讲解抛物线的定义、性质和标准方程，帮助学生更好地理解抛物线的基本概念。
但是在练习环节，部分学生遇到了困难，需要更多的实践和巩固。
下次课程将设计更多的
练习题，加深学生对抛物线的理解和掌握。
抛物线(教案)-2022-2023学年高二数学教材教案(人教A版2019选择性必修第一册)
3.3 抛物线考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点) 2．能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点)知识解读知识点①抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 知识点①抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p2知识点①必记结论1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径． 2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题型讲解题型一、抛物线的定义及其应用例1．已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线【答案】D【解析】由已知得|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．例2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则∈OFP 的面积为( ) A ．12B ．1C ．32D ．2 【答案】B【解析】设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，∈由定义知点P 到准线的距离为2. ∈x P ＋1＝2，∈x P ＝1.代入抛物线方程得|y P |＝2，∈∈OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1. 例3．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 【答案】4【解析】如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4. 题型二、抛物线的标准方程 例1．[易错题]抛物线y ＝－116x 2的焦点坐标为( ) A ．⎝⎛⎭⎫－164，0 B ．()－4，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，－164 D ．()0，－4【答案】D【解析】∈y ＝－116 x 2，∈x 2＝－16y ，因此焦点坐标为()0，－4 ．例2．已知点()1，1 在抛物线C ：y 2＝2px ()p >0 上，则C 的焦点到其准线的距离为( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】由点()1，1 在抛物线上，易知1＝2p ，p ＝12 ，故焦点到其准线的距离为12．例3．若抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(2，1)，则C 的标准方程是___________． 【答案】x 2＝4y【解析】因为抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，故设抛物线方程为x 2＝my ， 又抛物线过点(2，1)，所以22＝m ，即m ＝4，所以抛物线方程为x 2＝4y ．例4．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________．【答案】y 2＝3x【解析】分别过点A ，B 作AA 1∈l ，BB 1∈l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∈BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，从而抛物线方程为y 2＝3x .例5．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A 是抛物线C 上一点，AD ∈l ，交l 于D .若|AF |＝4，∈DAF ＝60°，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝x【答案】B【解析】根据抛物线的定义可得|AD |＝|AF |＝4， 又∈DAF ＝60°，所以|AD |－p ＝|AF |cos 60°＝12|AF |，所以4－p ＝2，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . 题型三、抛物线的简单几何性质例1．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6【答案】B【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.例2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1)D ．(0，1)【答案】B【解析】抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2 ，由准线过点(－1，1)，得－p2 ＝－1，解得p ＝2．所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．例3．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则∈ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48【答案】C【解析】以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)． 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为(p 2 ，0)．将x ＝p2 代入y 2＝2px ，可得y 2＝p 2．所以|AB |＝2p ，即2p ＝12，所以p ＝6．因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6， 所以∈ABP 的面积为12×12×6＝36．例4．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，∈MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝15x2【答案】B【解析】设M (x ，y )，因为|OF |＝p 2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p . 又∈MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .例5．若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x 【答案】C【解析】因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6， 所以若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2 ＝10．∈ 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0．∈由∈∈解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x ．例6．(2022·山东淄博一模)若抛物线y 2＝2px ()p >0 上的点A ()x 0，－2 到其焦点的距离是点A 到y 轴距离的3倍，则p 等于___________． 【答案】22【解析】抛物线y 2＝2px ()p >0 开口向右，准线为x ＝－p2 ，将A 的坐标代入抛物线方程得4＝2px 0，x 0＝2p，由于抛物线y 2＝2px ()p >0 上的点A ()x 0，－2 到其焦点的距离是点A 到y 轴距离的3倍， 根据抛物线的定义有x 0＋p 2 ＝3x 0，所以2p ＋p 2 ＝3×2p ，p 2 ＝4p ，p 2＝8，p ＝22 ．题型四、直线与抛物线的位置关系例1．(2018·全国卷∈)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∈抛物线焦点为F (1,0)，∈FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． ∈FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8.例2．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x【答案】C【解析】由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)·(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12∈p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .例3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2 【答案】B【解析】∈y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∈过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∈y 1＋y 22＝p ＝2，∈抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.例4．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求∈F AB 的面积．【答案】(1)y 2＝8x (2)245【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∈(－8)2＝2p ×8，∈2p ＝8， ∈抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∈m ＞－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∈x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ∈OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∈m ＝8或m ＝0(舍去)，∈直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S ∈F AB ＝S ∈FMB ＋S ∈FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3()212214y y y y -+＝245.达标训练1．已知抛物线的准线方程为y ＝－2，则其标准方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝－8y C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x【答案】A【解析】因为抛物线的准线方程为y ＝－2，所以抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且p2＝2，即p ＝4，所以抛物线的方程为x 2＝8y .2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2 D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2【答案】D【解析】分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.3．(全国卷∈)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ∈x 轴，则k ＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】∈y 2＝4x ，∈F (1,0)．又∈曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ∈x 轴，∈P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx(k ＞0)，得k ＝2.4．(2021·山东烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，直线l 与C 交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为4，则|| AF ＋||BF ＝( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．16【答案】C【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点， 若AB 的中点的横坐标为4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8， 则|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝8＋4＝12．5．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ()x 0，y 0 是该抛物线上的一点．若||PF >2，则( ) A ．x 0∈()0，1 B ．x 0∈(1，＋∞) C ．y 0∈(2，＋∞) D ．y 0∈(－∞，2) 【答案】B【解析】由条件可知p2＝1，根据焦半径公式||PF ＝x 0＋1>2，解得x 0>1．6．(2021·广东茂名二模)设O 为坐标原点，F 为抛物线C ：x 2＝8y 的焦点，P 为C 上一点，若||PF ＝6，则∈POF 的面积为( ) A ．2 B ．42 C ．43 D ．4【答案】B【解析】∈抛物线C ：x 2＝8y ，∈F (2，0)，准线y ＝－2．由||PF ＝6，即P 到准线的距离为6．设P (x 0，y 0)，||PF ＝y 0＋2＝6，解得y 0＝4， 代入抛物线方程x 2＝8y ，得x 0＝±42 ．S ∈POF ＝12 ||OF ||x 0 ＝12×2×42 ＝42 ．7．设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ ∈l 于Q .则线段FQ 的垂直平分线( ) A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B【解析】连接PF (图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ |＝|FP |，则∈QPF 为等腰三角形，故线段FQ 的垂直平分线经过点P .8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A ．3716B ．115C ．3D ．2 【答案】D【解析】直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线， 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于|PF |， 过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线， 和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选D.8．(2020·新高考全国∈)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 【答案】163【解析】如图，由题意得，抛物线的焦点为F (1,0)，设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧ y ＝3x －1，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163. 9．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________.【答案】12【解析】焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212， 所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12. 方法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________.【答案】2【解析】如图， 由AB 的斜率为3，知∈α＝60°，又AM →＝MB →，∈M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∈ABP ＝60°，∈∈BAP ＝30°，∈|BP |＝12|AB |＝|BM |. ∈M 为焦点，即p 2＝1，∈p ＝2. 11．已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程；(2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【答案】(1)y ＝32x －78 (2)4133【解析】设直线l ：y ＝32x ＋t ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝()9112--t . 从而()9112--t ＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13， 即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1.故|AB |＝4133. 12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．【答案】见解析【解析】证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式， 得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2|AB |－p ＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．课后提升1．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的标准方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x【答案】C【解析】由题意知，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，抛物线的准线方程为x ＝－p 2， 则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2 ， 所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －52 2 ＋⎝⎛⎭⎫y －y M 2 2 ＝254，又因为圆过点(0，2)，所以y M ＝4， 又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2 ，解得p ＝2或p ＝8， 所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ．2．(多选)(2022·潍坊模拟)已知抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )A ．点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫18，0B ．若直线MN 过点F ，则x 1x 2＝－116C ．若MF →＝λNF →，则|MN |的最小值为12D ．若|MF |＋|NF |＝32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58【答案】BCD【解析】易知点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，18，选项A 错误； 根据抛物线的性质知，MN 过焦点F 时， x 1x 2＝－p 2＝－116，选项B 正确； 若MF →＝λNF →，则MN 过点F ，则|MN |的最小值即抛物线通径的长，为2p ，即12，选项C 正确； 抛物线x 2＝12y 的焦点为⎝⎛⎭⎫0，18， 准线方程为y ＝－18， 过点M ，N ，P 分别作准线的垂线MM ′，NN ′，PP ′，垂足分别为M ′，N ′，P ′(图略)，所以|MM ′|＝|MF |，|NN ′|＝|NF |.所以|MM ′|＋|NN ′|＝|MF |＋|NF |＝32， 所以线段|PP ′|＝|MM ′|＋|NN ′|2＝34， 所以线段MN 的中点P 到x 轴的距离为|PP ′|－18＝34－18＝58，选项D 正确． 3．(多选)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，则下列结论正确的是( )A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则∈OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x －2y ＋1＝0D ．过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M ，N 两点，则直线MN 的斜率为定值【答案】BCD【解析】因为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点P (1,1)，所以p ＝12，所以抛物线方程为y 2＝x ，焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫14，0. 对于A ，|PF |＝1＋14＝54，错误； 对于B ，k PF ＝43，所以l PF ：y ＝43⎝⎛⎭⎫x －14，与y 2＝x 联立得4y 2－3y －1＝0，所以y 1＋y 2＝34，y 1y 2＝－14， 所以S ∈OPQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×14×y 1＋y 22－4y 1y 2＝532，正确； 对于C ，依题意斜率存在，设直线方程为y －1＝k (x －1)，与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0，Δ＝1－4k (1－k )＝0，即4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝12，所以切线方程为x －2y ＋1＝0，正确； 对于D ，依题意斜率存在，设l PM ：y －1＝k (x －1)，与y 2＝x 联立得ky 2－y ＋1－k ＝0，所以y M ＋1＝1k ，即y M ＝1k －1，则x M ＝⎝⎛⎭⎫1k －12，所以点M ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1k －12，1k －1，同理N ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫－1k －12，－1k －1， 所以k MN ＝1k －1－⎝⎛⎭⎫－1k －1⎝⎛⎭⎫1k －12－⎝⎛⎭⎫－1k －12＝2k －4k＝－12，正确． 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.【答案】2【解析】抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k， y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA → ·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.5．(2022·沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M .(1)求p 的值；(2)若l 1∈l 2，求∈MAB 面积的最小值．【答案】(1)p ＝2 (2)4【解析】(1)由题意知，抛物线焦点为⎝⎛⎭⎫0，p 2， 准线方程为y ＝－p 2， 焦点到准线的距离为2，即p ＝2.(2)由(1)知抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)， l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)， 由于l 1∈l 2，所以x 12·x 22＝－1， 即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ， 所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0， x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1， 即l ：y ＝kx ＋1.联立方程⎩⎨⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x 224， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2k ，y ＝－1，即M (2k ，－1)． M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2， |AB |＝()()[]21221241x x x x k -++ ＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2322=4(1+)4k ≥,当k ＝0时，∈MAB 的面积取得最小值4.。
高中抛物线数学教案
高中抛物线数学教案
主题：抛物线
一、教学目标：
1. 理解抛物线的定义和性质；
2. 掌握抛物线的标准方程及相关计算方法；
3. 熟练运用抛物线相关知识解决实际问题。
二、教学重点和难点：
重点：抛物线的定义、标准方程及相关性质；
难点：抛物线的几何意义及应用问题的解决。
三、教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）
通过展示抛物线的图片和实际应用场景，引导学生了解抛物线的形态和特点。
2. 学习抛物线的定义和性质（15分钟）
讲解抛物线的定义，并介绍抛物线的焦点、顶点、对称轴等性质，让学生理解抛物线的基本概念。
3. 学习抛物线的标准方程（20分钟）
教师讲解抛物线的标准方程及其推导过程，让学生掌握如何根据给定的抛物线特点确定其标准方程。
4. 练习抛物线相关计算（20分钟）
让学生通过练习题目，熟悉抛物线的计算方法，包括焦点、顶点、焦距等的计算。
5. 解决实际问题（15分钟）
通过实际应用问题的讨论与解答，引导学生灵活运用抛物线知识解决实际问题，并培养学生的数学建模能力。
6. 总结和作业布置（5分钟）
对抛物线相关知识进行总结，并布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。
四、教学手段：
1. 教师讲解；
2. 课堂练习；
3. 实际应用问题讨论。
五、教学反思：
本节课主要围绕抛物线的定义、标准方程及相关计算展开，注重培养学生的问题解决能力和建模能力。
通过实践与讨论，让学生真正理解抛物线的几何意义和应用价值，为他们的数学学习打下坚实基础。
高二数学教案：抛物线教案人教版
人教版抛物线教案
一．教学目的：
１．掌握抛物线的概念．
２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点：
１．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程：
引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。
当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。
）
如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线．
结合课件，让学生推导抛物线的标准方程． 取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，
则焦点Ｆ的坐标为F(2p ,0),准线L 的方程为:ｘ＝－2
p
．
设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝．
∵MF ＝2
2y p x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
， ｄ＝2p x +，
∴2
2y p x +⎪
⎭
⎫ ⎝⎛
-
＝2p x + 将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2
=2px(ｐ＞０)
最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象.
接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础.
例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
⑴ｘ２＝２ｙ：
⑵ｙ２－６ｘ＝０：
例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．。
高中数学抛物线教案
高中数学抛物线教案教案标题：高中数学抛物线教案教案目标：1. 了解抛物线的定义和性质；2. 掌握抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法；3. 理解抛物线的平移、缩放和翻转变换；4. 能够应用抛物线解决实际问题。
教学重点：1. 抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法；2. 抛物线的平移、缩放和翻转变换。
教学难点：1. 抛物线的平移、缩放和翻转变换的理解和应用。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、计算器、教学课件；2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问引导学生回顾之前学过的二次函数的知识，如二次函数的图像、性质等。
二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过投影仪展示抛物线的定义和性质，包括焦点、准线、顶点等。
2. 教师详细讲解抛物线的标准方程和顶点坐标的求解方法，并通过示例演示。
三、示范与练习（20分钟）1. 教师通过投影仪展示几个抛物线的图像，并引导学生观察和分析。
2. 学生根据教师的示范，自主完成几道标准方程和顶点坐标的求解练习题。
四、拓展与应用（15分钟）1. 教师通过投影仪展示抛物线的平移、缩放和翻转变换的概念和公式，并通过示例演示。
2. 学生根据教师的示范，自主完成几道抛物线的平移、缩放和翻转变换练习题。
五、实际问题解决（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，要求学生运用抛物线的知识解决，并引导学生分析问题、建立方程、求解等步骤。
六、总结与反思（5分钟）1. 教师与学生共同总结本节课所学的抛物线知识点，并回答学生提出的问题。
2. 学生进行自我反思，总结学习中的困难和收获。
教学延伸：1. 学生可以通过课后作业进一步巩固抛物线的相关知识；2. 学生可以通过实际生活中的例子，观察和分析抛物线的应用。
教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的表现，包括参与度、理解程度等；2. 教师布置课后作业，检查学生对抛物线知识的掌握程度；3. 教师可以通过小测验或者期中考试等形式对学生的学习效果进行评价。
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人教版抛物线教案
一．教学目的：
１．掌握抛物线的概念．
２．掌握抛物线的标准方程及其应用． ３．理解并应用抛物线的几何性质． 二．重点难点：
１．重点：抛物线的标准方程及其应用．抛物线的几何性质． ２．难点：抛物线的几何性质． 三．教学过程：
引入新课：与一定点的距离和一条定直线的距离比是常数ｅ的点的轨迹，当ｅ＜１时，是椭圆，当ｅ＞１时，是双曲线。
当ｅ＝１时，是什么曲线呢？（让同学们看课件抛物线的定义部分，然后让学生回答，给出抛物线的定义。
）
如图平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离
相等的点的轨迹叫做抛物线．
结合课件，让学生推导抛物线的标准方程．
取过焦点Ｆ且垂直与准线Ｌ的直线为ｘ轴，ｘ轴与Ｌ相交于点Ｋ，以线段KF 的垂直平分线为ｙ轴，如右图．设KF ＝ｐ，则焦点Ｆ的坐标为F(2
p
,0),准线L 的方程为:ｘ＝－
2
p ． 设抛物线上的点Ｍ（ｘ，ｙ）到Ｌ的距离为ｄ．抛物线也就是集合Ｐ＝｛ＭMF ＝ｄ｝．
∵MF ＝2
2y p x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
， ｄ＝2p x +，
∴2
2y p x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-
＝2p x +
将上式整理可得抛物线的标准方程：ｙ2
=2px(ｐ＞０)
让学生自己总结，写出抛物线标准方程的其他几种形式．教师总结如下表：
最后让学生看课件抛物线的标准方程部分,加深印象.
接着让学生看e与图线形状之间的关系.让学生对抛物线、椭圆、双曲线有一个整体认识,为后面综合应用打好基础.
例题1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
⑴ｘ２＝２ｙ：
⑵ｙ２－６ｘ＝０：
例题２：拱形桥洞是一段抛物线，宽７ｍ，高为０.７ｍ，求这条抛物线的方程．。