初高中数学衔接知识(二次函数)
初高中数学知识衔接(六)二次函数及应用
初高中数学知识衔接《二次函数的应用》
整理：键盘手
【知识要点】
1．简单的函数模型建立的基本步骤：
（1）审题——理解题意，分析条件和结论，理顺数量关系。
（2）建立函数模型——将文字语言转化成数学语言，建立相应的目标函数。
（3）求模——利用有关的函数知识，得到数学结论。
（4）还原——将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义。
2．二次函数的运用
（1）利用二次函数的性质与思想方法处理方程、不等式等问题。
（2）建立二次函数模型解决实际问题。
【典型例题】
例1．某商品的进货单价为30元。
如果按单价40元销售，能买出40个。
销售单价每涨1元，销量就减少1个。
为获得最大利润，此商品的最佳售价应定为每个多少元？
例2．一根弹簧原长15cm ，已知在挂重20N 内，弹簧的长度与所受的重力成一次函数关系。
现测得当挂重4N 时，弹簧的长度为17cm ，问当弹簧长度为22cm 时，挂重多少N？
例3．如图，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为l ，边坡的倾斜角为 60。
1）求横断面面积y 与底宽x 的函数关系式；2）已知底宽]2
,4[l
l x ，求横断面的面积y 的最大值和最小值。
8000m，深m5的长方体蓄水池，池壁每例4．某水厂要建造一个容积为3
平方米的造价为a元，池底每平方米的造价为a2元。
1）把总造价y（元）表示为底的一边)
(m
x的函数，并指出其定义域；2）当底的一边x取何值时造价最省。
初高中衔接二次函数专题
3 二次函数 基础知识1．二次函数的三种表示方式： （1）一般式：y=ax 2 +bx+c ；（2）顶点式：y=a(x-m)2 +n （常用，便于求最值、画图）； （3）交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (△≥0时) ．2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x,都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。
3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决。
4．二次函数的最值问题（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，没有最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，没有最小值．求二次函数最大值或最小值的步骤：第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）求二次函数在某一范围内的最值．二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。
如：求2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值的步骤： 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）（1）若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
（2） 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧；②02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧。
初高中数学衔接知识复习二次函数
初、高中数学衔接知识复习：二次函数一．要点回顾1． 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方得：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移而得到。
2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质：[1] 当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最小值 ．[2] 当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向 ；顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，y 随着x 的增大而 ；当x 时，函数取最大值 ．3．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：(1)．一般式： ； (2)．顶点式： ； (3)．交点式： ． 说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x .)0,(2x 时可利用交点式来求．2 二次函数图像的变换----------平移二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（3）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为 （ ）（A ）y ＝ (x ＋1)2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1)2＋1（C ）y ＝－(x －3)2＋4 （D ）y ＝－(x －3)2＋二．题型演练例1．抛物线()21252y x =--+的顶点坐标是_________，对称轴是_________，开口向_____，当x =_______时，y 有最______值，最大值为 ________。
初高中衔接07二次函数与二次方程
课题：《初高中衔接07二次函数与一元二次方程》一 教学目标：① 会用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的情况． ② 弄清二次函数的零点与方程根的关系．③ 渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法．二 教学重点：函数与方程的关系．三 教学难点：数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法． 四 教学过程：1、复习引入（由学生讨论完成）问题1 不解方程如何判断一元二次方)0(02≠=++a c bx ax 程解的情况． 问题2 画出二次函数322--=x x y 的图象，并指出x 取哪些值时0=y ．2、建构数学▲探究函数22▲函数零点的概念：对于函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做)(x f y =的零点； 0)(=x f 有实数根⇔)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔)(x f y=有零点．3、例题分析例1 右图是定义R ① )(x f y =② ()y f x =例2 （1）函数12)(-=x x f 在区间)1,0(上是否存在零点？（2）函数732)(2-+=x x x f 在区间)2,3(--、)2,1(上是否存在零点？观察：)1()0(f f 值的符号特点；)2()3(--f f 、)2()1(f f 值的符号特点。
结论：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。
（即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ．这个c 也就是方程0)(=x f 的根。
）思考：① 若)(x f y =在],[b a 上是单调函数，且0)()(<b f a f ，则)(x f y =在],[b a 上的零点情况如何？② 若0x 是二次函数)(x f y =的零点，且n x m <<0，则0)()(<n f m f 一定成立吗？4、随堂练习1、分别指出下列各图象对应的二次函数2y ax bx c =++中,,,a b c ∆与0的大小关系：（1）a 0，b 0，c 0，∆ 0； （2）a 0，b 0，c 0，∆ 0； 2、判断函数12)(2--=x x x f 在区间)3,2(上是否存在零点。
二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
它在数学、物理等学科以及实际生活中都有着广泛的应用。
接下来，咱们就系统地归纳一下二次函数的相关知识点。
一、二次函数的定义一般地，如果形如\（y ＝ax^2 ＋bx ＋c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，就叫做二次函数。
其中，＼（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。
需要注意的是，二次项系数\（a\）不能为\（0\），如果\（a ＝0\），那么就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。
顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。
三、二次函数的表达式1、一般式：＼（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ≠ 0\））2、顶点式：＼（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\）（＼（a ≠ 0\）），其中顶点坐标为\（（h, k)＼）3、交点式：＼（y ＝ a(x x_1)（x x_2)＼）（＼（a ≠ 0\）），其中\（x_1\）、＼（x_2\）是抛物线与\（x\）轴交点的横坐标四、二次函数的性质1、当\（a ＞ 0\）时，在对称轴左侧（＼（x ＜＼frac{b}｛2a}＼）），函数值\（y\）随\（x\）的增大而减小；在对称轴右侧（＼（x ＞＼frac{b}｛2a}＼）），函数值\（y\）随\（x\）的增大而增大。
当\（a ＜0\）时，在对称轴左侧（＼（x ＜＼frac{b}｛2a}＼）），函数值\（y\）随\（x\）的增大而增大；在对称轴右侧（＼（x ＞＼frac{b}｛2a}＼）），函数值\（y\）随\（x\）的增大而减小。
2、函数的最值：当\（a ＞ 0\）时，函数有最小值，＼（y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＼）；当\（a ＜ 0\）时，函数有最大值，＼（y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＼）。
初中数学二次函数的知识点
初中数学二次函数的知识点在初中数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点，它衔接了代数和几何两部分内容，对于初中生来说，掌握好二次函数可以为高中数学学习打下坚实的基础。
本文将详细介绍初中数学二次函数的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数。
特别地，当b=0时，二次函数变成了一个二次项系数为a的二次方程，其一般形式为y=ax^2+c。
二、二次函数的图像1. 开口方向：二次函数的图像是一条抛物线，根据a的符号不同，抛物线开口方向也不同。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 顶点：对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），其图像的顶点坐标为（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）。
当b=0时，抛物线顶点为（0，c）。
3. 拐点：在二次函数的图像中，拐点通常是指曲线的凸凹性质发生改变的点，也就是二阶导数为0的点。
对于二次函数y=ax^2+bx+c（a ≠0），其拐点为（b/2a，c-b^2/4a）。
三、二次函数的应用二次函数在日常生活中有着广泛的应用，以下列举几个例子：1. 利润问题：在商业活动中，经常涉及到利润问题。
例如，某种商品的成本为每件100元，售出价格为每件150元，若售出件数为100件，求该商品的利润。
这个问题可以用二次函数来解决，将成本、售价和售出件数作为变量，利润作为因变量，列出二次函数表达式，再通过求解表达式得到利润。
2. 人口问题：在生物学和人口统计学中，通常会研究人口数量随时间的变化情况。
我们可以将人口数量作为因变量，时间作为自变量，列出二次函数表达式，通过观察表达式的变化趋势来分析人口增长情况。
3. 物理问题：在物理学中，很多问题也可以用二次函数来描述。
例如，一个物体从高处自由落体，其下落距离与时间的关系就可以用二次函数来表达。
通过对表达式的计算和分析，我们可以求出物体下落的距离和时间的关系。
初高中衔接-第五讲-二次函数的最值问题
二次函数的最值问题二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数23532y x x =---的最大值和最小值．7．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．．8．如图，某农民要用12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m ，问怎样围才能使得该矩形面积最大？。
二次函数的简单应用- 初升高数学衔接(解析版)
二次函数的简单应用- 初升高数学衔接（解析版）高中必备知识点1：平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．典型考题【典型例题】如图，抛物线经过两点，顶点为D．求a和b的值；将抛物线沿y轴方向上下平移，使顶点D落在x轴上．求平移后所得图象的函数解析式；若将平移后的抛物线，再沿x轴方向左右平移得到新抛物线，若时，新抛物线对应的函数有最小值2，求平移的方向和单位长度．【答案】将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．【解析】代入，得：，解得：．，抛物线顶点D的坐标为．将抛物线沿y轴平移后，顶点D落在x轴上，平移后的抛物线的顶点坐标为，平移后的抛物线为，即．若将抛物线向左平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，新抛物线必过点，，解得：舍去；若将抛物线向右平移个单位长度，则新抛物线的解析式为，时，新抛物线对应的函数有最小值2，新抛物线必过点．，解得：舍去．将抛物线向左平移个单位长度或向右平移个单位长度．【变式训练】已知抛物线，把它向上平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？【答案】向上平移3个单位．【解析】由题意知，必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为，则，代入抛物线方程得：，舍去．所以向上平移3个单位．【能力提升】已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的项点坐标；（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．【答案】（1）y＝（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．【解析】（1）y=x（x﹣2）+2=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，它的顶点坐标为：（1，1）；（2）∵将抛物线y=x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，∴图象向下平移1个单位得到：y=（x﹣1）2．高中必备知识点2：对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．典型考题【典型例题】如图，抛物线y=ax²-2x+c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A，B，C三点，已知点(-2,0)，C(0,-8)，点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EB直线EP折叠，使点B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；【答案】(1)y=x2﹣2x﹣8；D(1，﹣9)；(2)P()．【解析】(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴D(1，﹣9)．(2)将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B(4，0)．∵y=(x﹣1)2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E(1，0)．∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP为∠BEF的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P在第四象限，∴x=．∴y=．∴P()．【变式训练】已知二次函数的图象的顶点坐标为(3,-2),且与y轴交于（0,）.(1)求函数的解析式;(2)若点(p,m)和点(q,n)都在该抛物线上,若p>q>5,判断m和n的大小.【答案】（1）y=(x-3)2-2.（2）m>n.【解析】(1)由题意设函数的解析式为y=a(x-3)2-2,根据题意得9a-2=解得a=，所以函数解析式是y=(x-3)2-2.(2)因为a=>0,所以抛物线开口向上,又因为二次函数的对称轴是直线x=3.所以当x>3时,y随x增大而增大,因为p>q>5>3,所以m>n.【能力提升】已知抛物线经过点（1，-2）．（1）求的值；（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【答案】（1）a=-1；（2）y1＜y2．【解析】(1)、∵抛物线经过点（1，-2），∴，解得a=-1；(2)、∵函数的对称轴为x=3，∴A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧，又∵抛物线开口向下，∴对称轴左侧y随x的增大而增大，∵m＜n＜3，∴y1＜y2．高中必备知识点3：分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．典型考题【典型例题】函数1()01xf xx-⎧⎪=⎨⎪+⎩)0()0()0(<=>xxx，则))1((ff的值是___．【答案】0 【解析】∵函数f（x）100010x xxx x-⎧⎪==⎨⎪+⎩，＞，，＜，∴f （1）＝1﹣1＝0， f （f （1））＝f （0）＝0． 故答案为：0．【变式训练】已知函数，若，则_________．【答案】【解析】，故，填．【能力提升】函数__________．【答案】1. 【解析】 由题意得．故答案为：1．专题验收测试题1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2， 解得，AB=5cm ． 下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=;当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ． 故选：B ．2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，DC ＝4cm ，BC ＝6cm ，AD ＝3cm ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA ﹣AD ﹣DC 运动到点C ，点Q 以1cm /s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发xs 时，△BPQ 的面积为ycm 2．则y 与x 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】作AE⊥BC于E，根据已知可得，AB2＝42+（6﹣3）2，解得，AB＝5cm．当0≤x≤2.5时：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大此时面积＝12×2.5×4＝5cm2．当2.5≤x≤4时，即P点在AD上时，1422y x x=⨯=，且增大值为：21448cm2⨯⨯=；当4≤x≤6时，即P点从D到C时，y＝1(122)2x x⋅-＝﹣x2+6x．故符合y与x的函数图象大致是B．故选B．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E，设BP＝x，BE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】解：如图，连接DE ，∵△PC′D 是△PCD 沿PD 折叠得到， ∴∠CPD ＝∠C′PD ， ∵PE 平分∠BPC′， ∴∠BPE ＝∠C′PE ， ∴∠EPC′+∠DPC′＝12×180°＝90°， ∴△DPE 是直角三角形，∵BP ＝x ，BE ＝y ，AB ＝3，BC ＝5，∴AE ＝AB ﹣BE ＝3﹣y ，CP ＝BC ﹣BP ＝5﹣x ， 在Rt △BEP 中，PE 2＝BP 2+BE 2＝x 2+y 2，在Rt △ADE 中，DE 2＝AE 2+AD 2＝（3﹣y ）2+52， 在Rt △PCD 中，PD 2＝PC 2+CD 2＝（5﹣x ）2+32， 在Rt △PDE 中，DE 2＝PE 2+PD 2， 则（3﹣y ）2+52＝x 2+y 2+（5﹣x ）2+32， 整理得，﹣6y ＝2x 2﹣10x ， 所以y ＝21533x x -+（0＜x ＜5）， 纵观各选项，只有D 选项符合． 故选：D ．4．某种圆形合金板材的成本y （元）与它的面积（cm 2）成正比，设半径为xcm ，当x ＝3时，y ＝18，那么当半径为6cm 时，成本为（ ） A ．18元 B ．36元C ．54元D ．72元【答案】D 【解析】解：根据题意设y ＝k πx 2， ∵当x ＝3时，y ＝18， ∴18＝k π•9，则k＝2π，∴y＝kπx2＝2π•π•x2＝2x2，当x＝6时，y＝2×36＝72，故选：D．5．把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵a≥0，由题意得方程10t-t2=a有两个不相等的实根∴△=b2-4ac=102+4××a＞0得0≤a＜50又∵0≤t≤14∴当t=14时，a=h=10×14-×142=42所以a的取值范围为：42≤a＜50故选：C．6．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶的时间t（单位：秒）的函数解析式为s=-6t2+bt（b为常数）．已知t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（）A．米B．8米C．米D．10米【答案】C【解析】解：把t=，s=6代入s=-6t2+bt得，6=-6×+b×，解得，b=15∴函数解析式为s=-6t2+15t=-6（t-）2+，∴当t=时，s取得最大值，此时s=，故选：C．7．已知直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B，点C，二次函数图象的顶点为A，当△ABC是等腰直角三角形时，则n的值为（）A．1 B．C．2﹣D．2+【答案】A【解析】设B（x1，n）、C（x2，n），作AD⊥BC，垂足为D连接AB，AC，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点A（2，﹣1），AD＝n﹣（﹣1）＝n+1∵直线y＝n与二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象交于点B、C，∴（x﹣2）2﹣1＝n，化简，得x2﹣4x+2﹣2n＝0，x1+x2＝4，x1x2＝2﹣2n，∴BC＝|x1﹣x2|＝，∵点B、C关于对称轴直线AD对称，∴D为线段BC的中点，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AD＝BC，即BC＝2AD＝2（n+1），∴（2+2n）＝（n+1）2，化简，得n2＝1，∴n＝1或﹣1，n＝﹣1时直线y＝n经过点A，不符合题意舍去，所以n＝1．故选：A．8．如图，跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．20m C．15m D．22.5m【答案】C【解析】根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则，解得：，所以x=-=15（m）．故选C．9．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：由题意，抛物线的解析式为y=at(t-9)，把(1，8)代入可得a=-1，∴y=-t2+9t=-(t-4.5)2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确，∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③.故选B.10．某一型号飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）之间的函数解析式是S ＝﹣1.5t2+60t，则该型号飞机着陆后滑行（）秒才能停下来．A．600 B．300 C．40 D．20【答案】D【解析】解：由题意，s＝﹣1.5t2+60t，＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣1.5（t﹣20）2+600，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故选：D．11．如图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处双测P处，仰角分别为α、β，且tanα＝12，tanβ＝23，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．P点坐标为_____；若水面上升1m，水面宽为_____m．【答案】33,2⎛⎫⎪⎝⎭； 22 【解析】解：（1）过点P 作PH ⊥OA 于H ，如图． 设PH ＝3x ， 在Rt △OHP 中， ∵tanα＝PH 1OH 2=， ∴OH ＝6x ． 在Rt △AHP 中， ∵tanβ＝32PH AH =， ∴AH ＝2x ，∴OA ＝OH +AH ＝8x ＝4， ∴x ＝12， ∴OH ＝3，PH ＝23， ∴点P 的坐标为（3，23）； 故答案是：（3，23）； （2）若水面上升1m 后到达BC 位置，如图，过点O （0，0），A （4，0）的抛物线的解析式可设为y ＝ax （x ﹣4），∵P （3，23）在抛物线y ＝ax （x ﹣4）上， ∴3a （3﹣4）＝23，解得a ＝﹣12，∴抛物线的解析式为y ＝﹣12x （x ﹣4）．当y ＝1时，﹣12x （x ﹣4）＝1，解得x 1＝2+2，x 2＝2﹣2，∴BC ＝（2+2）﹣（2﹣2）＝22． 故答案是：22．12．某一房间内A 、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB 之间经过时，将触发报警．现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xOy 中（如图）已知点A ，B 的坐标分别为（0，4），（5，4），小车沿抛物线y =ax 2-2ax -3a 运动．若小车在运动过程中只触发一次报警，则a 的取值范围是______【答案】a ＜-43或a ＞13【解析】解：抛物线y=ax 2-2ax-3a=a （x+1）（x-3），∴其对称轴为：x=1，且图象与x 轴交于（-1，0），（3，0）． 当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得4=-3a ， ∴a=43-，由对称轴为x=1及图象与x 轴交于（-1，0），（3，0）可知，当a ＜43-时，抛物线与线段AB 只有一个交点；当抛物线过点（5，4）时，代入解析式得25a-10a-3a=4，∴a=13，同理可知当a ＞13时，抛物线与线段AB 只有一个交点． 故答案为：a ＜43-或a ＞13．13．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是___m2．【答案】300．【解析】如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，∵a＝﹣x+10＞0，∴x＜40，则S＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；∵S＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．故答案为：300．14．某民房发生火灾．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移5m，再向左后退_____m，恰好把水喷到F处进行灭火．【答案】5【解析】由图可知：A(0，21.2)，B(0，9.2)，C(0，6.2)，D(0，1.2)，∵点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，∴E(20，9.2)，设AE的直线解析式为y＝kx+b，，∴，∴y＝﹣x+21.2，∵A，E，F在同一直线上．∴F(25，6.2)，设过D，E，F三点的抛物线为y＝ax2+bx+c，∴，∴，水流抛物线向上平移5m，设向左退了m米，∴D(0，6.2)，设平移后的抛物线为，经过点F，∴m＝5或m＝﹣25(舍)，∴向后退了5米．故答案为5．15．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元件/时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件.当销售单价为__________元时，每天获取的利润最大.【答案】50【解析】解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元，则y=（x-30）[100+10（60-x）]=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，∴当x=50时，y有最大值，且为4000，故答案为：50．16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为.由此可知，铅球推出的距离是__________m.【答案】10【解析】在中，当，解得（舍去）.即铅球推出的距离是10m．故答案为：1017．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在图2的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图3所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．【解析】解：（1）图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发，图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发；（2）由题意得：5(2060)4(60)m mwm m≤≤⎛=<⎝，函数图象如图所示．由图可知批发量超过60时，价格在4元中，所以资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果；（3）设日最高销售量为xkg（x＞60），日零售价为p，设x＝pk+b，则由图②该函数过点（6，80），（7，40），代入可得：x＝320﹣40p，于是p＝32040x-,销售利润y＝x（32040x-﹣4）＝﹣140（x﹣80）2+160当x＝80时，y最大值＝160，此时p＝6，即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．18．某商品现在的售价为每件30元，每星期可卖出160件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出2件．已知商品的进价为每件10元．（1）在顾客得到实惠的情况下，如何定价商家才能获得4200元的利润？（2）如何定价才能使利润最大？【答案】（1）在顾客得到实惠的情况下，售价为40（80舍）元时商家才能获得4200元的利润；（2）售价为60元时利润最大为5000元．【解析】（1）设商品的涨价x元，由题意得：（30+x-10）（160-2x）=4200，整理得：x2-60x+500=0，解得：x=10或50，故为尽可能让利于顾客并使每周利润为4200元，取x的值为10，所以，在顾客得到实惠的情况下，售价为40元时商家才能获得4200元的利润；（2）由题意得：y=（30+x-10）（160-2x）=-2x2+120x+3200，=-2（x-30）2+5000∵-2＜0，∴当x=30时，y取得最大值，此时y=5000（元），即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为5000元．19．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．【答案】（1）花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ；（2）x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；（3）当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，y=﹣（14﹣a ）2+196．【解析】解：（1）依题意得 S ＝x （28﹣x ），当S ＝192时，有S ＝x （28﹣x ）＝192，即x 2﹣28x +192＝0，解得：x 1＝12，x 2＝16，答：花园的面积为192m 2，x 的值为12m 或16m ；（2）由题意可得出：S ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x＝﹣（x ﹣14）2+196，答：x 为14m 时，花园面积S 有最大值，最大值为196m 2；（3）依题意得：286x a x -≥⎧⎨≥⎩， 解得：6≤x ≤28﹣a ，S ＝x （28﹣x ）＝﹣x 2+28x ＝﹣（x ﹣14）2+196，∵a ＝﹣1＜0，当x ≤14，y 随x 的增大而增大，又6≤x ≤28﹣a ，∴当x ＝28﹣a 时，函数有最大值，∴y ＝﹣（28﹣a ﹣14）2+196＝﹣（14﹣a ）2+196．20．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y 与x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣2x+80；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【解析】试题分析：（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.(2)列一元二次方程求解.(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.试题解析：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.把(22，36)与(24，32)代入，得解得∴y＝－2x＋80.(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.解得x1＝25，x2＝35(舍去)．答：每本纪念册的销售单价是25元．(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．21．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（2）写出平均每天销售利润W（元）与每箱售价x（元）之间的函数关系；（3）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？（4）你认为每天赢利900元，是牛奶销售中的最大利润吗？为什么？【答案】（1）y＝﹣3x+240；（2）w＝﹣3x2+360﹣9600；（3）50；（4）不是，理由见解析.【解析】（1）y＝30+3（70﹣x）＝﹣3x+240；（2）w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600；（3）当w＝900时，（x﹣40）（﹣3x+240）＝900整理得：x2﹣120x+3500＝0∴x1＝50，x2＝70，∵要使顾客得到实惠，∴x＝70舍去∴每箱价格定为50元；（4）由w＝（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360﹣9600得w＝﹣3（x﹣60）2+1200w最大＝1200（元）∴赢利900元不是销售的最大利润．22．（本题满分10分）我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板，其长宽之比为3∶2，每张材料板的成本c与它的面积成正比例。
初高中数学衔接之因式分解二次函数的最值问题
初高中数学衔接必会知识 3 ----- 二次函数的最值问题【要点回顾】1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论：①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧；②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部；③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。
【例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．例2当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例4当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2m i n 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【巩固练习】1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
初高中衔接教育在中考中的应用——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系
初高中衔接教育在中考中的应用——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系中文要求：一、初高中衔接教育在中考中的应用1、二次函数在中考中的应用（1）二次函数的定义：二次函数是一种可以准确表示具有某种特征曲线的函数，它是单调函数的一种，关于横轴对称，可以用于求解各种坐标运动等场合。
（2）二次函数在中考中的应用：在中考中，可以应用二次函数来解答坐标运动的题目，需要运用抛物线的两个焦点、横坐标或纵坐标的变化，以及声明方程的解析式可让抛物线变得更加清晰明了。
2、一元二次方程在中考中的应用（1）一元二次方程的定义：一元二次方程是多项式不超过2次的方程，比如ax2+bx+c=0，它可以使用因式分解法、公式法及图解法解答。
（2）一元二次方程在中考中的应用：一元二次方程可以用来描述各种问题，比如方程的根，物体的运动轨迹等。
在中考中能够应用到解答椭圆的相关题目，可以使用一元二次方程的形式推导一元二次椭圆的方程，从而可以更加清晰的描述运动轨迹及寻求极值点。
3、一元二次不等式在中考中的应用（1）一元二次不等式的定义：一元二次不等式是一种不等式方程，它包括两部分，一部分为一元二次多项式，另一部分为不等式号。
比如ax2+bx+c>0，可以求得解集。
（2）一元二次不等式在中考中的应用：一元二次不等式可以用来表达物体的运动轨迹、计算几何图形的面积，以及求解椭圆的相关题目等。
在中考中，用一元二次不等式可以更加精准的描述物体的运动轨迹和表现出形状，可以使用这种形式提高中考成绩。
二、结论通过上述分析，可以知道，初高中衔接教育在中考中应用二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式等知识点，在解决坐标运动的题目、计算几何图形的面积以及描述物体的运动轨迹等等方面更加精准，可以大大提高考试成绩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
已知二次函数的图象过点( 0)，(1，0)， 【例 4】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的 表达式． 表达式．
2010年10月31日星期日 2010年10月31日星期日
三、二次函数的最值问题
的最大值和最小值． 【例 5】当 −2 ≤ x ≤ 2 时，求函数 y = x2 − 2x − 3的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当 x = 1 时， ymin = −4 ，当 x = −2 时， ymax = 5 ． 作出函数的图象．
的最大值和最小值． 【Байду номын сангаас 6】当 1 ≤ x ≤ 2 时，求函数 y = −x2 − x + 1 的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当 x = 1时， ymax = −1，当 x = 2 时， ymin = −5 ． 作出函数的图象．
2010年10月31日星期日 2010年10月31日星期日
y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像和性质 一、二次函数
b 4ac − b 2 , ) ，对称轴为 图象开口向上， （1）当 a > 0 时，函数 y = ax + bx + c 图象开口向上，顶点坐标为 ( − 2a 4a b 在对称轴的左侧， 的增大而减小；在对称轴的右侧， 的增大而增大； 直线 x = − . 在对称轴的左侧 ， y 随着 x 的增大而减小 ；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而增大； 2a
2
直线 x = −
b . 在对称轴的左侧 ， y 随着 x 的增大而增大 ；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而减小； 在对称轴的左侧， 的增大而增大；在对称轴的右侧， 的增大而减小； 2a
4ac − b 2 b 当x=− 时，函数取最大值 y = ． 4a 2a
2010年10月31日星期日 2010年10月31日星期日
已知二次函数的图象过点( ，－22) (0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 22)， ，－8) 【例 2】已知二次函数的图象过点( －1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
2 解：设该二次函数为 y = ax + bx + c (a ≠ 0) ．
a − b + c = −22 a = −2 ⇒ b = 12 . 条件得 由条件得 c = −8 4a + 2b + c = 8 c = −8
2010年10月31日星期日 2010年10月31日星期日
二、二次函数的三种表示方式
2 1．一般式： y = ax + bx + c ( a ≠ 0) . 一般式：
2 2．顶点式： y = a ( x − h) + k ( a ≠ 0) ，顶点坐标是 ( h, k ) ． 顶点式：
轴交点的横坐标． 3．交点式： y = a ( x − x1 )( x − x2 ) (a ≠ 0) ， 其中 x1 ， x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标． 交点式：
y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图像和性质 一、二次函数
请您求 图象的开口方向、对称轴方程 顶点坐标、 方程、 【例 1】 请您求出 二次函数 y = −3 x 2 − 6 x + 1 的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值 ，并指出当 取何值时， 的增大而增大（ 或减小） 并画出该函数的图象． （或最小值） 并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（ 或减小） 并画出该函数的图象． 或最小值） ， ，
2010年10月31日星期日 2010年10月31日星期日
2010年10月31日星期日 2010年10月31日星期日
三、二次函数的最值问题
由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高 由上述两例可以看到， 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段． 点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置， 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
所求的二次函数为 y = −2 x 2 + 12 x − 8 ．
并且图象经过点（ ，－1 ， 【例 3】 已知二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y = x+1上，并且图象经过点（3，－1） 求此二次函数的解析式． 二次函数的解析式．
2010年10月31日星期日 2010年10月31日星期日
二、二次函数的三种表示方式
解：∵ y =−3x2 − 6x +1 =−3( x +1)2 + 4. ∴函数图象的开口向下， 函数图象的开口向下， 对称轴方程 顶点坐标为( 4)， 对称轴方程 x =−1，顶点坐标为(－1，4)， 当 x =−1时， ymax = 4 .
在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大； 的增大而增大； 在对称轴的右侧， (如图 如图) 在对称轴的左侧 ， 在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小 (如图) .
2
4ac − b 2 b 当x =− 时，函数取最小值 y = ． 4a 2a
今后解决二次函数 问题时， 问题时 ， 要善于借助 函数图像， 函数图像 ， 利用数形 结合的思想方法解决 问题． 问题．
b 4ac − b 2 图象开口向下， , ) ， 对称轴为 （2 ）当 a < 0 时 ，函数 y = ax + bx + c 图象开口向下，顶点坐标为 ( − 2a 4a