2019初高中数学衔接知识点及习题
2019年初升高数学衔接之数与式的运算
01数与式的运算高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为21x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；例1解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2±=x ．例2解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．例3解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x +2|=3的解为 ；（2）解不等式：|x －2|＜6；（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9；（4）解方程: |x -2|+|x +2|+|x -5|=15.【变式训练】实数在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【能力提升】已知方程组的解的值的符号相同.(1)求的取值范围；(2)化简：. 高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-．典型考题【典型例题】（1）计算：203212016(2)(2)2-⎛⎫-++-÷- ⎪⎝⎭（2）化简：2(2)(2)(2)a b a b a b +--- 【变式训练】计算：（1）0221( 3.14)(4)()3π--+--（2）2(3)(2)(2)x x x --+- 【能力提升】已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）高中必备知识点3：二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b ，等是无理式，而212x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如，等等．一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩典型考题【典型例题】计算下面各题．（1）2163)1526(-⨯-;（2-【变式训练】时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：+＝＝她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【能力提升】先化简，再求值：(2a ba b-+-ba b-)÷a2ba b-+，其中高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如AB的式子，若B中含有字母，且0B≠，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：A A MB B M⨯=⨯；A A MB B M÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d+，2m n pmn p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典型考题【典型例题】先化简，再求值22122()121x x x xx x x x+++-÷--+，其中x满足x2+x﹣1＝0．【变式训练】化简：22442x xy yx y-+-÷（4x2－y2）【能力提升】已知：112a b-=，则abbababa7222+---的值等于多少？专题验收测试题1．下列计算结果为a2的是（）A．a8÷a4（a≠0）B．a2•aC．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a22．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab3．下列计算正确的是（）A．x2+x3=x5B．x2•x3=x5C．（﹣x2）3=x8D．x6÷x2=x34．下列计算正确的是（）A．a3+a4＝a7B．a4•a5＝a9C．4m•5m＝9m D．a3+a3＝2a65．下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（）①a 3÷a ﹣1＝a 2②（2a 3）2＝4a 5③（12ab 2）3＝16a 3b 6④2﹣5＝132⑤（a +b ）2＝a 2+b 2 A ．2道 B ．3道C ．4道D ．5道 6．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2019次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．57．下列计算中，正确的是A ．24±=B ．a a ≥C ．236·a a a =D ．211-=8．下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）A ．11111818183636⎛⎫⨯-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭B ．2（x ﹣y ）＝2x ﹣2yC ．0.11010.33x x --= D ．a （b ﹣1）＝ab ﹣a9．下列运算正确的是（ ）A ．a 5﹣a 3＝a 2B ．6x 3y 2÷（﹣3x ）2＝2xy 2C ．2212a 2a -= D ．（﹣2a ）3＝﹣8a 3 10．下列运算：其中结果正确的个数为（ ）①a 2•a 3＝a 6 ②（a 3）2＝a 6 ③（ab ）3＝a 3b 3 ④a 5÷a 5＝aA ．1B ．2C ．3D ．411．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．12．已知a 2+2a=-2，则22(21)(4)a a a +++的值为________．13．计算：（﹣2）2019×0.52018＝_______．14．已知23x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a 2﹣b 2＝_____． 15．已知关于x 、y 的方程组31223x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩，则代数式32x •9y ＝___． 16．计算：（x ﹣y ）2•（y ﹣x ）3+（y ﹣x ）4•（x ﹣y ）＝_____．17．张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x ＋1)2－(4x －5)，并分别求出当x ＝和x ＝－时代数式的值．小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由．18．先化简，再求值：(x +2)(x ﹣2)+(2x ﹣1)2﹣4x (x ﹣1)，其中x ＝319．已知a+1a＝3（a ＞1），求242241111()()()()a a a a a a a a -⨯+⨯+⨯-的值． 20．请你将下式化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣2）2+（x ﹣4）（x ﹣1），其中x 2﹣3x ＝1． 21．已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：22334422,33,4112233⨯=+⨯=+⨯=+4，…， （1）写出第5个等式；（2）写出第n 个等式，并证明该等式成立．22．老师在黑板上写出三个算式:32-1=8×1，92-52=8×7，132-72=8×15。
专题05 二次函数的三种表示方式-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)
专题05二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根．【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3）9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上，∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴ +2m n ＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1);(2)4. 【解析】（1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为， 抛物线的解析式为； （2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积， 抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】 已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】（1）21322y x x =-++ ()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+-- ()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦ ()21122y x =--+ （2）∵()21122y x =--+ ∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6，解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）；（3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．（1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式．【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=， ∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下，∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大， ∴312m -≥0， 解得m ≥13， （2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0），∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1， 解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63．18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3．（1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3∴， ∴， ∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。
2019年初升高数学衔接辅导之三角形(含答案)
09三角形高中必备知识点1：三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形ABC V 中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,A B C 行?，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.典型考题【典型例题】如图，在⊙O中，AB是的直径，P A与⊙O相切于点A，点C在⊙O 上，且PC＝P A，（1）求证PC是⊙O的切线；（2）过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD＝P A＝2，①求图中阴影部分面积；②连接AC，若△P AC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为．【变式训练】已知菱形ABCD的边长为2．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
（1）特殊发现：如图①，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．①猜想验证：如图②．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图③，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。
初高中数学衔接知识点专题word版含答案
初高中数学衔接知识点专题（一）★ 专题一 数与式的运算【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>⇔；||(0)x a a >>⇔．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]33a b =- (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2= ；= ；= ；= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a的平方根，记作0)x a =≥，其(0)a ≥叫做a 的算术平方根．[3]立方根的概念： 叫做a的立方根，记为x =4．分式[1]分式的意义 形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2m n p m n p+++，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．例2 计算：（1）221()3x + （2）2211111()()5225104m n m mn n -++（3）42(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）22222(2)()x xy y x xy y ++-+例3 已知2310x x -==，求331x x +的值．例4 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）1)x ≥（3） （4）例6设x y ==，求33x y +的值．例7 化简：（1）11xx x x x -+- （2）222396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+-++--+-⋅ （2）解：原式=2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 ．【巩固练习】1． 解不等式 327x x ++-<2．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．3． 当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．4． 设x=，求4221x x x ++-的值．5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-6．化简或计算：(1)3÷ (2)(4) ÷+1AC |x －1||x －3|● 各专题参考答案 ●专题一数与式的运算参考答案例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；①若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <； ②若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >．综上所述，原不等式的解为13x <<．解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =； ①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由|AB |可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．例2（1）解：原式=221[()]3x ++222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯43281339x x x =-+-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=33331111()()521258m n m n -=-（3）原式=24222336(4)(44)()464a a a a a -++=-=-（4）原式=2222222()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+3326336()2x y x x y y =+=++ 例3解：2310x x -== 0x ∴≠ 13x x∴+= 原式=22221111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x+-+=++-=-= 例4解：0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-∴原式=b c a c a b a b c bc ac ab+++⋅+⋅+⋅222()()()a ab bc c a b c bc ac ab abc ---++=++=- ① 33223()[()3](3)3a b a b a b ab c c ab c abc +=++-=--=-+3333a b c abc ∴++= ②，把②代入①得原式=33abcabc-=-例5解：（1）原式6==- （2）原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2) x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3）原式ab =（4） 原式===例6解：22(277 14,123x y x y xy ===+=-⇒+==- 原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量． 【巩固练习】1．43x -<< 2． 3．3-或2 4．3-5．444222222222x y z x y x z y z ---+++ 6．()(((13,23,4-。
初升高数学衔接题及答案
初升高数学衔接题及答案【题目一：代数基础】题目：求解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的根。
【答案】首先，我们可以通过因式分解来解这个方程：\( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \)。
因此，方程的根是 \( x = 2 \) 和 \( x = 3 \)。
【题目二：几何基础】题目：在直角三角形ABC中，角C是直角，AB是斜边，如果AC=6，BC=8，求斜边AB的长度。
【答案】根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和，即：\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)。
代入已知值：\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，斜边AB的长度为 \( AB = \sqrt{100} = 10 \)。
【题目三：函数基础】题目：如果函数 \( f(x) = 2x - 3 \)，求 \( f(5) \) 的值。
【答案】将 \( x = 5 \) 代入函数 \( f(x) = 2x - 3 \) 中，我们得到：\( f(5) = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7 \)。
所以，\( f(5) \) 的值为7。
【题目四：不等式基础】题目：解不等式 \( 3x - 5 < 10 \)。
【答案】首先，我们将不等式两边加上5：\( 3x - 5 + 5 < 10 + 5 \)，得到 \( 3x < 15 \)。
然后，我们将不等式两边除以3：\( \frac{3x}{3} < \frac{15}{3} \)，得到 \( x < 5 \)。
所以，不等式的解为 \( x < 5 \)。
【题目五：概率基础】题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求取出红球的概率。
【答案】总共有 \( 5 + 3 = 8 \) 个球。
取出红球的概率为红球数量除以总球数，即：\( P(\text{红球}) = \frac{5}{8} \)。
(完整版)2019届初高中数学衔接知识点及习题
初高中数学衔接呼应版块
1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“ 1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多 ,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到 ,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二 次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
与 3 6 ， 2 3 3 2 与 2 3 3 2 ，等等． 一般地， a x 与 x ， a x b y 与 a x b y ， a x b 与 a x b 互为有理
化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子
的有理化因式，化去分子中的根号的过程
10. 高中阶段特别注重数学思维，数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
-1-
平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值 1.1.2. 乘法公式 1.1.3．二次根式 1.1.４．分式 1． 2 分解因式
2
-3-
. 例如
1．分母（子）有理化
平冈中学 2019 届初高中数学衔接知识点及习题
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次
(集合)初升高数学衔接知识点
(集合)初升高数学衔接知识点初升高数学衔接知识点11、数的分类及概念数系表：说明：分类的原则：1)相称(不重、不漏);2)有标准。
2、非负数：正实数与零的统称。
(表为：x0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。
3、倒数：①定义及表示法②性质：A.a1/a(a1);B.1/a中，aC.04、相反数：①定义及表示法②性质：A.a0时，aB.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。
5、数轴：①定义(三要素)②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
6、奇数、偶数、质数、合数(正整数自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7、绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│0,符号││是非负数的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有││出现，其关键一步是去掉││符号。
一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
初升高数学衔接知识点
初升高数学衔接知识点1.绝对值绝对值的几何意义是表示一个数在数轴上的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义是指在数轴上，这两个数之间的距离。
填空。
1) 若 x=5，则 x=5；若 x=-4，则 x=-4.2) 如果 a+b=5，且 a=-1，则 b=6；若 1-c=2，则 c=-1.选择题。
下列叙述正确的是（C）若a<b，则a<b。
化简：|x-5|-|2x-13| (x>5)。
2.乘法公式我们在初中已经研究过了一些乘法公式。
1) 平方差公式 (a+b)(a-b)=a^2-b^2.2) 完全平方公式 (a±b)^2=a^2±2ab+b^2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式。
1) 立方和公式 (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3.2) 立方差公式 (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3.3) 两数和立方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.4) 两数差立方公式 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.练。
填空。
1) 1111.2) (4m+2)^2=16m^2+4m+4.3) a^2-b^2=(b+a)(b-a)。
4) (a+2b-c)^2=a^2+4b^2+c^2-2ab+2ac-4bc。
选择题。
1) 若 x^2+mx+k 是一个完全平方式，则 k 等于 1.2) 不论 a，b 为何实数，a^2+b^2-2a-4b+8 的值可以是正数也可以是负数。
3.分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法。
十字相乘法。
例1 分解因式。
1) x^2-3x+2.2) x^2+4x-12.3) x^2-(a+b)xy+aby^2.4) xy-1+x-y。
提取公因式法与分组分解法。
例2 分解因式。
1) x^3+9+3x^2+3x。
2) 2x^2+xy-y^2-4x+5y-6.练。
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数学亲爱的2019届平冈学子：ﻩ恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。
从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。
打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。
假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。
你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。
这里给大家几个学数学的建议：１、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。
记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。
2、建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。
争取做到:找错、析错、改错、防错。
达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。
6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。
7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。
如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。
8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。
9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。
初高中数学衔接呼应版块１.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。
９．角度问题,三角函数问题。
在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。
三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。
同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。
10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。
目 录１.1 数与式的运算1.１.１绝对值 1.１．2. 乘法公式 1.１.３．二次根式 1．1.４．分式 1．２ 分解因式２.1 一元二次方程2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)2．2 二次函数２．2．1 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像和性质 2．2．2 二次函数的三种表示方式 2.2.３ 二次函数的简单应用２.3 方程与不等式2．3.１ 二元二次方程组解法 ２.３.2 一元二次不等式解法1．１ 数与式的运算 1．１.1．绝对值一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义:一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离.二、典型例题:例1 解不等式:4|1|>-x ﻩ解法一:由01=-x ,得1=x ；①若1<x ，不等式可变为4)1(>--x ，即41>-x ，得3-<x ,又x ＜1, ∴x <-3；②若x ≤1，不等式可变为4)1(>-x ， 即5>x 又1≥x ∴ 5>x综上所述，原不等式的解为3-<x 或5>x 。
解法二：如图1．１-1,1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为１的点Ａ之间的距离｜P Ａ|,即｜ＰA |＝|x －1｜;所以4|1|>-x 的几何意义即为 |PA |>4.可知点P 在点C (坐标为-3)的左侧、或点P 在点Ｄ（坐标5）的右侧．∴ 3-<x 或5>x 。
练 习Ａ 1.填空：（1)若5=x ，则ｘ＝____＿____;若4-=x ，则x =＿_____＿__.(2）如果5=+b a ，且1-=a ，则ｂ＝_____＿__；若21=-c ,则ｃ＝________．2．选择题：下列叙述正确的是 （ )1-3 x|x －1|图1．1－1(A ）若a b =,则a b = （B ）若a b >，则a b > （C)若a b <,则a b < (D ）若a b =,则a b =± 练习B3．解不等式:3|2|<+x4、化简：｜x －5|-|2x-1３|(x ＞5)．1.1.2. 乘法公式一、复习:我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+;（2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （３）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明. 二、典型例题例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一:原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++＝61x -．解法二:原式＝22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值.解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习A １.填空：（1)221111()9423a b b a -=+（ ）; （２)(4m + 22)164(m m =++ )；（3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ).2.选择题：(1）若212x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A ）2m （B ）214m (C)213m (D)2116m（２)不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ )(A ）总是正数 (B ）总是负数(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数1．１.３.二次根式一、概念:一般地,形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如32a b ,212x ++，22x y +. 必须记住1．分母(子）有理化把分母（子）中的根号化去,叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如与与. 一般地,,b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2． a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩二、典型例题例1 将下列式子化为最简二次根式：(0)a ≥; （0)x <.解= （0)a ==≥;（3220)xx x ==-<．例2 计算(3．解法一：(3-．解法二：(312．例3 试比较下列各组数的大小:（1) （2解: （11===,1===，>(２）∵1=== 又 4＞２２,∴错误!＋4＞错误!＋2错误!,例4 化简：20042005+⋅．解:20042005+⋅=20042004+⋅-⋅-=2004⎡⎤+⋅-⋅⎣⎦=20041⋅-例 5 化简 (1)x <<. 解:(1)原式＝4545+-222522)5(+⨯⨯-=2=2=．(２）原式1x x =-, ∵01x <<,∴11x x >>, 所以，原式=1x x-.练 习A 1.填空:＝__ ＿__； (２)(x =-则x 的取值范围是＿ _ ＿_＿;（3）=__ ___；(4)若x ==___＿＿_ __． ﻩﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ(提示先简化后代入）2.选择题:=( ） （A)2x ≠ (B)0x > (C ）2x > (Ｄ）02x <<练习B３．若1b a =+，求a b +的值.4.比较大小：-4（填“＞”,或“＜”).1．1．4.分式一、概念:1．分式的意义形如A B 的式子,若B 中含有字母，且0B ≠,则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯； A A M B B M÷=÷. 上述性质被称为分式的基本性质. 2．繁分式像ab c d+,2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．二、典型例题:例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值.解: ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例２ (1）试证:111(1)1n n n n =-++(其中ｎ是正整数）;(２）计算：1111223910+++⨯⨯⨯; (３)证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．（1)证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1n n n n =-++(其中n 是正整数)成立．（2）解:由(1)可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-＝910.(3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ =111111()()()23341n n -+-++-+＝1121n -+,又n ≥2，且ｎ是正整数, ∴错误!一定为正数, ∴1112334(1)n n +++⨯⨯+<＼ｆ(1，２) ．例3 设c e a=,且ｅ>1,２ｃ2－５ac +2a 2=0，求e 的值． 解：在2ｃ２－5a ｃ+2a 2＝0两边同除以ａ2,得 2e ２－５e ＋２＝0， ∴(2e-１)（e －2)＝0,∴ｅ＝错误!<1,舍去；或e =2． ∴ｅ＝２．练习A1．填空题:对任意的正整数n ，1(2)n n =+ （112n n -+)；２.选择题：若223x y x y -=+,则xy= ( ) (A ）1 (B)54 （C ）45(D)653．正数,x y 满足xy y x 222=+,求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯.习题１．1Ａ 组１．解不等式:13x ->２．已知1x y +=,求333x y xy ++的值.３．填空:（1）1819(2(2=___________＿_＿_＿_＿_；(22=,则a 的取值范围是＿＿___＿___＿_＿_＿_____＿;(3=__＿_＿__＿_＿＿_______＿＿．4.填空：12a =,13b =，则2223352a ab a ab b -=+-_＿＿_ _＿____＿____＿__； ５.已知：11,23x y ==,的值．Ｂ 组1．选择题：（1)=则 （ ）（A)a b < （B)a b > (C)0a b << (Ｄ）0b a <<（2）计算 （ ) （A（B（C) （D）２.计算:1111132435911++++⨯⨯⨯⨯．1．2 分解因式一、复习引申:因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例１ 分解因式：(1）x 2－３x ＋2; (2）x 2＋４x －12； (3)22()x a b xy aby -++； (4)1xy x y -+-.解:（１）如图１．2-1,将二次项x ２分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成-１与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为-３ｘ，就是x 2－3ｘ＋2中的一次项，所以,有ｘ2－3x +２=(x -1）（x -2)． －1 －2x x图1．2－1－1 －21 1图1．2－2－2 61 1图1．2－3－ay －byx x图1．2－4－1 1x y图1．2－5说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1．２－1中的两个x 用1来表示（如图1.2-2所示)．（2)由图1．2－３，得ｘ2+4ｘ-12=(ｘ－２)(x +6).（3）由图1.2-4，得 22()x a b xy aby -++=()()x ay x by --(4）1xy x y -+-＝x ｙ＋（x －y )-1＝（x －1) (y ＋1) (如图１.２－5所示)． 2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式:(1）32933x x x +++; （2)222456x xy y x y +--+-. 解： （１)32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++=32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++=33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++. 二次项 一次项 常数项(2)222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．3.关于ｘ的二次三项式a ｘ2＋bx +c （ａ≠0）的因式分解． 若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例３ 把下列关于x 的二次多项式分解因式：(1）221x x +-； （2）2244x xy y +-.解: (1）令221x x +-=０,则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x +++．（2)令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--,∴2244x xy y +-＝[2(1][2(1]x y x y +++．二、练习Ａ １．选择题:多项式22215x xy y --的一个因式为 ( ) (A)25x y - (B)3x y - （C)3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x ２＋6x ＋8; （２）8a 3－ｂ3；(3）ｘ2-2ｘ-1; （4)4(1)(2)x y y y x -++-.练习Ｂ组1.分解因式：(1） 31a +; (2)424139x x -+;（3)22222b c ab ac bc ++++;x+y 2x-y 2 -32．在实数范围内因式分解：(1）253x x -+ ； （2）23x --;(3)2234x xy y +-；3．分解因式:ｘ2+ｘ-(a 2－a )．２.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式一、概念：我们知道，对于一元二次方程ａｘ2＋ｂx +c =0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=. ① 因为a ≠0，所以，4a 2>０．于是(1)当b ２－4a ｃ＞０时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 ｘ1,2(2）当ｂ2-4ac =0时，方程①的右端为零,因此,原方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2=－2b a; (３)当ｂ2－4ａｃ<0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx +ｃ＝０（ａ≠0）的根的情况可以由ｂ２-4ac 来判定,我们把b 2－4a ｃ叫做一元二次方程ａx 2＋b ｘ＋ｃ=０（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示.综上所述,对于一元二次方程ax 2＋bx +ｃ＝０(a ≠０），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x １，2＝2b a-±；(２）当Δ＝0时,方程有两个相等的实数根 x 1=x ２＝-2ba; (３）当Δ＜0时，方程没有实数根． 二、典型例题:例１ 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根，写出方程的实数根.（1)ｘ2-３x +3=0; (２)x 2－a ｘ－1=０；(3） x 2－ａx +(a －1)=0； (4)ｘ2-2x +a ＝0．解:（１）∵Δ＝32－4×1×3=－3<0,∴方程没有实数根.（2）该方程的根的判别式Δ＝ａ２-4×1×(－1)=ａ2+4＞0,所以方程一定有两个不等的实数根1x =,22a x =(3）由于该方程的根的判别式为Δ＝ａ2-4×1×(a －1)＝a 2-4a +４＝（a －2)2， 所以,①当ａ＝2时,Δ＝0,所以方程有两个相等的实数根 ｘ１＝ｘ２＝１;ﻩ②当ａ≠２时，Δ＞0, 所以方程有两个不相等的实数根ｘ１=1,x ２=a －１.(4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22-４×１×a ＝4－4ａ=４（1-a )， 所以①当Δ＞0,即４(１－ａ) ＞0，即a ＜1时,方程有两个不相等的实数根11x = 21x =ﻩ ②当Δ＝0,即a =1时,方程有两个相等的实数根 x 1=ｘ2＝1； ③当Δ＜０,即a ＞1时,方程没有实数根．说明:在第3，4小题中,方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于是，在解题过程中,需要对a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.２ 根与系数的关系(韦达定理）一、概念：1、若一元二次方程ax 2＋b ｘ＋c =0(ａ≠0)有两个实数根1x =，2x =， 则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a-+---====. 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax 2+bx +c ＝0（a ≠０)的两根分别是ｘ１,ｘ2,那么x １＋ｘ2=b a -，x １·ｘ2＝ca.这一关系也被称为韦达定理. ﻩ2、特别地,对于二次项系数为１的一元二次方程x 2＋px ＋q =0,若x 1,x 2是其两根，由韦达定理可知 ｘ1＋x 2＝－ｐ，x 1·x 2＝q , ﻩ即 ｐ＝-（x 1+x 2)，q ＝x １·x ２，所以,方程x 2+px ＋q ＝0可化为 x ２－（x １+ｘ２）x ＋x １·x 2＝0，由于x １，x ２是一元二次方程x 2+px +q ＝0的两根，所以,x １,x ２也是一元二次方程x ２－（ｘ1+x 2)ｘ＋x 1·x 2=0的两根，因此有以两个数x 1,ｘ2为根的一元二次方程(二次项系数为１)是x 2－(x 1+x ２)ｘ+ｘ１·x 2=０． 二、典型例题：例2 已知方程2560xkx +-=的一个根是２,求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k 的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k 的值．解法一:∵2是方程的一个根,∴5×2２＋k ×2-6=0， ∴k =－7．所以，方程就为5x 2-７ｘ-６=0,解得x 1＝2,x 2=-35. 所以，方程的另一个根为－35,k 的值为－7. 解法二:设方程的另一个根为x 1,则 ２x 1＝－65,∴x 1＝－35. 由 (－35)＋2＝－5k,得 k ＝－7. 所以,方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例３ 已知关于x 的方程ｘ2+2(m －2）x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求ｍ的值． 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于ｍ的方程,从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根，因此,其根的判别式应大于零．解:设x 1，x ２是方程的两根,由韦达定理,得 x 1+x 2＝－2（m-2),x 1·ｘ2=m ２+４．∵x 1２+x 22－ｘ1·x ２=21, ∴（x １+ｘ2)2-3 x 1·ｘ2＝21,即 [－2(ｍ-2)]2－３(ｍ2＋４)＝21，化简,得 m 2－16m -17＝０， 解得 m =-1，或m ＝17.当m =-1时,方程为x 2+６x +5＝0,Δ＞0，满足题意；当m ＝1７时,方程为x ２＋30x ＋29３=0,Δ=302－4×1×２93<0，不合题意,舍去. 综上,m =-1．说明:（1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的ｍ的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大２1”求出m 的值,取满足条件的m 的值即可.（★）在今后的解题过程中,如果用由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于等于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4 已知两个数的和为4,积为－12,求这两个数.分析:我们可以设出这两个数分别为ｘ,y ，利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解． 解法一:设这两个数分别是ｘ,y ，则 x ＋y =4, ①xy ＝－12. ② 由①，得 y =4-ｘ，代入②，得x （４-ｘ)＝-12，即 x ２－4x -１２=０, ∴x 1＝-2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是-2和6．解法二:由韦达定理可知，这两个数是方程 x ２-4ｘ-１2＝0 的两个根． 解这个方程，得 x １=－2，x 2＝6. 所以,这两个数是-2和6.说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．ﻩ例５ 若x 1和ｘ2分别是一元二次方程2ｘ2＋５x -3＝0的两根． ﻩ（１)求| x 1-ｘ２|的值； (2)求221211x x +的值; （3）ｘ13+ｘ２3．解:∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x ２＋5ｘ-3=０的两根, ∴1252x x +=-,1232x x =-.ﻩ（1）∵| x 1-x 2｜2=x 1２+ x 2２-2 ｘ1x ２=(x 1＋x 2)２－4 x 1ｘ2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494， ∴｜ x 1-x 2｜=72．（2)22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-． ﻩ(3）x 13+ｘ23=(x １＋x 2)( x 12-ｘ1x 2＋ｘ22)＝（ｘ１＋ｘ2)［ ( ｘ1+ｘ２) ２-3x 1x ２]=(-52)×[（-52)2-3×(32-)]＝-2158．注意．．:．说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c ＝０（ａ≠０),则12b x a -+=，2b x -=, ∴| ｘ1－ｘ2|= ||a ==．于是有下面的结论:若ｘ1和ｘ2分别是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0),则| x 1－x 2|Δ＝b 2-4ac ). 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例６ 若关于x 的一元二次方程x 2－x +a －4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数ａ的取值范围． 解：设ｘ1，x 2是方程的两根,则 x 1x 2＝a -4<0， ①且Δ=(-1)2-4(a -4)>０． ② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜错误!. ∴ａ的取值范围是a <4.练习Ａ1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） (Ａ）有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D)没有实数根（２）若关于ｘ的方程mx ２＋ （2m +1)x ＋m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 （ ) (A)ｍ<14 (B)m ＞－14 (C)m ＜14，且ｍ≠0 (D)m ＞－14,且m ≠0 （3)已知关于x 的方程x 2+kx -2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）(A ）－3 （B)3 （C)－2 （Ｄ）2 （4）下列四个说法:①方程x 2＋2ｘ－７=0的两根之和为－2，两根之积为-7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为-2，两根之积为７;③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0,两根之积为73-； ④方程3 ｘ2+2ｘ＝0的两根之和为-２，两根之积为0. 其中正确说法的个数是 ( ）（Ａ）1个 (Ｂ）2个 (C ）3个 （D ）4个(5)关于x 的一元二次方程ａx 2-５x +a 2+a ＝0的一个根是0,则a 的值是( ）（Ａ)０ （Ｂ)1 (C ）-1 (D ）0,或－1２.填空:(1）若方程ｘ２－3x －１=0的两根分别是ｘ１和x 2，则1211x x += . （2）方程ｍx 2+x -2m =0(m ≠0）的根的情况是 . (3）以-3和1为根的一元二次方程是 . (4）方程kx 2+4x -1＝0的两根之和为-２，则k ＝ . (5)方程２x 2-x -４=0的两根为α，β，则α2＋β2＝ .(6）已知关于x 的方程ｘ2-ax -3a =0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． (7）方程2ｘ２＋２x -1＝0的两根为ｘ1和x ２，则| x 1－x 2|＝ ．|1|0b -=，当ｋ取何值时，方程kx 2＋ａx +b =０有两个不相等的实数根?4.已知方程x 2-3x -1=0的两根为x １和x 2,求(x １－３)( x 2-3）的值.5．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2ｘ2－(2m +1) x ＋1＝０有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根？没有实数根?6．求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程ｘ２-7x -1＝0各根的相反数．练习Ｂ组 1.选择题:若关于ｘ的方程x 2＋(k 2-１) x +k +1＝０的两实根互为相反数,则k 的值为 ( ) (A)1，或-1 （B ）1 (C)-1 （Ｄ）０ 2.填空：（1)若m ，ｎ是方程x ２＋2０05x －1=0的两个实数根,则ｍ２n +ｍn 2-mn 的值等于 .(2)如果ａ,b 是方程ｘ2+x -1=0的两个实数根，那么代数式ａ3+a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ． 3．已知关于x 的方程x 2-kx －2＝0．（1)求证:方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两根为x 1和x ２，如果２(x 1+x ２)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围.4．一元二次方程ax 2＋bx +c ＝０（a ≠０)的两根为x 1和x 2.求： （１）| x 1-ｘ2|和122x x +；(2）x 13＋x 23.5．关于x 的方程x 2＋4x +ｍ＝0的两根为x 1，ｘ２满足｜ ｘ1-x 2|=２，求实数m 的值．2．２ 二次函数2．2.1 二次函数ｙ=ax 2＋ｂx +c 的图像和性质一、复习引申:问题1 函数y =ax ２与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系?为了研究这一问题,我们可以先画出ｙ=2ｘ2,y ＝12ｘ2，y =-2x ２的图象，通过这些函数图象与函数y =ｘ２的图象之间的关系,推导出函数y ＝ax ２与y ＝ｘ2的图象之间所存在的关系.先画出函数y ＝x 2,y =２x 2的图象．再描点、连线,就分别得到了函数y =x ２，y ＝2ｘ2的图象(如图2-1所示)，从图2－１我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数ｙ=２x 2的图象可以由函数y =x ２的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y =12x ２，y =－2x 2的图象,并研究这两个函数图象与函数y ＝ｘ2的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：１、二次函数y ＝ａx 2(a ≠0)的图象可以由ｙ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到.在二次函数y ＝ax 2(ａ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2 函数y ＝a (ｘ＋h )2+k 与y =ax 2的图象之间存在怎样的关系?同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y ＝２(x +1)２+1与y =2ｘ2的图象（如图2-２所示）,从函数的同学我们不难发现,只要把函数y ＝２ｘ2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y =2(ｘ＋1)２+１的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地,还可以通过画函数ｙ＝－3x 2,y ＝－3(x －１）２+1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究,我们可以得到以下结论：2、二次函数y ＝ａ（ｘ+ｈ)2+k (a ≠0）中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;ｈ决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”.由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y =a ｘ2+bx +c (ａ≠０）的图象的方法：由于y =a ｘ2+bx +c =ａ(x ２+b x a )＋c =a (x ２+b x a＋224b a ）＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y =ａx 2+ｂx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数ｙ=ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是，二次函数y =ax 2+bx +ｃ(a ≠0)具有下列性质：图2.2-2图2.2-1３、(1）当a >０时，函数y =ａx 2+ｂx +c 图象开口向上;顶点坐标为24(,)24b ac b a a --,对称轴为直线x =-2b a ；当ｘ＜2b a-时，y 随着ｘ的增大而减小；当x ＞2b a -时,ｙ随着x 的增大而增大;当x ＝2ba-时,函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当ａ<0时，函数y ＝ａｘ2+bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ;当ｘ<2ba-时，y 随着x 的增大而增大；当ｘ＞2b a -时，ｙ随着x 的增大而减小;当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a -.ﻩ上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图２．２-４直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.二、典型例题：例1 求二次函数y ＝-3x 2-6ｘ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）?并画出该函数的图象.解：∵y =-３x 2－6x +1=-３（x ＋1)2＋４, ∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x =－1； 顶点坐标为(-1，４);当x ＝－1时,函数y 取最大值ｙ＝4；当x ＜－1时,y 随着x 的增大而增大；当ｘ＞－１时，y 随着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点Ａ(-1,4)），与x 轴交于点B 和C (,与y 轴的交点为D (0，1),过这四点画出图象(如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2 某种产品的成本是１２0元/件,试销阶段每件产品的售价x (元）与产品的日销售量y （件)之间?此时每天的销售利润是多少?分析：由于每天的利润＝日销售量ｙ×(销售价x －1２0)，日销售量y 又是销售价ｘ的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．解：由于ｙ是x 的一次函数,于是,设y ＝kx +b将x =１30，y ＝７0；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 k ＝-１,b ＝2０0．∴ ｙ=－ｘ+２0０.设每天的利润为ｚ(元),则z =(-x +20０)(x －120）=－x 2＋3２0x -24０0０=-（x -160)2+16０0, ∴当x =１60时,ｚ取最大值1600． 答：当售价为160元/件时，每天的利润最大,为１6０0元.例3 把二次函数y ＝x ２+bx +c 的图像向上平移２个单位，再向左平移4个单位,得到函数ｙ=ｘ2的图像，求b ,ｃ的值.解法一：ｙ=x 2＋b ｘ＋c =(x ＋2b )224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y xc =+++-+的图像,也就是函数ｙ=x 2的图像,所以,图2.2-3 图2.2-4 图2.2－5240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得b ＝－8，ｃ＝１4． ﻩ解法二：把二次函数y ＝x ２+ｂx +c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数ｙ=x 2的图像，等价于把二次函数y ＝ｘ2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位,得到函数y ＝x 2＋bx ＋ｃ的图像．ﻩ由于把二次函数y ＝x 2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y =(x －４）2+2的图像，即为y ＝x 2-8ｘ+14的图像,∴函数y =x ２－８x +1４与函数y ＝x ２+b ｘ+c 表示同一个函数,∴ｂ＝-８,c =14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算量小的优点.今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题. 三、练习Ａ １．选择题:（1）下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 （ )（Ａ）y ＝2x 2 （B ）y =2ｘ２-４x ＋2（C ）y ＝2ｘ2－1 （D)ｙ＝2x ２－4x（２)函数y ＝2（x －１)2＋2是将函数ｙ＝2x 2（ ）(A)向左平移１个单位、再向上平移２个单位得到的 （Ｂ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移１个单位得到的 （D)向上平移２个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题(1）二次函数y ＝2x 2-m ｘ＋n 图象的顶点坐标为(1,－2），则m ＝ ,n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝ｘ２+(m -2）x -２m ,当m ＝ 时,函数图象的顶点在y 轴上;当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时,函数图象经过原点.(3)函数y ＝-3（x ＋2)2＋５的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ;当x ＝ 时,函数取最值y ＝ ;当x 时,y 随着x 的增大而减小．３．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小）值及y 随x 的变化情况,并画出其图象．（1）ｙ=x ２－2x -3; (2)y ＝１+６ x －x 2.2．２.２ 二次函数的三种表示方式一、复习引申：通过上一小节的学习，我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:1.一般式：y ＝ax 2+ｂｘ+ｃ(ａ≠0)；2．顶点式：y ＝a （x +h )２+ｋ (a ≠0），其中顶点坐标是(-h ，ｋ).除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数y =ax 2+bx +c (ａ≠0)的图象与x 轴交点个数.当抛物线y =ａx 2+bx ＋ｃ(a ≠０)与x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax ２＋b ｘ＋c =0． ①ﻩ并且方程①的解就是抛物线ｙ=ａx 2+bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是，不难发现，抛物线y =ａx ２+ｂx +c （a ≠0)与ｘ轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b 2-4ac 有关,由此可知,抛物线y ＝a ｘ２+bx ＋c (a ≠0)与ｘ轴交点个数与根的判别式Δ＝ｂ２-４ac 存在下列关系:(１）当Δ＞0时，抛物线y ＝ａｘ２＋ｂx ＋c (ａ≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y =ax ２+bx +c (a ≠０)与ｘ轴有两个交点,则Δ>0也成立．（2)当Δ=0时，抛物线y =ａｘ2+bx +ｃ(a ≠0)与x 轴有一个交点（抛物线的顶点)；反过来,若抛物线y ＝a ｘ２+ｂx +c (a ≠0)与x 轴有一个交点，则Δ=０也成立．（3）当Δ<０时,抛物线ｙ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴没有交点;反过来,若抛物线y ＝ax 2+ｂx +ｃ(a ≠０)与x 轴没有交点,则Δ<0也成立.于是,若抛物线y ＝ax 2+b ｘ+c (a ≠0）与ｘ轴有两个交点Ａ（x 1,０），B （ｘ2，0)，则ｘ1,x 2是方程a ｘ2+bx +c ＝０的两根，所以 x 1+x 2＝b a -，ｘ1x 2＝c a, 即 b a ＝-(ｘ1＋x 2), ca＝ｘ１x ２．。