2016年宝山高三一模数学(合卷)

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上海市宝山区届高考数学一模试卷Word含解析

上海市宝山区届高考数学一模试卷-Word版含解析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2017年上海市宝山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁U B=．3．不等式的解集为．4．椭圆（θ为参数）的焦距为．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．11015．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．416．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1⊆A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．2017年上海市宝山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．=2．【考点】极限及其运算．【分析】分子、分母都除以n，从而求出代数式的极限值即可．【解答】解：==2，故答案为：2．2．设全集U=R，集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩∁U B={﹣1，0，1} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁U B与A∩∁U B即可．【解答】解析：因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以∁U B={x|x＜2}=（﹣∞，2），且集合A={﹣1，0，1，2，3}，所以A∩∁U B={﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}．3．不等式的解集为（﹣2，﹣1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式转化（x+1）（x+2）＜0求解即可．【解答】解：不等式等价于（x+1）（x+2）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴原不等式组的解集为（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣1）．4．椭圆（θ为参数）的焦距为6．【考点】椭圆的参数方程．【分析】求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：消去参数θ得：，所以，c==3，所以，焦距为2c=6．故答案为6．5．设复数z满足（i为虚数单位），则z=1+i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=x+yi，则代入，再由复数相等的充要条件，即可得到x，y的值，则答案可求．【解答】解：设z=x+yi，∴．则=x+yi+2（x﹣yi）=3﹣i，即3x﹣yi=3﹣i，∴x=1，y=1，因此，z=1+i．故答案为：1+i．6．若函数的最小正周期为aπ，则实数a的值为1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的计算，二倍角公式化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性，求得a的值．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=cos2x，T=π=aπ，所以，a=1，故答案为：1．7．若点（8，4）在函数f（x）=1+log a x图象上，则f（x）的反函数为f﹣1（x）=2x ﹣1．．【考点】反函数．【分析】求出函数f（x）的解析式，用x表示y的函数，把x与y互换可得答案．【解答】解：函数f（x）=1+log a x图象过点（8，4），可得：4=1+log a8，解得：a=2．∴f（x）=y=1+log2x则：x=2y﹣1，∴反函数为y=2x﹣1．故答案为f﹣1（x）=2x﹣1．8．已知向量，，则在的方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影公式为，代值计算即可．【解答】解：由于向量，，则在的方向上的投影为=．故答案为：9．已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为18π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】由题意，得：底面直径和母线长均为6，利用侧面积公式求出该圆锥的侧面积．【解答】解：由题意，得：底面直径和母线长均为6，S侧==18π．故答案为18π．10．某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，由此能求出在选出的3人中男、女生均有的概率．【解答】解：某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，基本事件总数n=，在选出的3人中男、女生均有的对立事件是三人均为男生或三人均为女生，∴在选出的3人中男、女生均有的概率：p==．故答案为：．11．设常数a＞0，若的二项展开式中x5的系数为144，则a=2．【考点】二项式系数的性质．=（r=0，1，2，…，9）．令9﹣2r=5，解得r，【分析】利用通项公式T r+1即可得出．==（r=0，1，2，…，9）．【解答】解：T r+1令9﹣2r=5，解得r=2，则=144，a＞0，解得a=2．故答案为：2．12．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N，那么称该数列为N型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为6．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论．【解答】解：由题意，公差d=1，na1+=2668，∴n（2a1+n﹣1）=5336=23×23×29，∵n＜2a1+n﹣1，且二者一奇一偶，∴（n，2a1+n﹣1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组；同理d=﹣1时，也有三组．综上所述，共6组．故答案为6．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．设a∈R，则“a=1”是“复数（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及纯虚数的定义判断即可．【解答】解：当a=1时，（a﹣1）（a+2）+（a+3）i=4i，为纯虚数，当（a﹣1）（a+2）+（a+3）i为纯虚数时，a=1或﹣2，故选：A．14．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为（）A．80 B．96 C．108 D．110【考点】分层抽样方法．【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．【解答】解：设高二x人，则x+x﹣50+500=1350，x=450，所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400因为=，所以，高二学生抽取人数为：=108，故选C．15．设M、N为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M、N为互斥事件，且，，则；（2）若，，，则M、N为相互独立事件；（3）若，，，则M、N为相互独立事件；（4）若，，，则M、N为相互独立事件；（5）若，，，则M、N为相互独立事件；其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】在（1）中，P（M∪N）==；在（2）中，由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（3）中，由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件；在（4）中，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=；（5）由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件．【解答】解：在（1）中，若M、N为互斥事件，且，，则P（M∪N）==，故（1）正确；在（2）中，若，，，则由相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（2）正确；在（3）中，若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（3）正确；在（4）中，若，，，当M、N为相互独立事件时，P（MN）=，故（4）错误；（5）若，，，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M、N为相互独立事件，故（5）正确．故选：D．16．在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k、l均为常数，且k＜l）之间的点所组成区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f（x）为二次函数，三点（﹣2，f（﹣2）+2）、（0，f（0）+2）、（2，f（2）+2）均位于“0⊕4型带状区域”，如果点（t，t+1）位于“﹣1⊕3型带状区域”，那么，函数y=|f （t）|的最大值为（）A．B．3 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设出函数f（x）的解析式，求出|t的范围，求出|f（t）|的解析式，根据不等式的性质求出其最大值即可．【解答】解：设f（x）=ax2+bx+c，则|f（﹣2）|≤2，|f（0）|≤2，|f（2）|≤2，即，即，∵t+1∈[﹣1，3]，∴|t|≤2，故y=|f（t）|=|t2+t+f（0）|=|f（2）+f（﹣2）+f（0）|≤|t（t+2）|+|t（t﹣2）|+|4﹣t2|=|t|（t+2）+|t|（2﹣t）+（4﹣t2）═（|t|﹣1）2+≤，故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为，侧面积为36；（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）求异面直线A1C与AB所成的角的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，由底面积和侧面积公式列出方程组，求出a=3，h=4，由此能求出正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）由AB∥A1B1，知∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与AB所成的角．【解答】解：（1）设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为a，高为h，则，解得a=3，h=4，∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC•h=．（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AB∥A1B1，∴∠B1A1C是异面直线A1C与AB所成的角（或所成角的补角），连结B1C，则A1C=B1C=5，在等腰△A1B1C中，cos==，∵∠A1B1C∈（0，π），∴．∴异面直线A1C与AB所成的角为arccos．18．已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（﹣2，0）；（1）求C的标准方程；（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣2），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的倾斜角．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，b==2，∴C的标准方程；（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x﹣2），设点A（x1，y1），B（x2，y2）；整理得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，丨AB丨=•=•=，由丨AB丨=，=，解得：k2=1，故k=±1，经检验，k=±1，符合题意，因此直线l的倾斜角为或．19．设数列{x n}的前n项和为S n，且4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*）；（1）求数列{x n}的通项公式；（2）若数列{y n}满足y n+1﹣y n=x n（n∈N*），且y1=2，求满足不等式的最小正整数n的值．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（1）由4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），可得n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1．n ≥2时，由S n=4x n﹣3，可得x n=S n﹣S n﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，利用y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）与等比数列的求和公式即可得出y n．代入不等式，化简即可得出．【解答】解：（1）∵4x n﹣S n﹣3=0（n∈N*），∴n=1时，4x1﹣x1﹣3=0，解得x1=1．n≥2时，由S n=4x n﹣3，∴x n=S n﹣S n﹣1=4x n﹣3﹣（4x n﹣1﹣3），∴x n=，∴数列{x n}，是等比数列，公比为．∴x n=．（2）y n+1﹣y n=x n=，且y1=2，∴y n=y1+（y2﹣y1）+（y3﹣y2）+…+（y n﹣y n﹣1）=2+1+++…+=2+=3×﹣1．当n=1时也满足．∴y n=3×﹣1．不等式，化为：=，∴n﹣1＞3，解得n＞4．∴满足不等式的最小正整数n的值为5．20．设函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，解不等式；（2）若f（0）=1，且在闭区间[2，3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数f（x）的图象过点（98，2），且不等式f[cos（2n x）]＜lg2对任意n ∈N均成立，求实数x的取值集合．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）根据f（0）=1，求f（x）的解析式，根据在闭区间[2，3]上有实数解，分离λ，可得λ=lg（x+10）﹣，令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域即为λ的范围．（3）函数f（x）的图象过点（98，2），求f（x）的解析式，可得f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2转化为，求解x，又∵2+x＞0，即x＞﹣2和n∈N．讨论k的范围可得答案．【解答】解：函数f（x）=lg（x+m）（m∈R）；（1）当m=2时，f（x）=lg（x+2）那么：不等式；即lg（+2）＞lg10，可得：，且解得：．∴不等式的解集为{x|}（2）∵f（0）=1，可得m=10．∴f（x）=lg（x+10），即lg（x+10）=在闭区间[2，3]上有实数解，可得λ=lg（x+10）﹣令F（x）=lg（x+10）﹣，求在闭区间[2，3]上的值域．根据指数和对数的性质可知：F（x）是增函数，∴F（x）在闭区间[2，3]上的值域为[lg12﹣，lg13﹣]故得实数λ的范围是[lg12﹣，lg13﹣]．（3）∵函数f（x）的图象过点（98，2），则有：2=lg（98+m）∴m=2．故f（x）=lg（2+x）那么：不等式f[cos（2n x）]＜lg2转化为lg（2+cos（2n x））＜lg2即，∴，n∈N．解得：＜x＜，n∈N．又∵2+x＞0，即x＞﹣2，∴≥﹣2，n∈N．解得：k，∵k∈Z，∴k≥0．故得任意n∈N均成立，实数x的取值集合为（，），k∈N，n ∈N．21．设集合A、B均为实数集R的子集，记：A+B={a+b|a∈A，b∈B}；（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*，且n≥2时，曲线的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B=，设A+B中的所有元素之和为S n，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合A1⊆A1+A1，则称A1为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合A2的某个非空有限子集中所有元素的和，则称A2为“N*的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集？请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）根据新定义A+B={a+b|a∈A，b∈B}，结合已知中的集合A，B，可得答案；（2）曲线表示双曲线，进而可得a n=，S n=n2，则S m+S n﹣λS k ＞0恒成立，⇔＞λ恒成立，结合m+n=3k，且m≠n，及基本不等式，可得＞，进而得到答案；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，结合已知中“自生集”和“N*的基底集”的定义，可证得结论；【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线，即，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=，∴a1+a2+a3+…+a n=，∵B=，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（）=3•﹣m=n2，∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立，⇔＞λ恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴，即实数λ的最大值为；（3）存在一个整数集合既是自生集又是N*的基底集，理由如下：设整数集合A={x|x=（﹣1）n•F n，n∈N*，n≥2}，其中{F n}为斐波那契数列，即F1=F2=1，F n+2=F n+F n+1，n∈N*，下证：整数集合A既是自生集又是N*的基底集，①由F n=F n+2﹣F n+1得：（﹣1）n•F n=（﹣1）n+2•F n+2+（﹣1）n+1•F n+1，故A是自生集；﹣1]，存在集合Ar一个有限子集②对于任意n≥2，对于任一正整数t∈[1，F2n+1{a1，a2，…，a m}，使得t=a1+a2+…+a m，（|a i＜F2n+1，i=1，2，…，m），当n=2时，由1=1，2=3+1﹣2，3=3，4=3+1，知结论成立；假设结论对n=k时成立，则n=k+1时，只须对任何整数m∈[F2k，F2k+3]讨论，+1，则m=F2k+2+，∈（﹣F2k+1，0），若m＜F2k+2故=﹣F2k+m′，m′∈[1，F2k+1），+1的元素的和．由归纳假设，m′可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k+1因为m=F2k﹣F2k+1+m′=（﹣1）2k+2•F2k+2+（﹣1）2k+1•F2k+1+m′，+2所以m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k的元素的和．+3若m=F2k，则结论显然成立．+2若F2k＜m＜F2k+3，则m=F2k+2+m′，m′∈[1，F2k+1），+2由归纳假设知，m可以表示为集合A中有限个绝对值小于F2k的元素的和．+3所以，当n=k+1时结论也成立；由于斐波那契数列是无界的，所以，任一个正整数都可以表示成集合A的一个有限子集中所有元素的和．因此集合A又是N*的基底集．。

上海市宝山区高考数学一模试卷解析版

高考数学一模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B.C.D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0时，辅助角B. 当a＞0，b＜0时，辅助角C. 当a＜0，b＞0时，辅助角D. 当a＜0，b＜0时，辅助角二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x1、x2，若|x1-x2|=2，则k=______．13.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a n}、{b n}均是等差数列，c n=a n•b n，若{c n}前三项是7、9、9，则c10=______．16.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x1、x2，求a的取值范围及x1+x2的值．19.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一象限，M是椭圆上一点．（1）记F1、F2是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F2，当M到F1的距离与到直线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a n}满足a1=1，a2=e（e是自然对数的底数），且，令b n=ln a n（n∈N*）．（1）证明：；（2）证明：是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e-+a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log2（4x+1）-log222x+x=log2（4x+1）-x=f（x）；f（x）=log2（4x+1）-x=log2=log2（2x+）≥log22=1，当且仅当2x=，即x=0时等号成立，故A正确；B：x＞0时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+≥2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒-＜φ＜0；，故φ=π-arctan（-）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（-）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜-，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|=．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（-，0）准线的方程为x=，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．故答案为：．首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0的两个虚根为x1、x2，可设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R）．∴x1+x2=2a=k，x1x2=a2+b2=2，∵|x1-x2|=2，∴|2bi|=2，联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x1=a+bi，x2=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x1-x2|=2求得a与b的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2，∴圆心（2，-4）到l的距离d==，∴AB=2=2=2．故答案为：2．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[-]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c n=a n•b n=an2+bn+c，则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a n}、{b n}均是等差数列，故{c n}为二次函数，设c n=an2+bn+c，根据前3项，求出a，b，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤=；所以≥a2+≥2=16．当且仅当⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2，）．故答案为：（2，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤=；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴=；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∵AD∥B1C1，∴∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，连接B1E，在△C1B1E中，B1C1=2，，=．∴cos∠B1C1E=，∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由题意可得AD∥B1C1，则∠B1C1E即为异面直线C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数===．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x1、x2，所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间上关于x=对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，可得x=≈7，则A池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%，可得=0.1，即0.92x+0.9x-0.2=0，可得0.9x=，可得x=≈17．则A、B两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得A池每小时剩余原来的90%，设A池要用t小时才能把污物的量减少一半，则0.9x=0.5，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A、B两池同时工作，经过x小时后把两池水混合便符合环保规定，B池每小时剩余原来的81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设M（x，y），-2≤x≤2，F1（-），F2（，0），直线AB 过F2，所以t=由题意得：=|x-|⇒y2=-4x，联立椭圆方程：+=1⇒y2=2-，解得x=-6+4，即M的横坐标是：-6+4．（2）设A（t，y1），B（t，-y1），M（-t，y1），则S△MAB=2t•|2y1|=2t•|y1|，而A在椭圆上，所以，+=1∴1≥2•⇒ty1≤，∴S△MAB≤2，当且仅当t=，即t=y1时取等号，∴t=，这时B（，-1），M（-，1），所以直线MB方程：y=-x；（3）设点A（t，y1），B（t，-y1），M（x0，y0），则直线MA：y=•（x-t）+y1，所以P的坐标（，0）同理直线MB：y=（x-t）-y1，所以Q的坐标（，0）所以|OP|•|OQ|=||，又因为A，M在椭圆上，所以y12=2-t2，y02=2-x02代入|OP|•|OQ|=||=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F1，F2的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b n=ln a n（n∈N*）．∴====-．∴是等比数列，公比为-．首项b2-b1=1．∴b n+1-b n=．∴b n=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+……+（b n-b n-1）=0+1+++……+==．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵===1-．当n=2时，取得最小值，=．∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n ≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n ，由，b n=ln a n（n∈N*）．可得==-．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t ≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。

2016年上海市宝山区高考一模数学试卷【解析版】

15．（5 分）如图，该程序运行后输出的结果为（）
第 2 页（共 18 页）
A．1
B．2
C．4
D．16
16．（5 分）P 是△ABC 所在平面内一点，若＝λ + ，其中 λ∈R，则 P 点一
定在（）
A．△Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC 内部
B．AC 边所在直线上
C．AB 边所在直线上
D．BC 边所在直线上
17．（5 分）若 a，b 是异面直线，则下列命题中的假命题为（）
第 1 页（共 18 页）
＞y2＞0．过 A1，A2 分别作 y 轴的垂线，交抛物线于 B1，B2 两点，直线 B1B2 与 y 轴交于点 A3（0，y3），此时就称 A1，A2 确定了 A3．依此类推，可由 A2， A3 确定 A4，…．记 An（0，yn），n＝1，2，3，…．给出下列三个结论：
2016 年上海市宝山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，只要求直接填写结果，每
①数列{yn}是递减数列； ②对∀n∈N*，yn＞0；
③若 y1＝4，y2＝3，则
．
其中，所有正确结论的序号是
．
二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、 D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用 2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得 5 分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
是首项为 4，公差为 2 的等差数列．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若 bn＝an+f（an），当
时，求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的最小值；
（3）若 cn＝anlgan，问是否存在实数 k，使得{cn}是递增数列？若存在，求出 k 的范围；若不存在，说明理由．

2016届上海市长宁、青浦、宝山、嘉定高三4月(四区)联考数学(理)试卷

2016届上海市长宁、青浦、宝山、嘉定高三4月（四区）联考数学（理）试卷一、填空题1.设集合{|||2,}A x x x R =<∈，2{|430,}B x x x x R =-+≥∈，则A B = ．2.已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则||z = ． 3.设0a >且1a ≠，若函数1()2x f x a -=+的反函数的图象经过定点P ，则点P 的坐标是．4.计算：222lim(1)n nn P C n →∞+=+ ． 5.在平面直角坐标系内，直线:220l x y +-=，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为． 6.已知sin 2sin 0θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan 2θ= ．7.设定点在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()24xf x =-，则不等式()0f x ≤的解集是． 8.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(1,1)A ，若OA 的垂直平分线过抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点，则抛物线C 的方程为．9.直线11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线sin cos sin cos x y θθθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）的公共点的坐标为．10.记*1(2)()n x n N x+∈展开式中第m 项系数为m b ，若342b b =，则n = ． 11.从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξA ．B ．C ．D ．表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望E ξ= ． 12.已知各项均为正数的数列{}n a2*3()n n n N +=+∈ ，则12231n a a a n +++=+ ． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为． 14．已知0a >，函数()([1,2])af x x x x=-∈的图象的两个端点分别为,A B ，设M 是函数()f x 图象上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若||1MN ≤恒成立，则a 的最大值是．二、选择题15.“sin 0α=”是“cos 1α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 16.下列命题正确的是（）A ．若直线1//l 平面α，直线2//l 平面α，则12//l l ；B ．若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则//l α；C ．直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,)2π；D ．若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则12//l l .17.已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -∙-= ，则||c的最大值是（）A ．1B ．2 CD18.已知函数3|log |,03()sin(),3156x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（） A ．(60,96) B ．(45,72) C ．(30,48) D ．(15,24)三、解答题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小.（结果用反三角函数值表示）20.已知函数()cos()cos()133f x x x x ππωωω=+++--，(0,)x R ω>∈，且函数()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()0f B =，32BA BC ∙= ，且4a c +=，试求b的值.21.定义在D 上的函数()f x ，若满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界. （1）设()1x f x x =+，判断()f x 在11[,]22-上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出()f x 的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数()124xxg x a =++∙在[0,2]x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22. 如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4(0)y kx k =->与椭圆相交于,A B 两点，与y 轴交于点P .（1）若PA AB =，求k 的值；（2）求证：AFP BFO ∠=∠；（3）求面积ABF ∆的最大值.23.已知正项数列{},{}n n a b 满足：对任意*n N ∈，都有1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列，且1210,15a a ==.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（3）设12111n n S a a a =+++ ，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围.2016年青浦区高考数学（理科）二模卷一、填空题【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集. 【参考答案】(2,1]-【试题分析】{}{}|||2,|22A x x x x x =∈=-R ＜＜＜，{}2|430,B x x x x =-+∈R ≥{}13x x =≤或≥，所以(2,1]A B =- .故答案为(2,1]-.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算. 【参考答案】1【试题分析】因为1i 1zz-=+，所以21i (1i)1(1)i i 1i (1i)(1i)z z z ---=+⇒===-++-，则||1z ==.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数. 【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数1()2x f x a-=+经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数()f x 的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】32【试题分析】2222223(1)3(1)P C3(1)32lim42(1)(1)2(1)22nn n n n n n n n n n n n n n →++++++====+++++∞，故答案为32. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】23π 【试题分析】设直线220x y +-=与条坐标轴的交点分别为A ,B ,则A (1,0)，B （0,2），于是AOB △绕y 轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥，所以2211212333V R h π=π=⨯π⨯⨯=，故答案为23π.【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【试题分析】由sin 2sin 0θθ+=得，2sin cos sin θθθ=-，所以1cos 2θ=-，因为(,2θπ∈π)，所以sin θ=tan θ=，又22tan tan 21tan θθθ==-. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】(,2][0,2]-∞-【试题分析】当0x >时，因为()240xf x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(0)0,f =()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ⇒≤≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞- ，故答案为(,2][0,2]-∞- .8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质. 【参考答案】24y x =【试题分析】设抛物线的焦点坐标为(,0)2p ，线段OA 的中点坐标为11(,)22，因为1OA k =,所以经过抛物线焦点的线段OA 的垂直平分线的斜率0122112p k -==-，所以2p =，则抛物线的标准方程为24y x =，故答案为24y x =.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】(0,1)【试题分析】因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将1,1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①代入 sin cos ,sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩代入得2(1)2(1)1-+-=，解得t =或,将t =、代入①求得0,1x y =⎧⎨=⎩或3,22x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为πsin cos )4y θθθ=+=+≥，所以只有0,1x y =⎧⎨=⎩符合题意，故答案为(0,1).10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理. 【参考答案】5【试题分析】1(2)n x x+的展开式中第m 项为的系数11C 2m n mm n b -+-=，因为342b b =，所以2233C 22C 2n n n n --=，即23C C n n =，得5n =，故答案为5.11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征.【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，因为2AD PD ==,所以BD =,DO =所以PO ==,22PAD S ==△, 122PDB S ==△,12222ABD S =⨯⨯=△,从正四棱锥的5个顶点中任取3个点，可以构成的三角形的个数为35C 10=，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故E ξ==12.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】226n n +的等差数列，所以12+231n a a a n ++=+ (844)2n n ++226n n =+，故答案为226n n +.13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】{48,51,54,57,60}【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60}，故答案为{48,51,54,57,60}.14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】6+【试题分析】如图，设000(,)aM x x x -0(12)x ≤≤由题意得(1,1)A a -，(22)2a B -，，(1,1)2a AB =+ ，所以直线AB 的方程为1(1)112x y a a ---=+，化为一般式方程为3(1)22a y x a =+-，所以003(,(1))22a N x x a +-, 所以003||||22a aMN a x x =--3|2a -≤3=(2a ，当且仅当002a ax x =，即0[1,2]x =时取等号，因为||1MN ≤恒成立，所以3(12a ≤，6a +≤所以a的最大值为6+6+二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比. 【正确选项】B【试题分析】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系. 【正确选项】D【试题分析】直线1l 与2l 可能是与平面α平行的平面中的相交直线，故A 选项不正确；直线l 上的点可能是位于平面α两侧的点，故B 选项不正确；直线l 与平面α所形成的角大小可以取到0和π2，故C 选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D 选项正确.故答案为D.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识. 【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算. 【正确选项】C【试题分析】由于a b ⊥ 且||||1a b == ，那么||a b +=2()()||||||cos 0c a c b c c a b a b α--=-++⋅= ，即||c α= ，由于1cos 1α-≤≤，所以||c的最大.故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像. 【正确选项】B【试题分析】因为存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x a ====，所以函数()f x 与直线y a =的图像有4个交点，如图，因此123403315x x x x <<<<，≤≤，因为3()|log |,03f x x x =<<，所以3132313212|log ||log |,log log ,1x x x x x x =-==，又因为π()sin(),3156f x x x =≤≤的图像关于直线9x =对称，所以3418x x +=，所以1234331(18)x x x x x x =⋅⋅-，因为339x <<，所以12344581x x x x <<,故答案为B.三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分. 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系. （2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，………………………………………2分因为⊥1CC 平面111A B C ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………4分所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………5分（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），(0,2,0)CB = 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………7分 )2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有10,0,n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n， …………………………………………10分设CB 与n 的夹角为θ，则42cos 233||||CB n CB n θ⋅===⨯⋅， …………………11分由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos． ……………………………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形. （2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.（2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】（1）π()cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ……………3分又πT =，所以，2=ω， ………………………………………………5分所以，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． …………………………………………………6分（2）π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，ππ22π66B k +=+或π5π22π66B k +=+（Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以π3B =．……9分而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅= ，所以，3=ac ， …………………………11分又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………14分21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故 11()22f f x f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，即11()3f x -≤≤， ……………………………2分故|()|1f x ≤，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………4分所以，上界M 满足1M ≥，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………6分（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故|()|3g x ≤在]2,0[∈x 上恒成立，即3()3g x -≤≤，所以，31243x x a -++⋅≤≤（]2,0[∈x ）， …………8分所以41214242x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故2242t t a t t ---≤≤在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，22max min (4)(2)t t a t t ---≤≤（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………11分令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；…12分令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…13分所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1）由221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得03624)43(22=+-+kx x k ，所以2144(4)0k ∆=->，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………2分因为PA AB = ，所以122x x =，代入上式求得556=k . ………………………4分（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0=+BF AF k k . …………………………………………6分21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k kk . …………………………………………9分所以，BFO AFP ∠=∠. …………………………………………………10分（3）由0∆>，得042>-k ，所以1211||||322ABF PBF PAF S S S PF x x ∆∆=-=⋅-=⋅△4341822+-=k k ， ………………………………………………………………13分令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k故21818163163ABF t S t t t===++△=（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）. ……15分所以，△ABF 面积的最大值是433. ……………………………………………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 121++=n n n b b a ②， ………1分由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………2分将③代入①得，对任意*N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}n b 是等差数列． …………………………4分（2）设数列{}n b 的公差为d ，由101=a ，152=a ，得2251=b ，182=b ，……6分所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………7分所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………8分所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………9分 2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………10分（3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………14分令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ，则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. ………………………………17分故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞. ………………………………18分解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………14分设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，10a -≤，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………15分当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1a ≤时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立．综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………18分。

2016一模难题汇编-圆锥曲线-学生版

一、填空题1.（2016宝山一模合卷13）已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 . ),3[+∞- 2.（2016宝山一模合卷14）如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，L .记(0,)n n A y ，1,2,3,n =L . 给出下列三个结论：① 数列{}n y 是递减数列；② 对任意*n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =.其中，所有正确结论的序号是_____．【答案】① ② ③3.（2016虹口一模合卷7）如图，已知双曲线C 的右焦点为F ，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C 的焦距为4，OFB ∆为等边三角形（O 为坐标原点，即双曲线C 的中心），则双曲线C 的方程为；【答案】2213y x -=4.（2016虹口一模合卷9）已知抛物线28x y =的弦AB 的中点的纵坐标为4，则||AB 的最大值为 85.（2016黄浦一模文理13）已知点(,0)M m （0m >）和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点F 的直线与C 交于A 、B 两点，若2AF FB =u u u r u u u r ，且||||MF MA =u u u u r u u u r ，则m = ．1126. （2016闵行一模文理11）若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-u u u r u u u u r u u u r的最大值为 .2a7. （2016普陀一模文理7）设O 为坐标原点，若直线1:02l y -=与曲线2:10x y Γ--=相交于A 、B 点，则扇形AOB 的面积为；3π 8. （2016普陀一模文理13）若F 是抛物线24y x =的焦点，点i P (1,2,3,...,100)i =在抛物线上，且12...PF P F ++u u u r u u u u r 1000P F +=u u u u u r r ，则12100||||...||PF P F P F +++=u u u r u u u u r u u u u u r ；2009. （2016松江一模文理12）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为k 的直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ．若2AM MB =u u u u r u u u r，则 k = ．22±10.（2016闸北一模理8）过点0)M y 作圆22:1O x y +=的切线，切点为N ，如果6OMN π∠≥，那么0y 的取值范围是；[1,1]-二、解答题1. （2016宝山一模合卷22）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称．（1）若已知)21,0(C ，M 为椭圆上动点，证明：（2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．解：（1）设),,(y x M 则2212xy +=, 于是22)21(-+=y x MC =22)21(22-+-y y = 25)21(2++-=y因11≤≤-y , 所以，当21-=y 时，210max =MC .即210≤MC -------4分（2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+. 由221,21,x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222222102m b x x b m m +-+-=. 因为直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，所以,224220b m∆=-++>，即2221b m<+①将AB 中点2222(,)22mb m b M m m ++ 代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=- ②由①②得3m <-或3m > （3）令1((0,22t m =∈-U ，即23(0,)2t =，则 21232212242+++-⋅+=t t t t AB -且O 到直线AB的距离为21t d +=-----------------------------------------------12分设AOB ∆的面积为()S t ，所以222)21(22121)(22≤+--=⋅=t d AB t S -------------14分当且仅当212t =时，等号成立.故AOB ∆面积的最大值为2. ----------------------16分2、（2016崇明一模合卷21）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l ∥．（1）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积；（2）当90ABC ∠=o，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解.（1）因为AB l ∥，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．……1分设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，由2234x y y x⎧+=⎨=⎩，得1x =±所以12AB x =-=．……………………………………………………3分原点到直线l的距离h =…………………………………………………………4分所以122ABC S AB h ==g △．………………………………………………………… 5分（2）设AB 所在直线的方程为y x m =+，…………………………………………6分由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=．因为A B ，在椭圆上，所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=．…………………………………………10分又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =分所以22222210(1)11ACAB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>）此时AB 所在直线的方程为1y x =-．………………………………………………14分3.（2016奉贤一模合卷21）2(),x y 对应点的曲线方程是C ．（1）、求C 的标准方程；（2）、直线1:0l x y m -+=与曲线C 相交于不同两点,M N ，且满足MON ∠为钝角，其中O 为直角坐标原点，求出m 的取值范围．解、（14= 1分所以点(),P x y 对应的曲线方程C 是椭圆 2分24,2a a =∴= ． 3分1c = 4分2,1,a c b ∴===5分22143x y += 6分（2）、联立方程组220143x y m x y-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得22784120x mx m ++-= 7分()2226428412336480m m m ∆=--=-> 8分27m ∴< 9分设1122(,),(,)M x y N x y得2124127m x x -= 10分方法一可计算2123127m y y -= 11分由MON ∠为钝角，则0OM ON ⋅<u u u u r u u u r，12120x x y y +<22412312077m m --+< 12分所以2247m<13分m << 14分4.（2016虹口一模合卷23）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，短轴的两个端点分别为A 、B ，且||2AB =，△ABF 为等边三角形；（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点M 在椭圆C 上且位于第一象限内，它关于坐标原点O 的对称点为N ；过点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，直线NH 与椭圆C 交于另一点J ，若12HM HN ⋅=-u u u u r u u u r ，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；（3）已知12,l l 是过点A 的两条互相垂直的直线，直线1l 与圆22:4O x y +=相交于,P Q 两点，直线2l 与椭圆C 交于另一点R ，求△PQR 面积取最大值时，直线1l 的方程；解：（1）由题意，得22222,,,b c b c a =⎧⎪=⎨⎪+=⎩ ……(2分)2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩解得故椭圆C 的方程为22 1.4x y += ……(4分) （2）设00(,),M x y 则由条件，知000000,0,(,),(,0).x y N x y H x >>--且从而000(0,),(,).HM y HN x y ==--u u u u r u u u r于是由20000001(0,)(,),0,2HM HN y x y y y y ⋅=⋅--=-=->=u u u u r u u u r及得再由点M 在椭圆C上，得220001,4x y x +==求得所以),(),0);M N H ……(6分) 进而求得直线NH 的方程:40.x y -=由2240,1,4x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩J 求得 ……(8分)进而NJ NJ ==线段的中点坐标为因此以线段NJ为直径的圆的方程为：22153((.50x y += ……(10分)（3）当直线1l的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意；当直线1l 的斜率为0时，可以求得PQR S ∆= ……(12分)当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为1(0),y k x k =-≠则点O 到直线1l 的距离为d =从而由几何意义，得PQ == 由于21,l l ⊥故直线2l 的方程为11,y x k=--可求得它与椭圆C 的交点R 的坐标为22284,;44k k k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭于是AR ==12PQRS PQ AR ∆⋅==故 ……(15分)u =>令则232321313PQR u u u uS ∆=≤++=当且仅当u k =>=即时，上式取等号.>故当k =时，()max PQR S ∆=此时直线1l的方程为：1.2y x =±-（也可写成220.y ++=） ……(18分)5.（2016黄浦一模理22）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ．（1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ．（2）若直线1l 和2l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当2212d d +为定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值．（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式． [解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分）点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组2222,1y x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解，将y x =代入椭圆方程，解得22221222a b x x a b ==+．根据对称性，可得正方形ACBD 的面积22212244a S b a b x =+=．（4分）（2）由题设，不妨设直线1l 的方程为y kx =（0k ≠），于是直线2l 的方程为y kx =-．设00(,)P x y ，于是有2200221x y a b +=，又1d =2d =，（6分）222222200000012222()()22111kx y kx y k x y d d k k k -+++=+=+++，将2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入上式，得22222222000222212222212211x b k x b k x b a a d d k k ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++，（8分）对于任意0[,]x a a ∈-，上式为定值，必有2220b k a -=，即bk a=±，（9分）因此，直线1l 和2l 的斜率分别为b a 和b a-，此时222212222a b d d a b +=+．（10分）（3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=．点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b +=．（11分） ② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22221x y a b+=，整理得222222222000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222012222200(1)a b y x x b y a x -=+，（13分）同理可得222012222200(1)b a x y y b y a x -=+．（15分）因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=u u u r u u u r，即12120x x y y +=，（16分）于是22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22001x y +=，得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b满足的关系式为22111a b +=． 7（2016嘉定一模文22）已知抛物线py x 22=，准线方程为01=+y ，直线l 过定点),0(t T （0>t ）且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线的方程；（2）OB OA ⋅是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）当1=t时，设⋅=λ，记)(||λf AB =，求)(λf 的解析式．解：（1）由题意，12-=-p，2=p ， ………………………………………………（2分）故抛物线方程为y x 42=． …………………………………………………………（4分）（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，直线t kx y l +=:，则⎩⎨⎧-==+⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=.4,40444,212122t x x k x x t kx x yx t kx y …………………………（2分）于是，2212122121)()1(tx x kt x x k y y x x OB OA ++++=+=⋅t t 42-=， ……（4分）因为点),0(t T 是定点，所以t 是定值，所以OB OA ⋅是定值，此定值为t t 42-．…（6分）（3）)1,0(T ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,200x x B ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=14,20x x TB ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==λλλλ4,20x x TB AT ，故)41,(200x x A ⋅-+-λλλ， ………………（2分）因为点A 在抛物线y x 42=上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=4142022x x λλλ，得λ420=x ．……（4分）又T 为抛物线的焦点，故24412||)(2020++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=++==x x y y AB f B A λλλ21++=λλ，即21)(++=λλλf （0>λ）． ………………………………（6分）8.（2016嘉定一模理22）在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为21．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20<<m ）的距离的最小值为1，求m 的值．（3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于43-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由．解（1）设),(y x P ，由题意，21|4|)1(22=+++x y x ， ……………………………（2分）化简得124322=+y x ， ………………（3分）所以，动点P 的轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………（4分）（2）设),(y x N ，则3241413)()(||2222222++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=m mx x x m x y m x MN )1(3)4(4122m m x -+-=，22≤≤-x ． ………………………………（2分） ①当240≤<m ，即210≤<m 时，当m x 4=时，2||MN 取最小值1)1(32=-m ，解得322=m ，36=m ，此时2364>=x ，故舍去． …………………（4分） ②当24>m ，即221<<m 时，当2=x 时，2||MN 取最小值1442=+-m m ，解得1=m ，或3=m （舍）． …………………………………………………（6分）综上，1=m ．（3）解法一：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由43-=⋅OBOA k k ，得432121-=x x y y ，（1分）221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ，所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）①当21x x =时，则四边形11B ABA 为矩形，12y y -=，则432121=x y ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=413432121x x ，解得221=x ，2321=y ， ||||4||||111y x B A AB S =⋅=34=． ……………………………………（3分）②当21x x ≠时，直线AB 的方向向量为),(1212y y x x d --=ρ，直线AB 的方程为0)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O 到直线AB 的距离为2122121221)()(||y y x x y x y x d -+--=所以，△AOB 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB-=⋅⋅=∆，根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积AOB S S ∆=4||21221y x y x -=，……（4分）所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）解法二：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --，由43-=⋅OBOA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ，所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）直线OA 的方程为011=-y x x y ，点B 到直线OA 的距离21211221||yx y x y x d+-=，△1ABA 的面积||||21122111y x y x d AA S ABA -=⋅⋅=∆， ……………………（3分）根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分）所以， )2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ………………………………（6分）9.（2016金山一模合卷21）在平面直角坐标系中，已知椭圆22:12412x y C +=，设点00(,)R x y 是椭圆C 上一点，从原点O 向圆2200:()()8R x x y y -+-=作两条切线，切点分别为P 、Q ；（1）若直线OP 、OQ 互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标；（2）若直线OP 、OQ 的斜率都存在，并记为1k 、2k ，求证：12210k k +=；解：(1)由题意得：圆R 的半径为22，因为直线OQ OP ,互相垂直，且与圆R 相切，所以四边形OPRQ 为正方形，故42==r OR ，即162020=+y x ① ………………3分10（2016静安一模理21）设P 1和P 2是双曲线22221x y a b-=上的两点，线段P 1P 2的中点为M ，直线P 1P 2不经过坐标原点O .（1）若直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22ab ；（2）若双曲线的焦点分别为1(F、2F ，点P 1的坐标为(2，1) ，直线OM 的斜率为32，求由四点P 1、 F 1、P 2、F 2所围成四边形P 1 F 1P 2F 2的面积.(1)解法1：设不经过点O 的直线P 1P 2方程为1y k x l =+，代入双曲线22221x y a b -=方程得：22222222211()20b a k x a k lx a b a l ----=.设 P 1坐标为11(,)x y ，P 2坐标为22(,)x y ，中点坐标为M (x,y),则1212,22x x y y x y ++==，211222212a k l x x b a k +=-， 222121212121y y b a k k k x x a k +-==++，所以，2222221211a k k a k b a k =+-，k 1k 2=22b a 。

宝山区2016学年度第一学期高三数学学科教学质量监测试卷

宝山区2016学年度第一学期高三数学学科教学质量监测试卷（2016年12月）一、填空题（本大题共12题，满分54分，其中低1至第6题填对得4分，第7题至第12题填对得5分）1、23lim 1n n n →∞+=+ 。

2、设全集U R =，集合{}{}1,01,2,3,2A B x x =-=≥，则U A C B = 。

3、不等式102x x +<+ 的解集为。

4、椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为。

5、设复数z 满足23z z i +=-，（i 为虚数单位），则z = 。

6、若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为。

7、若点()8,4在函数()1log a f x x =+图象上，则()f x 的反函数为。

8、已知向量()()1,2,0,3a b == ，则b 在a 方向上的投影为。

9、已知一个地面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为。

10、某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中，男、女生均有的概率为。

11、设常数0a >，若9a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中5x 的系数为144，则a = 。

12、如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如：2，3，4，5，6为20型标准数列。

则2668型标准数列的个数为。

二、选择题（共4题，满分20分）13、设a R ∈，则“1a =”是“()()()123a a a i -+++为纯虚数”的（）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件14、某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人。

为了了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中高二学生人数为（）A 、80B 、96C 、 108D 、 11015、设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且()()11,54P M P N ==，则()920P M N = ；（2）若()()11,23P M P N ==，()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（3）若()()11,23P M P N ==， ()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（4）若()()11,23P M P N ==， ()16P MN =，则M 、N 为相互独立事件；（5）若()()11,23P M P N ==， ()56P MN =，则M 、N 为相互独立事件。

上海市宝山区学年第二次高考模拟高三数学试卷含答案

宝山区2016-2017学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosx f x cosxsinx=的最小正周期是．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ． 5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是．7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）916. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意26)t ∈，，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（）（A ）(]02，（B ）(]12，（C ）[]12，（D ）[]14，三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小；（2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；（2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”；（2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ；（3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．1宝山区2016-2017学年第二学期期中高三数学教学质量监测试参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 11 12、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(120)E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故α=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/ 设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/ =13/ 又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3arcsin θ∴=，即直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为3．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FHCD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE =HE tan EFH FH∠=， ………………………………………… 6/1== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=EF 与1AA所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小即为EFC ∠． ………………………………10/在Rt EFC ∆中，易得1EC FC ==，ECtan EFC FC ∠=……………………12/2==，………………13/ 又(0)2EFC π∠∈，，故EFC ∠=EF 与平面11AA B B所成角的大小为2arctan． ……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ……………2/当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，则(A t，(B t -，，t t 42-=⋅．…………3/当直线l 的斜率k 存在时，则0≠k ，设l 的方程为)(t x k y -=，11()A x y ，，22()B x y ，，由24()y x y k x t ⎧=⎨=-⎩消去x ，得0442=--kt y ky ，故121244y y k y y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，t t y y y y y y x x OB OA 41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………………………6/方法二：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y xx my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，故121244y y m y y t+=⎧⎨=-⎩，所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+ 24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT ==， ……………………………8/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因x a a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m m f n n ==，，……8/ 这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/故a 的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/ 故12k =．………………………………………………………………………………………4/ （2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/ 所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/ 当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++ 123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/ 综上，()()2212n nn k S nn k -=-⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）．…………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+ ⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/ ③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m m m aa a a a +-=+⇔=+，因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/ 综上，存在实数k 满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x x y -=+得1201x y y+=>-，解得11y -<<，………………2/ 1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+．（ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/ （ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =-211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>，又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈），即14n a >（n N *∈）．于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合．故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/（3）存在．………………………………………………………………………11/ 不妨设a b c ≥≥．若2a c b +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-．故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a a c b <+<，即220a b a b <⇔-<，又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/ 下证：上界15λ<不可能出现．假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时， d 22222213()()()55a b c a b c ac λλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/ 由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

上海市宝山区行知中学2016届高三上学期第一次月考数学试卷Word版含解析

2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题（每小题4分）1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．12．在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．13．已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（a n﹣p）（a n+1﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）二、选择题（每小题5分）15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜116．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1（x）．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f ﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号=其||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1=|a，a n+1中n=1，2，3，…（1）若a=，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n=0成立，并证明你的结论．2015-2016学年上海市宝山区行知中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分）1．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|x2＜4}，则A∩B=（﹣1，2）．【考点】交集及其运算．【分析】解绝对值不等式求得A，解一元二次不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩B．【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}，故答案为：（﹣1，2）．2．函数f（x）=﹣x2+4x+1（x∈[﹣1，1]）的最大值等于4．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据f（x）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]），可得函数在[﹣1，1]上是增函数，从而求得函数取得最大值．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+4x+1=﹣（x2﹣4x﹣1）=﹣（x﹣2）2+5，（x∈[﹣1，1]）∴函数在[﹣1，1]上是增函数，故当x=1时，函数取得最大值为4，故答案为：4．3．复数z满足=1+i，则复数z的模等于．【考点】复数求模；二阶矩阵．【分析】由条件求得z==2﹣i，再根据复数的模的定义求得|z|．【解答】解：∵复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i，∴|z|==，故答案为：．4．函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+），从而求得函数的最小正周期【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin（2x+）+，故函数的最小正周期的最小正周期为=π，故答案为：π．5．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是2．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据这组数据的平均数是10，写出平均数的表示式，得到关于x的方程，求出其中x的值，再利用方差的公式，写出方差的表示式，得到结果．【解答】解：∵数据8，9，x，11，12的平均数是10，∴=10∴x=10，∴这组数据的方差是（4+4+0+1+1）=2故答案为：2．6．已知函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2，a），则f（x）=log2x．【考点】反函数．【分析】由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），求得a的值，可得f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）=log a x，再根据它的图象过点（a2，a），可得=2=a，即a=2，故f（x）=log2x，故答案为：log2x．7．方程（θ为参数）所表示曲线的准线方程是．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，求得曲线方程，x2=y（0≤y≤2），由抛物线的性质，即可求得示曲线的准线方程．【解答】解：利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，参数方程（θ为参数）化为普通方程可得x2=y（0≤y≤2），则抛物线的焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为（0，），∴曲线的准线方程，故答案为：．8．已知（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为1．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意求得n=6，再令x=1，可得展开式的系数之和．【解答】解：∵（1﹣2x）n关于x的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即最大，∴．∴解得5＜n＜7，再根据n∈N，可得n=6，∴令x=1可得展开式的系数之和为（1﹣2）6=1，故答案为：1．9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=﹣2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故答案为：﹣2．10．若正三棱锥的正视图与俯视图如图所示（单位：cm），则它的侧视图的面积为cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正三棱锥的正视图与俯视图形状可以看出，此物体的摆放方式是底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中底AB=，高，=×AB×h=××=．∴S△V AB故答案为：11．已知a、b、c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=5的概率是．【考点】程序框图．【分析】由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，列举出从集合A中选三个不同的数的情况即可解决问题．【解答】解：由算法可知输出的a是a、b、c中最大的一个，若输出的数为5，则这三个数中必须要有5，从集合A={1，2，3，4，5}中选三个不同的数共有10种取法：123、124、125、134、135、145、234、235、245、345，满足条件的6种，所以概率为．故答案为：．12．在△ABC中，=+m•，向量的终点M在△ABC的内部（不含边界），则实数m的取值范围是0＜m＜．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．由=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E），借助于点D，E即可得出．【解答】解：如图所示，设，过点D作DE∥AC交BC于点E．∵=+m•，可知点M在线段DE上（不含点D，E）当点M取点D时，，可得m=0，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m＞0．当点M取点E时，，此时可得m=，而M在△ABC的内部（不含边界），因此m．∴．故答案为：．13．已知数列{a n}的前n项和S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++n﹣3且（a n﹣p）（a n+1﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．【考点】数列递推式．【分析】由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，﹣p）（a n﹣p）＜0函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．再由（a n+1恒成立求得实数p的取值范围．【解答】解：由，得；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1==．若n为偶数，则，∴（n为正奇数）；若n为奇数，则==，∴（n为正偶数）．函数（n为正奇数）为减函数，最大值为，函数（n为正偶数）为增函数，最小值为．若（a n﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，+1则a1＜p＜a2，即．故答案为：．14．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【考点】抽象函数及其应用．【分析】①由题意知f（x﹣1）=﹣f（x），从而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T•f （x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断；③由f（x+T）=T•f （x）得2x+T=T2x恒成立；从而可判断；④由f（x+T）=T•f （x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得，从而解得．【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．二、选择题（每小题5分）15．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．16．已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，以及直线和平面平行的性质即可得到结论．【解答】解：若l∥α，则直线l上有两个点到平面α的距离相等成立，当直线和平面相交时，直线l上也可能存在两个点到平面α的距离相等，但此时l∥α不成立，∴“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件，故选：B．17．双曲线（a2＞λ＞b2）的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据a2＞λ＞b2，将双曲线化成标准形式：，再用平方关系算出半焦距为c=，由此即可得到该双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵a2＞λ＞b2，∴a2﹣λ＞0且λ﹣b2＞0，由此将双曲线方程化为∴设双曲线的半焦距为c，可得c==∵双曲线的焦点坐标为（±c，0）∴该双曲线的焦点坐标为（±，0）故选：B18．函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】正弦函数的图象．【分析】作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．【解答】解：设==…==k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．三、解答题19．（理）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示．（1）求证：DC1⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BD﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC．（2）分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD ﹣C的大小．【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系．由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）．∴=（﹣2，0，2），，．∵=0，．∴DC1⊥DC，DC1⊥DB．又∵DC∩DB=D，∴DC1⊥平面BDC．（2）解：设是平面ABD的法向量．则，又，，∴，取y=1，得=（1，1，0）．由（1）知，=（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量，记与的夹角为θ，则cosθ==﹣，结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角，∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是．20．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【考点】平面向量数量积坐标表示的应用．【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣cosθ﹣3，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11||•||=×=×==由θ∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…所以cos ∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN ＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面21．在平面直角坐标系中，已知椭圆C ：=1，设R （x 0，y 0）是椭圆C 上任一点，从原点O 向圆R ：（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=8作两条切线，切点分别为P ，Q ．（1）若直线OP ，OQ 互相垂直，且R 在第一象限，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率都存在，并记为k 1，k 2，求证：2k 1k 2+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由直线OP ，OQ 互相垂直，且与圆R 相切，可得OR=4，再由R 在椭圆上，满足椭圆方程，求得点R 的坐标，即可得到圆R 的方程；（2）运用直线和圆相切的条件：d=r ，结合二次方程的韦达定理和点R 满足椭圆方程，化简整理，即可得证．【解答】解：（1）由题圆R 的半径为，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且与圆R 相切，所以，即，①又R （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以，②由①②及R 在第一象限，解得，所以圆R 的方程为：；（2）证明：因为直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，所以，化简得，同理有，所以k 1，k 2是方程的两个不相等的实数根，所以．又因为R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．22．已知函数y=f（x）是单调递增函数，其反函数是y=f﹣1（x）．（1）若y=x2﹣1（x＞），求y=f﹣1（x）并写出定义域M；（2）对于（1）的y=f﹣1（x）和M，设任意x1∈M，x2∈M，x1≠x2，求证：|f﹣1（x1）﹣f ﹣1（x2）|＜|x1﹣x2|；（3）求证：若y=f（x）和y=f﹣1（x）有交点，那么交点一定在y=x上．【考点】反函数；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．【分析】（1）由，解得x=，把x与y互换，即可得出y=f﹣1（x）；（2）任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，利用不等式的性质即可证明；（3）设（a，b）是y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点，即，可得a=f（b），b=f （a），对a与b的大小关系分类讨论，再利用反函数的性质即可证明．【解答】（1）解：由，解得x=，把x与y互换，可得y=f﹣1（x）=，x，M=．（2）证明：任意取x1∈M，x2∈M，x1≠x2，则，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（3）证明：设（a，b）是y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点，即，∴a=f（b），b=f（a），当a=b，显然在y=x上；当a＞b，函数y=f（x）是单调递增函数，∴f（a）＞f（b），∴b＞a矛盾；当a＜b，函数y=f（x）是单调递增函数，∴f（a）＜f（b），∴b＜a矛盾；因此，若y=f（x）和y=f﹣1（x）的交点一定在y=x上．23．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号=其||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1=|a，a n+1中n=1，2，3，…（1）若a=，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n=a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a=（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n=0成立，并证明你的结论．【考点】数列递推式．【分析】（1）由题设知=，a2====，由此能求出．（2）由a1=||a||=a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n=0．【解答】解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，=其中n=1，2，3，…a1=，a n+1∴=，a2====，…===，a k=，则a k+1所以．…（2）∵a1=||a||=a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，==﹣1=a，所以a2+a﹣1=0，解得a=，（a=∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2==，所以a2+2a﹣1=0，解得a==，（a=﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1=0，解得a=（a=，舍去）．…综上，{a=，a=，a=}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n=ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则=a+，而由，得=，==，故P n+1=β，q n+1=P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n=0，则p n+1=0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m=0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n=0．…（其它解法可参考给分）2017年1月4日。

上海市长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三4月联考

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 2016.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I _________．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．4．计算：=++∞→222)1(C P lim n nn n __________．5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为___________． 6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 7．设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 5521,551（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧+=⋅=θθθθcos sin ,cos sin y x （θ为参数）的公共点的坐标为____________．10．记nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12*(N ∈n ）的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则=n ________．11．从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望=ξE _________．12．已知各项均为正数的数列}{n a23n n =+L （*N ∈n ），则12231n a a a n +++=+L ___________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．已知0>a ，函数xax x f -=)(（]2,1[∈x ）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数)(x f 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1||≤MN 恒成立，则a 的最大值是_________________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“0s i n =α”是“1cos =α”的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；（B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π；（D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .17．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=rr r r ，则 ||c r的最大值是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，其中4321x x x x <<<，则4321x x x x 的取值范围是（）．（A ）)96,60( （B ）)72,45( （C ）)48,30( （D ）)24,15( 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛++=πωπωωx x x x f （0>ω，R ∈x ），且函数)(x f 的最小正周期为π．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．（1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数xxa x g 421)(⋅++=在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．AB C A 1B 1C 1D22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，设F 是椭圆14322=+y x 的下焦点，直线4-=kx y （0>k ）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于P 点．（1）若AB PA =，求k 的值；（2）求证：BFO AFP ∠=∠；（3）求△ABF 面积的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（3）设12111n nS a a a =+++L ，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a baS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题 19．（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，（2分）因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分）所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分）（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设CB 与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分）由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分）又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………（8分）21．（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ，即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分）故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22.（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分）因为AB PA =，所以122x x =，代入上式求得556=k 。

上海市长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三4月联考数学(理)试卷(WORD版,含解析)--含答案

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 2016.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I _________． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．4．计算：=++∞→222)1(C P lim n nn n __________． 5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为___________． 6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 7．设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 5521,551（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧+=⋅=θθθθcos sin ,cos sin y x （θ为参数）的公共点的坐标为____________．10．记nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12*(N ∈n ）的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则=n ________．11．从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望=ξE _________．12．已知各项均为正数的数列}{n a23n n =+L （*N ∈n ），则12231n a a a n +++=+L ___________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．已知0>a ，函数xax x f -=)(（]2,1[∈x ）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数)(x f 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1||≤MN 恒成立，则a 的最大值是_________________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．“0sin =α”是“1cos =α”的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；（B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π；（D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .17．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=rr r r ，则 ||c r的最大值是（）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，其中4321x x x x <<<，则4321x x x x 的取值范围是（）．（A ）)96,60( （B ）)72,45( （C ）)48,30( （D ）)24,15( 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f （0>ω，R ∈x ），且函数)(x f 的最小正周期为π．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．（1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数xxa x g 421)(⋅++=在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．A B CA 1B 1C 1D22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，设F 是椭圆14322=+y x 的下焦点，直线4-=kx y （0>k ）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于P 点．（1）若AB PA =，求k 的值；（2）求证：BFO AFP ∠=∠；（3）求△ABF 面积的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（3）设12111n nS a a a =+++L ，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a baS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，（2分）因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分）所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分）（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分）由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分）又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………（8分）21．（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ，即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分）故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分）所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22.（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分）因为AB PA =，所以122x x =，代入上式求得556=k 。

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宝山区2015学年度第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷（本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程0624=--xx 的解集为 .2．已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位），则z = .3．以)2,1(为圆心，且与直线03534=-+y x 相切的圆的方程是．4．数列2,*3nn N ⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭所有项的和为．5．已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛421y ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛876x ，AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛50432219，则x+y = ． 6．等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为 .7．若9a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是-84，则a= ．8. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于． 9. 已知,0,>t ω函数xx x f ωωcos 1sin 3)(=的最小正周期为π2，将)(x f 的图像向左平移t 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t 的最小值为．10.两个三口之家，共4个大人，2个小孩，约定星期日乘红色、白色两辆轿车结伴郊游，每辆车最多乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是．11. 向量a r ，b r 满足1a =r，2a b -=r r ，a r 与b r的夹角为60°，则b =r .12. 数列1212312341213214321⋅⋅⋅，，，，，，，，，，，则98是该数列的第项. 13. 已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 . 14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，L .记(0,)n n A y ，1,2,3,n =L .给出下列三个结论：① 数列{}n y是递减数列；② 对任意*n ∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =.其中，所有正确结论的序号是_____．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. 如图，该程序运行后输出的结果为…… （）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）1616. P 是ABC ∆所在平面内一点，若+=λ，其中R ∈λ，则P 点一定在……（）（A ）ABC ∆内部（B ）AC 边所在直线上（C ）AB 边所在直线上（D ）BC 边所在直线上17.若,a b 是异面直线，则下列命题中的假命题为------------------ （）（A ）过直线a 可以作一个平面并且只可以作一个平面α与直线b 平行；（B ）过直线a 至多可以作一个平面α与直线b 垂直；（C ）唯一存在一个平面α与直线a b 、等距；（D ）可能存在平面α与直线a b 、都垂直。

18.王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）长途电话才合算. ……（）（A ）300秒（B ）400秒（C ）500秒（D ）600秒三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内． 19．（本题满分12分）在三棱锥P ABC -中，已知PA ，PB ，PC 两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥P ABC -的体积为20，Q 是BC 的中点，求异面直线PB ，AQ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。

20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）C已知角C B A 、、是ABC ∆的三个内角，c b a 、、是各角的对边，若向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2cos ),cos(1B A B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2cos,85B A ,且89=⋅. （1）求B A tan tan ⋅的值；（2）求222sin c b a Cab -+的最大值.21. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称．（1）若已知)21,0(C ，M 为椭圆上动点，证明：210≤MC ；（2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()n n n b a f a =+，当k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值；（3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．宝山区2015学年第一学期期末高三年级数学参考答案一．填空题1. {}3log 22. -3-4i 3．()()252122=-+-y x 4． 2 5. 8 6.π627． 18. 9.65π 10.48 11. 1212. 128 13. ),3[+∞- 14. ① ② ③ 二．选择题 15.D 16. B 17. D 18.B 三．解答题 19．解：11562032V PA =⨯⨯⨯=，所以4PA =，-------------------3分取PC 的中点为D ，连结AD ，DQ ，则AQD ∠为异面直线PB ，AQ 所成的角，----------------------------5分53,2PD QD ==，5DA =，------------------------------------7分因为QD PAC ⊥平面，所以QD AD ⊥----------------------9分所以2tan =∠AQD异面直线PB ，AQ 所成的角为2arctan 。

-----------------------12分20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）解：（1）由(1cos(),cos)2A B m A B -=-+u r ,5(,cos )82A B n -=r，且98m n ⋅=u r r ，即259[1cos()]cos828A B A B --++=.-----------------------------------------------------2分 ∴4cos()5cos()A B A B -=+,--------------------------------------------------------------------4分即cos cos 9sin sin A B A B =,∴1tan tan 9A B =.----------------6分（2）由余弦定理得222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+-，-----------------8分而∵tan tan 9tan()(tan tan )1tan tan 8A B A B A B A B ++==+-------------------------------------------10分由1tan tan 9A B =知：0tan ,tan >B A ------------------------------------------11分93tan()84A B +≥⨯=, 当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号，---------------------12分又tan tan()C A B =-+,∴tan C 有最大值34-，所以222sin ab Ca b c +-的最大值为38-.---------------------------------14分C21. 解：（1）当120n ≤≤且n N *∈时，2110(1)(0.5)22n n a n =+-⨯-=-+；当21n ≥且n N *∈时，0n a =．∴21,120220,21n n n n Na n n N **⎧-+≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且----------------------------------------------------------4分而4415.2515a b +=>，∴132(),1426.75,5n n n n Nb n n N -**⎧⋅≤≤∈⎪=⎨⎪≥∈⎩且且-------------------------------------------------------------7分（2）当4n =时，12341234()()53.25n S a a a a b b b b =+++++++=．---------------8分当205≤≤n 时，1212345()()n n n S a a a b b b b b b =++++++++++L L432[1()](1)1210() 6.75(4)32212n n n n --=+⨯-++-- 216843444n n =-+-------------------------------------------------------------11分由200n S ≥ 得216843200444n n -+-≥，即2688430n n -+≤，解得n=3416.3021≈≤ --------------------------------------------------------------13分∴到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）解：（1）设),,(y x M 则2212x y +=, 于是22)21(-+=y x MC =22)21(22-+-y y 492+--=y y --------------------------2分25)21(2++-=y因11≤≤-y , 所以，当21-=y 时，210max =MC .即210≤MC -------4分（2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+. ------------------------------5分由221,21,x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222222102m b x x b m m +-+-=. -----------------------7分因为直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，所以,224220b m ∆=-++>，即2221b m<+①----------------------------8分将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++ --------------------------------------------------------9分代入直线方程12y mx =+解得2222m b m+=-②由①②得m <m > --------------------------------------------------------10分（3）令1((0,)22t m =∈- ，即23(0,)2t =，则 21232212242+++-⋅+=t t t t AB --------11分且O 到直线AB的距离为21t d +=-----------------------------------------------12分设AOB ∆的面积为()S t ，所以222)21(22121)(22≤+--=⋅=t d AB t S -------------14分当且仅当212t =时，等号成立.故AOB ∆----------------------16分 23．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解：(1) 证：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+，∴22n na k += ---------------------------------2分 ∴2(1)22122n n n n a k k a k++++==. ∵常数0k >且1k ≠，∴2k 为非零常数， ∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列. -----------------------4分(2)当k =时，112n n a += , ()2n+2n f a =，----------------------6分所以2111122411423122212n n n n S n n n +⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+=++---------------------8分因为1n ≥,所以，2111322n n n +++-是递增数列，因而最小值为1111513244S =++-=。