力系平衡方程及应用1

工程力学EngineeringMechanics2011年3月13日主讲教师：祝瑛静力学篇第3章力系的平衡方程及其应用综合实验楼508 Tel 51682724第3章力系的平衡方程及其应用§3.1 平面任意力系的平衡方程及其应用§3.2 空间力系的平衡方程§3.3 刚体系的平衡问题§3.4 平面简单桁架的内力计算§3.5 考虑摩擦的平衡问题¾力系平衡的充分必要条件（空间力系）力系的主矢量和主力矩同时等于零即主矢 F ′R=ΣF=0主矩MO=ΣM O(F)=0由于F′R=ΣF=ΣF Rx i+ΣF Ry j +ΣF Rz k=ΣF x i+ΣF y j +ΣF z k=0M O=M O(F R)=ΣM O(F)=ΣM x(F)i+ΣM y(F)j +ΣM z(F)k=0得到力系平衡的基本方程¾§3.2 空间力系的平衡方程空间任意力系平衡方程⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F z y x M M M ⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000z y x F F F⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑000z y x F F F ♦空间汇交力系平衡方程♦空间力偶系平衡方程♦空间平行力系平衡方程⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F z y x M M M ⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0F F y x z M M F ⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑000z y x F F F ⎪⎭⎪⎬⎫=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F z y x M M M¾解析法求解平衡问题的基本步骤1.根据问题的需要，确定研究对象，取出隔离体，画受力图;2.分析力系的类型，建立坐标系，列平衡方程；3.解方程，并验证结果。

¾力系的平衡方程应用举例¾汇交力系2.解析法求解(平面汇交力系)例1图示重物P =20kN ，用钢丝绳挂在支架的滑轮B 上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D 上。

杆AB 与BC 铰接，并以铰链A 、C 与墙连接。

不计两杆和滑轮的自重，并忽略摩擦和滑轮的大小。

试求平衡时杆AB 与BC所受的力。

解：1.取滑轮及销钉为研究对象,画受力图•建立坐标系2.解析法求解30cos 60cos 21=°−°+−F F F BA 060cos 30cos 21=°−°−F F F BC •列平衡方程ΣF x =0,ΣF y =0,解方程组求得F BC = 27.32kN (压力) , F BA = -7.32kN (压力)平面汇交力系)解：考虑整体受力（空间汇交力系）解得045sin 45sin 21=°−°F F 030cos 45cos 30cos 45cos 30sin 21=°°−°°−°F F F A 030cos 30sin 45cos 30sin 45cos 21=−°+°°+°°P F F F A kN 54.321==F F kN66.8=A F 例3已知：CE=ED=EB ，α=30°，∠EBF= 30°，P =10kN试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。

Σ Fx =0，Σ Fy =0，Σ Fz =0，（拉力）（压力）例4起重三角架各杆均长2.5m，两端为铰接，D铰上挂有重物F=20kN，且知θ1=1200，θ=900,θ3=1500，AO=BO=CO=1.5m，不计2杆重，试求各杆受力。

解：选取球铰D为研究对象分析受力A F z F ∑==∑y F ,0=∑x F¾力系的平衡方程应用举例¾力偶系dNAN解法二由ΣM =0,m −N C ·d = 0及N C = N'B = N B 解得:AB 杆：BC 杆：(平面力偶系)分别以AB 杆和BC 为研究对象求解.例2M 1=2kN·m ，OA=r =0.5m ，α=30°，求作用于摇杆上力偶矩的大小及铰链O 、B 处的约束力。

解：1.先以圆轮为研究对象.sin 1=−αr F M A kN 830sin 1=°=r M F A 由ΣM =0,解得:（平面力偶系）F O =2.再以摇杆为研究对象（平面力偶系）0sin 2=′+−αr F M A mkN 824412⋅=×==M M kN830sin 5.0230sin 1=°×=°===r M F F F A B O 由ΣM =0,F A = F'A = M 1/r sin30°解得:F O 、F B 的方向如图所示。

（空间力偶系）O O 1O 2F 2F ′2Ax F =0=0负号表示假设方向与实际方向相反例41122(,),(,)′′G G G G F F F F COD ∥A 2E, 不计正方体和直杆自重。

求：正方体平衡时，力F 1，F 2的关系和两根杆受力。

已知：正方体上作用两个力偶解：取正方体画受力图，两杆为二力杆¾力系的平衡方程应用举例¾平行力系例1已知：荷载与尺寸如图；求：支反力。

例1已知：荷载与尺寸如图；求：支反力。

解：取整体，画受力图。

B M ∑=Ay8581061041020Ay F −+⋅+⋅+⋅+⋅=得Ay20Ay F =kN 0iy F ∑=400Ay By F F +−=得By20By F =kN 由由（平面平行力系）（↑）（↑）验证：0A M ∑=例2图示为起重机简图。

已知：机身重G =700kN, 重心与机架中心线距离为4m ，最大起重量W =200kN ，最大吊臂长为12m ，轨距为4m ，平衡块重W Q ，W Q 的作用线至机身中心线距离为6m 。

试求保证起重机满载和空载时不翻倒的平衡块重。

若平衡块重为750kN ，试分别求出满载和空载时，轨道对机轮的反力。

解：以整体为研究对象.平面平行力系1) 满载时(W =200kN ，W Q =W Q min ，F RA =0)由ΣM B =0，W Q min ×(6+2)－G ×2 −W ×(12－2)=0解得：W Q min =425kN2) 空载时(W =0，W Q = W Q max ，F RB =0)由ΣM A =0，W Q max ×(6－2)－G ×(4+2) =0解得：W Q max =1050kN解:1.求平衡块重结论：由以上计算可知，为保证起重机安全，平衡块重必须满足下列条件425kN < W Q<1050kN平面平行力系1)满载时(W=200kN)ΣM A=0，W Q×(6-2)－G×(2+4)+F RB×4−W×(12+2)=0ΣM B=0，W Q×(6+2)－F RA×4－G×2−W×(12－2)=0解得：FRA=650kN，F RB=1000kN验证：ΣFy= -W Q-G-W+F RA+F RB= 0 2)空载时(W=0)ΣM A=0，W Q×(6－2)－G×(2+4) +F RB×4=0ΣM B=0，W Q×(6+2)－F RA×4－G×2=0解得：FRA=1150kN，F RB=300kN验证：ΣFy= -W Q-G-W+F RA+F RB= 02．求W Q=750kN时,轮轨对机轮的反力ΣF z =0，F NA +F NB +F NC －G =0ΣM x (F )=0，F NC ⋅CH －G ⋅DE =0ΣM y (F )=0，－F NA ⋅AH +F NB ⋅BH +G ⋅EH =0解得F NA =0.95kN ，F NB =0.05kN ，F NC =0.5kN问题:若选用A 点或B 点为坐标原点，能否使方程简化，便于计算？例3已知载荷G =1.5kN ，AH =BH =0.5m ，CH =1.5m ，EH =0.3m,ED =0.5m 。

求地面对推车三轮A 、B 、C 的压力。

解以推车为研究对象(空间平行力系)¾力系的平衡方程应用举例¾任意力系解：α例2起重机重P=10kN ，可绕铅直轴AB 转动，起吊P 1=40kN 的重物，求止推轴承A 和轴承B 处的约束力。

解：取整体为研究对象0=+=∑B Ax x F F F 0 , 01=−−=∑P P F F Ay y 05.35.15,0)F (1=⋅−⋅−⋅−=∑P P F M B A kN 50=Ay F kN31−=B F kN 31=Ax F 平面一般力系例3高炉上料小车如图所示。

料车连同所装的料共重P=240kN ，重心在点C 。

已知：a=100cm ，b=140cm ，d=140cm ，e=100cm ，。

求料车匀速上升时钢索的拉力F 及轨道对车轮A和B 的约束力(摩擦不计)。

解：取小车为研究对象。

0=∑x F 0=∑y F 0)F (=∑A M kN6.196sin ==αP F kN2.90)/()sin cos (=+⋅−⋅+=b a e P a P Fd F NB ααkN 6.47cos =+−=a P F F NB NA 平面一般力系处的约束力。

F M AX练习平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平面内。

A处为固定端约束。

若图中q 、F P 、M 、l 等均为已知。

试求:A 处的约束力。

O xF F例7作用在水力涡轮发电机主轴上的力：水力推动涡轮转动的力偶矩Mz=1200 N.m。

锥齿轮B 处受到的力分解为三个分力：圆周力F t，轴向力F a 和径向力F r。

三者大小的比例为F t : F a: F r=1 : 0.32 : 0.17。

已知涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为W=12kN，其作用线沿轴Cz；锥齿轮的平均半径OB=0.6m。

试求：止推轴承C和轴承A处的约束力。