湖南省岳阳县第一中学2016届高三上学期第四次月考数学(理)试题 Word版含答案

岳阳县一中2016届高三阶段考试理科数学试卷分值：150分 时量：120分钟一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、“2|1|<-x 成立”是“0)3(<-x x 成立”的 （ ） A ．充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件2、已知命题p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则（ ）A ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈≥B ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈≥C ．:,cos 1;p x R x ⌝∃∈>D ．:,cos 1;p x R x ⌝∀∈>3、设)(x f 是定义在实数集上的函数，它的图象关于直线=x 1对称，且当x ≥1时，13)(-=x x f ，则有 （ ）A ．)32()23()31(f f f << B ．231()()()323f f f <<C ．)23()31()32(f f f <<D ．)31()32()23(f f f <<4、已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）A ．616a 2B 2C ．214a D 2 5、设向量(3,3)a = ，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥- ，则实数λ= （ ）A ．3B ．1C ．1±D ．3± 6、函数()sin()(0,0,||)2f x A x k A πωϕωϕ=++>><的图象如图所示，则()f x 的表达式是()f x = （ ）A ．3sin(2)123x π++B ．32sin(2)123x π++C ．3sin()123x π++D ．33sin(2)232x π++7、已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是 （ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥8、等差数列{n a }前n 项和为n S ，已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38,则m=（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119、已知实数x 、y 满足约束条件220,4,10,x y x y x y ⋅≥⎧⎪+≤⎨⎪+-≤⎩则2z x y =+的取值范围是（ ）A．[-B ．[0,2]C．[2]-D．1] 10、由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（ ）A ．2 B ．4πCD ．111、如图，在△ABC 中，设AB a = ，AC b =，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP ma nb =+，则n m 、对应的值为（ ）A ．24,77 B. 11,24 C. 12,67 D. 13,6712、已知()x f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 （ ） A ．()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞ C. ()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),14,-∞-⋃∞ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k = 。

14.某简单组合体的三视图如图2，其中正视图与侧视图相同 （尺寸如图，单位：cm ），则该组合体的体积是 3cm （结果保留π）RQPABC15．函数R x x x x f ∈+=,)(3，当02πθ<<时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是 16．下列说法：①已知e a 在方向上的投影为21； ②关于x 的不等式222sin sin a x x<+恒成立，则a 的取值范围是22<a ； ③函数2()log ||f x a x x b =++为奇函数的充要条件是0a b +=； ④将函数)32sin(π+=x y 图像向右平移3π个单位，得到函数x y 2sin =的图像⑤在△ABC 中，若A B <，则B A sin sin <；其中正确的命题序号是 （填出所有正确命题的序号）。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分) 已知△ABC 中，A,B,C 的对边分别为c b a ,,，且B Bsin 32cos 22=，1=b（1）若125π=A ，求边c 的大小； （2）若c a 2=，求△ABC 的面积. 18. (本小题满分12分) 已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问使得n T >10002015成立的最小正整数n 是多少? 19. (本小题满分12分) 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，11//,4,2,2,AB CD AB BC CD AA E E F====、、， 分别是棱1AD AA AB 、、的中点。

（1） 证明：直线1EE //平面1FCC ；（2） 求二面角1B FC C --的平面角的余弦值。

EABCFE 1A 1B 1C 1D 1D20. (本小题满分12分) 某企业投入81万元经销某种产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这种产品期间第x 个月的利润1,120()1,216010x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩（x N *∈，单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x 个月的当月利润率()x g x x =第个月的利润第个月前的资金总和，例如(3)(3)81(1)(2)f g f f =++． （1）求(10)g ； 并求第x 个月的当月利润率()g x ；（2）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润最大？并求该月的当月利润率．21. (本小题满分12分) 已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，其中k ∈R ．（1）设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(0,3)上不单调．．．，求k 的取值范围； （2）设函数(),0,()(),0.g x x q x f x x ≥⎧=⎨<⎩ 是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数2x （21x x ≠），使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．请在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22、（本小题满分10）如图，P 是 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与 O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交 O 于点E.证明： （1）BE=EC ； （2）AD ⋅DE=22PB23、（本小题满分10）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程;（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤≤. 24、（本小题满分10）设函数()3f x x a x =-+，其中0a >． （1）当a =1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（2）若不等式()0f x ≤的解集为{}1x x ≤-，求a 的值．答案一．选择题：BCBAD ABCCA AC 二．填空题：13. 1e 14. 13π+ 15．（-∞，1] 16．①⑤ 三.解答题：17. 解：（1）∵B B sin 3cos 1=+, ∴1)6sin(2=-πB ,所以66ππ=-B 或65π（舍），得3π=B 125π=A ,则4π=C ，由正弦定理BbC c sin sin =,得36=c ……………………6分 （2）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+= 将3,2,1π===B c a b 代入解得：33=c ,从而332=a 633sin 3333221sin 21=⋅⋅==∆πB ac S ABC ……………………………12分 18.解:（1）()113f a ==Q ,()13xf x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()1113a f c c =-=- ,()()221a f c f c =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦29=-,()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ . 数列{}n a 成等比数列，22134218123327a a c a ===-=-- ，所以 1c =；公比2113a q a ==，所以12112333nnn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭*n N ∈；1n nS S --==Q ()2n ≥又0n b >0>, 1=； 数列构成一个首相为1公差为1()111n n =+-⨯= ， 2n S n =当2n ≥， ()221121n n n b S S n n n -=-=--=- ；21n b n ∴=-(*n N ∈)；………………………7分（2）12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++L ()1111133557(21)21n n =++++⨯⨯⨯-⨯+K 1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭； 由1000212015n n T n =>+得100015n >，满足10002015n T >的最小正整数为67. ………………12分19. 解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD =//A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ，所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1.…………………6分（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中,OB =,在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵11OP OFCC C F =∴2OP ==, 在Rt △OPF 中,BP ===cos OP OPB BP ∠===,所以二面角B-FC 1-C的余弦值为.…………………12分 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAD=∠ABC=60°,取AF 的中点M,EAB CFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1O PE A连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,,则D（0,0,0）,A）,F,1,0）,C（0,2,0）,C1（0,2,2）,E,12-,0）,E1,-1,1）,所以11,1)2EE=-,1,0)CF=-,1(0,0,2)CC=1(2)FC=设平面CC1F的法向量为(,,)n x y z=则1n CFn CC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以yz-==⎪⎩取n=,则1111002n EE⋅=-+⨯=,所以1n EE⊥,所以直线EE1//平面FCC1.……6分（2）(0,2,0)FB=,设平面BFC1的法向量为1111(,,)n x y z=,则111n FBn FC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以111120yy z=⎧⎪⎨++=⎪⎩,取1n=,则121002n n⋅=⨯+=,||2n==,1||n==,所以111cos,||||n nn nn n⋅〈〉===,由图可知二面角B-FC1-C为锐角,所以二面角B-FC1-C. …………………12分20. 解：由题意得(1)(2)(9)(10)1f f f f=====，所以(10)1(10)81(1)(2)(9)90fgf f f==++++当120x≤≤时，(1)(2)(1)()1f f f x f x===-==，所以()11()81(1)(1)81180f xg xf f x x x===+++-+-+当2160x≤≤时，21()10()81(1)(20)(21)(1)8120(21)(1)1210(21)(20)160010120xf xg x f f f f x f f x xx x x x x ==++++++-++++-==-+-++所以第x 个月的当月利润率为21,12080()2,21601600x x g x x x x x ⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪≤≤⎪-+⎩（x N *∈）……6分（1） 当120x ≤≤时，1()80g x x =+是减函数，此时()g x 的最大值为1(1)81g = 当2160x ≤≤时，2222()16001600791x g x x x x x==≤=-++- 当且仅当1600x x =时，即40x =时，max 2()79g x =，又217981>，所以当40x =时，max 2()79g x = 答：该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为279．………12分21. 解：（1）因32()()()(1)(5)1P x f x g x x k x k =+=+-++-，()232(1)(5)p x x k x k '=+-++，因()p x 在区间(0,3)上不单调，．．．．所以()0p x '=在()0,3上有实数解，且无重根，由()0p x '=得2(21)(325),k x x x +=--+()2(325)391021214213x x k x x x -+⎡⎤∴=-=-++-⎢⎥++⎣⎦，令21,t x =+有()1,7t ∈，记9(),h t t t=+则()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，所以有()[)6,10h t ∈，于是()[)9216,1021x x ++∈+，得(]5,2k ∈--，而当2k =-时有()0p x '=在()0,3上有两个相等的实根1x =，故舍去，所以()5,2k ∈--；……………6分 （2）当0x <时有()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++；当0x >时有()()22q x g x k x k ''==+，因为当0k =时不合题意，因此0k ≠，下面讨论0k ≠的情形，记A (,)k =+∞，B=()5,+∞（ⅰ）当10x >时，()q x '在()0,+∞上单调递增，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x <且A B ⊆，因此有5k ≥，（ⅱ）当10x <时，()q x '在()0,+∞上单调递减，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x >且A B ⊆，因此5k ≤，综合（ⅰ）（ⅱ）5k =……………12分 22.证明（1）EC.BE BE ∠CE ∠BE ∠αBE,∠βαβBE ∠∠DEB ∠PDA ∠∠∠∠∠.AE ∠CE ,∠EB ∠,,,2===+=+∴+===+=+====∠Δ=∴==，所以，即即则连接为等腰三角形。