传热学大作业

传热学大作业——二维物体热传导
问题的数值解法
1.二维热传导问题的物理描述：
本次需要解决的问题是结合给定的边界条件，通过二维导热物体的数值解法，求解出某建筑物墙角稳态下的温度分布t以及单位长度壁面上的热流量φ。

1.1关于边界条件和研究对象选取的物理描述：如图所示为本次作业需要求解的
建筑物墙壁的截面。

尺寸如图中所标注。

1.2由于墙角的对称性，A-A，B-B截面都是绝热面，并且由于对称性，我们只需
要研究墙角的1/4即可(图中阴影部分)。

假设在垂直纸面方向上不存在热量
的传递，我们只需要对墙角进行二维问题的研究即可。

1.3 关于导热量计算截面的物理描述：本次大作业需要解决对流边界条件和等温
边界条件下两类边界条件的问题。

由于对称性，我们只需研究1/4墙角外表面和内表面的导热量再乘4，即是墙壁的总导热量。

2.二维热传导问题的数学描写：
本次实验的墙角满足二维，稳态无内热源的条件，因此：
壁面内满足导热微分方程：
∂2t ∂x2+∂2t
∂y2
=0。

在绝热面处，满足边界条件：
−λ(∂t
∂n
)=0。

在对流边界处满足边界条件：
−λ(∂t
∂n )w
=ℎ(t w −t f )
3.二维热传导问题离散方程的建立：
本次作业中墙角的温度场是一个稳态的连续的场。

本次作业中将1/4墙角的温度场离散化，划分成若干小的网格，每个网格的节点看成以它为中心的一个小区域的代表。

通过这些节点，采用“热平衡法”，建立起相应的离散方程，通过高斯-赛德尔迭代法，得到最终收敛的温度场，从而完成对墙角温度场的数值解。

对1/4墙角的网格划分如下：
选取步长Δx =Δy =0.1m ，为了方便研究，对导热物体的网格节点进行编码，编码规则如下：
x,y 坐标轴的方向如图所示，x,y 轴的单位长度为步长Δx , 取左下角点为(1,1)点，其他
点的标号为其在x,y 轴上的坐标。

以此进行编码，进行离散方程的建立。

建立离散方程，要对导热物体中的节点根据其边界条件进行分类（特殊节点用阴影
标出）：首先以对流边界条件下的墙角为例
1.外壁面上，平直边界节点：
建立离散方程：
λΔy t i+1,j−t i,j
Δx
+λ
Δx
2
t i,j+1−t i,j
Δy
+λ
Δx
2
t i,j−1−t i,j
Δy
+hoΔx(t fo−t i,j)=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i,j−1+t i,j+1)+λ·t i+1,j+ℎo·Δx·t fo
2λ+ℎo·Δx
2.外部角点：
建立离散方程：
ho·Δx(t fo−t i,j)+λΔy
2
t i,j+1−t i,j
Δx+λ
Δx
2
·
t i,j−1−t i,j
Δy
=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i+1,j+t i,j−1)+ℎo·Δx·t fo
λ+ℎo·Δx
3.绝热+对流边界角点：
建立离散方程：
ho·Δy
2
·(t fo−t i,j)+λ
Δx
2
·
t i,j+1−t i,j
Δy
+λ
Δy
2
·
t i+1,j−t i,j
Δx
=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i,j+1+t i+1,j)+ℎo·
Δy
2·t fo
λ+ℎo·
Δy
2
4.内部角点：
建立离散方程：
hi·Δx·(t fi−t i,j)+λ·Δx·t i,j+1−t i,j
Δy
+λΔy·
t i−1,j−t i,j
Δx
+λ
Δy
2
·
t i+1,j−t i,j
Δx
+λΔx
2
·
t i,j−1−t i,j
Δx
=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i+1,j+t i,j−1)+λ(t i,j+1+t i−1,j)+ℎi·Δx·t fi
3λ+ℎi·Δx
5.绝热平直边界节点：
建立离散方程：
λΔx
2
·
t i,j+1−t i,j
Δy
+λ
Δx
2
·
t i,j−1−t i,j
Δx
+λΔy·
t i−1,j−t i,j
Δx
=0
以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=λ
2·(t i,j−1+t i,j+1)+λ·t i−1,j
2λ
6.对于普通内部节点：
建立离散方程：
λΔx·t i,j+1−t i,j
Δy
+λΔx·
t i,j−1−t i,j
Δy
+λΔy·
t i−1,j−t i,j
Δx
+λΔy
t i+1,j−t i,j
Δx
=0以(i,j)为中心节点，进一步整理得：
t i,j=
λ·(t i,j−1+t i,j+1+t i−1,j+t i+1,j)
4λ
等温边界条件下：等温边界下内部节点和绝热边界下的节点离散方程与上述5，6式形式相同，在等温壁面处，节点方程只需写成t i,j =t w 即可
4.方程的求解：
由上图可知，本题中有16*12=192个节点，相应地，就会有192个待求解的离散方程。

在如此高阶次的方程组下，根据目前的计算机发展水平，采用克莱姆法则求解是不现实的，因此，采用方便计算机求解的高斯—赛德尔迭代法进行迭代求解。

根据数学上的“主对角线占优”原则，在我们采用热平衡法导出差分方程时，如果每一个方程都选用导出该方程的中心节点的温度作为迭代变量，那么迭代一定收敛。

在计算过程中往往需要进行足够多的次数，迭代才能收敛。

判断收敛的方法是在相邻两次迭代值之差（或相对偏差）的绝对值足够小时，称已达到迭代收敛，迭代计算终止。

本次计算中采用绝对残差判据：
max⁡|t i
(k)
−t i
(k+1)
|≤ε
下面是本次作业所采用的程序框图：
，
4.方程的求解（续）：
对于对流边界条件下，内壁面和外壁面的热流量可以根据对流换热公式：
ϕ=∑h·Δy·Δt+⁡∑h·Δx·Δt
在等温边界条件下，由于环境未知，无法直接在等温壁面上进行计算。

但由于稳态导热，可以借助等温壁面附近的截面（下图中标红）进行计算。

公式为：
ϕ=∑λ·Δx·Δt
Δy
+⁡∑λ·Δy·
Δt
Δx
5.计算程序源代码：（请见附件）
等温边界条件：
运算结果：
计算获得的各网格节点温度（分歧点用红色标出）：
热流量：
ϕ1=60.4
ϕ2=60.4
根据“热电模拟”实验获得的各网格节点温度（分歧点用红色标出）：
热流量：
ϕ1=60.35
ϕ2=60.35
温度分布图像：
x
y
t
5
10
15
20
25
30
246810121416
02
4
6
8
10
12
x
y
5
1015
20
25
30
对流边界条件：
运算结果：
热流量：
ϕ1=28.3
ϕ2=28.3
热流量：
ϕ1=28.3
ϕ2=28.1
温度分布图像：
5101520
253035x
y
t
101214
1618202224
2628
246810121416
02
4
6
810
12
x
y
10
12
14
1618
20
2224
2628。