高等传热学作业
高等传热复习题
高等传热复习题传热是指热量在物体间或物体内部的传递过程。
在高等传热学中，我们研究了传热的机制和方法，以及如何计算传热过程中的热量转移和温度变化。
本文将为大家提供一些高等传热学的复习题，以帮助大家巩固知识和提高解题能力。
1. 请简要解释传热方式中的传导、传动和辐射。
2. 一块厚度为5 cm的钢板，长度和宽度都是20 cm。
钢板顶部受到一个温度为100°C的热源作用，底部则接触着一个恒温为20°C的冷源。
假设钢板的导热系数为40 W/(m·K)，计算在稳态下，钢板内部的温度分布。
3. 一个圆柱形水管的半径为2 cm，长度为50 cm。
水管内部的温度分布满足稳态条件，圆柱体表面的温度为100°C，水管底部与一个恒温为20°C的冷源接触。
圆柱体的导热系数为0.5 W/(m·K)，求圆柱体内部的温度分布。
4. 辐射传热是通过辐射方式进行的热量传递。
请简要介绍辐射传热的基本原理。
5. 一块长宽均为20 cm的黑色平板，其表面辐射率为0.8，温度为300 K。
平板的一侧受到恒温为100 K的冷源作用，另一侧则环境温度为25°C。
计算平板从一侧向另一侧的净辐射热通量。
6. 在传热过程中，常用形状的传热表面有什么特点？请简要介绍。
7. 计算传热过程中的对流传热的换热系数是非常重要的。
请简要说明对流传热的基本原理，并介绍如何计算换热系数。
8. 一块长宽均为30 cm的金属板，表面具有一定的粗糙度。
当板的一侧受到恒温为100°C的热源作用时，板的另一侧与一个恒温为20°C的冷源接触。
试根据实验数据计算金属板的对流传热系数。
9. 请简要说明传热过程中的热阻和热导的概念，并介绍如何计算热阻。
10. 在传热过程中常用的传热模型有哪些？请简要介绍各个模型的适用范围。
11. 热管是一种特殊的传热装置，用于高效传输热量。
请简要说明热管的工作原理，并描述其应用领域。
高等传热学作业
第一章1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕθθϕθsin 11'' （1-1）根据能量守恒：st out g in E E E E ••••=-+ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 22∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：ϕθθθθd r dr Tr k q sin ⋅∂∂-= （1-3） 将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r t T c d drd r q d rd dr T r k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTc q T r k T r k r T r r r k pr ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6）第二章2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。
试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222θθλθθθδθθθθh y L y y y x x y x （2-1） 解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分： （2）首先求解温度场I θ用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012121212=+X dyY d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。
高等传热学作业修订版
高等传热学作业修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】第一章1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕθθϕθsin 11'' （1-1）根据能量守恒：st out g in E E E E ••••=-+ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 22∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：ϕθθθθd r dr Tr k q sin ⋅∂∂-= （1-3） 将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r t T c d drd r q d rd dr T r k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTc q T r k T r k r T r r r k pr ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6）第二章2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。
试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222θθλθθθδθθθθh y L y y y x x y x （2-1）解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分： （2）首先求解温度场I θ用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012121212=+X dy Y d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。
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4） 两侧为相同的第一类边界条件,求 t 的分布。
5） 两侧为不同的第一类边界条件,求 t 的分布。
5. 厚为 L、导热系数 =1.5W/(m K)的浇注混凝土墙，两边保持温度为 20℃，由于混凝土
的固化，单位体积释放 100W/m2 的化学热能。若要求浇注时墙内任意处每米墙厚的温度
梯度不大于 50℃，墙的最大厚度是多少？
6. 敷设肋片就一定能强化传热? 增加散热量满足的条件?
解：敷设肋片时:
Φ
不敷设肋片时:
Φnf hA0
Φ
Φnf
Φ Φnf
hU
m h
Φ
A0m
A0
sh(mH ) ch(mH )
sh(mH ) h ch(mH ) h
hA0
sh(mH ) h m ch(mH ) ch(mH ) h m sh(mH )
13. 直径为 0.3cm 的水银球温度计，测量炉子温度。已知炉子的比热率为 200K/h，温度计与 空气的表面传热系数 h=10W/(m2 K) ,求温度计最大滞后温度。
14. 一直径 4cm 的铝制小球形仪器放在宇宙空间（宇宙空间可视为 0K 的黑体），初始温度 30℃，球的温度降低到 40K 时，该仪器实效。试写出该问题的完整数学描述，若小球的
22. 流体横掠平板，设速度场分布满足以下三个条件：
（1）
y
0，u
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；（2） y
请列出动量方程，并求解给出 δ(x) 的表达式。
，u
u
y ；（3）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
高等传热学
高等传热学问题及答案1. 简述三种基本传热方式的传热机理并用公式表达传热定律；传热问题的边界条件有哪两类？2. 有限元法求解传热问题的基本思想是什么？基本求解步骤有哪些？同有限差分方法相比其优点是什么？3. 什么是形函数？形函数的两个最基本特征是什么？4. 加权余量法是建立有限元代数方程的基本方法，请描述四种常见形式并用公式表达。
5. 特征伽辽金法（CG ）在处理对流换热问题时遇到什么困难？特征分离法（CBS ）处理对流换热问题的基本思想是什么？第一题：（1）热传导传热传导模式是因为从一个分子到另一个分子的能量交换，没有分子的实际运动，如果自由电子存在，也可能因为自由电子的运动。
因此，这种形式的热输送在很大程度上取决于介质的性质，如果存在温度差，热传导发生在固体，液体和气体。
书上补充：当两个物体有温差，或者物体内部有温度差时，在物体各部分之间不发生相对位移的情况下，物体微粒（分子，原子或自由电子）的热运动传递了热量。
（2）热对流()a w T T h q -=（牛顿冷却定律） 存在于液体和气体中的分子具有运动的自由，它们随身携带的能量（热量），从热区域移动到冷区域。
由于在液体或气体的宏观运动，热量传递从一个地区到另一个地方 ,加上流体内的热传导能量传递,称为对流换热。
对流可能是自然对流、强制对流，或混合对流。
百度补充：对流仅发生于流体中，它是指由于流体的宏观运动使流体各部分之间发生相对位移而导致的热量传递过程。
由于流体间各部分是相互接触的，除了流体的整体运动所带来的热对流之外，还伴生有由于流体的微观粒子运动造成的热传导。
在工程上，常见的是流体流经固体表面时的热量传递过程，称之为对流传热。
（3）辐射4w T q εσ= （ 斯蒂藩-玻耳兹曼定律）任何（所有）物体和任何（所有）温度都能产生热辐射。
（绝对零度以上）这是唯一一种发生热传递不需要介质的方式。
热辐射本质上是从物体的表面发射电磁波，由电磁波携带能量进行能量传输。
高等传热学自学及作业安排
《高等传热学》课程自学及作业安排2014届硕士研究生适用本课程教学方式：以自学为主，教师指导为辅。
考核方法：开卷笔试（50%）+平时成绩（作业及讲课30%）+两次大作业（20%）一、教学资料1.教材孙德兴编.高等传热学—导热与对流的数理解析.北京：中国建筑工业出版社，2005（图书馆均可借到）2.主要参考书张靖周编.高等传热学.北京：科学出版社，2009*王瑞金等编.Fluent技术基础与应用实例.北京：清华大学出版社，20073.参考资料[1]杨强生，高等传热学.上海：上海交通大学出版社，1996[2][美]E.R.G.埃克特，R.M.德雷克著，航青译.传热与传质分析.北京：科学出版社，1983[3][美]M. N.奥齐西克,俞昌铭主译.热传导.北京：高等教育出版社，1983[4]杨强生.对流传热与传质.北京：高等教育出版社，1985[5]赵镇南译.对流传热与传质（第4版）.北京：高等教育出版社，2007*[6][美]E.M.斯帕罗，R.D.塞斯著，顾传保，张学学译.辐射传热.北京：高等教育出版社，1982*[7]陶文铨编著.数值传热学.西安:西安交通大学出版社，1988[8]周俊杰等编. FLUENT工程技术与实例分析.北京：中国水力水电出版社，2010（除*外，均提供电子版）4.课件、教案、FLUENT软件及其他提供光盘！二、自学、收集整理资料及讲课1.自学根据教案及课件提前查资料并自学相关内容。
如：2.收集整理资料及讲课每三位同学负责一至二次课内容，具体分工自行商量。
内容包括：(1)收集整理资料按照教案要求，收集、整理、加工相关教学资料，如“典型一维稳态导热现象（参考文献[1]PP27-40）”，形成电子版提交到qq群，供全班同学共享。
(2)讲课其中一位同学讲解该次课教学内容，时间为45分钟，重点讲解教案中提出的“重点需要理解的问题”；另一位同学讲解作业，时间15分钟，重点讲解分析思路。
高等传热学导热练习题
高等传热学导热练习题1. 试求圆柱坐标),,(z r φ的拉梅系数。
圆柱坐标(,,)r z φ和直角坐标(,,)x y z 的 关系是：cos x r φ=，sin y r φ=，z z = 解：由题目条件得：2222221cos sin 1x y z a r r r φφ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：11a =()()22222222sin cos x y z a r r r φφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++=−+= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：2a r =222231x y z a z z z ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：31a =123a a a a r ==3. 一维无限大平板，0≤x ≤L ，初始温度为F(x)。
当时间0>τ时，x=0处与x=L 处的边界温度维持零度。
试求时间0>τ时，平板内温度),(τx t 的表达式。
并求当初始温度F(x)=t 0=常数这种特殊情况下的温度),(τx t 。
解：该导热问题的数学描写为：()()()()()()22,,1,0,00,0,0,0t x t x x L x t t L t x F x τττατττ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 分离变量：()()(),t x X x ττ=⋅Γ 代入温度微分方程得：()()()()22211d X x d const X x dx d τβαττΓ==−=Γ得时间函数：()2e αβττ−Γ=空间变量的特征值问题为：()()()()222000d X x X x dxX X L β⎧+=⎪⎨⎪==⎩查表得：()(),sin m m X x x ββ=，()12m N Lβ=，m β是()sin 0m L β=的正根 温度通解为：()()21,,m m m m t x c X x e αβττβ∞−==∑代入初始条件可得：()()(),Lm mm X x F x dxc N ββ=⎰将上式代入温度的通用级数解，可得：()()()()2012,sin sin m L m m m t x x F x dx x e Lαβττββ∞−='''=⋅⋅∑⎰ 对于()0F x const t ==的情形，可得：()()()2011cos 2,sin m m m m m L t t x x e Lαβτβτββ∞−=−=⋅∑4. 一维无限大平板，0≤x ≤L ，初始温度为F(x)。
上海理工大学高等传热学试题及答案
上海理工大学高等传热学试题及答案(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1.试求出圆柱坐标系的尺度系数，并由此导出圆柱坐标系中的导热微分方程。
2 .一无限大平板，初始温度为T 0；τ>0时，在x = 0表面处绝热；在x =L 表面以对流方式向温度为t f 的流体换热。
试用分离变量法求出τ>0时平板的温度分布（常物性）。
（需求出特征函数、超越方程的具体形式，范数（模）可用积分形式表示）。
（15分）3.简述近似解析解——积分法中热层厚度δ的概念。
答：近似解析解：既有分析解的特征：得到的结果具有解析函数形式，又有近似解的特征：结果只能近似满足导热解问题。
在有限的时间内，边界温度的变化对于区域温度场的影响只是在某一有限的范围内，把这个有限的范围定义为热层厚度δ。
4.与单相固体导热相比，相变导热有什么特点答：相变导热包含了相变和导热两种物理过程。
相变导热的特点是1.固、液两相之间存在着 移动的交界面。
2.两相交界面有潜热的释放（或吸收）对流部分（所需量和符号自己设定）1 推导极坐标系下二维稳态导热微分方程。
2 已知绕流平板流动附面层微分方程为y uy u V x u u 22∂∂=∂∂+∂∂ν取相似变量为：x u y νη∞= x u f νψ∞=写出问题的数学模型并求问题的相似解。
3 已知绕流平板流动换热的附面层能量积分方程为：⎰=∞∂∂=-δ00)(y y ta dy t t u dx d当Pr<<1时，写出问题的数学模型并求问题的近似积分解及平均Nu （取三次多项式）。
4 写出常热流圆管内热充分发展流动和换热问题的数学模型并求出速度和温度分布及Nu x .O x辐射1．请推导出具有n个表面的净热流法壁面间辐射换热求解公式，并简要说明应用任一种数值方法的求解过程。
2．试推导介质辐射传递方程的微分形式和积分形式，要求表述出各个步骤和结果中各个相关量的含义。
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高等传热学作业Revised on November 25, 2020第一章1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕθθϕθsin 11'' （1-1）根据能量守恒：st out g in E E E E ••••=-+ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 22∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：ϕθθθθd r dr Tr k q sin ⋅∂∂-= （1-3） 将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r t T c d drd r q d rd dr Tr k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTc q T r k T r k r T r r r k p r ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6） 第二章2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。
试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222θθλθθθδθθθθh y L y y y x x y x （2-1） 解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分： （2）首先求解温度场I θ用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012121212=+X dyY d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。
由此得到一个待定常数的两个常微分方程001221212212=+=-Y dyY d X dxX d εε （2-3） 解得)()()(1x Bsh x Ach x X εε+= （2-4） )sin()cos()(1y D y C y Y εε+= （2-5） 把边界条件0,0=∂∂=yy Iθ代入（2-3-4）得到A=0，所以有)()(1x Bsh x X ε= （2-6） 把边界条件0,=∂∂=yL y Iθ代入（2-3-5）得到D=0，所以有 )cos()(1y C y Y ε= （2-7） 把边界条件0,=+∂∂=I Ih yL y θθλ联立（2-3-7）得到 λεε/)cot(hL LL =（2-8）设Bi hL L ==λβε/,，则有i B /)cot(ββ=，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即)3,2,1( =n n β，所以对应无穷多个ε，即)3,2,1( =n n ε，所以有)cos()(1y C y Y n n ε= （2-9） 联立（2-3-6）可得∑∞==1)()cos(),(n n n n I x sh y K y x εεθ （2-10）把边界条件2,θθδ==I x 代入上式可得⎰⎰=Ln n n Ln dy y sh K dy y 0202)(cos )()cos(εδεεθ （2-11）解得])cos())[sin(/()sin(22n n n n n n L sh K βββδββθ+= （2-12）其中L n n εβ= )()cos(])cos())[sin(/()sin(2),(12x L sh y L L sh y x n n n n n n n n I βββββδββθθ∑∞=+= （2-13）（3）求解温度场∏θ与解I θ一样用分离变量法，假设所求温度分布),(y x ∏θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积)()(),(22x Y x X y x =∏θ （2-14）将该式子代入∏θ的导热微分方程中得到022222222=+X dyY d Y dx X d ，即22''22''2ε=-=Y Y X X ，由此可得到两个常微分方程 02222=-X dx X d ε （2-15） 022222=+Y dy Y d ε （2-16）解式（2-3-15）时根据x 的边界条件可以把解的形式写为 )]([)]([)(2x Bsh x Ach x X -+-=δεδε （2-17） 把边界条件0,==∏θδx 代入上式，得到A=0，所以有 )]([)(2x Bsh x X -=δε （2-18） 其中i n n n n B L /)cot(,βββε==)]([)cos(),(1x sh y k y x n n n n I -=∑∞=δεεθ （2-19）把边界条件1,0θθ==∏x 代入上式可得⎰⎰-=LLn n nn dy y x sh K dy y 02'1)(cos )]([)cos(εδεεθ （2-20） ])cos())[sin(/()sin(21'n n n n n nL sh K βββδββθ+= （2-21）)]([)cos(])cos())[sin(/()sin(2),(11x L sh y L L sh y x n n n n n n n n -+=∑∞=∏δβββββδββθθ （2-22）（4）最终求得稳态温度场2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。
一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。
由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。
当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。
设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql ，地表面的温度均匀，维持为t0。
使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图如下：设有限长热源长度为H ，单位长度热源发热量为l q ，电源强度为)(0w dz q l ⨯，设地面温度维持恒定温度00,t t t -=θ。
（1）求解点热源dz0产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：0)(122=drd r dr d r θ（3-1） 解微分方程可得rc c 12-=θ （3-2） 把边界条件0,=∞→θr 代入上式得到02=c ，所以有 rc 1-=θ （3-3） 在球坐标系点热源0dz 单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q ，即01244dz q c r drd Q l =-=-=λππθλ （3-4） 所以得到014dz q c lπλ-=由此可得到球坐标系中点热源0dz 产生的温度场为 0*14dz rq l πλθ=（3-5） （2）分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有 地下有限长线热源产生的温度场0014dz rl ⎰=πλθ （3-6） 对称的虚拟热源产生的温度场为 00214dz rq Hl ⎰--=πλθ （3-7） （3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+=-+=⎰⎰⎰-z z z z z H z H z H z H q dz z z z z q dz rq dz r q lH l H lHl 22222222002022020000)()(ln 4)(1)(141414ρρρρπλρρπλπλπλθ （3-8） 第三章3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm 的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为390J/(KgK)，测温记录最高和最低温度分别为130℃和124℃，周期为20s 。
若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20W/(m2K)，试确定气流的真实温度变化范围。
解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为 )cos(*ϕτθ+=w B （4-1） 式中)arctan(122r rf w w A B τϕτ-=+=按题目要求102022πππ===T w ，s hA cv r 925.2820610139089003=⨯⨯⨯⨯==-ρτ，)/(202k m w h ⋅=，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的振幅如下式32124130122=-=+r f w A τ （4-2） 把r w τ,的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅4.27=f A ，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为 C t 0max 4.1544.272124130=++=（4-3）C t 0min 6.994.272=-=（4-4） 3-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度场由式子)4(4),(2τπλτa r E q r t i l --=确定。
若线热源的加热不是连续的而是间歇的，即从0=τ的时刻起，线热源进行周期性的间歇加热，周期为T ，其中加热的时段为T1，其余的T-T1时间不加热。
试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。
解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：)4(4),(2τπλτa r E q t r t i i --=-∞ （5-1） 其中：du ue z E zui ⎰∞-=)( 对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示：由叠加原理得到τ时刻的温度变化为：)0(,])(4[)(4101121=----=--=∞-∑l i i l l ni q a r E q q t t i i ττπλ （5-2）对于间歇性的脉冲，令T T C l /=为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为l q ，则脉冲加热的强度为C q l /，具体见下图：由叠加原理得到：∑∑∑∞=∞=∞=∞⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--------=-0222020)(4(44])(4[4])(4[4n i l i l l i n l i n l nT a r E T nT a r E C q T nT a r E q nT a r E q t t ττπλτπλτπλ （5-3）即温度响应为∑∞=∞⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=022)(4(41)(4n i l i l nT a r E T nT a r E C q t t ττπλθ （5-4）第四章4-1、处在x>0的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度t m 。