高等传热学作业.(DOC)
高等传热学作业修订版
高等传热学作业修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】第一章1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕθθϕθsin 11'' （1-1）根据能量守恒：st out g in E E E E ••••=-+ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 22∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：ϕθθθθd r dr Tr k q sin ⋅∂∂-= （1-3） 将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r t T c d drd r q d rd dr T r k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTc q T r k T r k r T r r r k pr ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6）第二章2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。
试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222θθλθθθδθθθθh y L y y y x x y x （2-1）解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分： （2）首先求解温度场I θ用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012121212=+X dy Y d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。
传热学作业——精选推荐
传热学作业第一章绪论能量平衡分析1-8.有两个外形相同的保温杯A与B，注入同样温度、同样体积的热水后不久，A杯的外表面就可以感觉到热，而B杯的外表面则感觉不到温度的变化，试问哪个保温杯的质量较好？答：Ｂ：杯子的保温质量好。
因为保温好的杯子热量从杯子内部传出的热量少，经外部散热以后，温度变化很小，因此几乎感觉不到热。
导热1-10 一炉子的炉墙厚13cm，总面积为20m2，平均导热系数为1.04w/m.k，内外壁温分别是520℃及50℃。
试计算通过炉墙的热损失。
如果所燃用的煤的发热量是2.09×104kJ/kg，问每天因热损失要用掉多少千克煤？解：根据傅利叶公式每天用煤Q??A?t1.04?20?(520?50)??75.2KW?0.1324?3600?75.2?310.9Kg/d4 2.09?10 1-12 在一次测定空气横向流过单根圆管的对流换热实验中，得到下列数据：管壁平均温度tw=69℃，空气温度tf=20℃，管子外径d=14mm，加热段长80mm，输入加热段的功率8.5w，如果全部热量通过对流换热传给空气，试问此时的对流换热表面传热系数多大？解：根据牛顿冷却公式q?2?rlh?tw?tf? qh??dtw?tf＝49.33W/(m2.k) 所以热阻分析1-21 有一台气体冷却器，气侧表面传热系数h1＝95W/(m2.K)，壁面厚?＝2.5mm，??46.5W/(m.K)水侧表面传热系数h2?5800W/(m2.K)。
设传热壁可以看成平壁，试计算各个环节单位面积的热阻及从气到水的总传热系数。
你能否指出，为了强化这一传热过程，应首先从哪一环节着手？解：R1?111?0.010526;R20.0025?5.376?10?5;R31.724?10?4;h1h25800?46. 5K?则111h1h2?＝94.7W/(m2.K)，应强化气体侧表面传热。
第二章稳态热传导平板导热2-2 一冷藏室的墙由钢皮矿渣棉及石棉板三层叠合构成，各层的厚度依次为0.794mm.,152mm及9.5mm，导热系数分别为45W/(m.K),0.07W/(m.K)及0.1W/(m.K)。
高等传热学作业
1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕθθϕθsin 11'' （1-1）根据能量守恒：st out g in E E E E ••••=-+ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 22∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：ϕθθd r rd t Tk q rr sin ⋅∂∂-= ϕθθθθd r dr T r k q sin ⋅∂∂-= （1-3）θϕθϕϕrd dr Tr k q ⋅∂∂-=sin将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d rd dr Tr k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTc q T r k T r k r T r r r k p r ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6）2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。
试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222θθλθθθδθθθθh y L y y y x x y x（2-1）解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222I I I I I I I h y L y y y x x y x θθλθθθδθθθθ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂∏∏∏∏∏∏∏∏0000002222θθλθθδθθθθh y L y y y x x y x （2）首先求解温度场I θ用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012121212=+X dyY d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。
高等传热学导热练习题
高等传热学导热练习题1. 试求圆柱坐标),,(z r φ的拉梅系数。
圆柱坐标(,,)r z φ和直角坐标(,,)x y z 的 关系是：cos x r φ=，sin y r φ=，z z = 解：由题目条件得：2222221cos sin 1x y z a r r r φφ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：11a =()()22222222sin cos x y z a r r r φφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++=−+= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：2a r =222231x y z a z z z ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：31a =123a a a a r ==3. 一维无限大平板，0≤x ≤L ，初始温度为F(x)。
当时间0>τ时，x=0处与x=L 处的边界温度维持零度。
试求时间0>τ时，平板内温度),(τx t 的表达式。
并求当初始温度F(x)=t 0=常数这种特殊情况下的温度),(τx t 。
解：该导热问题的数学描写为：()()()()()()22,,1,0,00,0,0,0t x t x x L x t t L t x F x τττατττ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 分离变量：()()(),t x X x ττ=⋅Γ 代入温度微分方程得：()()()()22211d X x d const X x dx d τβαττΓ==−=Γ得时间函数：()2e αβττ−Γ=空间变量的特征值问题为：()()()()222000d X x X x dxX X L β⎧+=⎪⎨⎪==⎩查表得：()(),sin m m X x x ββ=，()12m N Lβ=，m β是()sin 0m L β=的正根 温度通解为：()()21,,m m m m t x c X x e αβττβ∞−==∑代入初始条件可得：()()(),Lm mm X x F x dxc N ββ=⎰将上式代入温度的通用级数解，可得：()()()()2012,sin sin m L m m m t x x F x dx x e Lαβττββ∞−='''=⋅⋅∑⎰ 对于()0F x const t ==的情形，可得：()()()2011cos 2,sin m m m m m L t t x x e Lαβτβτββ∞−=−=⋅∑4. 一维无限大平板，0≤x ≤L ，初始温度为F(x)。
传热学实验试题及答案高中
传热学实验试题及答案高中一、选择题（每题2分，共10分）1. 传热的基本方式有哪些？A. 导热、对流、辐射B. 导热、对流、蒸发C. 导热、对流、扩散D. 蒸发、对流、辐射2. 以下哪个不是影响导热速率的因素？A. 材料的导热系数B. 温度差C. 材料的厚度D. 材料的颜色3. 对流换热的特点是什么？A. 只发生在固体内部B. 只发生在液体和气体中C. 需要流体的流动D. 与流体的流动无关4. 辐射换热的特点是？A. 需要介质B. 与温度无关C. 可以在真空中进行D. 只发生在固体表面5. 以下哪个公式用于计算稳态导热的热流量？A. Q = h * A * ΔTB. Q = k * A * ΔT / dC. Q = c * ρ * ΔTD. Q = m * L * ΔT / t答案：1-5 A B C C B二、填空题（每空1分，共10分）1. 导热的基本定律是________，表达式为Q = k * A * ΔT / d。
2. 当流体的流动状态发生变化时，换热方式可能由________转变为对流换热。
3. 辐射换热不需要介质，可以在________中进行。
4. 影响对流换热的因素包括流体的________、________和流速。
5. 稳态导热条件下，物体内部某点的温度随时间________。
答案：1. 傅里叶定律 2. 导热 3. 真空 4. 温度、压力 5. 不变三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述导热、对流和辐射三种传热方式的区别。
2. 描述稳态导热和非稳态导热的特点。
3. 解释为什么说辐射换热是所有物体都具有的自然现象。
4. 举例说明在日常生活中如何应用对流换热的原理。
答案：1. 导热是热量通过物体内部分子振动和自由电子运动传递的过程，主要发生在固体中；对流是流体中温度不同的各部分之间通过宏观位移传递热量的过程，主要发生在液体和气体中；辐射是物体因温度产生的电磁波向外传递热量的过程，可以在真空中进行，所有物体都具有辐射能力。
传热作业答案
对流换热设备与工具
对流换热设备：包括加热器、散热器、空气预热器等，用于实现热量的传递和交换。
对流换热工具：包括温度计、压力表、流量计等，用于测量和控制对流换热过程中的各种参数。
注意事项：在使用对流换热设备与工具时，需要注意设备的选型、安装和使用方法，以确保换热效 果和安全性。
维护保养：定期对设备进行维护保养，包括清洗、更换损坏的部件等，以保证设备的正常运行和使 用寿命。
辐射换热设备与工具
辐射换热设备：包括辐射换热器、辐射加热器等，用于将热量通过辐射形式传递给物体 辐射换热工具：包括红外线测温仪、红外线热像仪等，用于测量物体表面的温度和热像
辐射换热原理：介绍辐射换热的物理原理，包括黑体辐射定律、普朗克辐射定律等 辐射换热应用：介绍辐射换热在工业、农业、医学等领域的应用情况
智能化和自动化：利用 人工智能、大数据等先 进技术，实现传热作业 的智能化和自动化，提 高生产效率和质量。
环保和可持续发展：注 重环保和可持续发展， 采用清洁能源和低碳技 术，减少对环境的影响 。
多领域融合：将传热技 术与其他领域的技术融 合，拓展应用领域，提 高传热作业的附加值。
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换热原理：阐述对 流换热的原理，包 括流体流动、热量 传递等
案例分析：详细分析 案例中的对流换热过 程，包括换热器的设 计、选型、运行等
案例总结：总结案 例中的经验教训， 提出改进措施和建 议
辐射换热案例分析
案例背景：介绍辐射换热的基本原理和概念 案例描述：详细描述辐射换热的具体案例，包括设备、操作过程等 案例分析：对案例进行深入的分析，包括传热过程、热量传递方式等 案例总结：总结案例的优点和不足，提出改进意见和建议
传热作业可以通过不同的方式 实现，如热传导、热对流和热
传热学作业参考答案
第九章4．一工厂中采用0.1MPa 的饱和水蒸气在—金属竖直薄壁上凝结，对置于壁面另一侧的物体进行加热处理。
已知竖壁与蒸汽接触的表面的平均壁温为70 ℃，壁高1.2m ，宽300 mm 。
在此条件下，一被加热物体的平均温度可以在半小时内升高30℃，试确定这一物体的平均热容量(不考虑散热损失)。
解:本题应注意热平衡过程，水蒸气的凝结放热量应等于被加热物体的吸热量。
P=0.1Mpa=105Pa,t s =100℃,r=2257.1kJ/kg, t m =21( t s + t w )= 21(100+70) ℃=85℃。
查教材附录5，水的物性为：ρ=958.4kg/m 3;λ=0.683 W ／(m 2·℃);µ=282.5×10-6N·s/m 2假设流态为层流：4132)(13.1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=w s t t l r g h μλρ416332)70100(2.1105.282102257683.081.94.95813.1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=- W ／(m 2·℃) =5677 W ／(m 2·℃)36102257105.2822.13056774)(4Re ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=-r t t hl w s c μ=1282<1800流态为层流，假设层流正确Φ=ωl t t h w s )(-=5677×（100−70）×1.2×0.3W=61312W凝结换热量=物体吸热量Φ∆τ=mc p ∆t61068.330603061312⨯=⨯⨯=∆Φ∆=t mc p τJ/℃ 16．当液体在一定压力下做大容器饱和沸腾时，欲使表面传热系数增加10倍，沸腾温差应增加几倍?如果同一液体在圆管内充分发展段做单相湍流换热，为使表面传热系数增加10倍，流速应增加多少倍?维持流体流动所消耗的功将增加多少倍?设物性为常数。
高等传热学-课后作业-部分
1-5 椭球坐标系（),,ϕθη由η=常数的椭球面，θ=常数的双曲线面和ϕ=常数的平面组成。
如果椭球坐标系与直角坐标系的关系为：θηϕθηϕθηcos sin sin cos sin Ach z Ash y Ash x === 试证明该椭球坐标系的拉梅系数为：1H =ηH =2222cos sin θηθηsh ch A + θH H =12222cos sin θηθηsh ch A += ψH H =1θηsin Ash =并证明椭球坐标系中拉普拉斯算子的表达式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∇θθθηηηθηθηt t t cth t sh ch A t cot )cos sin (12222222222ψθη22222sin 1∂∂+tsh A 解：（1）由式1 -2-18知 2221)()()(ηηηη∂∂+∂∂+∂∂==zy x H H 22222222222sin sin cos cos cos θηψθηψθηch A sh A sh A ++=θηsin Ash =（2）由式1 -2 - 25知ψθηθθθηηηθηθηψθηθθηθηθηθηθηηθηθηψθθθηηηψψψθθθηηηψψηθηη22222222222222222222222222222223332233222122321321223322333212322212312sin 1cot )cos sin (1sin 1sin cos sin sin )cos sin (11]11[1])([1)( )()([1)3,2,1()(1∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂==∂∂∂∂=∇∑=tsh A t t t cth t sh ch A tsh A t Ash Ach t t Ash Ach t sh ch A t H t H H t t H H t H H t H H H t H H H t H t H t H t H H H H tH H t H H t H H H i x t H H x Ht ii i i3-2 大平壁的初始温度均匀为0t ，从某一时刻起其两表面的温度突然降为w t 并保持不变，试求:（1）写出该导热问题的数学描述； （2）用分离变量法求解平壁中的温度场。
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1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕθθϕθsin 11'' （1-1）根据能量守恒：st out g in E E E E ∙∙∙∙=-+ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 22∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-∙ （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：ϕθθd r rd t Tk q rr sin ⋅∂∂-= ϕθθθθd r dr T r k q sin ⋅∂∂-= （1-3）θϕθϕϕrd dr Tr k q ⋅∂∂-=sin将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d rd dr Tr k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTc q T r k T r k r T r r r k p r ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6）2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。
试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222θθλθθθδθθθθh y L y y y x x y x（2-1）解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222I I II I II h y L y y y x x y x θθλθθθδθθθθ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂∏∏∏∏∏∏∏∏0000002222θθλθθδθθθθh y L y y y x x y x （2）首先求解温度场I θ用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012121212=+X dy Y d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。
由此得到一个待定常数的两个常微分方程001221212212=+=-Y dyY d X dxX d εε （2-3） 解得)()()(1x Bsh x Ach x X εε+= （2-4） )sin()cos()(1y D y C y Y εε+= （2-5） 把边界条件0,0=∂∂=yy Iθ代入（2-3-4）得到A=0，所以有 )()(1x Bsh x X ε= （2-6） 把边界条件0,=∂∂=yL y Iθ代入（2-3-5）得到D=0，所以有 )cos()(1y C y Y ε= （2-7） 把边界条件0,=+∂∂=I Ih yL y θθλ联立（2-3-7）得到 λεε/)cot(hL LL =（2-8）设Bi hL L ==λβε/,，则有i B /)cot(ββ=，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即)3,2,1( =n n β，所以对应无穷多个ε，即)3,2,1( =n n ε，所以有 )cos()(1y C y Y n n ε= （2-9） 联立（2-3-6）可得∑∞==1)()cos(),(n n n n I x sh y K y x εεθ （2-10）把边界条件2,θθδ==I x 代入上式可得 ⎰⎰=Ln n n Ln dy y sh K dy y 0202)(cos )()cos(εδεεθ （2-11）解得])cos())[sin(/()sin(22n n n n n n L sh K βββδββθ+= （2-12）其中L n n εβ=)()c o s (])c o s ())[s i n (/()s i n (2),(12x L sh y L L sh y x n n n n n n n n I βββββδββθθ∑∞=+= （2-13）（3）求解温度场∏θ与解I θ一样用分离变量法，假设所求温度分布),(y x ∏θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积)()(),(22x Y x X y x =∏θ （2-14）将该式子代入∏θ的导热微分方程中得到022222222=+X dy Y d Y dx X d ，即22''22''2ε=-=Y Y X X ，由此可得到两个常微分方程02222=-X dx X d ε （2-15） 022222=+Y dyY d ε （2-16） 解式（2-3-15）时根据x 的边界条件可以把解的形式写为)]([)]([)(2x Bsh x Ach x X -+-=δεδε （2-17） 把边界条件0,==∏θδx 代入上式，得到A=0，所以有)]([)(2x Bsh x X -=δε （2-18） 其中i n n n n B L /)cot(,βββε==)]([)cos(),(1x sh y k y x n n n n I -=∑∞=δεεθ （2-19）把边界条件1,0θθ==∏x 代入上式可得⎰⎰-=LLn n n n dy y x sh K dy y 02'1)(cos )]([)cos(εδεεθ （2-20）])cos())[sin(/()sin(21'n n n n n n L sh K βββδββθ+=（2-21）)]([)cos(])cos())[sin(/()sin(2),(11x L sh y L L sh y x n n n n n n n n -+=∑∞=∏δβββββδββθθ （2-22）（4）最终求得稳态温度场)]([)cos(])cos())[sin(/()sin(2)()cos(])cos())[sin(/()sin(2),(),(),(1112x L sh y L L sh x L sh y L L sh y x y x y x n n n n n n n n n n n n n n n n I -+=++=+=∑∑∞=∞=∏δβββββδββθβββββδββθθθθ2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。
一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。
由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。
当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。
设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql ，地表面的温度均匀，维持为t0。
使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图如下：设有限长热源长度为H ，单位长度热源发热量为l q ，电源强度为)(0w dz q l ⨯，设地面温度维持恒定温度00,t t t -=θ。
（1）求解点热源dz0产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：0)(122=drd r dr d r θ（3-1） 解微分方程可得rc c 12-=θ （3-2） 把边界条件0,=∞→θr 代入上式得到02=c ，所以有rc 1-=θ （3-3） 在球坐标系点热源0dz 单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q ，即 01244dz q c r drd Q l =-=-=λππθλ （3-4） 所以得到014dz q c lπλ-=由此可得到球坐标系中点热源0dz 产生的温度场为 0*14dz rq l πλθ=（3-5） （2）分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有 地下有限长线热源产生的温度场 00114dz rq Hl ⎰=πλθ （3-6） 对称的虚拟热源产生的温度场为 00214dz rq Hl ⎰--=πλθ （3-7） （3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+=-+=⎰⎰⎰-z z z z z H z H z H z H q dz z z z z q dz rq dz r q l H l H lHl 22222222002022020000)()(ln 4)(1)(141414ρρρρπλρρπλπλπλθ （3-8）第三章3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm 的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为390J/(Kg •K)，测温记录最高和最低温度分别为130℃和124℃，周期为20s 。
若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20W/(m2•K)，试确定气流的真实温度变化范围。
解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为 )cos(*ϕτθ+=w B （4-1）式中)arctan(122r rf w w A B τϕτ-=+=按题目要求102022πππ===T w ，s hA cv r 925.2820610139089003=⨯⨯⨯⨯==-ρτ，)/(202k m w h ⋅=，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的振幅如下式32124130122=-=+r f w A τ （4-2） 把r w τ,的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅4.27=f A ，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为C t 0max 4.1544.272124130=++= （4-3） C t 0min 6.994.272124130=-+= （4-4）3-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度场由式子)4(4),(2τπλτa r E q r t i l --=确定。