研究生高等代数复习题
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
云南省考研数学复习资料高等代数重点习题解析
云南省考研数学复习资料高等代数重点习题解析高等代数是数学专业考研的重要科目之一，对于考生来说，掌握高等代数的重点知识和解题方法是提升成绩的关键。
本文将针对云南省考研数学复习资料中的高等代数部分，对一些重点习题进行解析，帮助考生更好地复习备考。
一、矩阵与行列式1. 已知A为n阶方阵，且满足A^2=I，证明A的特征值只能是1或-1。
解析：首先根据矩阵的特征值与特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为对应的特征向量。
由于A^2=I，我们有A^2x=Ix=x。
展开计算可以得到(A^2-λ^2I)x=0。
由于特征值不全为0，所以可以消去左边的矩阵，得到(A+λI)(A-λI)x=0。
根据矩阵的奇异性质，当(A+λI)x=0或(A-λI)x=0时，存在非零向量x使得方程成立。
因此，A+λI和A-λI是奇异矩阵，即它们的行列式为0。
解得λ^2=1，即λ=±1。
2. 证明：对任意n阶方阵A和B，有det(AB)=det(A)det(B)。
解析：根据行列式的定义，可以得到det(AB)=|AB|=|A||B|，其中|A|和|B|分别表示方阵A和B的行列式值。
因此，我们只需证明|A||B|=det(A)det(B)。
考虑到行列式的性质，|A||B|=|AB|，所以只需证明|AB|=det(A)det(B)。
展开|AB|的定义，可以得到行列式的乘积展开式，由于行列式展开式是通过对A的一行（或一列）进行展开，而对应乘积展开式也是通过对A的一行（或一列）展开，因此它们的结果是相同的。
所以，|AB|=det(A)det(B)。
二、向量空间1. 已知向量空间V是实数域上的n维列向量组成的集合，证明V是向量空间。
解析：要证明V是向量空间，需要满足向量空间的八条性质。
首先，V中的向量满足加法封闭性和数乘封闭性，即对于任意两个向量x和y∈V，有x+y和kx∈V。
其次，V中存在零向量0，使得对于任意向量x∈V，有x+0=x。
研究生高等代数复习题完整版
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
高等代数第四版考研题库
高等代数第四版考研题库高等代数作为数学学科中的核心课程之一，其考研题库的构建对于学生掌握和深化理论知识至关重要。
以下是针对高等代数第四版教材的考研题库内容概要：一、线性代数基础1. 向量空间的定义及其性质2. 基和维数的概念3. 线性变换及其矩阵表示4. 特征值和特征向量5. 内积空间和正交性二、行列式1. 行列式的定义和性质2. 行列式的展开定理3. 克莱姆法则及其应用4. 行列式与线性变换的关系三、矩阵理论1. 矩阵的运算和性质2. 逆矩阵和伴随矩阵3. 矩阵的秩和零空间4. 矩阵分解方法（如LU分解、QR分解）四、线性方程组1. 线性方程组的解的存在性与唯一性2. 高斯消元法和高斯-约当消元法3. 线性方程组的几何解释五、特征值问题1. 特征值和特征向量的求解方法2. 特征多项式及其应用3. 矩阵的对角化问题六、二次型1. 二次型的定义和性质2. 正定二次型和半正定二次型3. 配方法和正交变换七、线性空间和线性变换1. 线性空间的公理化定义2. 线性变换的映射性质3. 线性变换的不变子空间八、欧几里得空间1. 欧几里得空间的定义和性质2. 正交投影和最小二乘法3. 傅里叶级数和傅里叶变换九、张量分析1. 张量的概念和性质2. 张量的运算规则3. 张量在物理和工程中的应用十、群论基础1. 群的定义和性质2. 子群和陪集3. 群的表示理论结语高等代数的考研题库不仅涵盖了基础理论，也包括了实际应用和高级概念。
通过系统地学习和练习这些题目，学生可以更好地准备研究生入学考试，并为未来的学术和职业生涯打下坚实的数学基础。
希望这份题库能够成为学生们学习高等代数的有力助手。
高等代数考研真题详解
高等代数考研真题详解高等代数考研真题详解高等代数是数学专业研究生考试的重要科目之一，也是数学学科中的基础课程。
考研真题是考生备考的重要参考资料，通过对真题的详细解析，可以帮助考生更好地理解高等代数的知识点，提高解题能力。
本文将对几道高等代数考研真题进行详细解析，帮助考生更好地备考。
第一道题目是关于线性空间的性质的判断题。
题目如下：判断下列命题的正确性：1. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v的倍数，则V是有限维的。
2. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v与另一个向量的线性组合，则V是有限维的。
对于第一题，我们可以通过反证法来证明其正确性。
假设V是无限维的，那么存在一个无限长的线性无关向量组，我们可以找到一个向量w，使得w与这个向量组线性无关。
那么w就无法表示为v的倍数，与题目的条件矛盾，因此V是有限维的。
对于第二题，我们可以通过举例来证明其正确性。
假设V是有限维的，那么存在一个有限长的基底，我们可以选择其中的一个向量v作为题目中所述的非零向量。
对于任意一个向量x，我们可以找到一组系数使得x可以表示为v与另一个向量的线性组合，因此V是有限维的。
通过以上的解析，我们可以得出第一题的命题是正确的，而第二题的命题是错误的。
接下来，我们来看一道关于线性空间的子空间的题目。
题目如下：设V是数域K上的线性空间，U和W是V的子空间，证明U∩W也是V的子空间。
对于这道题目，我们需要证明U∩W满足线性空间的三个条件：非空性、封闭性和加法逆元存在性。
首先，由于U和W都是V的子空间，所以它们都非空。
因此，U∩W也非空。
其次，对于U∩W中的任意两个向量u和w，由于u和w分别属于U和W，所以它们也属于V。
因此，u和w的线性组合也属于V。
根据线性空间的定义，u和w的线性组合也属于U和W。
因此，u和w的线性组合也属于U∩W。
所以，U∩W对于向量的加法封闭。
最后，对于U∩W中的任意一个向量u，由于u属于U和W，所以u的加法逆元也分别属于U和W。
高等代数第三版考研题库
高等代数第三版考研题库一、线性代数部分1. 矩阵理论- 矩阵的运算：加法、乘法、转置、求逆等。
- 矩阵的秩：证明矩阵秩的性质，求解矩阵的秩。
- 线性方程组：解线性方程组，证明解的存在性与唯一性。
2. 向量空间- 向量空间的定义与性质。
- 基和维数：确定向量空间的基，计算维数。
- 线性变换：定义线性变换，计算线性变换的矩阵表示。
3. 特征值与特征向量- 特征值和特征向量的概念。
- 特征多项式：计算矩阵的特征多项式。
- 对角化：证明矩阵对角化的条件，求解对角化后的矩阵。
二、多项式代数部分1. 多项式的基本性质- 多项式的定义，次数，系数。
- 多项式的运算：加法、乘法、除法。
2. 多项式的根- 根的概念，实根与复根。
- 韦达定理：应用韦达定理求解多项式的系数与根的关系。
3. 多项式的因式分解- 因式分解的方法：配方法、公式法、分组法等。
- 多项式的最大公因式。
三、群论部分1. 群的定义与性质- 群的定义，单位元，逆元，封闭性，结合律。
2. 子群与陪集- 子群的定义，判定子群的方法。
- 陪集的概念，拉格朗日定理。
3. 群的同态与同构- 群同态的定义，同构群的概念。
四、环论部分1. 环的定义与性质- 环的定义，加法和乘法的运算规则。
2. 理想与商环- 理想的定义，主理想与零理想。
- 商环的概念，构造商环的方法。
3. 环的同态与同构- 环同态的定义，同构环的概念。
五、域论部分1. 域的定义与性质- 域的定义，域的加法和乘法运算。
2. 多项式在域上的根- 多项式在域上的分解，有限域与无限域。
3. 域的扩张- 域扩张的概念，代数扩张与超越扩张。
结束语本题库覆盖了高等代数的核心概念和理论，旨在帮助考生系统复习和深入理解高等代数的知识点，为考研做好充分准备。
希望考生能够通过练习这些题目，提高解题能力和数学思维。
请注意，这只是一个示例题库，实际的考研题库可能会根据具体的教材版本和考试大纲有所不同。
各大学高等代数考研真题
各大学高等代数考研真题高等代数是数学中的一门重要学科，它在各个领域都有广泛的应用。
对于数学专业的学生来说，高等代数是一个重要的考试科目。
而对于那些准备考研的学生来说，高等代数更是必考的科目之一。
在考研中，高等代数的考试题目往往涉及到各个领域的知识，考察学生对于高等代数的理解和应用能力。
下面我们就来看一些高等代数考研真题。
首先，我们来看一道典型的高等代数考研题目。
题目如下：设V是数域K上的n维线性空间，f是V到V的线性变换。
如果对于任意的v∈V，存在非零多项式g(t)，使得g(f)(v)=0，则f一定有特征值。
对于这道题目，我们需要运用到高等代数中的一些基本概念和定理。
首先，我们需要知道什么是特征值和特征多项式。
特征值是指线性变换在某个向量上的作用结果与该向量平行的现象，而特征多项式则是用来求解特征值的一种方法。
在这道题目中，我们需要运用到特征多项式的性质，通过特征多项式来证明f一定有特征值。
接下来，我们来看一道关于线性空间的题目。
题目如下：设V是数域K上的线性空间，f是V到V的线性变换。
如果对于任意的v∈V，存在正整数m，使得f^m(v)=0，则f一定有特征值。
这道题目考察了线性变换的零化幂的概念。
零化幂是指对于线性变换f，存在一个正整数m，使得f^m(v)=0。
而这道题目要求我们证明，如果对于任意的v∈V，存在正整数m，使得f^m(v)=0，则f一定有特征值。
这个题目的证明过程比较复杂，需要运用到线性变换的一些性质和定理，以及线性空间的相关知识。
最后，我们来看一道关于矩阵的题目。
题目如下：设A是n阶方阵，如果存在非零矩阵B，使得AB=0，则A一定不可逆。
这道题目考察了矩阵的可逆性和零子式的概念。
可逆矩阵是指存在逆矩阵的矩阵，而零子式是指矩阵中的某个子矩阵的行列式为0。
这道题目要求我们证明，如果存在非零矩阵B，使得AB=0，则A一定不可逆。
证明过程中，我们需要运用到矩阵的一些性质和定理，以及矩阵的相关知识。
研究生高等代数试题
浙江大学1999年研究生高等代数试题一．n a a a ,,,21 是n 个不相同的整数，证明1)())(()(21+---=n a x a x a x x f 在有理数域上可约的充分必要条件是)(x f 可表示为一个整数多项式的平方二．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α，且0=ααT，求(1)T n E αα- (2)1)(--T n E αα(其中n E 为n 阶单位阵，的转置为ααT) 三．矩阵n m A ⨯是行满秩)(m A =即秩，证明： (1)存在可逆阵Q ，使得Q E A m )0,(= (2) 存在矩阵mn B ⨯，使得mE AB =四．设n 阶方阵A 满足A A =2，n ααα,,,21 是nP 中n 个线形无关的列向量，设2V 是由n A A A ααα,,,21 生成的子空间，1V 是0=AX 的解空间，证明：21V V P n⊕=(21V V ⊕表示1V 与2V 的直和)五．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则存在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n D S λλ 1及，使得TT SS B SDS A ==, 六．设n 阶矩阵)(ij a A =，满足下列条件：(1)0≤ij a ≤1,j i ,∀ (2)121=+++in i i a a a (i=1,2, ,n)求证：(1)A 的每一个特征值λ，都有1≤λ(2)10=λ为A 的一个特征⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ℜ是实数i n nx x x |1 ，阶正定阵是n A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x 1α，n n y y ℜ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 1β，求证：(1)))(()(2ββααβαA A A T T T ≤等号成立当且仅当βα与线形相关时成立（2）若是正定矩阵，则A ))(()(2ββααβαA A A TTT≤也成立八（1）设B A ,分别为复数矩阵域上的阶方阵阶和l k ，并且B A ,没有公共的特征值，求证XB AX =只有空解（这里k k ij x X ⨯=)(）（2）在nn ⨯ℜ中，变换nn A XA AX X ⨯ℜ∈+A ,: ，A 为一个固定的矩阵，且A 的特征值不为（-A ）的特征值，求证：A 为一个线形变换。
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1.设 是数域P 上线性空间 V 的线性变换且 扌2扌，证明: (1) 的特征值为 1或0; (2)0 1(0)A （ ）| V ;（ 3）*扌"01 fllTUl £J 1 血引& 1 -4 ［D 亠 2」La V *1V 才(0)/(V).h 妙门)tb 师A 丫搦就匚由曆岭串入岂切勿门P) '：(«叫刀专壯丫]国弘0 \记出和 忙小加elV,曲此肋卜煤J-殖R H R L対&炭M A Wu 血M E 畑隔茫卜鯛皿W 伽咄 换片⑷二W 二2-如]£艸』.毎(L ；s 器对们*靱为¥^占宦函，戈中箱冋 刪內M •(tr) Sfe 込亂:'oi 绘W 叹E 砒护.如 MV A oi -A^+^IZ.貞b)+AL审a Vote A) fl 5ft 由 D I E 如心 阳p.嶽[小吊。
讹比加"十賊.2.已知 是n 维欧氏空间的正交变换，证明： 的不变子空间 W 的正交补 W 也是 的不变子空间. .呼:演M 肛坊涵凤y 詁色疑接 则站 如巒哪、 WS J 辰磯上飙询辰M 戈二Q. K 幕亍疋丹册匚沪.H 就M 丄 八厲艸)=0 “古忆 押期 卫时贱，朋4神刑. \ r 加/AG*)o 舟呻)二&<舜】"八'亠如 J-初丄匕M 七 D 1 Uy缭制严叫f%舟淀边提.6.设 A 为 n 阶 方阵，W X R "|A X 03.已知复系数矩阵 A 1 2 0 1 0 00 03 42 31 2 '0 1(1)求矩阵 A 的行列式因子、不变因子 和初等因子；(2)若当标准形.(15分) 如 [JH 心巧十5 O 0 _>-<. W X R n| (A E)X4廿M 病營竝杳/屋乩苗常歸•沖疋嘲驗I 「叫+1V1CR" 站卞E|巴火U 阶战)十叙总中 由A U-Ap =蘇-私={A _&Y =D 彌 vM-xe[6f . t [4-£Mp= f 尼A>y 刃知 A 啜E 呛 故gg 加"曲G W 古甌 A J 為骼讹 、•‘ fF?=^i+lAi.丈險皿fl 怜由密刖■触p ；由XE I 似 欲勺哎P 寺 -^-0 孕 g -略nWi斗M .、：E=lVi 费鵝，7.若设 W= f(x)|f(1) 0, f(x)R[x]n ,证明：W 是R[x]”的子空间，并求出 W 的一组基及维数.T 曲，⑴0£用「W 那艺I 仍k 卵)吗X1J 押+肿乜■\ *30+3⑷ e|V血甲他巩押老X 甲.吋g '；申』訓.故时善眈I 個繼邱^V^^weW,阳痂戒怒忑伽f+…十伽伽如由ftnm?紂口十+…+①+弘之.,\ J IMW 二 n 叫.8. 设V 是一个n 维欧氏空间，0证明A 为幂等矩阵，则 R W W .笹 tjOnLXT,』ty 对：。
| * 'll T>itX)= I K •和愠lA 蜩伽2加B r 阮冶」如丽*用 H Tbifefli 务 &dA 、=Jia 、二 1( 口 r J+tRhW 沪 rrt 初曾阳方Z 克 *囲*韋省林堆谢为r! W |（，J 0, V,i，H), ”为V 中的正交向量组，令1, 2, Hl , m(2)证明：W L ,,”，肤芳翱掠班谢为[：°0 I O O 彷 I -0 O 血 I . 2 2 2 4.已知二次型 f(X 1,x 2,X 3) 2X 1 3X 2 3X 3 2ax 2X 3，(a 个正交变换可化为标准形 f y 2 2y 2 5y 2，( 1)写出二次型对应的矩阵 A 及A 的特征多项式，并确定 a 的值；(2)求出作用的正交变换. A 二 OO' 0)通过某二(J O]O 今 a I 2 £3 ft 5 J J心呂卜嵐相同恳悔冷廉穴抑=g 问g) 且加匸"I 囱小 22叭 肚亠當J [2 O P 'I XE-A - Jo >5Lo 应 ASj 轨十坤由爲劭T [打； b 说山J Lo U 旷 %f 小二"-|円几将1^*妙眄!1 当人型科鯉fl6-APX=0由 (1)证明：W 是V 的一个子空间；乩不 M 斗创仙却二悅鼻比旧宀一mj U)“》谿P Wt 训於呻EIV1附印，g 旳M 甲咸上岛 同刃…加 /、(MjfR 肃)二叭 XT—F 他:為时p^W. 披附臭y —T 疋邱3 ；'孑曲3 ^)二^-口旳严4】匚酬丄.稠"0<| /…c<M 疥'衣y-铠殴建几十丹,4厂…从 忙侶叫认療严丁皿+伴*弘+<如如卄亦弘 "打叫二活*诂战)二f 舖跖iv)二G二 y 冊O U H +"+%O *20F 畑=七怎乂、up 耐宀Z 得'「* 岁--11*'^ y-和 m ”兀 V 吃一坦UXJjTTBFrgrCWi^rjiri 判11$||严1 从八© J_L 珀T / ■•--'c3*) =M丸 UR E ，…「商、utv,的I%-,小 +wr.乂 W 味门仙宀丿由冋，nW 』喑8舟二0/ e zjf 二口"L4…*ww 二y 帥皿-心)为曲^^册3 19.试求矩阵A3 41 1 0 10 0 5 30 0的特征多项式、最小多项式.3 1UMI =A-i I o 0 T 汩o oTom T 1 乍用忙4吨^的ix±4, 宀氛牛 孤r 叭心丹cb ⑷E ）廿丄A 花和穹賦倍說 10.在线性空间 p n 中定义变换 ：（X',X ，M ，X ） （0, X J11|, X ） （1）证明： 是p n 的线性变换.（2）求值域 （p n ）及核 1（0）的基和维数. •ff：说 pr — P” 禺比严呦一 f 巧 ''W 畑Mg …r*）’卜別岀D 和］ 7狂⑴％心力….*如 呻b 転曲J 規阿 灯凶二M 小厂r 叭）=⑷S V% J :” S 为JJ 士他J +CS 智 T （BkOf ）= kflTL-y}询戎时［药赚- , \巾兔齢®*.七务F 谕单USr 也ysid",⑷ 缶阳护si, S •倒旳些屈基n n n x 「 （ X i ）2 i 1 i 111.证明二次型 f （X 1，|H ，X n ） ■1 -f-J JH3 dP ；门竺 b-的 b X:、A K 吟廈屁 i * J AJ WI , cUg -~f a Aff G<?□-X214.设R 4的线性变换在标准基下的矩阵为 A '（1） 求的特征值和特征向量，（2） 求R 4的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵哈RT I Ai \t h-2C7 M -i d L 加i 并从+52加d"占〉 0 -AM 珂 0 口 0 屮 I:a>1=5m 「T 'ITT 「E"2(7 YlTd 0 0 01 -1 ^ 1 Q 0 Q 0 （n 2）是半正定hk 1 1-1,0 Q 0 X的. 于二n 古;加-當验）：必》卄云 W+血二炉喝海［毒严茅 卒 1/0/3 I IT] 1 “ 11 1 T id 'I r F 寸■心1 n " TJ nirhlk12.求 的值，使 2f(X 1 ,X 2, X 3，X 4)(X 12 2X2 X3)是正定二次型.（12分）A- A I I I A T 1 T A 0 C 'O'2X 1 X 2 2X 2X 3 2 X 1X 3 cr £?Q2X 4卑片m-W 1/、'“匚馬十扎巧4持和At 号? k+3+j3, hh % 卜它at.禮J *心必A 条巧頁胆A 荷仃宀 宀叫为亦』如齐1+二占“卄川tt jT,= x>p JF" I 彳 311=g 7 & :鳥[竺I?二阻MtI T 叮 I 0罰対I 1 0 0州1 =5+0 gg) =31 克? ax 縄E 时t 也社1 1 1 13.设 A 3 3 3 ( 1)求A 的不变因子.(2)求A 的若当标准形. 15.设 ,是四维线性空间 V 的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为3（ 1）求线性变换 的秩，（2）求线性变换5核与值域.《「■）栽別a 象⑷呛書Hr% =（%【冲』必 亞厂2』P *丨） 柬■!i = 4ii+Ei -2b,为 砸时町汕乩却 艮屮沖£"上亠乜爲爭 人池诚刪圉，朮J 16. 求正交变换使二次型 2x 2 4xx x 24xx 化为标准形，并判定该二次型是 112223否正定. "刖亂"…'' %i--i, >>=A （鼻、二斗 ->'S 「.于孑映 R 就f%切 卜2*久匚代斗g 為 二卫弋■'兀匚t 场仪对丫“才 今I 由=Xt 7a 1家£巧君#二工舟舟M#爲打険 w~ KJ 17. 设e , e , M , e 是5维的欧几里得空间 J r 4ticp 2 0阿2畀二計、a a" '1 1明怙I 二［i+ tT 町 \ t I r 一 a \二［H 〔2W ］〔 I 一6〉""I 1 a • • J \技、当［闭K 期 讎I 乩餌1占时A 可#冲09畑> 託吋肛」心dmW". 当妇吁何;；二U T1「厂.1」J谁陶=g 11 囱］JrhilV=n-|.-DA -十DR 5的一组标准正交基，V L( ），其中 e e ,.e e ；e ,, ，求V 的一组 14e 1 5e 2 标准正交基. •汕血巧、r 秒 P 】=M = &Ki 綿PEY 仙如洛他J'性〜対牛匕F+珂） 2*幣行烯， 二的-知射寻（決沪％ Z 十「％ + 珂） 二li 他-g"吋』切卅叨 护盲沪金H 緘已〜乜毎）j防市用二乔hsM 廿込比齢总）巧牛q 占务hi 蛆;14供嬷 18.设A (a )是n n 矩阵，其中a a,ij"ij1,i j（1）求det A 的值；（2）设 w X AX 0 ，求W 的维数及 W 的一组基.出i=tJ 「»旳一*）,甘辽口 O 4-L =4阳-"』1厂门询亦-眦墓. 当心-右时.和a a …a（a —fl Q I '"H--V — -■a ft —丨 C? 0-…aO --' czH 0■ I O 0 - ▼ ' T , -加-右，iHPt 茯A=h-「 且 帕B 鬣手二 …3能二卩1 申抽空阀帝乍U 心一必 19.设 是线性空间I a & --■ it J4 Q - - - 0G T □ T • J O■■ r ■ _ ■ r r■■-■tfl -l p tJ 4 — T■ :pHMiXL O 0 0I ' -1 P 0I 1 c 4 — D -冷乃二 J I 伽 VV 二 I■— —0 4 亠 ' TtR 3 上的线性变换(x, y, z) R ( ) (x y, y (0,1,1) ,(1,0,1) ,(1,1, 0)下的矩阵.烦眩T 曲一呢施丫,*迦L 肝久屮岛HX 〉蚪 辱m I)；為乂|儿町TE)二I ) = 4r 呂】=[b I , i>丄I (亦=2 I 丨 I I 〕二 2； +£j乙z x)0 f If 鸵 7］ A tl 0 U rA 为岛下20.设 是n 维线性空间 V 上的线性变换，「「卅，”是V 的一组基.如果 是单射，则』，入2,||丨，』 也是一组基.谡卞1那十忌沏卄…片i'痕"0 帮 献如I+30呂十"*加畀2貝砂=0' ' W 岛+怎TW L, =0〉、纓"…；谢£ 3対无廉“21.二次型f （x,x,x ） 2x x 2x x 2x x ，1）写出二次型f 的矩阵'1'2'3'1213232）求出A 的特征值与特征向量； 3）求一正交变换，将f 化为标准形.4鼻冃A鱼）.1加=|吗斛花旳9£=^*0也"UY； U區引乘如齢烈mil」It? O （3.3i—t' J II J Ji- U J 0 11 /盼毎磺肴叭mJ」臣“品砌口” i ZJP扌'解匕"、>^0〔打七思期出瞬护㈠小$ 幅曲用跋I七- 钟智円样爲pldH，阡卜-E #戶=快E I山& F虽畔店二注Cb-TA）乜戸立I'" T . 一障冷％〕T72 自 % %幽y=O“ 壮r dF1踐逐矢i-昭£-2屈3 1 122.求方阵A 1 3 1 的不变因子、初等因子和若当标准形.0 2 2巧7 I「星世口6）二II 卜入烬二I人EW］二5叫［ ' 丄卜f =tM）― C?7说”斗）k ^*不^&国弓』、z=clx%h djtZNS专扌at）^*初舁固狩以-4\ t>-2/ z衬枷彬1 （123.设V是n维欧氏空间，n 3,给定非零向量V（,）2- ---（,）是正交基，则存在不全为零实数k,k,|HkIII k 是V上的恒等变换.':純性杯xl恍M 丫亠洸a二007翳s）T歸阿十瓷篇如=4小.h 步廉ife換。