中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)

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中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 .解决这种问题的重点是动中求静 ,灵巧运用相关数学知识解决问题 .重点 :动中求静 .数学思想：分类思想函数思想方程思想数形联合思想转变思想着重对几何图形运动变化能力的观察从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过 “对称、动点的运动 ”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解题过程中浸透空间看法和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历研究的过程，以能力立意，观察学生的自主研究能力，促使培育学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中察看图形的变化状况，需要理解图形在不一样地点的状况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学 “动点 ”研究题的基本思路 ,这也是动向几何数学识题中最核心的数学实质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐渐转向数形联合、动向几何、着手操作、实验研究等方向发展．这些压轴题题型众多、题意创新，目的是观察学生的剖析问题、解决问题的能力，内容包含空间看法、应企图识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（ 1）运动看法；（ 2）方程思想；（ 3）数形联合思想；（ 4）分类思想；（5）转变思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热门的形成和命题的动向，它有益于我们教师在教课中研究对策，掌握方向．只的这样，才能更好的培育学生解题修养，在素质教育的背景下更明确地表现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和划分度丈量点的存在性和划分度小题办理手法提出自己的看法．专题一：成立动点问题的函数分析式函数揭露了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容 .动点问题反应的是一种函数思想,因为某一个点或某图形的有条件地运动变化 ,惹起未知量与已知量间的一种变化关系 ,这种变化关系就是动点问题中的函数关系 .那么 ,我们如何成立这种函数解析式呢下边联合中考试题举例剖析.一、应用勾股定理成立函数分析式例 1(2000 年·上海 )如图 1,在半径为 6,圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上,有一个动点 P,PH⊥ O A,垂足为 H,△ OPH 的重心为 G.(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,线段 GO 、GP 、GH 中 ,有无长度保持不变的线段假若有 ,请指出这样的线段 ,并求出相应的长度 .(2)设 PH x ,GP y ,求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域(即自变量 x 的取值范围 ).(3)假如△ PGH 是等腰三角形 ,试求出线段 PH 的长 .解 :(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,OP 保持不变 ,于是线段 GO 、GP 、GH中 ,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=2NH=2 1 OP=2.B33 2P(2) 在 Rt △ POH中 ,OHOP 2 PH 236 x 2 ,∴yN11x 2.G xMHOH3622OM H A在 Rt △ MPH 中 ,图 1MPPH 2MH 2x 2 9 1 x 21 36 3 x 2.4 2∴ y =GP=2MP=136 3x 2 (0< x <6).33(3)△ PGH 是等腰三角形有三种可能状况 :① GP=PH时 , 1 36 3 2 x6x63x x , 解得 . 经查验 , 是原方程的根 ,且切合题意 .② GP=GH 时 ,题意 .1 x22 ,解得 x 0. 经查验 ,x 0是原方程的根 ,但不切合36 33③ PH=GH 时 , x 2 .综上所述 ,假如△ PGH 是等腰三角形 ,那么线段 PH 的长为6 或 2.本专题的主要特点是两个点在运动的过程中，直接或间接地结构了直角三角线，所以能够利用勾股定理去成立函数关系式 . 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数分析式的过程中，主假如找边的等量关系，要擅长发现这种内在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的 . 因为是压轴题，有的先有铺垫，再写分析式；有的写好分析式后，再证明等腰三角形、相像三角形等，还有的再解一些与圆相关的体型 . 要仔细领悟，达到举一反三的目的 .1 切记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 .例题，扇形中∠ AOB=45°，半径 OB=2，矩形 PQRS 的极点 P 、 S 在半径 OA 上， Q 在半径 OB 上， R 在弧 AB 上，连结 OR.（ 1）当∠ AOR=30°时，求 OP 长（ 2）设 OP=x ，OS=y ，求 y 与 x 的函数关系式及定义域2 在四边形的翻折与旋转中，常常会应用到勾股定理，由此产生些函数分析式的问题，要娴熟掌握 .例题：如图，正方形 ABCD 中， AB=6，有一块含 45°角的三角板，把 45°角的极点放在 D 点，将三角板绕着点 D 旋转，使这个 45°角的两边与线段 AB 、 BC 分别订交于点 E 、 F （点 E 与点 A 、 B 不重合）（1）从几个不一样的地点，分别丈量AE、EF、 FC 的长，从中你能发现 AE、 EF、 FC的数目之间拥有如何的关系并证明你所获得的结论（2）设 AE=x，CF=y，求 y 与 x 之间的函数分析式，并写出函数的定义域（3）试问△ BEF的面积可否为 8 假如能，恳求出 EF的长；假如不可以，请说明原因 .3在一些特别的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线相互垂直，这些都有可能结构直角三角形，能够考虑用勾股定理写出函数的分析式.例题：如图，在菱形 ABCD中，AB=4，∠ B=60°，点 P是射线 BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线 CD 于点 Q，设点 P 到点 B 的距离为 x， PQ=y（1）求证：三角形 APQ 是等边三角形（2）求 y 对于 x 的函数分析式，并写出它的定义域（3）假如 PD⊥ AQ，求 BP 的值4作底边上的高，能够结构直角三角形，利用勾股定理写函数的分析式例题：如图，等边△ABC的边长为 3，点 P、Q 分别是 AB、BC上的动点（点P、Q 与△ABC 的极点不重合），且AP=BQ， AQ、 CP 订交于点 E.（1）如设线段 AP 为 x，线段 CP为 y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出定义域（2）当△ CBP的面积是△ CEQ的面积的 2 倍时，求 AP 的长（3）点 P、Q 分别在 AB、BC 上挪动过程中， AQ 和 CP 可否相互垂直如能，请指出P 点的地点，请说明原因.5在解圆的题目时，首选的协助线是弦心距，它不单能够运用垂径定理，并且结构了直角三角形，为用勾股定理写函数分析式创建了条件.例题：如图，⊙ A 和⊙ B 是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙ B 于 E、 F，点 P 是线段 AB 上的一动点（点P 不与 E、 F 重合）， PC切⊙ A 于点 C， PD 切⊙ B 于点 D，已知⊙A 的半径为 2 ，⊙ B 的半径为1，AB=5.（1）如设线段BP 的长为 x，线段 CP 的长为 y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域（2）假如 PC=PD，求 PB 的长（3）假如PC=2PD，判断此时直线CP与⊙ B 的地点关系，证明你的结论6 重申圆的首选协助线是弦心距，它不单能够均分弦，并且结构了直角三角形，为解题创建新思路 .例题：如图，在△ ABC中， AB=15,AC=20,cotA=2，P 是边 AB 上的一个动点，⊙P 的半径为定长 . 当点 P 与点 B 重合时，⊙ P 恰巧与边 AC 相切；当点 P 与点 B 不重合，且⊙ P 与边 AC 订交于点 M 和点 N 时，设 AP=x，MN=y.(1)求⊙ P 的半径(2)求 y 对于 x 的函数分析式，并写出它的定义域(3)当 AP=6 5时，试比较∠ CPN与∠ A 的大小，并说明原因阶梯题组训练1如图， E 是正方形 ABCD的边 AD 上的动点， F 是边 BC 延伸线上的一点，且 BF=EF，AB=12，设 AE=x，BF=y.（1）当△ BEF是等边三角形时，求BF 的长；（2）求 y 与 x 之间的函数分析式，并写出它的定义域；（3）把△ ABE 沿着直线 BE翻折，点 A 落在点 A′处，尝试究：△A′BF 可否为等腰三角形假如能，恳求出 AE 的长；假如不可以，请说明原因 .2如图，在△ ABC中，∠ACB=90°，∠ A=30°，D 是边 AC 上不与点 A、C 重合的随意一点，DE⊥ AB，垂足为点E， M 是 BD 的中点 .（1）求证： CM=EM;（2）假如 BC= 3设 AD=x， CM=y，求 y 与 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；（3）当点 D 在线段 AC 上挪动时，∠ MCE 的大小能否发生变化假如不变，求出∠MCE 的大小；假如发生变化，说明如何变化.3 ABCD 中，对角线 AC⊥ AB， AB=15， AC=20，点 P 为射线 BC 上一动点， AP⊥ PM(点 M 与点B 分别在直线 AP 的双侧 )，且∠ PAM=∠ CAD，连结 MD.(1)当点 M 在 ABCD内时，如图，设 BP=x，AP=y，求 y 对于 x 的函数关系式，并写出函数定义域；(2) 请在备用图中画出切合题意的表示图，并研究：图中能否存在与△AMD 相像的三角形若存在，请写出并证明；若不存在，请说明原因；(3) 当△为等腰三角形时，求BP的长.4抛物线经过 A（2， 0）、 B（ 8， 0）、 C（0，16 3） . 3（1）求抛物线的分析式；（2）设抛物线的极点为P，把△ APB 翻折，使点 Pl 落在线段 AB 上（不与 A、 B 重合），记作 P′，折痕为 EF，设 AP′ =x，PE=y，求 y 对于 x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当点 P′在线段 AB 上运动但不与 A、B 重合时，可否使△ EFP′的一边与 x 轴垂直若能，恳求出此时点P′的坐标；若不可以，请你说明原因.5 如图，矩形 ABCD中， AD=7， AB=BE=2，点 P 是 EC（包含 E、 C）上的动点，线段 AP 的垂直均分线分别交 BC、 AD 于点 F、 G，设 BP=x， AG=y.（1）四边形 AFPG是说明图形请说明原因；（2）求 y 与 x 的函数关系式；（3）假如分别以线段GP、 DC 为直径作圆，且使两圆外切，求x 的值 .6在梯形 ABCD中，ADE 为底边 BC 上一点，以点 E 为圆心， BE 为半径画⊙ E 交直线 DE于点F.（1）如图，当点 F 在线段 DE上时，设 BE=x，DF=y，试成立 y 对于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）当以 CD为直径的⊙ O 与⊙ E 相切时，求 x 的值；（3）连结 AF、 BF，当△ ABF 是以 AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值 .7 如图，在正方形ABCD中， AB=1，弧 AC 是以点 B 为圆心， AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边 AD 上的随意一点（点 E 与点 A 、 D 不重合），过 E 作弧 AC 所在圆的切线，交 DC 于点F ，G 为切点 .（ 1）当∠ DEF=45°时，求证点 G 为线段 EF 的中点；（ 2）设 AE=x ， FC=y ，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的分析式；（ 3）将△ DEF 沿直线 EF 翻折后得△ D 1EF ，如图 2，当 EF=5时，议论△ AD 1D 与△ ED 1 F 是6否相像，假如相像，请加以证明；假如不相像，只需求写出结论，不要求写出原因.（ 2003 年上海第 27 题）二、应用比率式成立函数分析式例 2（ 2006 年·山东）如图 2,在△ ABC 中 ,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动 . 设 BD=x, CE=y .(1)假如∠ BAC=30° ,∠ DAE=105° ,试确立 y 与 x 之间的函数分析式；(2)假如∠ BAC 的度数为 ,∠ DAE 的度数为,当 ,知足如何的关系式时之间的函数分析式还成立试说明原因.解:(1)在△ ABC 中 ,∵ AB=AC,∠ BAC=30° ,∴∠ ABC=∠ACB=75° ,∴∠ ABD=∠ ACE=105° .∵∠ BAC=30°,∠ DAE=105° , ∴∠ DAB+∠ CAE=75° , 又∠ DAB+∠ ADB=∠ ABC=75° ,D∴∠ CAE=∠ ADB,B ∴△ ADB ∽△ EAC, ∴ABBD ,CEAC1 x1∴, ∴ y .y1x(2)因为∠ DAB+∠ CAE=,又∠ DAB+∠ ADB=∠ ABC=90,2且函数关系式成立 ,∴90 2 =, 整理得 90 .2 当90 时 ,函数分析式 y 1 2成立 .x例 3(2005 年·上海 )如图 3(1),在△ ABC 中 ,∠ ABC=90° ,AB=4,BC=3.点 O 是边 AC 上的一个动点 ,以点 O 为圆心作半圆 ,与边 AB 相切于点CD,交线段 OC 于点 E.作 EP ⊥ ED,交射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F.,(1)中 y 与 xAEC图 2FBPD AE O3(1)(1)求证 : △ADE ∽△ AEP.PB (2)设 OA= x ,AP= y ,求 y 对于 x 的函数分析式 ,并写出它的定义域.F(3)当 BF=1 时 ,求线段 AP 的长 . D解:(1)连结 OD.依据题意 ,得 OD ⊥ AB,∴∠ ODA=90° ,∠ODA=∠ DEP.CA又由 OD=OE,得∠ ODE=∠ OED.∴∠ ADE=∠ AEP, ∴△ ADE ∽△E O AEP.3(2)(2) ∵ ∠ ABC=90 ° ,AB=4,BC=3, ∴ AC=5. ∵ ∠ ABC=∠ADO=90° , ∴ OD ∥ BC, ∴ODx , ADx ,35 4 5∴ OD= 3x ,AD=4x . ∴ AE=x 3x= 8x . 55 5 5∵△ ADE ∽△ AEP, ∴AEAD ,8 x 4 x1625∴55 .∴ y x ( 0 x).APAEy8 x 585(3)当 BF=1 时，①若 EP 交线段 ∵∠ ADE=∠ AEP, ∴∠ F=∠ PDE, CB 的延伸线于点 F,如图 3(1)，则 CF=4.∴∠ PDE=∠ PEC. ∵∠ FBP=∠ DEP=90°, ∠FPB=∠ DPE, ∴∠ F=∠ FEC, ∴ CF=CE.∴ 5-8x =4,得 x 5 .可求得 y 2 ,即 AP=2.5 8②若 EP 交线段 CB 于点 F,如图 3(2), 则 CF=2. 近似① ,可得 CF=CE. ∴ 5-8x =2,得 x 15 .5 8可求得 y6 ,即 AP=6.综上所述 , 当 BF=1 时 ,线段 AP 的长为 2 或 6.本专题研究在图形的运动变化过程中，存在平行或相像的三角形，利用比例式来成立函数关系式 . 难一些的题目此中的一个变量是比率式，一个变量是线段，也是利用相像或平行来结构比率式，进而写出函数的分析式 . 作为最后的一道压轴题，一般状况下写出分析式后还会有一个证等腰或相像或相切的题目，能够二次函数专题中的解题思想进行办理.1 由平行获得比率式，进而成立函数关系式.例题：如图，在△ ABC 中， AB=AC=4,BC=1AB ，点 P 是边 AC 上的一个点， AP= 1 PD ，22∠APD=∠ ABC ，连结 DC 并延伸交边 AB 的延伸线于点 E（1）求证：AD证明：△ ADE∽△ GFA （2）设 DE=x， BG=y，求 y 对于 x 的函数分析式及定义域（3）当 BH= 1时，求 DE的长43在学习利用相像比成立函数的分析式的时候，初中阶段的知识已经学了许多，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了. 一般会在写分析式前有一些证明或计算，写好分析式后再来一个证明等腰三角形或圆的地点关系等. 假如能够把一道复杂的压轴题拆分红几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.例题：如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°， sinB= 4，AC=4； D 是 BC的延伸线上一个动点，5∠EDA=∠B， AE(1) 找出图中的相像三角形，并加以证明(2)设 CD=x， AE=y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域(3)当△ ADE 为等腰三角形时，求 AE 的长4方才研究的写函数分析式都是在几何图形中进行的，下边来看在平面直角坐标系中如何写分析式 .例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形 AOCD 中，AD AD23例题：如图，在平面直角坐标系中，OC55点 A 的坐标为（ 1， 0），点 B、 C 的坐标分别为（ -1， 0）， C（ 0， b），且 0＜ b＜ 3， m 是经过点 B、 C 的直线，当点 C 在线段 OC上挪动时，过点 A 作 AD⊥m 于点 D.(1) 求点 D、 O 之间的距离S△BDA(2) 假如=ɑ，试求：ɑ与 b 的函数关系式及ɑ的取值范围S△BOC(3)当∠ ADO 的余切值为 2 时，求直线 m 的分析式(4)求此时△ ABD 与△ BOC重叠部分的面积6当我们学习到利用相像三角形的相像比来成立函数分析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只需能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为 6 的正方形ABCD的双侧如图作正方形BEFG、正方形 DMNK ，恰巧使得N、 A、 F 三点在向来线上，连结MF 交线段 AD 于点 P，连结 NP，设正方形BEFG 的边长为x，正方形DMNK 的边长为y.（1）求y对于x的函数关系式及自变量x 的取值范围（2）当△ NPF的面积为32 时，求 x 的值（3）以P为圆心，AP为半径的圆能够与以G 为圆心， GF 为半径的圆相切，若能恳求x 的值，若不可以，请说明原因练习：1. 如图，在三角形中， AB=AC=8，BC=10，点 D 、E 分别在 BC 、 AC 上（点 D 不与 B 、 C 重合），且∠ ADE=∠ B ，设 BD=x ， AE=y.（ 1）求 y 与 x 之间的函数分析式，并写出函数的定义域（ 2）点 D 在 BC 上的运动过程中，△ ADE 能否有可能成为一个等腰三角形若有可能，请求出当△ ADE 为等腰三角形时 x 的值 ;如不行能，请说明原因.2.在△ ABC 中， AB=4， AC=5， cosA= 3，点 D 是边 AC 上的点，点 E 是边 AB 上的点，且5知足∠ AED=∠ A ， DE 的延伸线交射线 CB 于点 F ，设 AD=x ， EF=y.（ 1）如图 1，用含 x 的代数式表示线段 AE 的长（ 2）如图 1，求 y 对于 x 的函数分析式及函数的定义域（3）连结 EC ，如图 2，求档 x 为什么值时，△AEC 与△ BEF 相像 .3.如图，在矩形 ABCD 中， AB=m （ m 是大于 0 的常数），BC=8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B 、 C 重合） .连结 DE ，作 EF ⊥ DE ， EF 与射线 BA 交于点 F ，设 CE=x ， BF=y.(1) 求 y 对于 x 的函数关系式(2) 若 m=8，求 x 为什么值时， y 的值最大，最大值是多少(3) 若 y=12，要使△ DEF 为等腰三角形， m 的值应为多少m（1）已知在梯形 ABCD中， AD 如图， P 为 BC上的一点，且 BP=2. 求证：△ BEP∽△ CPD；（2）假如点 P 在 BC 边上挪动（点 P 与点 B、C 不重合），且知足∠ EPF=∠C， PF 交直线CD 与点 F，同时交直线 AD 于点 M ，那么（3）当点 F 在线段 CD 的延伸线上时，设 BP=x， DF=y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；（4）当△DMF= 9 △ BEP时，求BP的长.S 4 S（1）如图，在四边形 ABCD中，∠ B=90°，AD 求 y 对于 x 的函数分析式，并写出定义域；（2）当 AD=11 时，求 AG 的长；（3）假如半径为EG 的⊙ E 与半径为FD 的⊙ F 相切，求这两个圆的半径.4. 如图，在半径为 5 的⊙ O 中，点A、 B 在⊙ O 上，∠ AOB=90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点， AC与 OB 的延伸线订交于点D，设 AC=x， BD=y.(1) 求 y 对于 x 的函数分析式，并写出它的定义域；(2) 若⊙ O 与⊙ O 订交于点 A、 C，且⊙ O 与⊙ O 的圆心距为2，当 BD= OB 时，求⊙ O1 1 1 13 的半径；(3)能否存在点 C，使得△ DCB∽△ DOC 假如存在，请证明；假如不存在，请简要说明原因 .（ 1）已知∠ ABC=90°， AB=2，BC=3， ADPQ AD当 AD= 3，且点 Q 在线段 AB 上时，PC AB 2设点 B 、 Q 之间的距离为 x ，S △APQ=y ，此中 S △APQ 表示△ APQ 的面积， S △PBC 表示S △PBC△PBC 的面积，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数定义域；（ 2）当 AD ＜ AB ，且点 Q 在线段 AB 的延伸线上时（如图 3 所示），求∠ QPC 的大小（. 2009上海第 25 题）三、应用求图形面积的方法成立函数关系式例 4（ 2004 年·上海）如图 ,在△ ABC 中 ,∠BAC=90° ,AB=AC=2 2 ,⊙ A 的半径为 1.若点O 在 BC 边上运动 (与点 B 、 C 不重合 ),设 BO= x ,△ AOC 的面积为y .(1)求 y 对于 x 的函数分析式 ,并写出函数的定义域 .A(2)以点 O 为圆心 ,BO 长为半径作圆 O,求当⊙ O 与⊙ A 相切时 , △AOC 的面积 .解:(1)过点 A 作 AH ⊥ BC,垂足为 H.∵∠ BAC=90°,AB=AC=2 2 , ∴BC=4,AH= 1 BC=2. ∴ OC=4- x .1OC AH ,2B OH C∵SAOC∴ yx4 ( 0 x4 ).图 82(2)①当⊙ O 与⊙ A 外切时 ,7在 Rt △AOH 中 ,OA= x 1,OH= 2x ,∴(x 1)2 22 (2 x)2 . 解得 x.67 17此时 ,△AOC 的面积y = 4 .6 6②当⊙ O 与⊙ A内切时 ,在 Rt△AOH 中 ,OA= x 1,OH= x 2 ,∴(x 1)2 22 (x 2) 2 . 解得 x 7 .7 1 2此时 ,△AOC 的面积y = 4 .2 2综上所述 ,当⊙ O 与⊙ A 相切时 ,△ AOC的面积为17或1.6 2例 2、【 09 广东】正方形 ABCD边长为 4， M 、N 分别是 BC、 CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直．（1）证明： Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么地点时 Rt△ABM∽Rt△AMN ，求此时 x 的值练习 1.如图，在△ ABC 中， BC=8， CA=AB、 AC、BC 上（点 E 与点 A、 B 不重合），连结求出 y 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量，∠ C=60°， EF∥ BC，点 E、F、 DED、 DF。

初中数学动点问题专题讲解

例1(2０00年·上海)如图1，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为Ｇ．(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度．(２)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围）．(３）如果△P ＧH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长．解：(１)当点Ｐ在弧A Ｂ上运动时,ＯP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是ＧH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Ｒt △MPH 中,.∴y =GP=32M Ｐ＝233631x + （０<x <６). (3）△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP ＝P Ｈ时，x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根，且符合题意. ②G Ｐ=G Ｈ时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时，2=x .综上所述，如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2(2００6年·山东）如图2,在△ＡBC 中,ＡB=ＡC ＝1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y ． (１)如果∠B ＡC ＝３0°,∠DAE ＝1０５°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠B ＡC 的度数为α，∠DA Ｅ的度数为β，当α,β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由．解:(1）在△ABC 中,∵A Ｂ＝A Ｃ,∠B ＡＣ＝３0°,∴∠A ＢC ＝∠A ＣB ＝7５°, ∴∠ＡB Ｄ＝∠ＡC Ｅ=105°. ∵∠BAC=3０°,∠D ＡE ＝105°, ∴∠DAB ＋∠CAE ＝７5°, 又∠ＤA Ｂ＋∠ADB=∠ＡBC=７５°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△AD Ｂ∽△E ＡC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+= AED CB 图2HM NGPOAB图1x y（２)由于∠ＤAB ＋∠C ＡＥ=αβ-，又∠DAB+∠ADB ＝∠ＡＢC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-，整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时，函数解析式xy 1=成立.例3(２00５年·上海)如图3(1),在△AB Ｃ中,∠ABC=９0°，AB=4,BＣ=3．点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边ＡB 相切于点Ｄ,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F ．（1)求证: △ＡDE ∽△ＡEP.（2)设OA=x ，ＡP=y ，求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域．(３)当B Ｆ＝１时，求线段AP 的长.解：（1)连结OD. 根据题意,得O Ｄ⊥ＡB ，∴∠OD Ａ＝９０°,∠OD Ａ=∠DE Ｐ．又由OD=OE,得∠OD Ｅ=∠ＯＥＤ．∴∠ADE=∠A ＥＰ， ∴△ＡDE ∽△AEP.（２)∵∠ＡBC=90°,AB=4，ＢC=3, ∴AC ＝5. ∵∠ABC ＝∠A ＤO ＝90°, ∴O Ｄ∥ＢC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,A Ｄ=x 54． ∴A Ｅ=x x 53+=x 58． ∵△ＡDE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =， ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= （8250≤<x ）. (3)当BF ＝1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1），则CF=4.∵∠ＡDE=∠ＡＥP, ∴∠PDE=∠ＰE Ｃ. ∵∠ＦBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE ， ∴∠F=∠ＰDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=ＣE. ∴5-x 58=４,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段C Ｂ于点F,如图3（2), 则ＣF ＝2. 类似①,可得CF ＝ＣE ． ∴5-x 58＝2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF ＝1时,线段A Ｐ的长为2或6．三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(200４年·上海)如图,在△ＡBC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22，⊙Ａ的半径为1.若点Ｏ在BC 边A 3(2)3(1)上运动（与点Ｂ、C 不重合),设BO=x ,△A ＯC 的面积为y ．(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域． (２)以点Ｏ为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AO Ｃ的面积.解：(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°，AB ＝A Ｃ=22, ∴BC ＝４，AH=21BC ＝2. ∴OC=4-x ． ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y （40<<x ). （２)①当⊙O 与⊙A 外切时，在R ｔ△AOH 中,OA ＝1+x ,O Ｈ=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y ＝617674=-． ②当⊙Ｏ与⊙A 内切时,在Ｒt △A ＯH 中,OA=1-x ，O Ｈ=2-x ， ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时，△A ＯC 的面积y =21274=-．综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

动点问题中建立函数解析式的若干思路分析

例１（２０１０荆州）如图１，直角梯形ＯＡＢＣ的直角
顶点０是坐标原点，边ＯＡ，ＯＣ分别在轴、Ｙ轴的正半轴上，ＯＡ／／四Ｇ，Ｄ是ｃ上一点，ＢＤ＝— １ＯＡ＝，ＡＢ＝
斗
３，ＡＤ／／ＢＣ，尸为线段ＢＤ上的动点，点Ｑ在射线ＡＢ上，
动点问题中建立函数解析式的若干思路分析
… ．
煎点．山 ‘ 壹蔓土＝＝：＿中鲎… 盎曼华
由图形中的一个或多个动点沿射线、线段或弧线运
动，引起未知量与已知量间的一种变化关系，就是动点问题中的函数关，系．这种函数关系是近年中考命题的热
‘ ．
’
ＡＢＣ＝９０。．．．．ＰＢＣ＝４５。
・．
‘
＝
，
ＡＤ＝ＡＢ，点Ｑ与点重合，
的取值范围；
。
．
．
ＰＢ＝Ｐｑ＝ＰＣ．
解（１） ‘ ． ’ 正方形ＯＡＢＣ的边长为２ｃｍ，点Ａ、ｃ分别
‘
．
（２）连结ＯＤ，如图１，
◆鍪套０１３．７＿８．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．．
（２）在图３ — １中，连结ＡＰ．ＡＤ＝寻，且点Ｑ在线
。◆ 。◆ －．－．－．一●
ＤＢＣ：ＡＢＤ．
向点Ｃ运动，同时点Ｑ由点曰出发，沿ＢＣ边以１ｅｍ／ｓ

中考动点问题经典题型归类总结附答案

专题十动点型问题考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

（一）点动问题．例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t 的函数表达式，继而可得出函数图象．解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，①点P 在AD 上运动：对应训练2．（2013•北京）如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．A（二）线动问题例3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．对应训练3．（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A．B．C．D．3．A（三）面动问题例4 （2013•牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A符合；故选A．对应训练4．（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A．B．C．D．4．A究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．（4）△QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．解：（1）∵C （7，4），AB ∥CD ，∴D （0，4）．∵sin ∠DAB=22， ∴∠DAB=45°，∴OA=OD=4，∴A （-4，0）．设直线l 的解析式为：y=kx+b ，则有4-40b k b =⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=4，∴y=x+4．∴点A 坐标为（-4，0），直线l 的解析式为：y=x+4．（2）在点P 、Q 运动的过程中：①当0＜t≤1时，如答图1所示：过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，则BE=BQ•cos ∠CBF=5t•35=3t ． ∴PE=PB -BE=（14-2t ）-3t=14-5t ，S=12PM•PE=12×2t×（14-5t ）=-5t 2+14t ； ②当1＜t≤2时，如答图2所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=12PM•PE=12×2t×（16-7t）=-7t2+16t；③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如答图3所示：MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，S=12PM•MQ=12×4×（16-7t）=-14t+32．（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-75）2+495，∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-87）2+647，∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647；③当2＜t＜167时，S=-14t+32∵k=-14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：①如答图4所示，点M在线段CD上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=209；②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．故当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．对应训练5．（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A 运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q 两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．5．解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ=12AB•QE=12BQ×12，4当0＜t≤1时，如图③．∵S △BPM =S △BQM ，∴PM=QM ．∵AB ∥QR ，∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中PBM QRMBPM MQR PM QM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤83时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．34∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或83时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，解得：t=7或t=95 13．当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50-5t+13=8（t-1）-50，解得：t=121 13．∴当t=7，t=9513，t=12113时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．中考真题演练一、选择题1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.51．D2．（2013•安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大D．当y增大时，BE•DF的值不变2．D3．（2013•盘锦）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．3．B4．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．B5．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．516、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A、①②③B、①④⑤（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．解：（1）∵A（8，0），B（0，6），8．（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7．解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O如图，过O 点作OK ⊥MN 于K ，∴∠MON=2∠NOK ，MN=2NK ，在Rt △ONK 中，sin ∠NOK=2NK NK ON =， ∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∴∠MON 随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小，①当N ，M ，A 分别与D ，B ，O 重合时，MN 最大，MN=BD ，∠MON=∠BOD=90°，S 扇形MON 最大=π（cm 2），②当MN=DC=2时，MN 最小，∴ON=MN=OM ，∴∠NOM=60°，S 扇形MON 最小=23π（cm 2）， ∴23π≤S 扇形MON ≤π．故答案为：30°．9．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6．在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=33，DE=AD•sin30°=3，∴△AED的周长为：6+33+3=9+33．（2）在△AED向右平移的过程中：（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．∵AA 0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=2223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t tS t t tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩．（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB=QP时（如答图4），则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，即∠BCB1=30°，∴α=30°；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，即∠BCB1=75°，∴α=75°．10．（2013•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式．11．解：（1）当点P 运动到点F 时，∵F 为AC 的中点，AC=6cm ，∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ，∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm -3cm=5cm ，故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t -3=8，t=112， BQ 的长度为112×1=112（cm ）；（3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，∴DE=12AC=12×6=3， DF=12BC=12×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°，∵∠QBM=∠CBA ，∴△MBQ ∽△ABC ，∴BQ MQ BC AC=， ∴86x MQ =，MQ=34x，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD=34x（7-x）即y=-34x2+214x；②当4≤x＜112时，重叠部分为矩形，如图3，y=3[（8-X）-（X-3））]即y=-6x+33；③当112≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x）]即y=6x-33．213．解：（1）如图，2如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线∴ME ⊥CE ，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD 与△MED 中COA DEMODC MD EOC ME∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△MED （AAS ），∴OD=DE ，DC=DM设OD=x 则CD=DM=OM -OD=4-x 则RT △COD 中，OD 2+OC 2=CD 2， ∴x 2+22=（4-x ）2∴x=32，∴D （32，0）设直线CE 的解析式为y=kx+b ∵直线CE 过C （0，2），D （32，0）两点，则3022k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：432k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。

初中数学动点问题专题讲解

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

动点问题

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）
（一）点动问题．例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且 AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）
A
B
C
D
思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点 P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象． ①点P在AD上运动：过点P作PM⊥AB于点M，则 PM=APsin∠A=t，此时y=EF×PM=t，为一次函数； ②点P在DC上运动， y=EF×DE=30；
例5 （2013•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形， AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且 sin∠DAB=．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P 作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．（1）点A的坐标为直线l的解析式为（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l 相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

中考数学动点问题专题讲解(22页)

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

九年级中考专题01 动点与分段函数解析式题型讲义(教师版)

动点与分段函数解析式一、典例解析例1.【2020·辽宁本溪】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A. 【解析】解：当点P 在AD 上运动时，0≤x ≤2时，y=PE ·CE=2x ·（2x ）=2x －12x 2，当点P 在DC 上运动时，2<x ≤4时，S= PE ·4-x ）（4-x ）=12（x -4）2，结合函数解析式判断选项A 符合要求. 故答案为：A.例2. 【2020·山东淄博】如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（）A．12B．24C．36D．48【答案】D.【解析】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC=√BC2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12＝48，故答案为：D．例3. 【2020·辽阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，CD⊥AB于点D．点P从点A 出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P 运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，∴AB＝4，∠A＝45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD＝BD＝2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故答案为：A．例4. 【2020·上海】小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图中的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行15 分钟时，到学校还需步行米.【答案】350.【解析】解：由题意知：线段AB 的解析式为：S=70t+400（8≤t≤20）当t=15时，S=1450，还需要步行1800-1450=350米.故答案为：350.例5. 【2020·重庆A 卷】A ，B 两地相距240 km ，甲货车从A 地以40km/h 的速度匀速前往B 地，到达B 地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B 地沿同一公路匀速前往A 地，到达A 地后停止，两车之间的路程y （km ）与甲货车出发时间x （h ）之间的函数关系如图中的折线CD DE EF --所示.其中点C 的坐标是()0240，，点D 的坐标是()2.40，，则点E 的坐标是．【答案】（4,160）.【解析】解：由题意知，乙车的速度为：240÷2.4-40=60 km/h ，乙车从B 到A 需要的时间为：240÷60= 4 h ，当乙车到达A 地时，甲车行驶的路程为：40×4=160 km ，点E 坐标为（4,160）故答案为（4,160）.例6.【2020·北京】有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm ，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B.【解析】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：h＝0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故答案为：B．二、刻意练习1.【2020·湖北恩施州】甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（）A．甲车的平均速度为60km/h B．乙车的平均速度为100km/hC．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h【答案】D.【解析】解：由图象知：A．甲车的平均速度为30010−5=60km/h，故A选项不合题意；B．乙车的平均速度为3009−6=100km/h，故B选项不合题意；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故答案为：D ．2.【2020·湖北武汉】一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min 到第24min 内既进水又出水，从第24min 开始只出水不进水，容器内水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示，则图中a 的值是（）A ．32B ．34C ．36D ．38【答案】C. 【解析】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L /min ），出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L /min ），第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L ），a ＝24+45÷3.75＝36．故答案为：C ．3.【2020·江苏连云港】快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④快车先到达目的地．其中正确的是A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】B.【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：，()y km ()x h 0.5h 20/km h 340a =()3602180(/)km h ÷=相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车距离为，故①结论错误；慢车的速度为：，则快车的速度为，所以快车速度比慢车速度多；故②结论正确；，所以图中，故③结论正确；，，所以慢车先到达目的地，故④结论错误．所以正确的是②③．故答案为：B ．4.【2020·重庆B 】周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A 地出发前往B 地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的85继续骑行，经过一段时间，甲先到达B 地，乙一直保持原速前往B 地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y （单位：米）与乙骑行的时间x （单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚分钟到达B 地．【答案】12.【解析】解：由题意乙的速度为1500÷5＝300（米/分），设甲的速度为x 米/分．则有：7500﹣20x ＝2500，解得x ＝250，25分钟后甲的速度为250×85=400（米/分）．由题意总里程＝250×20+61×400＝29400（米），86分钟乙的路程为86×300＝25800（米），∴29400−25800300=12（分钟）．故答案为：12．0.5h 1.6h 88km 88(3.6 2.5)80(/)km h ÷-=100/km h 20/km h 88180(5 3.6)340()km +⨯-=340a =(360280)80 2.5()h -⨯÷=5 2.5 2.5()h -=5.【2020·浙江台州】如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v（m/s）与运动时间t（s）的函数图象如图2，则该小球的运动路程y（m）与运动时间t 之间的函数图象大致是（）图1 图2A B C D【答案】C.【解析】解：由图2知，小球的是先匀加速再匀减速运动，选项C符合题意.6.【2020·贵州铜仁】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：由题意，当0≤x ≤4时，y =12×AD ×AB =12×3×4＝6，当4＜x ＜7时，y =12×PD ×AD =12×（7﹣x ）×4＝14﹣2x ．故答案为：D ．7.【2020·安徽】如图，△ABC 和△DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ，EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将△ABC 沿着直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动. 在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（）【答案】A.【解析】解：当0≤x ≤2时，重叠部分为边长为x 的等边三角形，y=2 当2<x ≤4时，重叠部分为边长为（4-x ）的等边三角形，y=)24x - 故答案为：A.8.【2020·甘肃金昌】如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（）A．4√2B．4C．3√3D．2√2【答案】A.【解析】解：如图，连接AE．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，∵AE＝2√5，∴x2+（2x）2＝（2√5）2，解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），∴OA＝OD＝4，∴AB＝AD＝4√2，故答案为：A．9.【2020·黑龙江大兴安岭】李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：因为登山过程可知：先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．所以在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是B．故答案为：B．10.【2020·湖北黄冈】2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：根据题意：时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故答案为：D．11.【2020·湖北随州】小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】解：①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；②停留一段时间时，离家的距离不变，③乘车返回时，离家的距离减小至零，纵观各选项，只有B选项符合．故答案为：B．12.【2020·湖北孝感】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：①当点P在AB上运动时，y=12AH×PH=12×AP sin A×AP cos A=12×x2×√34=√38x2，图象为二次函数；②当点P在BC上运动时，如下图，由①知，BH′＝AB sin A＝4×12=2，同理AH′＝2√3，则y=12×AH×PH=12（2√3+x﹣4）×2＝2√3−4+x，为一次函数；③当点P在CD上运动时，同理可得：y=12×（2√3+6）×（4+6+2﹣x）＝（3+√3）（12﹣x），为一次函数；故答案为：D．13.【2020·湖南衡阳】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD在第一象限，且BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．那么四边形ABCD的面积为（）A．3B．3√2C．6D．6√2【答案】B.【解析】解：过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，AE ＝6﹣4＝2，DE ＝7﹣6＝1，BE ＝2，∴AB ＝2+1＝3，∵直线BE 平行直线y ＝x ，∴BM ＝EM =√2， ∴平行四边形ABCD 的面积是：AD •BM ＝3×√2=3√2．故答案为：B ．14.【2020·内蒙古通辽】如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB 的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为．【答案】7.【解析】解：将△ABC 沿BC 折叠得到△A ′BC ，则四边形ABA ′C 为菱形，菱形的对角线交于点O ，由图②知，当点P 与点B 重合时，y ＝P A +PE ＝AB +BE ＝AB +12AB ＝3√3，解得：AB ＝2√3，即：菱形的边长为2√3，则该菱形的高为√32AB ＝3，点A 关于BC 的对称点为点A ′，连接A ′E 交BC 于点P ，此时y 最小，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，则∠BAA ′＝60°，故AA ′B 为等边三角形，∵E 是AB 的中点，故A ′E ⊥AB ，而AB ∥A ′C ，故∠P A ′C 为直角，A ′C ＝AB ＝2√3，则PC =A′C cos∠BCA′=√3√32=4，此时b ＝PC ，a ＝A ′E ＝3（菱形的高），则a +b ＝3+4＝7．故答案为7．15.【2020·青海】将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】B. 【解析】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A 、D 一定错误；用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h 不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h 随t 的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h 不再变化．故答案为：B ．16.【2020·四川攀枝花】甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（）()s km ()t hA ．两人出发1小时后相遇B ．赵明阳跑步的速度为C ．王浩月到达目的地时两人相距D ．王浩月比赵明阳提前到目的地【答案】C.【解析】解：由图象可知，两人出发1小时后相遇，故答案为项A 正确；赵明阳跑步的速度为，故答案为项B 正确；王皓月的速度为：，王皓月从开始到到达目的地用的时间为：，故王浩月到达目的地时两人相距，故答案为项C 错误；王浩月比赵明阳提前到目的地，故答案为项D 正确；故答案为：C ．8/km h 10km 1.5h 2438(/)km h ÷=241816(/)km h ÷-=2416 1.5()h ÷=8 1.512()km ⨯=3 1.5 1.5h -=。

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所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴N GP B x y2362121xOH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.本专题的主要特征是两个点在运动的过程中，直接或间接地构造了直角三角线，因此可以利用勾股定理去建立函数关系式. 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数解析式的过程中，主要是找边的等量关系，要善于发现这种内在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的. 由于是压轴题，有的先有铺垫，再写解析式；有的写好解析式后，再证明等腰三角形、相似三角形等，还有的再解一些与圆有关的体型. 要认真领会，达到举一反三的目的.1 牢记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.例题，扇形中∠AOB=45°，半径OB=2，矩形PQRS 的顶点P 、S 在半径OA 上，Q 在半径OB 上，R 在弧AB 上，连结OR.（1）当∠AOR=30°时，求OP 长（2）设OP=x ，OS=y ，求y 与x 的函数关系式及定义域2 在四边形的翻折与旋转中，往往会应用到勾股定理，由此产生些函数解析式的问题，要熟练掌握.例题：如图，正方形ABCD 中，AB=6，有一块含45°角的三角板，把45°角的顶点放在D 点，将三角板绕着点D 旋转，使这个45°角的两边与线段AB 、BC 分别相交于点E 、F （点2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=E与点A、B不重合）（1）从几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论（2）设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3）试问△BEF的面积能否为8？如果能，请求出EF的长；如果不能，请说明理由.3 在一些特殊的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线互相垂直，这些都有可能构造直角三角形，可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.例题：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y（1）求证：三角形APQ是等边三角形（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3）如果PD⊥AQ，求BP的值4 作底边上的高，可以构造直角三角形，利用勾股定理写函数的解析式例题：如图，等边△ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与△ABC 的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E.（1）如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（2）当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时，求AP的长（3）点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置，请说明理由.5 在解圆的题目时，首选的辅助线是弦心距，它不仅可以运用垂径定理，而且构造了直角三角形，为用勾股定理写函数解析式创造了条件.例题：如图，⊙A和⊙B是外离的两圆，两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F，点P 是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D，已知⊙A 的半径为2，⊙B的半径为1，AB=5.（1）如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（2）如果PC=PD，求PB的长（3）如果PC=2PD，判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论6 强调圆的首选辅助线是弦心距，它不仅可以平分弦，而且构造了直角三角形，为解题创建新思路.例题：如图，在△ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长. 当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP=x，MN=y.(1)求⊙P的半径(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域(3)当AP=65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由阶梯题组训练1 如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y.（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；（2）求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由.2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点.（1）求证：CM=EM;（2）如果BC=3设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化.3 ABCD中，对角线AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，AP⊥PM(点M与点B分别在直线AP的两侧)，且∠PAM=∠CAD，连结MD.(1)当点M在 ABCD内时，如图，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；(2)请在备用图中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD相似的三角形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；(3)当△为等腰三角形时，求BP的长.4 抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，3316）.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，把△APB翻折，使点Pl落在线段AB上（不与A、B重合），记作P′，折痕为EF，设AP′=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使△EFP′的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P′的坐标；若不能，请你说明理由.5 如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC（包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP=x，AG=y.（1）四边形AFPG是说明图形？请说明理由；（2）求y与x的函数关系式；（3）如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值.6 在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=4，AD=5，CD=5. E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画⊙E交直线DE于点F.（1）如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时，求x的值；（3）连结AF、BF，当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值.7 如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交DC于点F，G为切点.（1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的解析式；（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图2，当EF=65时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（2003年上海第27题）二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=,x CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式；(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y与x之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,AEDCB图2∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =, ∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP. (2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD. 根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.A 3(2)3(1)综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.本专题探究在图形的运动变化过程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式，一个变量是线段，也是利用相似或平行来构造比例式，从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题，一般情况下写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目，可以二次函数专题中的解题思想进行处理.1 由平行得到比例式，从而建立函数关系式.例题：如图，在△ABC 中，AB=AC=4,BC=21AB ，点P 是边AC 上的一个点，AP=21PD ，∠APD=∠ABC ，连结DC 并延长交边AB 的延长线于点E（1）求证：AD//BC（2）设AP=x ，BE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域（3）连结BP ，当△CDP 与△CBE 相似时，试判断BP 与DE 的位置关系，并说明理由2 由三角形相似得到比例式，建立函数关系式例题：如图，在正方形ABCD 中，AB=2，E 为线段CD 上一点（点E 与点C 、D 不重合），FG 垂直平分AE ，且交AE 于F ，交AB 延长线于G ，交BC 于H.（1）证明：△ADE ∽△GFA（2）设DE=x ，BG=y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域（3）当BH=41时，求DE 的长3 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候，初中阶段的知识已经学了不少，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了. 一般会在写解析式前有一些证明或计算，写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.例题：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=54，AC=4；D 是BC 的延长线上一个动点，∠EDA=∠B ，AE//BC.(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明(2) 设CD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(3) 当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的，下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式. 例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形AOCD 中，AD//x 轴，AO=CD=5，OC AD =52，cos ａ=53，P 是线段OC 上的一个动点，∠APQ=∠ａ,PQ 交射线AD 于点Q ，设P 点坐标为（x ，0），点Q 到D 的距离为y（1）求过A 、O 、C 三点的抛物线解析式（2）用含x 的代数式表示AP 的长（3）求y 与x 的函数解析式及定义域（4） △CPQ 与△AOP 能否相似？若能，请求出x 的值，若不能，请说明理由5 当一个变量是比例式，另一个变量是一条线段，怎样来写函数的解析式呢？可以根据题目的要求，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 、C 的坐标分别为（-1，0），C （0，b ），且0＜b ＜3，m 是经过点B 、C 的直线，当点C 在线段OC 上移动时，过点A 作AD ⊥m 于点D.(1) 求点D 、O 之间的距离(2) 如果BOCBDA S △△S =ɑ，试求：ɑ与b 的函数关系式及ɑ的取值范围 (3) 当∠ADO 的余切值为2时，求直线m 的解析式(4) 求此时△ABD 与△BOC 重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复杂的图形，只要能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连结MF 交线段AD 于点P ，连结NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y.（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围（2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值（3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能够与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切，若能请求x的值，若不能，请说明理由练习：1. 如图，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，点D 、E 分别在BC 、AC 上（点D 不与B 、C 重合），且∠ADE=∠B ，设BD=x ，AE=y.（1）求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域（2）点D 在BC 上的运动过程中，△ADE 是否有可能成为一个等腰三角形？如有可能，请求出当△ADE 为等腰三角形时x 的值;如不可能，请说明理由.2. 在△ABC 中，AB=4，AC=5，cosA=53，点D 是边AC 上的点，点E 是边AB 上的点，且满足∠AED=∠A ，DE 的延长线交射线CB 于点F ，设AD=x ，EF=y.（1）如图1，用含x 的代数式表示线段AE 的长（2）如图1，求y 关于x 的函数解析式及函数的定义域（3）连结EC ，如图2，求档x 为何值时，△AEC 与△BEF 相似.3. 如图，在矩形ABCD 中，AB=m （m 是大于0的常数），BC=8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）.连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE=x ，BF=y.(1) 求y 关于x 的函数关系式(2) 若m=8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？(3) 若y=m12，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？4. 已知在梯形ABCD 中，AD//BA ，AD ＜BC ，且BC=6，AB=DC=4，点E 是AB 的中点.（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP=2. 求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF=∠C ，PF 交直线CD与点F ，同时交直线AD 于点M ，那么（3）当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP=x ，DF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（4）当S △DMF =49S △BEP 时，求BP 的长.5. 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AB=4，BC=12，点E 在边BA 的延长线上，AE=2，点F 在BC 边上，EF 与边AD 相交于点G ，DF ⊥EF ，设AG=x ，DF=y.（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当AD=11时，求AG 的长；（3）如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切，求这两个圆的半径.6. 如图，在半径为5的⊙O 中，点A 、B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点D ，设AC=x ，BD=y.(1) 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 若⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=31OB 时，求⊙O 1的半径；(3) 是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.7. 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD//BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PC PQ =ABAD (如图1所示)（1）当AD=2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2）在图1中，连结AP. 当AD=23，且点Q 在线段AB上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，PBCAPQ S S △△=y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.（2009上海第25题）三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,A B CO 图8 H在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.例2、【09广东】正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直．（1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ；（2）设BM =x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ，求此时x 的值练习1.如图，在△ABC 中，BC=8，CA= ，∠C=60°，EF ∥BC ，点E 、F 、D 分别在AB 、AC 、BC 上（点E 与点A 、B 不重合），连接ED 、DF 。

中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)