因式分解培优题
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练29 分组分解法因式分解
专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组） ()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值．9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有+++am an bm bn()()=+++am an bm bn()()a m nb m n=+++()()=++．m n a b这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()2-+-1ab ac bc b()()=（请你完成分解因式下面的过程）---a b c b b c=______()2-+-；2m mn mx nx()222--+．x y x y y3248专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？ ①222x xy -22xy y ++)(24y x +-)20y =，(②2512x xy -2412x xy -()23x y -(23x y ∴-23x y ∴=83y ∴=-，2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．【答案】(1)(2)(2)a b a b +---(2)(7)(1)x x -+(3)等腰三角形，理由见解析【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）把-6x 拆成-7x +x ，再用分组分解法进行解答；（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a 、b 、c 之间的关系便可．【解答】（1）2244a a b --+=a 2-4a +4-b 2=（a -2）2-b 2=（a +b -2）（a -b -2）；（2）267x x --=x 2-7x +x -7=x （x -7）+（x -7）=（x -7）（x +1）（3）∵a 2-ab -ac +bc =0，∴a （a -b ）-c （a -b ）=0，∴（a -b ）（a -c ）=0，∴a -b =0或a -c =0，∴a =b 或a =c ，∴△ABC 是等腰三角形．【点评】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．【答案】见解析【分析】仿照例题，利用分组分解法因式分解，然后利用公式法和提公因式法因式分解即可求解．【解答】解：2233x x y y +-+()()2233x y x y =-++ ()()()3x y x y x y =+-++()()3x y x y =+-+【点评】本题考查了因式分解，理解例题中的分组分解法是解题的关键．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+． 【答案】(1)()()3535a b a b ---+(2)()()222x y x y -+-【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；（2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可．（1）解：226925a ab b -+-，()22=6925a ab b -+-，()22=35a b --， ()()3535=a b a b ---+；（2）解：22424x y x y --+，()()22=42-4x y x y --，()()()=2+22-2x y x y x y --，()()222=x y x y -+-．【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值． 【答案】(1)①(x +y )(x -y +1)；②(a -1)(b -1)(2)12或18【分析】（1）模仿例题，利用分组分解法进行因式分解即可；（2）利用（1）题结论进行讨论，即可求解．(1)解：①原式=(x +y )(x -y )+ (x +y )=(x +y )(x -y +1)；②原式=a (b -1)- (b -1)=(a -1)(b -1)；(2)解：由（1）②可知，(a -1)(b -1)=7，∵a ，b 都是正整数，∴a -1，b -1都是整数，∴1117a b -=⎧⎨-=⎩或1711a b -=⎧⎨-=⎩， 解得28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩， 当a =2，b =8时，2a +b =2×2+8=12；当a =8，b =2时，2a +b =2×8+2=18；∴2a +b 的值为12或18．【点评】此题考查了因式分解以及利用因式分解求代数式的值的能力，关键是正确地对整式进行因式分解．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组）()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-． 【答案】（1）2(2)(2)m m -+；（2）(3)(3)x y x y -+--【分析】（1）先分组因式分解，再提公因式即可求解；（2）先分组因式分解，再利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）原式22(2)4(2)(2)(2)m m m m m =---=-+；（2）原式2()9(3)(3)x y x y x y =--=-+--．【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据题中的方法进行灵活运用进行因式分解．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值． 【答案】[尝试应用] ①()()45x y ++；②()()98a b -+；③()()x b a y ++；[拓展提高] x =1，y =-1【分析】[尝试应用] ①②③利用分组分解法解答即可；[拓展提高]原方程变形为：（2x -3）（3y +2）=1，根据题意有2x -3=1，3y +2=1，或2x -3=-1，3y +2=-1，即可求出方程的整数解．【解答】解：[尝试应用]①5420xy x y +++=()()545x y y +++=()()45x y ++；9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()2x y a b c --+；（3）()()1m a b m -+；（4）()()211a a +-；（5）()()1a b a b --+；（6）()()33x y z x y z -+--【分析】利用分组分解法运算即可．【解答】解：（1）2a ab ac bc -+-=()()a a b c a b -+-=()()a c a b +-；（2）222ax by cx ay bx cy ++---=222ax bx cx by ay cy -++--=()()2a b c x y a b c -+--+=()()2x y a b c --+；（3）22am am bm bm +--=22am bm am bm -+-=()()2a b m a b m -+- =()()1m a b m -+；（4）321a a a --+=()()321a a a ---=()()2211a a a ---=()()211a a +-；（5）222a ab b a b -++-=()()2a b a b -+-=()()1a b a b --+；（6）22296x z y xy -+-=22296x xy y z -+-=()223x y z --=()()33x y z x y z -+--【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 【答案】（1）()()22a b c a b +-+；（2）()()1x x a b c +++；（3）()()x a b y x a b y ---++--；（4）()2221x y x y -++ 【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）22442a ab b ac bc ++--=()()222a b c a b +-+=()()22a b c a b +-+；（2）222ax bx bx ax cx cx +++++=()()222ax bx cx ax bx cx +++++ =()()2a b c x a b c x +++++=()()1x x a b c +++；（3）222222a b x y ay bx --+-+=()222222a ay y b x bx -+-+-=()()22a yb x ---=()()()()a y b x a y b x -+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()x a b y x a b y ---++--；（4）()()()222241211y x y x y +--+- =()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y ⎡⎤+--⎣⎦ =()2221x y x y -++ 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．【答案】（1）ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①()()1-+b c a ；②()()3232-+--a c b a c b【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；【解答】解：（1）ax ay bx by --+=(ax ay -)-(bx by -)=()a x y --()-b x y = (x y -)(a b -)；22x y x y -+-=(22x y -)+(x y -)=()()x y x y -+ +(x y -)=()()1-++x y x y故答案为：ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①ab ac b c -+-=()()-+-a b c b c=()()1-+b c a②222496b a ac c -+-+=()222496-+-+b a ac c =()2234--a c b=()()3232-+--a c b a c b【点评】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.【答案】（1）（x －y ）（m ＋n ）；（2）（a ＋2b ）（2-3m ）【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；(2)分组后提取公因式即可得到结果．【解答】解：(1)解法一：原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)解法二：原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)(2)解法一：原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)解法二：原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)【点评】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有am an bm bn +++()()am an bm bn =+++()()a m n b m n =+++()()m n a b =++．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()21ab ac bc b -+-()()a b c b b c ---=（请你完成分解因式下面的过程）=______()22m mn mx nx -+-；()2223248x y x y y --+． 【答案】(1)()()a b b c --；(2) （m +x ）（m -n ）；(3) （y -2）（x 2y -4）．【分析】如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．【解答】解：（1）ab -ac +bc -b 2=a （b -c ）-b （b -c ）=（a -b ）（b -c ）；故答案为（a-b）（b-c）．（2）m2-mn+mx-nx=m（m-n）+x（m-n）=（m+x）（m-n）；（3）x2y2-2x2y-4y+8=x2y（y-2）-4（y-2）=（y-2）（x2y-4）．【点评】考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式．。
人教版八年级数学上册14.3因式分解 (培优) 专练(含答案解析)
人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 75 ．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ 2020 ．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。
苏科版九年级数学上册 因式分解法解一元二次方程- 培优训练【含答案】
2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )
A．(x＋1)(x－3)＝2
B．2(x－2)2＝x2－4
C．x2＋3x－1＝0
D．5(2－x)2＝3
[解析] A，C，D 项不适合用分解因式法解方程，B 项最适合用分解因式法解方程．故选 B.
3、下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
① x2 x ；
A．x＝k
B．x＝±k
C．x＝k 或 x＝﹣k﹣1
D．x＝k 或 x＝﹣k+1
10、定义一种新运算：a♣b＝a(a－b)．例如，4♣3＝4×(4－3)＝4.若 x♣2＝3，则 x 的值是( )
A．x＝3 二、填空题
B．x＝－1 C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝3，x2＝－1
11、用因式分解法解方程 5(x＋3)－2x(x＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程：
2
0
，故②能用分解因式法求解；
方程 x x2 3 0 不能用因式分解法求解；
方程 (3x 2)2 16 可变形为 3x 2 43x 2 4 0 ，即 3x 23x 6 0 ，故④能用
分解因式法求解．
综上，能用因式分解法求解的方程有 3 个，故选：C．
4、用因式分解法解方程 3x(2x－1)＝4x－2，则原方程应变形为( ) A．2x－1＝0 B．3x＝2 C．(3x－2)(2x－1)＝0 D．6x2－7x＋2＝0 [解析] 3x(2x－1)＝4x－2，3x(2x－1)－(4x－2)＝0，3x(2x－1)－2(2x－1)＝0，(2x－1)(3x－2)＝0. 故选 C.
B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )
A．(x＋1)(x－3)＝2
因式分解精练(培优)
因式分解精选练习一分解因式 1.2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 4 、2. 5x n+1－15x n ＋60x n —1 、 3.()()431241a b a b ---4. (a+b)2x 2-2(a 2-b 2)xy+(a-b)2y 2 、5. x 4-1、6.－ａ2－ｂ２＋2ab ＋４7. 134+--x x x 、 8.()()422223612y y y y x y y x -++-+9. ()()()()422223612y x y x y x x y x x +-+++-+、10.a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac11.x 2-2x-8、 12．3x 2+5x-2 、13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1、14. (x 2+3x+2)(x 2+7x+12)-120.15．把多项式3x 2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x 2―6xy ―8y 2分解因式。
因式分解精选练习二、证明题17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
18.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.19.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
20.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。
三 求值。
21.已知a,b,c 满足a-b=8,ab+c 2+16=0,求a+b+c 的值 .22．已知x 2+3x+6是多项式x 4-6x 3+mx 2+nx+36的一个因式，试确定m,n 的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习1. 解：原式=2xy 2·x 3－2xy 2·2x 2＋2xy 2·5y 2 =2xy 2 (x 3－2x 2＋5y 2)。
2.解：原式=5 x n--1·x 2－5x n--1·3x ＋5x n--1·12=5 x n--1 (x 2－3x ＋12)3.解：原式=3a(b-1)(1-8a 3) =3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a 2)*4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)25.解：原式=(x 2+1)(x 2-1)=(x 2+1)(x+1)(x-1)6.解：原式＝－（a 2－2ab ＋b 2－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）7. 解： 原式= x 4-x 3-(x-1)= x 3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 3-1)=(x-1)2(x 2+x+1)*提8. 解：原式=y 2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y 4=y 2(x+y-6)2-y 4=y 2[(x+y-6)2-y 2]=y 2(x+y-6+y)(x+y-6-y)= y 2(x+2y-6)(x-6)9. 解：原式== (x+y)2(x 2-12x+36)-(x+y)4=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)10.解：原式=.（a 2+b 2 +2ab ）+2bc+2ac+c 2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2 =(a+b+c)211.解：原式=x 2-2x+1-1-8 =(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)12．解：原式=3(x 2+53x)-2 =3(x 2+53x+2536-2536)-2 =3(x+56)2-3×2536-2=3(x+56)2-4912 =3[(x+56)2-4936]=3(x+56+76)(x+56-76)=3(x+2)(x-13) =(x+2)(3x-1)13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)+1令x 2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1=a 2+10a+25=(a+5)2=(x 2+5x+5)14. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x 2+5x+6)(x 2+5x+4)-120令 x 2+5x=m, 代入上式,得原式=(m+6)(m+4)-120=m 2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x 2+5x+16)(x 2+5x-6)=(x 2+5x+16)(x+6)(x-1)15．解：原式＝(x+2)(3x+5)提示：把二次项3x 2分解成x 与3x （二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x =x ×5+3x ×2。
苏科版七年级数学下册尖子生培优 专题9.11因式分解大题专练(重难点培优30题)(原卷版+解析)
专题9.11因式分解大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•江都区月考）分解因式：（1）x2﹣16；（2）2x2y﹣8xy+8y．2．（2022春•沭阳县月考）因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）；（2）（x2+4）2﹣16x2．3．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3a2﹣18ab+27b2；（2）a2（a﹣b）+4（b﹣a）．4．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3ab3+15a3b；（2）（m﹣1）（m﹣3）+1．（3）3x3﹣6x2y+3xy2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．5．（2022春•东台市月考）因式分解：（1）2a2﹣50；（2）x2y﹣2xy+xy2．6．（2022秋•如东县期中）分解因式：（1）﹣4x2+24xy﹣36y2；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．7．（2022春•滨海县月考）因式分解：（1）18x2﹣50；（2）81x4﹣72x2y2+16y4．8．（2022春•兴化市月考）把下列各式分解因式：（1）4x2﹣64；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．9．（2022秋•射阳县校级月考）因式分解：（1）2x（a﹣4）﹣（4﹣a）；（2）3x2﹣27．10．（2022春•高淳区校级期中）分解因式：（1）3ab2﹣6ab+3a；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）．11．（2022春•吴江区校级期中）因式分解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x；（2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）．12．（2022春•盱眙县期中）把下列各式分解因式（1）x2+2xy+y2（2）5x3﹣20x13．（2022春•吴江区期中）分解因式：（1）x2﹣8x+16；（2）4x3﹣16xy2．14．（2022春•相城区校级期中）因式分解：（1）4ab+b；（2）x2﹣3x+2；（3）a2﹣b2+b−1 4；（4）4a4﹣64．15．（2022春•常州期中）因式分解：（1）a3b+ab2；（2）2a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）；（3）m4﹣1；（4）a4﹣8a2b2+16b4．16．（2022春•钟楼区期中）因式分解：（1）7x2﹣63；（2）（a+b）2+6（a+b）+9；（3）16﹣（2a+3b）2；（4）a4﹣8a2b2+16b4．17．（2022春•吴江区期中）因式分解：（1）3x（a﹣b）﹣y（a﹣b）；（2）m2+8m+16；（3）2x3﹣8x；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2．18．（2022春•宜兴市校级期中）把下列各式因式分解：（1）x2﹣4xy+4y2；（2）a3﹣a；（3）x2（x﹣2）+4（2﹣x）；（4）（a2+1）2﹣4a2．19．（2022秋•莱州市期中）因式分解：（1）16a2﹣（a2+4）2（2）3a2m2（x﹣y）+27b2n2（y﹣x）20．（2022秋•高昌区校级期中）因式分解：（1）2a（x﹣y）+3b（x﹣y）；（2）2a2﹣8；（3）m2+12m+36．21．（2022秋•任城区校级月考）因式分解：（1）x2（x﹣y）+9（y﹣x）；（2）﹣3ma2+12ma﹣12m．22．（2022秋•广饶县校级月考）分解因式：（1）x2y﹣y3；（2）（a﹣b）b2+4（b﹣a）；（3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2；（4）（x+2）（x+3）+x2﹣4．23．（2022秋•东营区校级月考）分解因式：（1）4a（b+c）2﹣4a2（b+c）+a3；（2）（x2+4）2﹣16x2．24．（2022秋•上蔡县校级月考）因式分解：（1）2ax2﹣8a；（2）﹣x2y+6xy﹣9y；（3）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．25．（2022秋•丰城市期中）因式分解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．26．（2022秋•越秀区校级期中）因式分解：（1）因式分解：x3﹣9x+8；（2）因式分解：2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；（3）因式分解：（x2﹣x﹣3）（x2﹣x﹣5）﹣3．27．（2022秋•宛城区校级月考）因式分解：（1）﹣4（xy+1）2+16（1﹣xy）2；（2）（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1；（3）x2﹣ax﹣bx+ab．28．（2022•北碚区校级开学）因式分解：（1）8ab+2a；（2）x2y+2xy﹣15y；（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（4）a2+4ab﹣1+4b2．29．（2022春•金牛区期中）因式分解：（1）2x2y﹣8xy；（2）4a2﹣9b2；（3）m2﹣36+n2﹣2mn．30．（2022春•江阴市期中）因式分解（1）a2﹣6a+9；（2）2x2﹣8；（3）x2﹣y2﹣x+y．专题9.11因式分解大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•江都区月考）分解因式：（1）x2﹣16；（2）2x2y﹣8xy+8y．【分析】（1）直接利用平方差公式即可；（2）先提公因式2y，再利用完全平方公式即可进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝（x+4）（x﹣4）；（2）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．2．（2022春•沭阳县月考）因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）；（2）（x2+4）2﹣16x2．【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可；（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）＝（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2．3．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3a2﹣18ab+27b2；（2）a2（a﹣b）+4（b﹣a）．【分析】（1）先提公因式3，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提公因式（a﹣b），再利用平方差公式即可进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝3（a2﹣6ab+9b2）＝3（a﹣3b）2；（2）原式＝a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．4．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3ab3+15a3b；（2）（m﹣1）（m﹣3）+1．（3）3x3﹣6x2y+3xy2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【分析】（1）提公因式法，因式分解；（2）先化简，再用公式法分解因式；（3）先提公因式，再利用公式法因式分解；（4）先提公因式，再利用公式法因式分解；【解答】解：（1）原式＝3ab（b2+5a2）；（2）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（3）原式＝3x（x2﹣2xy+y2）＝3x（x﹣y）2；（4）＝（9a2﹣4b2）（x﹣y）＝（3a﹣2b）（3a+2b）（x﹣y）．5．（2022春•东台市月考）因式分解：（1）2a2﹣50；（2）x2y﹣2xy+xy2．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式即可．【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣25）＝2（a+5）（a﹣5）；（2）原式＝xy（x﹣2+y）．6．（2022秋•如东县期中）分解因式：（1）﹣4x2+24xy﹣36y2；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．【分析】（1）直接提取公因式﹣4，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣4（x2﹣6xy+9y2）＝﹣4（x﹣3y）2；（2）原式＝（2x+y+x+2y）[2x+y﹣（x+2y）]＝（3x+3y）（2x+y﹣x﹣2y）＝3（x+y）（x﹣y）．7．（2022春•滨海县月考）因式分解：（1）18x2﹣50；（2）81x4﹣72x2y2+16y4．【分析】（1）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝2（9x2﹣25）＝2（3x+5）（3x﹣5）；（2）原式＝（9x2﹣4y2）2＝[（3x+2y）（3x﹣2y）]2＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2．8．（2022春•兴化市月考）把下列各式分解因式：（1）4x2﹣64；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．【分析】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；（2）先利用平方差公式，再提取公因式．【解答】解：（1）4x2﹣64＝4（x2﹣16）＝4（x+4）（x﹣4）；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．＝[5（a+b）+3（a﹣b）][5（a+b）﹣3（a﹣b）]＝（8a+2b）（2a+8b）＝4（4a+b）（a+4b）．9．（2022秋•射阳县校级月考）因式分解：（1）2x（a﹣4）﹣（4﹣a）；（2）3x2﹣27．【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）2x（a﹣4）﹣（4﹣a）＝2x（a﹣4）+（a﹣4）＝（a﹣4）（2x+1）；（2）3x2﹣27＝3（x2﹣9）＝3（x+3）（x﹣3）．10．（2022春•高淳区校级期中）分解因式：（1）3ab2﹣6ab+3a；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）．【分析】（1）先提取公因式，再按完全平方公式分解因式；（2）先提取公因式，再按平方差公式分解因式．【解答】解：（1）3ab2﹣6ab+3a＝3a（b2﹣2b+1）＝3a（b﹣1）2；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）＝2（a﹣b）（a2﹣4）＝2（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．11．（2022春•吴江区校级期中）因式分解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x；（2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x＝﹣2x（x2﹣6x+9）＝﹣2x（x﹣3）2；（2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）＝（a﹣b）（4a2﹣1）＝（a﹣b）（2a+1）（2a﹣1）．12．（2022春•盱眙县期中）把下列各式分解因式（1）x2+2xy+y2（2）5x3﹣20x【分析】（1）根据公式法进行因式分解即可；（2）先提取公因式，再用公式法进行因式分解．【解答】解：（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2；（2）5x3﹣20x＝5x（x2﹣4）＝5x（x﹣2）（x+2）．13．（2022春•吴江区期中）分解因式：（1）x2﹣8x+16；（2）4x3﹣16xy2．【分析】（1）原式利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝（x﹣4）2；（2）原式＝4x（x2﹣4y2）＝4x（x+2y）（x﹣2y）．14．（2022春•相城区校级期中）因式分解：（1）4ab+b；（2）x2﹣3x+2；（3）a2﹣b2+b−1 4；（4）4a4﹣64．【分析】（1）用提取公因式法因式分解即可；（2）用十字相乘法因式分解即可；（3）先分组，再用公式法因式分解即可；（4）先提取公因式，再用公式法因式分解即可．【解答】解：（1）4ab+b＝b（4a+1）；（2）x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）；（3）a2﹣b2+b−1 4＝a2﹣（b2﹣b+1 4）＝a2﹣（b−1 2）2＝（a+b−12）（a﹣b+12）；（4）4a4﹣64＝4（a4﹣16）＝4（a2+4）（a2﹣4）＝4（a2+4）（a+2）（a﹣2）．15．（2022春•常州期中）因式分解：（1）a3b+ab2；（2）2a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）；（3）m4﹣1；（4）a4﹣8a2b2+16b4．【分析】（1）提取公因式分解因式；（2）提取公因式分解因式；（3）先用平方差公式分解因式，再用平方差公式分解因式，分解因式要彻底；（4）先用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：（1）a3b+ab2；＝ab（a2+b）；（2）2a（x﹣y）﹣4b（x﹣y）＝2（x﹣y）（a﹣2b）；（3）m4﹣1；＝（m2+1）（m2﹣1）＝（m2+1）（m+1）（m﹣1）；（4）a4﹣8a2b2+16b4＝（a2﹣4b2）2＝（a+2b）2（a﹣2b）2．16．（2022春•钟楼区期中）因式分解：（1）7x2﹣63；（2）（a+b）2+6（a+b）+9；（3）16﹣（2a+3b）2；（4）a4﹣8a2b2+16b4．【分析】（1）原式提取公因式7，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用平方差公式分解即可；（4）原式利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝7（x2﹣9）＝7（x+3）（x﹣3）；（2）原式＝（a+b+3）2；（3）原式＝[4+（2a+3b）][4﹣（2a+3b）]＝（4+2a+3b）（4﹣2a﹣3b）；（4）原式＝（a2﹣4b2）2＝（a+2b）2（a﹣2b）2．17．（2022春•吴江区期中）因式分解：（1）3x（a﹣b）﹣y（a﹣b）；（2）m2+8m+16；（3）2x3﹣8x；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2．【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；（2）利用完全平方公式进行分解，即可解答；（3）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．【解答】解：（1）3x（a﹣b）﹣y（a﹣b）＝（a﹣b）（3x﹣y）；（2）m2+8m+16＝（m+4）2；（3）2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）；（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）＝（x+4y）2（x﹣4y）2．18．（2022春•宜兴市校级期中）把下列各式因式分解：（1）x2﹣4xy+4y2；（2）a3﹣a；（3）x2（x﹣2）+4（2﹣x）；（4）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）利用完全平方公式进行分解即可解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（3）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2；（2）a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）x2（x﹣2）+4（2﹣x）＝（x﹣2）（x2﹣4）＝（x﹣2）（x﹣2）（x+2）＝（x﹣2）2（x+2）；（4）（a2+1）2﹣4a2．＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．19．（2022秋•莱州市期中）因式分解：（1）16a2﹣（a2+4）2（2）3a2m2（x﹣y）+27b2n2（y﹣x）【分析】（1）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行解答即可；（2）先提公因式3（x﹣y），再利用平方差公式即可．【解答】解：（1）原式＝（4a+a2+4）（4a﹣a2﹣4）＝﹣（4a+a2+4）（﹣4a+a2+4）＝﹣（a+2）2（a﹣2）2；（2）原式＝3a2m2（x﹣y）﹣27b2n2（x﹣y）＝3（x﹣y）（a2m2﹣9b2n2）＝3（x﹣y）（am+3bn）（am﹣3bn）．20．（2022秋•高昌区校级期中）因式分解：（1）2a（x﹣y）+3b（x﹣y）；（2）2a2﹣8；（3）m2+12m+36．【分析】（1）直接提取公因式x﹣y分解因式即可；（2）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可；（3）直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2a（x﹣y）+3b（x﹣y）＝（x﹣y）（2a+3b）；（2）2a2﹣8；＝2（a2﹣4）＝2（a﹣2）（a+2）；（3）m2+12m+36＝（m+6）2．21．（2022秋•任城区校级月考）因式分解：（1）x2（x﹣y）+9（y﹣x）；（2）﹣3ma2+12ma﹣12m．【分析】（1）将原式变形，进而提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式﹣3m，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）x2（x﹣y）+9（y﹣x）＝x2（x﹣y）﹣9（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣9）＝（x﹣y）（x+3）（x﹣3）；（2）﹣3ma2+12ma﹣12m＝﹣3m（a2﹣4a+4）＝﹣3m（a﹣2）2．22．（2022秋•广饶县校级月考）分解因式：（1）x2y﹣y3；（2）（a﹣b）b2+4（b﹣a）；（3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2；（4）（x+2）（x+3）+x2﹣4．【分析】（1）先提取公因式，再用公式法进行因式分解；（2）先提取公因式，再用公式法进行因式分解；（3）先提取公因式，再用公式法进行因式分解；（4）先将x2﹣4因式分解，再提取公因式即可．【解答】解：（1）x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x﹣y）（x+y）；（2）（a﹣b）b2+4（b﹣a）＝（a﹣b）（b2﹣4）＝（a﹣b）（b﹣2）（b+2）；（3）x2（x﹣y）2﹣4（y﹣x）2＝（x﹣y）2（x2﹣4）＝（x﹣y）2（x﹣2）（x+2）；（4）（x+2）（x+3）+x2﹣4＝（x+2）（x+3）+（x﹣2）（x+2）＝（x+2）（2x+1）．23．（2022秋•东营区校级月考）分解因式：（1）4a（b+c）2﹣4a2（b+c）+a3；（2）（x2+4）2﹣16x2．【分析】（1）先提取公因式，再用公式法进行因式分解；（2）用公式法进行因式分解即可．【解答】解：（1）4a（b+c）2﹣4a2（b+c）+a3；＝a[4（b+c）2﹣4a（b+c）+a2]＝a（2b+2c﹣a）2；（2）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4﹣4x）（x2+4+4x）＝（x﹣2）2（x+2）2．24．（2022秋•上蔡县校级月考）因式分解：（1）2ax2﹣8a；（2）﹣x2y+6xy﹣9y；（3）（a﹣b）（a﹣4b）+ab．【分析】（1）先提公因式2a，再利用平方差公式即可；（2）先提公因式﹣y，再利用完全平方公式即可；（3）先利用多项式乘多项式进行计算后，再利用完全平方公式即可．【解答】解：（1）原式＝2a（x2﹣4）＝2a（x+2）（x﹣2）；（2）原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2；（3）原式＝a2﹣4ab﹣ab+4b2+ab＝a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2．25．（2022秋•丰城市期中）因式分解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；（2）分组后用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式；【解答】解：（1）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1＝（4a2﹣4a+1）﹣b2＝（2a﹣1）2﹣b2＝（2a+b﹣1）（2a﹣b﹣1）．26．（2022秋•越秀区校级期中）因式分解：（1）因式分解：x3﹣9x+8；（2）因式分解：2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；（3）因式分解：（x2﹣x﹣3）（x2﹣x﹣5）﹣3．【分析】（1）配上x﹣x，再利用提公因式法、公式法和分组分解法进行因式分解即可；（2）利用分组分解法将原式化为（2b3﹣b2）+（5a﹣10ab）﹣（6b﹣3），再利用提公因（3）设y＝x2﹣x，将原式化为（y﹣3）（y﹣5）﹣3，再整理得y2﹣8y+12，再利用十字相乘法分解为（y﹣2）（y﹣6），再将y＝x2﹣x代入后，利用十字相乘法可得答案．【解答】解：（1）原式＝x3﹣x+x﹣9x+8＝（x3﹣x）+（x﹣9x）+8＝（x3﹣x）﹣8x+8＝x（x2﹣1）﹣8（x﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）﹣8（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣8）；（2）原式＝（2b3﹣b2）+（5a﹣10ab）﹣（6b﹣3）＝b2（2b﹣1）﹣5a（2b﹣1）﹣3（2b﹣1）＝（2b﹣1）（b2﹣5a﹣3）；（3）设y＝x2﹣x，则原式＝（y﹣3）（y﹣5）﹣3＝y2﹣8y+12＝（y﹣2）（y﹣6）＝（x2﹣x﹣2）（x2﹣x﹣6）＝（x+1）（x﹣2）（x+2）（x﹣3）．27．（2022秋•宛城区校级月考）因式分解：（1）﹣4（xy+1）2+16（1﹣xy）2；（2）（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1；（3）x2﹣ax﹣bx+ab．【分析】（1）先根据平方差公式分解，再提公因式即可；（2）先将所求式进行变形，根据完全平方公式分解，最后利用平方差公式分解即可；（3）根据二二分组法解答即可．【解答】解：（1）﹣4（xy+1）2+16（1﹣xy）2＝[4（1﹣xy）]2﹣[2（xy+1）]2＝（4﹣4xy+2xy+2）（4﹣4xy﹣2xy﹣2）＝（6﹣2xy）（2﹣6xy）＝4（3﹣xy）（1﹣3xy）；（2）（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1＝（x2﹣3）2﹣2（x2﹣3）+1＝（x2﹣3﹣1）2＝（x+2）2（x﹣2）2；（3）x2﹣ax﹣bx+ab＝（x2﹣ax）﹣（bx﹣ab）＝x（x﹣a）﹣b（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣b）．28．（2022•北碚区校级开学）因式分解：（1）8ab+2a；（2）x2y+2xy﹣15y；（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（4）a2+4ab﹣1+4b2．【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解．（2）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．（3）逆用平方差公式，再化简（4）先分组，再运用公式法进行因式分解．【解答】解：（1）8ab+2a＝2a（4b+1）．（2）x2y+2xy﹣15y＝y（x2+2x﹣15）＝y（x+5）（x﹣3）．（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]＝（3x+6y+2x﹣2y）（3x+6y﹣2x+2y）＝（5x+4y）（x+8y）．（4）a2+4ab﹣1+4b2．＝（a2+4ab+4b2）﹣1＝（a+2b）2﹣1＝（a+2b+1）（a+2b﹣1）．29．（2022春•金牛区期中）因式分解：（1）2x2y﹣8xy；（2）4a2﹣9b2；（3）m2﹣36+n2﹣2mn．【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）利用平方差公式分解；（3）先重新分组，再套用完全平方公式，最后利用平方差公式分解．【解答】解：（1）原式＝2xy（x﹣4）；（2）原式＝（2a+3b）（2a﹣3b）；（3）原式＝m2﹣2mn+n2﹣36＝（m﹣n）2﹣62＝（m﹣n+6）（m﹣n﹣6）．30．（2022春•江阴市期中）因式分解（1）a2﹣6a+9；（2）2x2﹣8；（3）x2﹣y2﹣x+y．【分析】（1）利用完全平方公式，进行分解即解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（3）把前两项分为一组，后两项分为一组，再进行分解即可解答．【解答】解：（1）a2﹣6a+9＝（a﹣3）2；（2）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）；（3）x2﹣y2﹣x+y＝（x2﹣y2）﹣（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣1）．。
十字相乘法 因式分解培优讲解训练
十字相乘法因式分解培优讲解训练1、二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c （2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++【例1】分解因式：101132+-x x分析： 1 -23 -5（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习： 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y3、二次项系数为1的齐次多项式【例2】分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+练习：分解因式 (1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --4、二次项系数不为1的齐次多项式【例3】22672y xy x +- 2322+-xy y x1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy练习：分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2222。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练26 完全平方公式因式分解的5个类型
专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________. 2．因式分解：1-2a +a 2=________．3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．4．因式分解：222x xy y -+=______． 5．因式分解：222x xy y ++=________． 6．因式分解：222m mn n ++=__________． 7．分解因式：221x x ++= ___________ ． 8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．9．因式分解：244b b -+=____． 10．因式分解221x x -+=______．类型二 完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 12．分解因式：214m m -+=__________． 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 14．因式分解：2441a a ++=______________ 15．分解因式：2244a ab b -+=______． 16．分解因式221236x xy y -+=______． 17．分解因式：224129x xy y -+=________．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______． 19．分解因式：224129m mn n -+= __________.20．因式分解24129m m -+=______． 21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____． 23．24129a a -+分解因式得__________． 24．因式分解：2296x xy y ++=______. 25．因式分解229124x xy y -+=______ 26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )； （2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____． 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝___________．33．因式分解：22bx bx b -+=______. 34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___． 35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝________． 类型四 展开后再用完全平方公式因式分解38．分解因式：2(1)4a a +-=_________．39．因式分解：()241x x --=__________．40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________． 42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______． 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____． 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是________．47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____． 48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______． 类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．50．因式分解2221b bc c -+-=______． 51．分解因式：2221y x x ---=_____．52．分解因式：2242x y xy --+=___________．专题26 完全平方公式因式分解五个类型类型一 直接用完全平方公式因式分解1．分解因式：2244a ab b -+=________.解：原式=a 2-2×a ×2b +（2b ）2=（a -2b ）2， 2．因式分解：1-2a +a 2=________．解：由题意可知：1-2a +a 2=(1-a )2，3．分解因式a 2－10a ＋25的结果是______．【解答】a 2－10a ＋25=（a －5）24．因式分解：222x xy y -+=______．解：原式()2x y =-，5．因式分解：222x xy y ++=________．解：222x xy y ++=()2x y +．6．因式分解：222m mn n ++=__________．【解答】222m mn n ++=2()m n +，7．分解因式：221x x ++= ___________ ．解：221x x ++=2(1)x +8．分解因式：x 2﹣8x +16＝_____．【解答】x 2-8x +16，=x 2-2×4×x +42，=（x -4）2． 9．因式分解：244b b -+=____．解：原式＝()22b -，10．因式分解221x x -+=______．解：221x x -+=（x ﹣1）2． 类型二 完全平方公式因式分解进阶11．分解因式：214a a -+＝______． 解：214a a -+＝212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12．分解因式：214m m -+=__________．解：221142m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， 13．分解因式：x 2+x+14＝_____． 原式＝（x +12）2．14．因式分解：2441a a ++=______________根据完全平方公式可得，原式=()()2224121a a a ++=+，15．分解因式：2244a ab b -+=______．16．分解因式221236x xy y -+=______．17．分解因式：224129x xy y -+=________．原式22(2)2(2)(3)(3)x x y y =-⨯⨯+ 2(23)x y =-．18．分解因式：x 2y 2－2xy ＋1＝_______．【解答】：x 2y 2－2xy ＋1＝(xy －1)². 19．分解因式：224129m mn n -+= ___________________.直接运用完全平方公式分解因式即可，即原式=(2m －3n )2.20．因式分解24129m m -+=______．解：24129m m -+=22(2)2233m m -⨯⨯+=2(23)m -21．2441x x -+=________；2216249a ab b ++=________；【解答】222441(2)41(21)x x x x x -+=-+=-，2222216249(4)24(3)(43)a ab b a ab b a b ++=++=+，22．因式分解4x 2+12xy +9y 2＝_____．解：4x 2+12xy +9y 2＝（2x +3y ）2．23．24129a a -+分解因式得__________．解：224129(23)a a a -+=-，24．因式分解：2296x xy y ++=______.解：()222963x xy y x y ++=+25．因式分解229124x xy y -+=______解：229124x xy y -+=()232x y -.26．分解因式：9﹣12t+4t 2＝_____．解：原式＝(3﹣2t)2．27．在括号内填上适当的因式：（1）225101x x ++=( )； （2）212b b -+=( )（3）24x x ++( )=(x+__)²（4）24m +( )+9n²=( )² 试题解析：（1）25x 2+10x+1=（5x+1）2；（2）1-2b+b 2=（b-1）2（3）x 2+4x+4=（x+2）2；（4）4m 2+（±12mn ）+9n 2=（2m±3n ）2． 类型三 先提公因式再完全平方公式因式分解28．分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____．解：am 2﹣2amn +an 2＝()()2222a m mn n a m n -+=-， 29．因式分解：2mx 2﹣4mxy +2my 2＝_____．解：2mx 2﹣4mxy +2my 2，＝2m （x 2﹣2xy +y 2），＝2m （x ﹣y ）2． 30．因式分解：2xm 2﹣12xm +18x ＝_____．解：原式＝2x （m 2﹣6m+9）＝2x （m ﹣3）2．31．分解因式：ma 2﹣2ma +m ＝___．解：ma 2﹣2ma +m = m （a 2﹣2a +1）=m （a －1）2，32．分解因式x 3y ﹣6x 2y +9xy ＝_______________________． 解：原式=xy （x 2-6x+9）=xy （x-3）2，33．因式分解：22bx bx b -+=______.由完全平方公式：22bx bx b -+=()221b x x -+ =()21b x -34．分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___．解：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y()()22=693y x x y x --+=--35．分解因式：﹣m 2+4m ﹣4═_____．解：原式=-（m 2-4m +4）=-（m -2）2.36．分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，37．因式分解：－2x 3＋4x 2y －2xy 2＝__________________________． 原式=-2x （x 2-2xy+ y 2）=－2x （x －y ）2，38．分解因式：2(1)4a a +-=___________________________________． 2222(1)412421(1)a a a a a a a a +-=++-=-+=-．类型四 展开后再用完全平方公式因式分解39．因式分解：()241x x --=________________．解：()241x x --244x x =-+()22x =-． 40．因式分解：()44x x ++=___________．41．将(2)1x x -+因式分解的结果是________．原式=x 2-2x+1=（x-1）2.42．因式分解：8(a 2＋1)－16a ＝____________．()()()222811681281.a aa a a +-=+-=-43．因式分解：()228a b ab +-的结果是______．解：()228a b ab +-22448a ab b ab =++-2244a ab b =-+()22a b =- 44．分解因式(a －b )(a －9b )＋4ab 的结果是____．解：（a-b ）（a-9b ）+4ab=a 2-10ab+9b 2+4ab= a 2-6ab+9b 2=（a-3b ）2． 45．分解因式（a+1）（a+3）+1的结果是_____．首先去括号，进而利用乘法公式分解因式，（a+1）（a+3）+1=244a a ++=2(2)a +. 46．分解因式()(4)a b a b ab --+的结果是___________．()(4)a b a b ab --+=2254a ab b ab -++=2244a ab b -+=2(2)a b -． 47．分解因式：x(x-1)-3x+4=____．解：x （x-1）-3x+4，=x 2-x-3x+4，=x 2-4x+4，=（x-2）2．48．分解因式：x 2-4（x-1）= ______．x 2-4（x-1）=x 2-4x+4=（x-2）2．类型五 其中三项整体用完全平方公式然后再用公式49．因式分解：22421x y y ---=__________．22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--． 50．因式分解2221b bc c -+-=______．解：原式=2()1b c --=[][]()1()1b c b c ---+=()()11b c b c ---+， 51．分解因式：2221y x x ---=_____．解：2221y x x ---=()22+2+1y x x -()22+1y x =-()()=11y x y x ++-- 52．分解因式：2242x y xy --+=__________________．原式=()()()()22242422x y xy x y x y x y -=--=+--++-.。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+⋯+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2例题3分解因式：a3+b3+c3－3abc．分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．对应练习题分解因式：(1)x2n x n1y21；94 (2)x10+x5－2422332232(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x52222(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2c2对应练习题分解因式：3、x2x 9y23y4、x2y2z22yz综合练习题 分解因式：（1）x 3x 2y xy 2 y 3 （2）ax 2 bx 2 bx ax a b（3）x 26xy 9y 2 16a 2 8a 1（4）a 26ab 12b9b 24a（5）a 42a 3 a 2 9 （6）4a 2x 4a 2y b 2x b 2y（7）x 22xy xz yz y 2（8）a 22a b 22b2ab1（9）y(y2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)（11）a 2(bc) b 2(a c) c 2(ab) 2abc（12）a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.（13）(axby)2 (ay bx)2 （14）xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3（15）x 4ax 2xa2a3 22（）x3x(a2)x2a16（17）(x1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式——x 2 (pq)xpq (x p)(x q)进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式： x 25x 6例题2分解因式： x 27x 6对应练习题 分解因式：(1)x 214x 24(2)a 215a 36(3)x 24x 5(4)x 2x 2(5)y 22y 15(6)x 210x 24（二）二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c条件：（1）aa 1a 2a 1 c 1 （2）cc 1c 2a 2 c 2 （3）ba 1c 2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc=(a 1xc 1)(a 2xc 2)例题3分解因式：3x 211x10对应练习题 分解因式：（1）5x 27x 6（2）3x27x2（3）10 x217 x32（）6y11y104（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2例题6分解因式：x2y23xy2对应练习题分解因式：（1）27xy4y2（）22ax6ax82综合练习题分解因式：（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y) 10（4）(a b)24a 4b3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n2（7）x24xy 4y22x 4y 3（8）5(a b)223(a2b2) 10(a b)2（9）4x24xy 6x 3y y210（10）12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：（1）A a1a2，C c1c2，F f1f2（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D即：a1c1f1a2c2f2a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)例题7分解因式：（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2x x∴原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xy xy，4y9y13y，2x3x x∴原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式：（1）x2xy 2y2x 7y 6（2）6x27xy 3y2xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y 1)(x21) x(2y22y1)例题9分解因式：ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x23xy 10y2x 9y2对应练习题分解因式：(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(x27x 6)(x2x 6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题62222分解因式：4(3x x1)(x2x3)(4xx4)提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(a b)4(a b)4(a2b2)2例题9分解因式：(y 1)4(y 3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习43－36x2－7x+6．分解因式：6x+7x例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）x42x3x2 1 2(x x2)（3）2005x2(200521)x2005（4）(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2（5）(x1)(x3)(x5)(x7)15（6）(a1)(a2)(a3)(a4)24（7）(2a 5)(a29)(2a 7) 91（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）(a21)2(a25)24(a23)2（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）(a 2b c)3(a b)3(b c)3（12）xy(xy1)(xy3)2(xy12)(x y1)2（13）(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时， 整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x 3－9x+8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x+1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）x 3 3x 2 4（2）x 22(a b)x 3a 2 10ab 3b 2（3）x 4 7x 2 1（4）x 4x 22ax1a 2（5）4442 22 2 2 2 444xy(xy)（）2ab2ac2bcab c6（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2（9）x 3+9x 2+26x+24 （10）x 4－12x+323（11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)x 2y 24x6y5(15)(1a 2)(1b 2)4ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy 6y2x 13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)对应练习题分解因式：（1）6x27xy 3y2x 7y 2（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20（3）x23xy 10y2x 9y 2（4）x23xy 2y25x 7y6例题2（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求a b的值.（3）已知：x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、f x 的意义：已知多项式fx ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为 fx 在x =c 的多项式值，用 fc 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx 除以gx 所得的商式为 qx ，余式为rx ，则：fx =gx ×qx +rxb3、余式定理：多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b)；多项式f(x)除以axb 之余式f( ).a例如：当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当f(x)9x26x 7除以 (3x1)时，则余数=f(1)9( 1)2 6(1)78.3334 a,bR ， a0， f(x) 为关于x 的多项式，则 xb为f(x)的因式、因式定理：设f(b)0；axb 为f(x)的因式f(b 0.)a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n 1x n1c 1xc 0 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b为整数,a 0,且a,b 互质)，则（1）ac n ,bc 0（2）(a –b)f(1), (a b)f( 1)例题1设f(x)3x 32x 2 19x 6，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x –1，(2)x –2，(3)3x –1，(4)4x ＋1，(5)x –1，(6)3x –4例题2把下列多项式分解因式：(1) x 35x4(2) x 34x 2x 6(3) 3x 35x 2 4x 2（4）x 4 9x 3 25x 227x10（5）x 45x 3 1x 2 1x 16223课后作业分解因式：（1）x4＋4（2）4x3－31x＋15（3）3x3－7x＋10（4）x3－41x＋30（5）x3＋4x2－9（6）x3＋5x2－18（7）x3＋6x2＋11x＋6（8）x3－3x2＋3x＋7（9）x3－11x2＋31x－21（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y33223（1412）x－9ax＋27ax－26a（15）4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2（16）(x26x8)(x214x48)12（17）(x2x4)28x(x2x4)15x2（18）2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2（19）x4＋x2y2＋y44224（20）x－23xy＋y（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2（22）a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24）（ab)2(ab1)1（25）x42(a2b2)x2(a2b2)2（26）(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)（27）x619x3y3216y6（28）x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz（29）3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.2、2n －1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8整除．3、已知2 481可以被 60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.24可被40 至50之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知7－15、求证： 817279 913能被45整除.66、求证：14+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证： 4x 2+7xy －2y 2能被9整除．8、已知x 2 xy 2y 2=7，求整数x 、y 的值．9、求方程6xy4x9y 7 0的整数解.10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解．11、求方程 4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为 a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a=______，b=_______.13、计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9 ×31.4＋180×0.314； 19953－219952－1993(2)．19953＋19952－1996＋ 1＋1＋ 1＋1 ＋1＋1的14、求积(11 )(14)(1)(14 )(1)(1)32 35 698 10099 101整数部分？15、解方程：（x 2＋4x)2－2(x 2＋4x)－15=02 2 2 216、已知ac ＋bd=0，则ab(c ＋d)＋cd(a ＋b)的值等于___________．17、已知a －b=3,a －c=3 26,求(c —b)[(a －b)2+(a －c)(a －b)+(a －c)2]的值．18、已知x 2x 1 0，求x 8x 41的值．19、若x 满足x 5 x 4 x1 ，计算x 1998x 1999x 2004.20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式a 3b 3c 33abc ，证明这个三角形是等边三角形．。
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因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：( 1)提公因式法；( 2)公式法；( 3)十字相乘法；( 4)分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a2－b2=(a+b)(a－b)；(2) a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4) a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7) a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+⋯+ab n－2+b n－1)，其中n 为正整数；(8) a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯+ab n－2－b n－1)，其中n 为偶数；(9) a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题 1 分解因式：(1) －2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2) x3－8y3－z3－6xyz；(3) a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4) a7－a5b2+a2b5－b7．例题 3 分解因式： x 15+x 14+x 13+⋯ +x 2+x+1．对应练习题 分解因式：10 5(2) x +x － 2(3)x 4 2x 2y 2 4xy 3 4x 3y y 2(4x 2 3 y 2)4(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x+1)2－ x 5(5) 9(a- b)2+12(a 2- b 2)+4(a+b)2(6) (a- b)2- 4(a- b- 1)7) (x+ y)3+2xy(1－ x － y)－ 1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式 例题 1 分解因式： am an bm bn分析：从“整体” 看，这个多项式的各项既没有公因式可提， 也不能运用公式分解， 但从“局 部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有 b ，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系 . 此类型分组的关键：分组后，每组内 可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提 .(1)x 2n12x9y1； 4；对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y 1（二）分组后能直接运用公式分解因式：x2 y2 ax ay例题3例题4 分解因式：a2 2ab b2 2 c对应练习题分解因式：3、x2 x 9y2 3y4、 2z 2yz1) x 32 xy 2 xy 3y3) x 2 6xy 9y 2 16a 28a 1综合练习题 分解因式：222) axbx bx ax a b224) a 2 6ab 12b 9b 2 4a5) a 4 2a 3 a 29 2 2 2 26) 4a x 4a y b x b y7) 2 x2xy xz 2 yz y 9) y(y 2) (m 1)(m 1) 228) a 2 2a b 2 2b 2ab 110) (a c)(a c) b(b 2a)11)a 2(b c) b 2 (a c) c 2(a b) 2abc 4 3 2 2 3 412)a 2a b 3a b 2ab b .2213) (ax by) (ay bx)3 3 3 3 3 3 3 3 314) xyz(x y z ) y z z x x y4 2 215) x 4 2ax 2x a 2a16) x 3 3x 2 (a 2)x 2a17) (x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)(1) x 214x 24(2)a 215a 362(3) x 4x 52(4) x 2x 22(5) y 22y 152(6) x 210x 24（二）二次项系数不为 1 的二次三项式—— ax 2bx c 条件：（ 1） a a 1a 2（2） c c 1c 2（ 3）b a 1c 2 a 2c 1 b a 1c 2 a 2c 1分解结果： ax 2 bx c =（a 1x c 1 ）（ a 2 x c 2） 例题 3 分解因式： 3x 2 11x 10a 1 a 2c 2c1对应练习题 分解因式：2) 3x 2 7x 22三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1 的二次三项式2 直接利用公式—— x 2（p q ）x pq （x p ）（x q ） 进行分解 .特点：（ 1）二次项系数是 1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和例题 1 分解因式： x 2 5x 6例题 2 分解因式： x 2 7x 6对应练习题 分解因式：（三）二次项系数为 1 的齐次多项式 例题 4 分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解8b+( －16b)= －8b对应练习题 分解因式：对应练习题 分解因式：综合练习题 分解因式：222)12x 2 11xy 15y224)(a b) 4a 4b 3226) m 2 4mn 4n 2 3m 6n 28b －16b22(1) x 23xy 2y 222(2) m 26mn 8n 2(3) a 2 ab 6b 2（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式 例题 5 分解因式： 2x 2 7xy6y 2例题 6 分解因式： x 2 y 2 3xy 21) 15x 2 7xy 4y 2222) a 2 x 26ax 81) 8x 6 7x 3 17) x 2 4xy 4y 22x 4y 328) 5(a b)22 2 223(a 2 b 2) 10(a b) 29) 4x 2 4xy 6x 3y y 2 10 2210) 12( x y)2 11(x 222y 2) 2(x y)2思考：分解因式： abcx 2 (a 2b 2 c 2 )x abc 2、双十字相乘法 定义：双十字相乘法用于对Ax 2 BxyCy 2 Dx Ey F型多项式的分解因式 .条件：（ 1） A a 1a 2 ， （2） a 1c 2 a 2c 1 即： a 1 2 a 2 f C c 1c 2 ， B ， c 1 f 2 c 1 F f 1 f 2 c 2 f 1 E ， a 1 fa 1c 2 a 2c 1 B ， c 1f 2 c 2 f 1 E ， a 1 f 2 a 2 f 1D 则 Ax 2Bxy Cy 2 Dx Ey F (a 1x c 1y f 1)(a 2x c 2y f 2) 例题7 分解因式： （1） 2 x 3xy 10y 2x 9y 2（2） 2 x xy 6y 2 x 13y 6 解： （ 1 ） 2 x 3xy 1 0y 2 x 9y 2c 22 a 2 应用双十字相乘法： x 2xy ∴原式 =（x 5y 2 （2 ） x xy 应用双十字相乘法：x 5xy 2)(x 6y 2x 5y 2y 1 3xy ， 5y 4y 9y ， x 2x x 2y 1) x 13y 6 x 32y y32 x 3y 2 3y 3xy 2xy xy ， 4y 9y 13y ， 2x 3x x ∴原式 =(x 2y 3)(x 3y 2) 对应练习题 分解因式：2 2 22) 6x 2 7xy 3y 2xz 7yz 2z 23、十字相乘法进阶例题8 分解因式：y(y 1)(x2 1) x(2y2 2y 1)四、主元法例题分解因式：x2 3xy 10y2 x 9y 2对应练习题分解因式：22(1) x xy 6y x 13y 622(3)6x2 7xy 3y2 x 7y 222(4) a2 ab 6b2 5a 35b例题9 分解因式：a b(x2y2) (a2 b2)(xy 1) (a2b2)(x y)22(2) x xy 2y x 7y 6五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题 1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题 2 分解因式：(x2 4x 8)2 3x(x2 4x 8) 2x2例题 3 分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5) 9 分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘例题 4 分解因式：(x2 7x 6)(x2 x 6) 56 .例题 5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3) －90．例题 6 分解因式：4(3x2x 1)(x22x 3) (4x2x 4)2提示: 可设3x2x 1 A,x22x 3 B ，则4x2x 4 A例题7 分解因式：x6 28x3 27例题8 分解因式：(a b)4 (a b)4 (a2 b2)2例题9 分解因式：(y 1) 4 (y 3)4 272并用一个新的字母替B.例题9 对应练习分解因式：a4 44 (a 4)4例题10 分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11 分解因式：2x4 x3 6x2 x 2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” . 这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11 对应练习分解因式：6x4+7x3－36x2－7x+6．例题11 对应练习分解因式：x4 4x3 x2 4x 1对应练习题分解因式：1)x4+7x3+14x2+7x+12)x4 2x3x2 1 2(x x2)3)2005x2(20052 1)x 20054)(x 1)(x 2)(x 3)(x6) x25)(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 156)(a 1)(a 2)(a 3)(a 4) 247)(2a 5)(a 229)(2a 7) 918)(x+3)(x2－1)(x+5) －209)(a21)2(a2 2 2 25)2 4(a2 3) 210) (2x2－3x+1)2－22x2+33x－111) (a 2b c)3(a b)3(b c)3112) xy(xy 1) (xy 3) 2(x y 12)2 13 ) (a b 2ab)(a b 2) (1 ab)22 (x y 1)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算． 在多项式乘法运算时， 整理、 化简常将几个同类项合 并为一项， 或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零． 在对某些多项式分解因式时， 需要 恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项， 或者在多项式中 添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能 用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的 是要依靠对题目特点的观察， 灵活变换， 因此拆项、 添项法是因式分解诸方法中技巧性最强 的一种．例题 1 分解因式： x 3－ 9x+8．例题 2 分解因式：（1）x 9+x 6+x 3－3；（2）（m 3－1）（n 2－1）+4mn ；（3）（x+1）4+（x 2－1）2+（x －1）4；（4）a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．3 2 22) x 2 2(a b)x 3a 2 10ab 3b 2 4) x 4 x 2 2ax 1 a 2 (6) 2a 2b 2 2a 2c 2 2b 2c 2 a 4 b 4 c 4 8)x 4－11x 2y 2+y 210)x 4－12x+323(12)x 3－11x ＋ 20；(14) x 2 y 2 4x 6y 5 对应练习题 分解因式：（1） x 3 3x 2 4（3） x 4 7x 2 1（5） x 4 y 4 （x y ）4 （7）x 3+3x 2－4 （9）x 3+9x 2+26x+24 （11）x 4＋x 2＋1；七、待定系数法例题 1 分解因式： x 2 xy 6y 2 x 13y 6分析：原式的前 3项 x 2 xy 6 y 2可以分为 (x 3y)(x 2 y) ，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2y n) 对应练习题 分解因式：（1） 6x 2 7xy 3y 2 x 7y 2 (2)2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20 （3） x 2 3xy 10y 2 x 9y 2 （4） x 2 3xy 2y 2 5x 7y 6 1)当 m 为何值时，多项式 x 2 y 2 mx32 2)如果 x 3 ax 2 bx 8 有两个因式为 x 3y 2 6x 14y p 能分解成两个一次因式之积， 求常数 p 并且分解因 2 2xy ky 2 3x 5y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项例题 2 5y 6 能分解因式，并分解此多项式1和 x 2，求 a b 的值(3)已知： x 2 2xy 式. (4)k 为何值时， x 2式.八、余式定理(试根法)1、 f x 的意义：已知多项式 f x ，若把 x 用c 带入所得到的值，即称为 f x 在 x =c 的多项式值，用 f c 表示 .2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式 f x 除以 g x 所得的商式为 q x ，余式为 r x ，则： f x = g x × q x +r xb3、余式定理：多项式 f(x)除以 x b 之余式为 f (b) ；多项式 f(x)除以 ax b 之余式 f(b ). a 例如：当 f(x)=x 2+x+2 除以 (x – 1) 时，则余数 =f(1)=1 2+1+2=4.2 1 1 21 当 f(x) 9x2 6x 7除以(3x 1)时，则余数 = f( 3) 9 ( 3)2 6 ( 3) 7 8.3 33 4、因式定理：设 a,b R ，a 0， f(x)为关于 x 的多项式，则 x b 为 f(x)的因式b f(b) 0；ax b 为 f(x) 的因式 f(b ) 0. a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n1x n1c 1x c 0为整系数多项式，若ax –b 为 f(x)之因式(其中a ,b 为整数 , a 0 , 且 a , b 互质)，则(1)ac n , bc 0 (2)( a –b ) f(1), (a b) f ( 1)例题 1 设 f (x) 3x 3 2x 2 19x 6 ，试问下列何者是 f(x)的因式？(1) 2x –1 ，(2) x –2， (3) 3x –1， (4) 4x ＋1，(5) x –1， (6) 3x –4例题 2 把下列多项式分解因式：3 (1) x 3 5x 432(2) x 4x x 6 (3) 3x 3 5x 2 4x 24)4 x 9x 3 25x 2 27x 10 5)4 53 12 1 1 x x x x6 2 2 3课后作业 分解因式： （1）x 4＋4（2）4x 3－31x ＋15（3）3x 3－7x ＋10（4）x 3－41x ＋30（5）x 3＋4x 2－9（6）x 3＋5x 2－18（7）x 3＋6x 2＋11x ＋6（8）x 3－3x 2＋3x ＋7（9）x 3－11x 2＋31x －21（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11） x 4 1998x 2 1999x 1998 （12）x 4 1996 x 2 1995x 1996 （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3 15) 4(x 5)(x 6)(x 10)( 2x 12) 3x 2 16) (x 2 6x 8)(x 2 14x 48) 1217) (x 2 x 4)2 8x(x 2 x 4) 15x 218) 2(x 2 6x 1)2 5(x 2 6x 1)(x 2 1) 2(x 2 1)19) x 4＋x 2y 2＋y 420) x 4－2 3x 2y 2＋ y 421) a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋ 3(a＋ b)＋222) a 3 b 3 12ab 6423) a 3b ab 3 a 2 b 2 1.24) （a b)2(ab 1) 125) x 4 2(a 2 b 2 )x 2 (a 2 b 2)226) (ay bx) 3 (ax by)3 (a 3 b 3)(x 3 y 3 )27) x 6 19x 3y 3 216y 628) x 2y － y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋ z 2y －2xyz29) 3x 5 10x 4 8x 3 3x 2 10x 8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1 是整数的平方.2、2n－1和2n+1表示两个连续的奇数（n 是整数），证明这两个连续奇数的平方差能被8除．3、已知248 1可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50 之间的两个整数整除，求这两个整数.7 9 135、求证：81 27 9 能被45 整除.66、求证：146+1 能被197整除．7、设4x－y为3的倍数，求证：4x2+7xy－2y2能被9整除．228、已知x xy 2y =7，求整数x、y 的值．9、求方程6xy 4x 9y 7 0 的整数解.10、求方程xy－x－y＋1=3 的整数解．11、求方程4x2－4xy－3y2=5 的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a= ，b= ______ .13、计算下列各题：（1）23 ×3.14＋5.9 ×31.4＋180 ×0.314；3219953－2 19952－1993（2）3 2 ．19953＋19952－19961 1 1 1 1 114、求积（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）（1＋）1 32 43 54 6 98 100 99 101整数部分？15、解方程：（x2＋4x）2－2（x2＋4x）－15=016、已知ac＋bd=0，则ab（c2＋d2）＋cd（a2＋b2）的值等于17、已知a－b=3, a－c=3 26 , 求（c—b）［（ a－b）2+（ a－c）（ a－b）+（ a－c）2］的值．2 8 418、已知x x 1 0 ，求x x 1的值．角形．3) (x y)2 3(x y) 10 19、若 x 满足 x 5 x 4 x 19981 ，计算 x 1999 x 2004x 20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式 a 3 b 3 c 3 3abc ，证明这个三角形是等边三。