四川省南充市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)

四川省南充市2021年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.满足x⩽3的最大整数x是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【考点】一元一次不等式的特殊解【解析】【解答】解：A、1<3，但不是满足x⩽3的最大整数，故该选项不符合题意，B、2<3，但不是满足x⩽3的最大整数，故该选项不符合题意，C、3=3，满足x⩽3的最大整数，故该选项符合题意，D、4>3，不满足x⩽3，故该选项不符合题意，故答案为：C.【分析】由已知x≤3，可得到最大的整数.2.数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（）A. -2B. 2C. 1D. -1【答案】 D【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，相反数及有理数的相反数【解析】【解答】解：∵数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，m+2>m，∴m和m+2互为相反数，∴m+ m+2=0，解得m=-1.故答案为：D.【分析】利用绝对值的几何意义可知m与m+2互为相反数，可建立关于m的方程，解方程求出m的值.3.如图，点O是▱ABCD对角线的交点，EF过点O分別交AD，BC于点E，F.下列结论成立的是（）A. OE=OFB. AE=BFC. ∠DOC=∠OCDD. ∠CFE=∠DEF【答案】A【考点】平行四边形的性质，三角形全等的判定（ASA）【解析】【解答】解：∵点O是▱ABCD对角线的交点，∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，∵∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，A选项成立；∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；若∠DOC=∠OCD，则DO=DC，由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；故答案为：A.【分析】利用平行四边形的性质可证得OA=OC，∠EAO=∠CFO，利用ASA可证得△AEO≌△CFO，利用全等三角形的对应边相等，可对A作出判断；利用全等三角形的性质和和平行四边形的性质，可证得AE=CF，可对B作出判断；同时可对C、D作出判断.4.据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5，5，6，6，6，7，7，下列说法错误的是（）A. 该组数据的中位数是6B. 该组数据的众数是6C. 该组数据的平均数是6D. 该组数据的方差是6【答案】 D【考点】平均数及其计算，中位数，方差，众数【解析】【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5，5，6，6，6，7，7，则中位数是6，故本选项说法正确，不符合题意；B、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴众数是6，故本选项说法正确，不符合题意；C、平均数是（5+5+6+6+6+7+7）÷7＝6，故本选项说法正确，不符合题意；D、方差= 17×[2×（5−6）2＋3×（6−6）2＋2×（7−6）2]＝47，故本选项说法错误，符合题意；故答案为：D.【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可对A，B作出判断；利用平均数公式求出这组数据的平均数，可对C作出判断；利用方差公式求出该组数据的方差，可对D作出判断.5.端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，设每个肉粽x元，则可列方程为（）A. 10x+5(x−1)=70B. 10x+5(x+1)=70C. 10(x−1)+5x=70D. 10(x+1)+5x=70【答案】A【考点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题【解析】【解答】设每个肉粽x元，则每个素粽的单价为（x-1）元，由题意：10x+5(x−1)=70，故答案为：A.【分析】此题的等量关系为：每一个肉粽的单价=每一个素粽的单价+1；10×每一个肉粽的单价+5×每一个素粽的单价=70，据此列方程即可.6.下列运算正确的是（）A. 3b4a ⋅2a9b2=b6B. 13ab÷2b23a=b32C. 12a +1a=23aD. 1a−1−1a+1=2a2−1【答案】 D【考点】分式的乘除法，分式的加减法【解析】【解答】解：A. 3b4a ⋅2a9b2=16b，计算错误，不符合题意；B. 13ab ÷2b23a=13ab×3a2b2=12b3，计算错误，不符合题意；C. 12a +1a=12a+22a=32a，计算错误，不符合题意；D. 1a−1−1a+1=a+1a2−1−a−1a2−1=2a2−1，计算正确，符合题意；故答案为：D【分析】利用分式乘法法则进行计算，可对A作出判断；先将分式除法转化为乘法运算，再约分化简，可对B作出判断；利用分式的加减法法则进行计算，可对C，D作出判断.7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD=2OE，则∠BCD的度数为（）A. 15°B. 22.5°C. 30°D. 45°【答案】B【考点】垂径定理，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接OD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CD=2DE，∵CD=2OE，∴DE=OE，∴△ODE是等腰直角三角形，即∠BOD=45°，∴∠BCD= 12∠BOD=22.5°，故答案为：B.【分析】连接OD，利用垂径定理可证得CD=2DE，结合已知可证得DE=OE，由此可推出△ODE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求出∠BOD的度数；然后利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠BCD的度数.8.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分別在边AB，BC上，AE=BF=2，△DEF的周长为3√6，则AD的长为（）A. √6B. 2√3C. √3+1D. 2√3−1【答案】C【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质【解析】【解答】解：连接BD，过点E作EM⊥AD，∵AE=BF=2，∠A=60°，∴ME=AE×sin60°=2× √32= √3，AM= AE×cos60°=2× 12=1，∵在菱形ABCD中，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠C＝∠A＝60°，∴△ABD和△BCD均为等边三角形，∴∠DBF=∠A=60°，BD=AD，又∵AE=BF=2，∴△BDF≌△ADE，∴∠BDF=∠ADE，DE=DF，∴∠ADE＋∠BDE＝60°＝∠BDF＋∠BDE，即：∠EDF=60°，∴△DEF是等边三角形，∵△DEF的周长为3√6，∴DE= 13× 3√6= √6，∴DM= √(√6)2−(√3)2=√3，∴AD=AM+DM=1+ √3.故答案为：C.【分析】连接BD，过点E作EM⊥AD，利用解直角三角形求出ME，AM的长；再利用菱形的性质去证明△ABD和△BCD均为等边三角形，由此可得到∠DBF=∠A，BD=AD，利用SAS证明△BDF≌△ADE，利用全等三角形的性质可证得∠BDF=∠ADE，DE=DF，即可求出∠EDF=60°，由此可推出△EDF是等边三角形，可求出DE的长；再利用勾股定理求出DM的长，然后根据AD=AM+DM，可求出AD的长.9.已知方程x2−2021x+1=0的两根分别为x1，x2，则x12−2021x2的值为（）A. 1B. -1C. 2021D. -2021【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】∵方程x2−2021x+1=0的两根分别为x1，x2，∴x12−2021x1+1=0，x1⋅x2=1，∴x12=2021x1−1，∴x12−2021x2= 2021x1−1−2021x2= 2021x1⋅x2−x2x2−2021x2= 2021×1−x2−2021x2= −x2x2=-1.故答案为：B.【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.10.如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，点A′，B′分别对应点A，B.给出下列结论：①顺次连接点A′，B′，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48；③ A′C−B′C的最大值为15；④ A′C+B′C的最小值为9√17.其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】 D【考点】四边形的综合【解析】【解答】解：由平移的性质可得AB// A′B′且AB= A′B′∵四边形ABCD为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴A′B′//CD且A′B′=CD∴四边形A′B′CD为平行四边形，故①正确在矩形ABCD中，BD= √AB2+AD2= √152+202=25 过A作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN∴S△ABD= 12AB·CD= 12BD·AM∴AM=CN= 15×2025=12∴点C到AA′的距离为24∴点C到它关于直线AA′的对称点的距离为48∴故②正确∵A′C−B′C≤A′B′∴当A′,B′,C在一条直线时A′C−B′C最大，此时B′与D重合∴A′C−B′C的最大值= A′B′=15∴故③正确，如图，作D关于AA′的对称点D′，DD′交AA′于M,连接BD′，过D′作D′N⊥BC 于N,分别交AM,BD于K,H,则AB//A′B′//KH,AB=KH=15,KM为△D′HD的中位线，BD⊥DD′，∴D′K=HK=15,由▱A′B′CD可得B′C=A′D，∴B′C=A′D=A′D′,∴A′C+B′C=A′C+A′D′=D′C,此时最小，由②同理可得： DM =D ′M =12,∵tan ∠DBC =DC BC =1520=34=HN BN ,设 HN =3x, 则 BN =4x,由勾股定理可得： DD ′2+BD 2=BD ′2=BN 2+D ′N 2,∴252+242=(30+3x)2+(4x)2,整理得： 25x 2+180x −301=0,∴(5x −7)(5x +43)=0,解得： x 1=75,x 2=−435 （负根舍去），∴NC =20−4x =725,D ′N =1715, ∴D ′C =√(725)2+(1715)2=9√17,∴故④正确故答案为：D.【分析】利用平移的性质可证得AB ∥A'B'，AB=A'B'，再利用矩形的性质可证得AB ∥CD ，AB=CD ，由此可推出A'B'∥CD ，A'B'=CD ，可推出四边形A'B'CD 是平行四边形，可对①作出判断；利用勾股定理求出BD 的长，过A 作AM ⊥BD ，CN ⊥BD ，则AM=CN ，利用三角形的面积公式求出AM ，CN 的长，由此可求出点C 到它关于直线 AA ′ 的对称点的距离，可对②作出判断；利用三角形三边关系定理可知当A'，B'，C 在同一条直线上时，A'C-BC 的值最大，可求出这个最大值，可对③作出判断；作点D 关于AA'的对称点D'，DD'交AA'于点M ，连接BD'，过点D'作D'N ⊥BC 于点N ，分别交AM ，BD 于点K ，H ，可证得KM 是△D'HD 的中位线，利用三角形的中位线定理可求出D'K=HK=15；A'C+B'C 的最小值就是D'C 的长， 再求出DM ，D'M 的长；利用锐角三角函数的定义可知DC 与BC 的比值，设HN=3x ，则NB=4x ，然后利用勾股定理建立关于x 的方程，解方程求出x 的值，即可得到NC ，DN 的长，然后利用勾股定理求出CD 的长，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.二、填空题（共6题；共6分）11.已知 x 2=4 ，则 x ＝________；【答案】 ±2【考点】直接开平方法解一元二次方程【解析】【解答】由平方根得： x =±2 ，故答案为：±2.【分析】观察方程特点：缺一次项，因此利用直接开平方法求解.12.在-2，-1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是________.【答案】 12【考点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解：∵在-2，-1，1，2这四个数中，倒数等于本身的数有-1，1，∴随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是24=12；故答案为：12【分析】先求出四个数中倒数等于它本身的数只有2个，再利用概率公式进行计算.13.如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF=3，则GH的长为________.【答案】3【考点】矩形的性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，又∵点F是BE的中点，AF=3，∴BE=2AF=6，∵G，H分别是BC，CE的中点，∴GH是△BCE的中位线，∴GH= 12BE= 12×6=3，故答案是：3.【分析】利用矩形的性质可证得∠BAE=90°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BE的长；再证明GH是△BCE的中位线，利用三角形的中位线定理可求出GH的长.14.若n+mn−m =3，则m2n2+n2m2=________【答案】174【考点】利用分式运算化简求值【解析】【解答】解：∵n+mn−m=3，∴n+m=3(n−m)，∴n=2m，∴m2n2+n2m2=m24m2+4m2m2=174故答案为：174【分析】将已知等式变形，可得到n=2m，再代入代数式进行化简.15.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=√3AB=3BD，则AD:AC的值为________.【答案】√33【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵BC=√3AB=3BD，∴ABBC =√3=√33，BDAB=√33，∴ABBC =BDAB=√33，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA，∴ADAC =BDAB=√33.故答案为：√33.【分析】利用已知条件可证得AB，CB，BD，AB四条线段成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可求出AD与AC的比值.16.关于抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)，给出下列结论：①当a<0时，抛物线与直线y=2x+2没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则a⩾1.其中正确结论的序号是________.【答案】②③【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【解答】解：联立{y=ax2−2x+1y=2x+2，得ax2−4x−1=0，∴∆= (−4)2−4×(−1)×a=16+4a，当a<0时，∆有可能≥0，∴抛物线与直线y=2x+2有可能有交点，故①错误；抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的对称轴为：直线x= 1a，若抛物线与x轴有两个交点，则∆= (−2)2−4a>0，解得：a＜1，∵当0＜a＜1时，则1a ＞1，此时，x＜1a，y随x的增大而减小，又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，∵当a＜0时，则1a ＜0，此时，x＞1a，y随x的增大而减小，又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的顶点坐标为：(1a ，a−1a)，∵1a +a−1a=1，∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），∴{1a≥0a−1 a ≥0，解得：a⩾1，故③正确.故答案是：②③.【分析】将两函数解析式联立方程组，将其转化为一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，可对①作出判断；利用抛物线与x轴有两个交点，可得到b2-4ac＞0，由此可得到a的取值范围；再分情况讨论，求出抛物线的对称轴，利用二次函数的性质可对②作出判断；先求出抛物线的顶点坐标，再求出直线顶点所在的直线，由此可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.三、解答题（共9题；共95分）17.先化简，再求值：(2x+1)(2x−1)−(2x−3)2，其中x=−1.【答案】解：原式= 4x2−1−(4x2−12x+9)= 4x2−1−4x2+12x−9= 12x−10，当x=-1时，原式= 12×(−1)−10=-22【考点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式先去括号（注意符号问题），再合并同类项，然后将x 的值代入化简后的代数式求值.18.如图，∠BAC=90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD 于点F.求证：AF=BE.【答案】证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴AF=BE【考点】三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】利用垂直的定义和余角的性质可证得∠CAF＝∠EBA，∠AEB=∠AFC=90°，再利用AAS证明△AEB≌△CAF；然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.19.某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目.（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率.（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目.小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：①补全条形统计图.②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩.【答案】（1）解：根据题意小红和小强自选项目情况如下表所示：由上表可知，小红和小强自选项目选择方式有9种情况，小红和小强自选项目相同的情况有3种，故小红和小强自选项目相同的概率为39=13（2）解：①补全条形统计图如图所示：②小红的体育中考成绩为：95×50%+90×30%+95×20%=93.5；小强的体育中考成绩为：90×50%+95×30%+95×20%=92.5；答：小红和小强的成绩分别为93.5和92.5【考点】条形统计图，列表法与树状图法，加权平均数及其计算【解析】【分析】（1）由题意可知此事件是抽取放回，列表，求出所有等可能的结果数及小红和小强自选项目相同的情况数，然后利用概率公式可求解.（2）①利用表中数据，补全条形统计图；②利用加权平均数公式进行计算.20.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0.（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根.（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与x1x2都为整数，求k所有可能的值.【答案】（1）证明：x2−(2k+1)x+k2+k=0∵△= [−(2k+1)]2−4×1×(k2+k)= 4k2+4k+1-4k2-4k=1>0∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根（2）解：∵x2−(2k+1)x+k2+k=0∴(x−k)(x−k-1)=0∴x−k=0，x−k-1=0∴x1=k，x2=k+1或x1=k+1，x2=k当x1=k，x2=k+1时，x1x2=kk+1=1-1k+1∵k与x1x2都为整数，∴k=0或-2当x1=k+1，x2=k时，∴x1x2=k+1k=1+1k，∵k 与 x 1x 2 都为整数， ∴k=1或-1∴k 所有可能的值为0或-2或1或-1【考点】一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的求根公式及应用【解析】【分析】（1）先求出b 2-4ac ，再判断b 2-4ac ＞0，利用一元二次方程根的判别式，可求解.（2）先求出方程的两个根，再分情况讨论： 当 x 1=k ， x 2=k +1 时； 当 x 1=k +1 ， x 2=k 时，分别求出符合题意的k 的值.21.如图，反比例函数的图象与过点 A(0,−1) ， B(4,1) 的直线交于点B 和C.（1）求直线AB 和反比例函数的解析式.（2）已知点 D(−1,0) ，直线CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为E ，直接写出点E 的坐标，并求 △BCE 的面积.【答案】 （1）解：设直线AB 的解析式为 y =kx +b ，将点 A(0,−1) ， B(4,1) 代入解析式得：{b =−14k +b =1 ，解得： {k =12b =−1， ∴直线AB 的解析式为： y =12x −1 ；设反比例函数解析式为： y =m x ，将 B(4,1) 代入解析式得： m =4 ，∴反比例函数的解析式为： y =4x（2）解：联立 {y =12x −1y =4x ，解得： {x =−2y =−2 或 {x =4y =1 ， ∴C 点坐标为： (−2,−2) ，设直线CD 的解析式为： y =px +q ，将 C(−2,−2) ， D(−1,0) 代入得：{−2p +q =−2−p +q =0 ，解得： {p =2q =2，∴直线CD 的解析式为： y =2x +2 ，联立 {y =2x +2y =4x，解得： {x =−2y =−2 或 {x =1y =4 ， ∴E 点的坐标为： (1,4) ；如图，过E 点作EF ∥y 轴，交直线AB 于F 点，则F 点坐标为 (1,−12) ， EF =y E −y F =4−(−12)=92 ，∴ S △BEC =12EF(x B −x C )=12×92×[4−(−2)]=272【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积【解析】【分析】（1）将点A ，B 的坐标分别代入一次函数解析式，建立关于k ，b 的方程组，解方程组求出k ，b 的值，可得到一次函数解析式；将点B 的坐标代入反比例函数解析式，可求出m 的值，由此可得到反比例函数解析式.（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点C 的坐标；再由点C ，D 的坐标求出直线CD 的函数解析式，将直线CD 的函数解析式和反比例函数解析式联立方程组，求出方程组的解，根据直线CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为E ，可得到点E 的坐标；过E 点作EF ∥y 轴，交直线AB 于F 点，可表示出点F 的坐标，从而可求出EF 的长，然后利用三角形的面积公式进行计算.22.如图，A ，B 是 ⊙O 上两点，且 AB =OA ，连接OB 并延长到点C ，使 BC =OB ，连接AC.（1）求证：AC 是 ⊙O 的切线.（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，OA=4，求GF的长.【答案】（1）证明：∵AB=OA，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC是⊙O的切线（2）解：∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC= √OC2+OA2= √82−42= 4√3∵D、E分别为AC、OA的中点，∴OE//BC，DC= 2√3过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N则四边形OMDN为矩形∴DN=OMDC= √3在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN= 12∴OM= √3连接OG，∵OM⊥GF∴GF=2MG=2 √OG2−OM2= 2√42−(√3)2=2 √13【考点】勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，切线的性质【解析】【分析】（1）根据三边都相等的三角形是等边三角形，可证得△AOB是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠OAB=60°，∠OBA=60°，利用等边对等角可证得∠C=∠CAB，利用三角形的外角的性质可求出∠CAB的度数，由此可证得∠AOC=90°，利用切线的判定定理可证得结论.（2）利用勾股定理求出AC的长，利用三角形的中位线定理可证得OE//BC，DC= 2√3，过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，易证四边形OMDN为矩形，利用矩形的性质可证得DN=OM；在Rt△CDN 中，利用解直角三角形求出OM的长，连接OG，然后利用勾股定理求出GF的长.23.超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元.（1）求苹果的进价.（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克.写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式.（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完.据统计，销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z=−1100x+12.在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量.（利润＝销售收入−购进支出）【答案】（1）解：设苹果的进价为x元/千克，由题意得：300x+2=200x−2，解得：x=10，经检验：x=10是方程的解，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克（2）解：当x≤100时，y=10x，当x＞100时，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，∴y={10x(x≤100)8x+200(x>100)（3）解：若x≤100时，w=zx-y= (−1100x+12)x−10x=−1100x2+2x= −1100(x−100)2+100，∴当x=100时，w最大=100，若x＞100时，w==zx-y= (−1100x+12)x−8x+200=−1100x2+4x+200= −1100(x−200)2+600，∴当x=200时，w最大=600，综上所述：当x=200时，超市销售苹果利润w最大，答：要使超市销售苹果利润w最大，一天购进苹果数量为200千克.【考点】分式方程的实际应用，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】（1）利用总价÷进价=数量，根据题意设未知数，列方程求出方程的解，然后检验即可. （2）当x≤100时；当x＞100时，根据题意分别写出y与x之间的函数解析式.（3）分情况讨论：若x≤100时，w=zx-y；若x＞100时，w=zx-y，分别列出w与x之间的函数解析式，再利用二次函数的性质可求解.24.如图，点E在正方形ABCD边AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合）.DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB=1，DE=13.（1）求tan∠ACE.（2）设AF=x，GH=y，试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）.（3）当∠ADF=∠ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.【答案】（1）解：过E作EM⊥AC于M在正方形ABCD中∠DAC=45°，AD=AB=BC=1∵DE= 13，∴AE= 23，AC= √2∴EM=AM= √22AE= √22× 23= √23∴CM=AC-AM= √2- √23= 2√23在Rt△CEM中，tan∠ACE= EMCM = 12（2）解：过G作GN⊥AB于N∵HG⊥AD，∠DAB=90°∴四边形HANG为矩形，GN∥AD ∵∠HAG=45°∴AH=HG∴四边形HANG为正方形∴HG=GN=AN=y∵GN∥AD∴△GNF ~△DAF∴GNAD = NFAF∵AF=x，∴NF=x-y∴y1= x−yx∴y= xx+1(0 <x≤1)（3）解：∵∠ADF=∠ACEtan∠ACE= 12∴tan∠ADF= AFAD = 12∵AD=1 ∴AF= 12即x= 12当x= 12时，y=HG= 13在Rt△AHG中，∠HAG=45°∴AH=HG= 13，∠HGA=45°∵HE=AE-AH= 13∴△EHG为等腰直角三角形∴∠EGH=45°∴∠AGE=90°∴EG⊥AC【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形，四边形的综合【解析】【分析】（1）过E作EM⊥AC于M，利用正方形的性质可证得∠DAC=45°，AD=AB=BC=1，再求出AM、CM的长；然后利用锐角三角函数的定义可求出结果.（2）过G作GN⊥AB于N，易证四边形HANG为正方形，利用正方形的性质可证得HG=GN=AN=y，由GN∥AD，可证得△GNF∽△DAF，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，即可得到y与x之间的函数解析式.（3）利用锐角三角函数的定义求出AF的长，由此可得到x，y的值；再证明△EHG为等腰直角三角形，可推出∠EGH=45°，同时可得到∠AGE=90°，利用垂直的定义可证得结论.25.如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为x=5.2（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，，对称轴为直线x=52∴B（4，0），C（0，4），设抛物线y=a(x−1)(x−4)，把C（0，4）代入得：4=a(0−1)×(0−4)，解得：a=1，∴抛物线的解析式为：y=x2−5x+4（2）解：∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，x2−5x+4），（0≤x≤4），∴PQ=-x+4-( x2−5x+4)= −x2+4x= −(x−2)2+4，∴当x=2时，线段PQ长度最大=4，∴此时，PQ=CO，又∵PQ∥CO，∴四边形OCPQ是平行四边形（3）解：过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），∵D是OC的中点，∴D（0，2），∵QN∥y轴，∴∠ODQ=∠DQN，又∵∠DQE=2∠ODQ，∴∠DQE=2∠DQN，∴∠MDQ=∠DQN=∠EQN，∴tan∠MDQ=tan∠EQN，即：MQMD =NENQ，设E（x，x2−5x+4），则24=x−2x2−5x+4−(−2)，解得：x1=5，x2=2（舍去），∴E（5，4），设F（0，y），则BF2=(4−0)2+(0−y)2=16+y2，EF2=(5−0)2+(4−y)2=25+(4−y)2，BE2=(5−4)2+(4−0)2=17，①当BF=EF时，16+y2=25+(4−y)2，解得：y=258，②当BF=BE时，16+y2=17，解得：y=1或y=−1，③当EF=BE时，25+(4−y)2=17，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，258）或（0，1）或（0，-1）【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）利用二次函数图象的对称性可得到点B的坐标，同时可得到点C的坐标，因此设函数解析式为交点式，将点C的坐标代入，可求出函数解析式.（2）由点C，B的坐标求出直线BC的函数解析式，设P（x，-x+4），则Q（x，x2−5x+4），（0≤x≤4），可求出线段PQ的长，将PQ与x的函数解析式转化为顶点式，可求出当x=2时线段PQ长度的最大值为4，由此可证得PQ∥CO，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.（3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，由（2）可求出点Q的坐标及点D的坐标，再证明∠MDQ=∠DQN=∠EQN，利用锐角三角函数的定义可证得MQMD=NENQ；设E（x，x2−5x+4），即可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到符合题的点E的坐标；设F（0，y），分别求出BF2，EF2，BE2，利用等腰三角形的定义，分情况讨论：①当BF=EF时；②当BF=BE 时；③当EF=BE时；分别建立关于y的方程，解方程求出y的值，即可得到符合题意的点F的坐标.。